Dans le domaine des sciences comportementales et de la psychométrie, la quantification précise des processus mentaux inobservables repose impérativement sur des outils inférentiels rigoureux. Lorsqu’un statisticien ou un chercheur en psychologie tente d’évaluer un paramètre latent de la population à partir d’un échantillon fini, l’adéquation mathématique de la règle de calcul retenue s’avère déterminante. L’analyse de l’estimateur biaisé constitue ainsi l’une des pierres angulaires de la méthodologie quantitative, permettant d’identifier, de comprendre et de corriger les dérives systématiques qui menacent la validité des conclusions scientifiques.
Estimateur biaisé
1. Définition concise
En statistique inférentielle et en psychométrie, un estimateur biaisé désigne une fonction mathématique appliquée aux données d’un échantillon dont l’espérance mathématique ne coïncide pas avec la valeur réelle du paramètre sous-jacent qu’elle vise à approcher. Autrement dit, si l’on répétait une expérience ou une passation de test psychométrique un nombre infini de fois dans des conditions identiques, la moyenne de l’ensemble des estimations obtenues présenterait un écart constant et systématique par rapport à la valeur théorique réelle du paramètre.
Formellement, si l’on considère un paramètre inconnu représenté par le symbole thêta (θ) et son estimateur thêta-chapeau (ˆθ), le biais se définit par la relation d’inégalité selon laquelle l’espérance mathématique E[ˆθ] est différente de θ. Le biais d’estimation correspond précisément à la différence vectorielle ou scalaire calculée par la formule Biais(ˆθ) = E[ˆθ] – θ. Lorsque cette valeur est strictement différente de zéro, l’estimateur est formellement qualifié de biaisé.
Au-delà de la stricte mécanique mathématique, cette notion est primordiale en sciences humaines. Un estimateur biaisé peut introduire des distorsions dans l’estimation de la fidélité d’un instrument, dans le calibrage de la difficulté des items d’une échelle psychologique, ou encore dans le calcul de la taille de l’effet clinique d’une psychothérapie, conduisant potentiellement à des prises de décision diagnostiques ou institutionnelles erronées.
2. Étymologie et origine linguistique
Le syntagme « estimateur biaisé » associe deux termes aux trajectoires linguistiques remarquables, ancrées dans la mesure du monde matériel puis transposées à l’abstraction statistique. Le mot « estimateur » provient du verbe latin aestimare, signifiant initialement « fixer le prix d’une chose, évaluer pécuniairement ou déterminer la valeur intrinsèque d’un bien ». Ce terme est lui-même rattaché à la racine archaïque aes (« bronze », première monnaie romaine d’échange). Progressivement, le terme a glissé du champ de l’évaluation matérielle et marchande vers l’évaluation cognitive et le jugement intellectuel d’une quantité indéterminée.
Le substantif et adjectif « biais », quant à lui, trouve ses racines dans le provençal ancien biais, signifiant « obliquité, inclinaison, détour ». Les étymologistes font remonter ce mot au grec tardif epikarsios (signifiant « oblique, de travers ») par l’intermédiaire du bas-latin vulgaire. Introduit initialement dans le vocabulaire de la couture pour qualifier une coupe en diagonale par rapport au fil du tissu, puis dans le domaine du jeu de paume et des boules pour désigner une trajectoire incurvée imposée par une asymétrie de l’objet, le mot a pris au fil des siècles le sens figuré d’une déviation de la pensée ou d’une inclinaison involontaire.
L’acception mathématique moderne a été formalisée par la statistique anglo-saxonne au début du XXe siècle à travers l’expression biased estimator, notamment sous l’impulsion de Ronald Fisher, avant d’être réintégrée et institutionnalisée dans la francophonie académique au cours des décennies 1930 à 1950 pour traduire précisément cette notion de déviation systématique de l’espérance d’un calcul.
3. Prononciation et forme grammaticale
Sur le plan phonétique, le syntagme se prononce couramment en français standard sous la forme /ɛs.ti.ma.tœʁ bjɛ.ze/ (ou /ɛs.ti.ma.tœʁ bje.ze/). Le premier élément se décompose en quatre syllabes orales (es-ti-ma-teur), tandis que le second se prononce en deux syllabes distinctes avec une semi-voyelle initiale (biai-sé).
