{"id":9207,"date":"2026-10-14T18:02:28","date_gmt":"2026-10-14T18:02:28","guid":{"rendered":"http:\/\/french.arabpsychology.com\/statistics\/comment-effectuer-test-u-mann-whitney-sas\/"},"modified":"2026-10-14T18:02:28","modified_gmt":"2026-10-14T18:02:28","slug":"comment-effectuer-test-u-mann-whitney-sas","status":"publish","type":"psych_stat","link":"https:\/\/french.arabpsychology.com\/?psych_stat=comment-effectuer-test-u-mann-whitney-sas","title":{"rendered":"Comment effectuer un test U de Mann-Whitney dans SAS"},"content":{"rendered":"

L’inf\u00e9rence statistique moderne repose sur une tension dialectique fondamentale entre l’adh\u00e9sion rigoureuse aux hypoth\u00e8ses distributionnelles et la n\u00e9cessit\u00e9 d’extraire des conclusions fiables \u00e0 partir de donn\u00e9es empiriques imparfaites. Dans le cadre de la recherche quantitative appliqu\u00e9e \u2014 que ce soit en biom\u00e9decine, en psychom\u00e9trie, en \u00e9conom\u00e9trie ou en ing\u00e9nierie \u2014, les chercheurs sont r\u00e9guli\u00e8rement confront\u00e9s \u00e0 des distributions qui d\u00e9fient l’id\u00e9al de la courbe de Gauss. Des distributions asym\u00e9triques, des donn\u00e9es issues d’\u00e9chelles de mesure ordinales, ou encore des \u00e9chantillons de taille modeste rendent l’emploi des tests param\u00e9triques traditionnels, tels que le test t de Student<\/a> pour \u00e9chantillons ind\u00e9pendants, math\u00e9matiquement invalide et m\u00e9thodologiquement p\u00e9rilleux.<\/p>\n

Face \u00e0 ces contraintes distributionnelles, le test U de Mann-Whitney \u2014 historiquement et fonctionnellement intriqu\u00e9 avec le test de la somme des rangs de Wilcoxon \u2014 constitue l’une des proc\u00e9dures non param\u00e9triques les plus robustes et les plus \u00e9l\u00e9gantes de l’arsenal inf\u00e9rentiel. En substituant aux valeurs num\u00e9riques brutes leurs rangs relatifs au sein de la distribution conjointe, cette m\u00e9thode s’affranchit de l’obligation de normalit\u00e9 et de l’exigence d’une m\u00e9trique d’intervalle stricte, tout en pr\u00e9servant une puissance statistique remarquablement \u00e9lev\u00e9e. Toutefois, la mise en \u0153uvre de ce test d\u00e9passe la simple substitution m\u00e9canique d’une statistique par une autre : elle exige une compr\u00e9hension aigu\u00eb de ses postulats sous-jacents, notamment en ce qui concerne la nature de l’hypoth\u00e8se nulle test\u00e9e, l’\u00e9valuation de la dominance stochastique et la distinction subtile entre un d\u00e9calage de localisation et une divergence g\u00e9n\u00e9rale de distribution.<\/p>\n

Le syst\u00e8me SAS (Statistical Analysis System)<\/a> offre un environnement d’une puissance et d’une pr\u00e9cision computationnelle exceptionnelles pour ex\u00e9cuter, approfondir et automatiser cette analyse \u00e0 travers sa proc\u00e9dure d\u00e9di\u00e9e, PROC NPAR1WAY<\/code>. Ce guide magistral a pour vocation de d\u00e9construire exhaustivement le test U de Mann-Whitney, depuis ses racines \u00e9pist\u00e9mologiques et th\u00e9oriques jusqu’\u00e0 son impl\u00e9mentation programmatique avanc\u00e9e dans SAS. En explorant la pr\u00e9paration des donn\u00e9es, le diagnostic exploratoire, la gestion algorithmique des ex \u00e6quo, le calcul combinatoire exact des valeurs p<\/em> pour les petits \u00e9chantillons, la quantification de la taille d’effet et le d\u00e9ploiement de macros industrielles, cet article propose une r\u00e9f\u00e9rence d\u00e9finitive pour les statisticiens, les analystes de donn\u00e9es et les chercheurs d\u00e9sireux d’allier rigueur m\u00e9thodologique et ma\u00eetrise logicielle.<\/p>\n