Du point de vue grammatical, « estimateur biaisé » est un groupe nominal masculin singulier, formé du nom commun d’agent masculin « estimateur » et de l’adjectif qualificatif épithète « biaisé ». Au pluriel, il adopte la graphie « estimateurs biaisés » (/ɛs.ti.ma.tœʁ bjɛ.ze/). Dans les contextes où l’on s’intéresse à la fonction d’estimation en tant qu’entité abstraite ou règle de calcul, on rencontre parfois la variante féminine substantivée « une estimation biaisée », bien qu’en méthodologie quantitative pure, une distinction nette soit maintenue entre l’estimateur (la règle de calcul ou variable aléatoire) et l’estimation (la réalisation numérique concrète résultant de l’application de cette règle à un échantillon précis).
4. Explication conceptuelle détaillée
Pour appréhender pleinement ce qu’est un estimateur statistique biaisé, il convient de le resituer au sein de la théorie générale de l’échantillonnage. Lorsqu’un psychologue cherche à mesurer un phénomène (par exemple, la variance de l’anxiété au sein d’une cohorte ou le niveau moyen d’un trait de personnalité), il ne peut généralement pas sonder la population entière. Il extrait donc un sous-ensemble fini d’individus et applique un algorithme aux scores recueillis pour déduire les propriétés globales de la population.
L’estimateur est lui-même une variable aléatoire : sa valeur fluctue d’un échantillon à l’autre en raison de l’erreur d’échantillonnage. Si nous extrayons des milliers d’échantillons aléatoires distincts de même taille, l’estimateur produira des milliers de valeurs légèrement différentes. La question fondamentale posée par la théorie statistique est la suivante : quel est le centre de gravité de cette distribution d’échantillonnage ? Si ce centre de gravité correspond rigoureusement à la valeur véritable du paramètre populationnel, l’estimateur est dit sans biais (ou non biaisé). En revanche, si la moyenne des estimations converge vers une valeur supérieure ou inférieure au paramètre réel, nous sommes en présence d’un estimateur biaisé.
Ce biais peut être additif ou multiplicatif. Le biais additif représente un décalage constant, mesurable dans la même unité que le paramètre lui-même. Par exemple, un estimateur qui sous-estime systématiquement la variance psychologique d’un échantillon d’un facteur lié à la taille dudit échantillon illustre parfaitement ce phénomène. Le biais est distinct de la variance de l’estimateur : un estimateur peut être extrêmement précis (c’est-à-dire que ses estimations fluctuent très peu autour de leur propre moyenne d’échantillonnage) tout en étant lourdement biaisé si cette moyenne est éloignée de la cible réelle.
On distingue également le biais d’échantillon fini du biais asymptotique. Certains estimateurs sont biaisés lorsque la taille de l’échantillon (N) est modeste, mais voient leur biais s’atténuer à mesure que N croît vers l’infini ; on parle alors d’estimateurs asymptotiquement sans biais. D’autres, en revanche, conservent une déviation persistante quelle que soit la quantité de données accumulées en raison d’une mauvaise spécification du modèle mathématique ou de violations structurelles des postulats de mesure.
5. Évolution historique
L’émergence formelle de l’évaluation du biais dans les statistiques remonte au début du XIXe siècle, à travers les travaux pionniers de Carl Friedrich Gauss et Adrien-Marie Legendre sur la méthode des moindres carrés. Gauss s’intéressait à la précision de l’astronomie de position et cherchait à formuler des règles de calcul ne comportant aucune distorsion systématique. Le théorème de Gauss-Markov a plus tard posé les bases de l’estimateur linéaire sans biais de variance minimale (souvent désigné sous l’acronyme anglais BLUE pour Best Linear Unbiased Estimator).
Au début du XXe siècle, Karl Pearson et William Sealy Gosset (sous le pseudonyme de « Student ») ont identifié un biais critique dans l’évaluation de la dispersion empirique. Gosset réalisa que l’usage de la somme des carrés des écarts divisée par la taille brute de l’échantillon sous-estimait systématiquement la véritable variance de la population lorsque les effectifs étaient restreints, nécessitant la correction par les degrés de liberté (N-1), formalisant ainsi la distinction entre estimateur biaisé et non biaisé de la variance.
La période d’entre-deux-guerres vit l’intervention décisive de Ronald A. Fisher, qui formalisa l’estimation par le maximum de vraisemblance. Fisher démontra que les estimateurs du maximum de vraisemblance, bien qu’extrêmement puissants et asymptotiquement optimaux, sont très fréquemment des estimateurs biaisés pour des échantillons de taille finie. Dès lors, le biais n’était plus perçu comme une simple tare à éliminer absolument, mais comme une propriété mathématique inhérente à certaines démarches analytiques.