1. Fondements th\u00e9oriques et \u00e9pist\u00e9mologiques du test U de Mann-Whitney<\/h2>\n

1.1 Origine et principes du test non param\u00e9trique de Wilcoxon-Mann-Whitney<\/h3>\n

L’\u00e9dification th\u00e9orique de la statistique non param\u00e9trique moderne a connu un tournant d\u00e9cisif au cours des ann\u00e9es 1940. En 1945, le chimiste et statisticien am\u00e9ricain Frank Wilcoxon publie un article fondateur introduisant le concept r\u00e9volutionnaire de l’utilisation des rangs pour comparer deux groupes ind\u00e9pendants ainsi que deux mesures appari\u00e9es. Deux ann\u00e9es plus tard, en 1947, Henry Mann et Donald Whitney formalisent, g\u00e9n\u00e9ralisent et \u00e9tendent cette approche dans un article s\u00e9minal, en proposant une formulation combinatoire rigoureuse et une statistique sp\u00e9cifique, d\u00e9sign\u00e9e sous la lettre $U$<\/span>, capable de traiter explicitement des \u00e9chantillons de tailles in\u00e9gales. Bien que la litt\u00e9rature scientifique contemporaine emploie fr\u00e9quemment les termes de \u00ab test des rangs de Wilcoxon \u00bb, de \u00ab test de Mann-Whitney \u00bb ou de \u00ab test de Wilcoxon-Mann-Whitney \u00bb (WMW) de mani\u00e8re interchangeable, ces deux formulations convergent vers une structure math\u00e9matique parfaitement \u00e9quivalente.<\/p>\n

Le principe fondamental du test repose sur une op\u00e9ration de r\u00e9duction de dimension et d’invariance d’\u00e9chelle : la transformation des scores continus bruts en rangs ordinaux. Lorsque deux \u00e9chantillons ind\u00e9pendants sont combin\u00e9s et ordonn\u00e9s du plus petit au plus grand \u00e9l\u00e9ment, les rangs assign\u00e9s (de 1 \u00e0 $N = n_1 + n_2$<\/span>) neutralisent compl\u00e8tement la m\u00e9trique originale des observations. Cette transformation neutralise l’influence des d\u00e9formations de l’\u00e9chelle de mesure, des \u00e9tirements non lin\u00e9aires ou des m\u00e9triques arbitraires souvent observ\u00e9es dans les sciences humaines et sociales. D\u00e8s lors, l’analyse ne s’int\u00e9resse plus aux \u00e9carts arithm\u00e9tiques absolus entre les valeurs, mais \u00e0 leur ordonnancement relatif dans un continuum commun.<\/p>\n

Sur le plan inf\u00e9rentiel, l’hypoth\u00e8se nulle ($H_0$<\/span>) du test U de Mann-Whitney stipule l’\u00e9galit\u00e9 stochastique fondamentale entre les deux populations m\u00e8res dont sont issus les \u00e9chantillons. Math\u00e9matiquement, si $X$<\/span> repr\u00e9sente une variable al\u00e9atoire issue de la premi\u00e8re population de fonction de r\u00e9partition $F(x)$<\/span>, et $Y$<\/span> une variable al\u00e9atoire issue de la seconde population de fonction de r\u00e9partition $G(y)$<\/span>, l’hypoth\u00e8se nulle s’exprime formellement par l’\u00e9galit\u00e9 stricte des probabilit\u00e9s conditionnelles :<\/p>\n

$$P(X > Y) = P(Y > X) = 0,5$$<\/span><\/p>\n

Cette formulation d\u00e9montre sans ambigu\u00eft\u00e9 que le test \u00e9value fondamentalement la probabilit\u00e9 qu’une observation extraite au hasard d’une population surpasse une observation extraite de l’autre, et non pas simplement l’\u00e9galit\u00e9 arithm\u00e9tique de param\u00e8tres scalaires isol\u00e9s.<\/p>\n