Dans les années 1950 et 1960, un séisme épistémologique survint avec les travaux de Charles Stein et Willard James. Le célèbre « paradoxe de Stein » mit en évidence qu’en dimension trois ou supérieure, l’estimateur standard sans biais des moyennes multivariées est sous-optimal par rapport à un estimateur délibérément biaisé qui réduit (ou « rétrécit ») les valeurs observées vers une origine commune (l’estimateur de James-Stein). Cette découverte a radicalement transformé la psychométrie moderne, ouvrant la voie aux modèles à effets mixtes, à l’estimation bayésienne empirique et aux algorithmes de régularisation contemporains.
6. Fondements théoriques
L’analyse formelle des estimateurs s’articule autour de la théorie de la décision statistique et de la décomposition de l’erreur quadratique moyenne (EQM ou MSE pour Mean Squared Error). L’erreur quadratique moyenne quantifie la qualité globale d’un estimateur en combinant simultanément son imprécision aléatoire et son inexactitude systématique.
La formule fondamentale de décomposition mathématique s’exprime ainsi :
EQM(ˆθ) = Variance(ˆθ) + [Biais(ˆθ)]²
Cette relation révèle une réalité contre-intuitive indispensable pour la psychométrie : rechercher à tout prix un estimateur strictement non biaisé n’est pas nécessairement la stratégie la plus judicieuse. Dans de nombreuses configurations expérimentales courantes en psychologie clinique ou en neuropsychologie (où les cohortes de patients sont souvent réduites), contraindre le biais à zéro peut contraindre l’estimateur à exhiber une variance disproportionnée. Inversement, accepter un estimateur délibérément biaisé peut permettre de réduire drastiquement la dispersion des résultats, débouchant sur une erreur globale beaucoup plus modérée.
Ce phénomène constitue le cœur du compromis biais-variance. En psychométrie computationnelle, la recherche moderne privilégie l’optimisation globale de l’erreur quadratique moyenne plutôt que la stricte neutralité de l’espérance mathématique, en particulier lors du recours à des modèles à variables latentes complexes comportant un nombre élevé de paramètres à estimer.
7. Composantes clés, typologies et dimensions
L’analyse critique d’un estimateur biaisé impose de distinguer les différentes origines et formes que peut revêtir ce phénomène au sein des protocoles psychologiques :
- Biais structurel ou algébrique : Découle directement de l’équation mathématique sous-jacente qui, par sa nature non linéaire (par exemple, le calcul d’un écart-type ou d’un rapport), déforme la distribution de la métrique originale même si les données collectées sont exemplaires.
- Biais de petit échantillon (ou d’échantillon fini) : Biais qui se manifeste avec acuité lorsque la taille N du groupe expérimental est faible, mais qui tend asymptotiquement vers zéro au fur et à mesure que le nombre d’observations tend vers l’infini.
- Biais d’atténuation : Phénomène psychométrique majeur selon lequel l’erreur de mesure aléatoire présente dans les tests entraîne systématiquement une sous-estimation des coefficients de corrélation linéaire ou des pentes de régression entre deux construits psychologiques.
- Biais lié à la troncature ou à la sélection : Se produit lorsque l’échantillon disponible n’a pas été sélectionné de manière totalement aléatoire mais a subi une restriction de variance (par exemple, recruter uniquement des étudiants universitaires à haut quotient intellectuel pour étalonner une épreuve de raisonnement).
- Biais d’omission de variables : Se manifeste dans la modélisation statistique causale lorsque des variables confondantes cruciales (telles que le statut socio-économique ou l’âge) sont écartées du modèle, forçant les coefficients estimés à absorber artificiellement des effets parasites.
8. Exemples concrets et études de cas
L’illustration la plus universelle d’un estimateur biaisé réside dans la formule naïve de la variance empirique. Considérons un échantillon de 10 adolescents complétant une échelle d’estime de soi. Si le chercheur calcule la variance en effectuant la somme des carrés des écarts à la moyenne divisée par 10 (la taille brute de l’échantillon N), l’estimateur obtenu sous-estimera mathématiquement la vraie dispersion de l’ensemble de la population d’adolescents. En effet, les écarts sont mesurés par rapport à la moyenne de l’échantillon et non par rapport à la moyenne inconnue de la population générale, ce qui minimise artificiellement la variabilité apparente. C’est pourquoi la statistique corrective de Bessel remplace le dénominateur N par (N – 1), rétablissant ainsi un estimateur sans biais.
Un deuxième exemple crucial en psychologie expérimentale concerne l’estimation de la taille de l’effet. Le d de Cohen est un estimateur biaisé de l’amplitude de l’effet dans la population dès lors que les cohortes sont petites (inférieures à une trentaine de participants par groupe). Dans un essai comparant une thérapie cognitivo-comportementale à une liste d’attente sur un groupe de 12 patients, le d de Cohen calculé aura tendance à gonfler systématiquement l’efficacité réelle de l’intervention. L’utilisation du g de Hedges, qui intègre un facteur de correction analytique dépendant des degrés de liberté, permet de corriger ce biais structurel de l’estimateur original.
Un troisième cas classique émerge dans le cadre de la théorie des réponses aux items (TRI). Lorsqu’un clinicien évalue le niveau de sévérité dépressive d’un patient au moyen du maximum de vraisemblance standard (estimateur ML), l’estimation du trait latent (θ) est systématiquement biaisée vers les extrêmes lorsque le test comporte un nombre limité d’items. Un patient répondant à l’ensemble des questions par la modalité maximale recevra une estimation infinie du trait latent, ce qui représente un biais majeur. Pour pallier cela, on substitue à l’estimateur ML standard des estimateurs bayésiens (EAP ou WLE de Warm), délibérément régularisés pour compenser cette distorsion systématique.
9. Mesure, évaluation et quantification
La détection et la caractérisation de l’ampleur d’un estimateur biaisé font appel à des protocoles analytiques et empiriques standardisés. Sur le plan théorique pur, lorsque les distributions de probabilités sous-jacentes sont connues, le biais se quantifie par la dérivation analytique de l’espérance mathématique de la formule de l’estimateur, en vérifiant si la relation mathématique débouche sur une valeur nulle ou sur une fonction résiduelle dépendante de N.
Lorsque les équations mathématiques sont trop intriquées pour permettre une solution analytique explicite (notamment dans les modèles d’équations structurelles complexes ou les réseaux psychométriques), les méthodologistes recourent massivement aux simulations numériques de type Monte Carlo. La procédure consiste à définir une « population synthétique » dont les paramètres réels sont fixés par le chercheur, puis à générer aléatoirement des dizaines de milliers d’échantillons virtuels. En appliquant l’estimateur testé sur chacun de ces échantillons et en moyennant les résultats, l’écart par rapport au paramètre réel connu met immédiatement en évidence l’existence, la direction et l’ampleur du biais d’estimation.
Dans la pratique appliquée sur des données empiriques réelles, des techniques non paramétriques de rééchantillonnage comme le Jackknife ou le Bootstrap sont fréquemment mobilisées. La méthode Jackknife calcule sélectivement l’estimateur en omettant successivement chaque observation individuelle, ce qui permet d’isoler mathématiquement l’ordre de grandeur du biais de premier ordre de l’échantillon fini et de produire un estimateur corrigé par réinjection de cette déviation estimée.
10. Applications et portée pratique
La question des estimateurs biaisés possède des implications concrètes considérables qui dépassent largement les cénacles théoriques de la statistique. En psychologie clinique et en psychiatrie, les seuils diagnostiques établis à partir d’échelles de mesure reposent sur l’étalonnage de scores normatifs. Si l’estimateur utilisé pour calibrer la sensibilité ou la fidélité d’une échelle diagnostique du spectre autistique est biaisé, cela peut se traduire par des centaines de faux diagnostics positifs ou de cas non détectés lors des dépistages scolaires.
Dans le secteur de la psychologie du travail et de l’orientation professionnelle, la sélection de personnel au moyen de batteries d’aptitudes cognitives mobilise des modèles prédictifs. Si l’estimateur du coefficient de validité prédictive souffre d’un biais d’atténuation causé par l’imperfection des mesures, les recruteurs risquent de sous-estimer dramatiquement l’utilité économique et opérationnelle des tests psychométriques, conduisant à des abandons d’outils pourtant scientifiquement valides.
Enfin, dans le domaine des neurosciences cognitives et de la neuro-imagerie fonctionnelle, l’estimation des connectivités cérébrales à partir de séries temporelles d’IRMf (imagerie par résonance magnétique fonctionnelle) fait intervenir un nombre massif de variables pour un nombre infime de points de mesure dans le temps. L’emploi d’estimateurs non régularisés (et donc aveuglément non biaisés) produit un effondrement de la reproductibilité en raison d’une explosion de la variance. L’adoption d’estimateurs biaisés sous contrainte (tels que la régression Ridge ou le Lasso) s’avère dans ce contexte la seule alternative pour obtenir des cartographies cérébrales stables et interprétables.
11. Recherches et preuves empiriques
La littérature consacrée à l’impact des estimateurs biaisés en sciences sociales s’est considérablement enrichie au cours des dernières décennies. Une étude séminale conduite par Larry Hedges en 1981 a démontré de manière irréfutable que dans la majorité des méta-analyses publiées à l’époque, les synthèses quantitatives souffraient d’un biais cumulatif significatif en raison de l’agrégation de coefficients d de Cohen non corrigés issus d’échantillons de petite taille. Ces travaux ont impulsé une refonte méthodologique globale des standards de l’American Psychological Association (APA).
Dans le domaine psychométrique, Frederic M. Lord a documenté avec précision comment les estimateurs du maximum de vraisemblance non conditionnels pour les modèles de Rasch à deux et trois paramètres généraient des surestimations massives des paramètres de discrimination des items (α) lorsque le nombre de sujets testés était inférieur à 500. Ces constats empiriques ont justifié le développement d’estimateurs à vraisemblance marginale (Bock & Aitkin) et d’approches entièrement bayésiennes par chaînes de Markov Monte Carlo (MCMC).
Plus récemment, les controverses entourant la « crise de reproductibilité » en psychologie ont mis en exergue l’effet néfaste du biais de publication couplé à des estimateurs empiriques de taille d’effet vulnérables aux variations stochastiques. Plusieurs équipes de recherche internationales (notamment le consortium Open Science Collaboration) ont démontré que les tailles d’effets moyennes répliquées étaient systématiquement inférieures d’environ 50 % aux tailles d’effets initialement rapportées, révélant que les estimateurs conventionnels publiés fonctionnaient en pratique comme des estimateurs sévèrement biaisés à la hausse par suite de pratiques de recherche contestables (p-hacking, arrêt précoce de collecte).
12. Considérations culturelles et transculturelles
L’évaluation des compétences cognitives et des traits de personnalité à l’échelle internationale confronte les chercheurs au risque d’utiliser des estimateurs psychométriques biaisés en raison de disparités linguistiques, culturelles et contextuelles. Lorsqu’un test développé dans un pays occidental est traduit et administré dans une autre zone géographique, l’hypothèse fondamentale d’équivalence de mesure (invariance de mesure) est fréquemment compromise.
Si l’invariance métrique ou scalaire n’est pas strictement satisfaite, les estimateurs des scores latents moyens deviennent substantiellement biaisés. Cela signifie que la différence observée entre deux groupes culturels ne traduit pas une véritable disparité psychologique du trait étudié, mais constitue un artefact généré par l’estimateur qui interprète à tort un biais de réponse culturel (comme la tendance systématique à l’acquiescement ou l’attrait pour les réponses médianes prévalant dans certaines cultures collectivistes) comme une variation du niveau d’aptitude réelle.
La psychologie interculturelle contemporaine exige ainsi la vérification rigoureuse de l’invariance de fonctionnement des items au moyen de modèles d’équations structurelles multigroupes avant toute comparaison de moyennes. Faute de telles précautions, les comparaisons internationales de systèmes éducatifs ou d’indices de bien-être mental reposent sur des estimateurs fondamentalement biaisés, exposant les chercheurs à des conclusions erronées et à des représentations ethnocentriques dénuées de validité scientifique.
13. Critiques, débats et limites conceptuelles
La place et la légitimité des estimateurs biaisés dans la pratique scientifique font l’objet de vifs débats épistémologiques qui divisent les traditionalistes de l’école fréquentiste et les adeptes des approches bayésiennes et de l’apprentissage automatique (machine learning).
Pendant une grande partie du XXe siècle, un consensus presque moral imposait que tout bon estimateur devait être impérativement non biaisé. Les publications scientifiques rejetaient fréquemment des méthodes quantitatives au seul motif qu’elles introduisaient une déviation systématique. Ce paradigme a été vivement contesté par des théoriciens de l’information statistique qui ont souligné l’absurdité de préférer un estimateur sans biais doté d’une variance gigantesque (qui produit presque systématiquement des valeurs extrêmement éloignées de la réalité pour un échantillon singulier) à un estimateur légèrement biaisé mais remarquablement stable et proche de la réalité.
Un autre débat récurrent concerne l’arbitrage entre l’interprétabilité des paramètres et la précision prédictive. Dans le cadre de la psychologie clinique personnalisée, les estimateurs à régularisation pénalisée (qui introduisent volontairement un biais vers zéro des coefficients) permettent d’éviter le surajustement (overfitting) et d’obtenir des prédictions beaucoup plus fiables de la rechute dépressive ou du risque suicidaire. Cependant, certains cliniciens critiquent ces estimateurs biaisés parce qu’ils compliquent l’interprétation théorique directe des relations causales entre les symptômes au sein des réseaux psychopathologiques.
14. Termes connexes et distinctions
Pour prévenir les confusions conceptuelles récurrentes dans la littérature, il est indispensable de différencier rigoureusement l’estimateur biaisé de plusieurs notions statistiques limitrophes :
- Estimateur sans biais : Règle d’estimation dont l’espérance mathématique est rigoureusement égale à la valeur du paramètre de population inconnu (E[ˆθ] = θ), contrairement à l’estimateur biaisé qui dévie systématiquement de cette cible.
- Estimateur convergent (consistant) : Propriété asymptotique indiquant que la valeur de l’estimateur se rapproche de plus en plus du paramètre réel à mesure que la taille de l’échantillon tend vers l’infini. Un estimateur peut être biaisé pour des échantillons finis tout en étant convergent si son biais s’éteint asymptotiquement.
- Erreur standard : Mesure de l’écart-type de la distribution d’échantillonnage de l’estimateur qui reflète uniquement l’imprécision due aux fluctuations d’échantillonnage aléatoires, sans lien direct avec la présence ou l’absence d’un biais systématique.
- Biais méthodologique (de recherche) : Erreur non statistique liée à un défaut de conception du protocole empirique (effet placebo, biais de confirmation de l’expérimentateur, désirabilité sociale), tandis que le biais d’un estimateur relève exclusivement d’une propriété de l’algorithme mathématique d’estimation.
- Validité de construit : Degré auquel un test mesure réellement le concept psychologique qu’il est censé capturer, une dimension psychométrique globale dont l’évaluation peut être compromise par l’usage d’un estimateur statistique biaisé.
15. Synthèse et points clés à retenir
L’analyse des estimateurs biaisés constitue un pan indispensable de la rigueur méthodologique en psychologie quantitative, dont les principes cardinaux peuvent être résumés ainsi :
- Un estimateur biaisé est une fonction statistique dont l’espérance mathématique moyenne ne correspond pas à la valeur authentique du paramètre mesuré dans la population.
- Le biais statistique représente une distorsion systématique et prévisible, qui se distingue fondamentalement des fluctuations aléatoires de l’erreur d’échantillonnage.
- La qualité globale d’un estimateur se mesure à l’aune de son erreur quadratique moyenne (EQM), qui constitue la somme de sa variance et du carré de son biais.
- Dans de multiples contextes à échantillons réduits ou à haute dimensionnalité, introduire délibérément un léger biais permet de stabiliser considérablement l’estimation en réduisant la variance totale (compromis biais-variance).
- En psychométrie, les estimateurs courants de la taille de l’effet, de la variance et des aptitudes latentes sont souvent biaisés par défaut et requièrent des corrections analytiques formelles pour garantir des inférences diagnostiques ou scientifiques fiables.
Références
- Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2e éd.). Lawrence Erlbaum Associates.
- Fisher, R. A. (1922). On the mathematical foundations of theoretical statistics. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, 222(594-604), 309–368. https://fr.wikipedia.org/wiki/Biais_(statistique)
- Hedges, L. V. (1981). Distribution theory for Glass’s estimator of effect size and related estimators. Journal of Educational Statistics, 6(2), 107–128.
- Lord, F. M. (1980). Applications of item response theory to practical testing problems. Lawrence Erlbaum Associates.
- Warm, T. A. (1989). Weighted likelihood estimation of ability in item response theory. Psychometrika, 54(3), 427–450.