1.2 Diff\u00e9rences conceptuelles entre approches param\u00e9triques et non param\u00e9triques<\/h3>\n

La distinction entre l’approche param\u00e9trique \u2014 domin\u00e9e par le test t<\/em> de Student \u2014 et l’approche non param\u00e9trique incarn\u00e9e par Mann-Whitney r\u00e9side dans la nature m\u00eame des param\u00e8tres cibl\u00e9s et des espaces probabilistes postul\u00e9s. Les m\u00e9thodes param\u00e9triques postulent que les donn\u00e9es sont g\u00e9n\u00e9r\u00e9es par une famille sp\u00e9cifique de distributions de probabilit\u00e9, d\u00e9finie par un ensemble fini de param\u00e8tres, g\u00e9n\u00e9ralement la moyenne ($\\mu$<\/span>) et la variance ($\\sigma^2$<\/span>) dans le cadre gaussien. D\u00e8s lors, le test t<\/em> \u00e9value l’hypoth\u00e8se nulle stricte $\\mu_1 = \\mu_2$<\/span>, en supposant que la dispersion et la morphologie de la distribution sont constantes ou contr\u00f4l\u00e9es. Cette focalisation sur la moyenne arithm\u00e9tique rend le test t<\/em> extr\u00eamement d\u00e9pendant de la validit\u00e9 de l’\u00e9chelle d’intervalle, o\u00f9 des diff\u00e9rences num\u00e9riques \u00e9gales doivent refl\u00e9ter des grandeurs empiriques identiques \u00e0 travers tout le spectre de la variable.<\/p>\n

\u00c0 l’inverse, l’approche non param\u00e9trique de Mann-Whitney ne postule aucune forme analytique a priori pour les distributions sous-jacentes. Elle d\u00e9place l’axe d’investigation de la comparaison des moments d’ordre 1 (les moyennes) vers l’\u00e9valuation de la dominance stochastique<\/a>. Une variable al\u00e9atoire $X$<\/span> est dite stochastiquement sup\u00e9rieure \u00e0 une variable $Y$<\/span> si, pour tout seuil r\u00e9el $t$<\/span>, la condition $P(X > t) ge P(Y > t)$<\/span> est satisfaite, avec une in\u00e9galit\u00e9 stricte pour au moins une valeur de $t$<\/span>. Cette perspective est conceptuellement beaucoup plus vaste et robuste que la simple comparaison de param\u00e8tres de tendance centrale.<\/p>\n

Dans les disciplines empiriques telles que les sciences du comportement, la psychom\u00e9trie quantitative et la recherche clinique, cette distinction rev\u00eat une port\u00e9e capitale. Les instruments d’\u00e9valuation produisent fr\u00e9quemment des scores composites dont les propri\u00e9t\u00e9s m\u00e9triques ne garantissent pas l’isomorphisme avec les nombres r\u00e9els. L’usage du test U de Mann-Whitney pr\u00e9serve l’int\u00e9grit\u00e9 inf\u00e9rentielle de ces recherches en \u00e9vitant d’attribuer aux donn\u00e9es une pr\u00e9cision quantitative fictive que leur processus de g\u00e9n\u00e9ration ne saurait soutenir.<\/p>\n

1.3 Situations d’application pr\u00e9f\u00e9rentielle en recherche empirique<\/h3>\n

En pratique de recherche, plusieurs configurations m\u00e9thodologiques dictent imp\u00e9rativement le recours au test U de Mann-Whitney au d\u00e9triment des proc\u00e9dures param\u00e9triques standards. La premi\u00e8re de ces situations concerne les protocoles exp\u00e9rimentaux caract\u00e9ris\u00e9s par des \u00e9chantillons de petite taille ($n < 30$<\/span> par groupe). Dans cette zone d'effectif restreint, le th\u00e9or\u00e8me central limite<\/a> ne peut d\u00e9ployer ses effets asymptotiques r\u00e9gulateurs pour assurer la normalit\u00e9 de la distribution d’\u00e9chantillonnage de la moyenne. Parall\u00e8lement, la puissance statistique des tests formels de normalit\u00e9 (tels que le test de Shapiro-Wilk) s’av\u00e8re dramatiquement faible, laissant l’analyste dans l’incapacit\u00e9 de certifier la normalit\u00e9 sous-jacente.<\/p>\n

La deuxi\u00e8me configuration pr\u00e9f\u00e9rentielle concerne les variables intrins\u00e8quement asym\u00e9triques ou born\u00e9es unilat\u00e9ralement. L’analyse des temps de r\u00e9action en neurosciences cognitives, les dur\u00e9es de s\u00e9jour hospitalier en sant\u00e9 publique, les niveaux de biomarqueurs immunitaires ou encore les concentrations enzymatiques pr\u00e9sentent structurellement des queues de distribution allong\u00e9es vers la droite (asym\u00e9trie positive prononc\u00e9e). De m\u00eame, les \u00e9chelles psychom\u00e9triques de type Likert (par exemple, des \u00e9valuations d’accord de 1 \u00e0 5 ou de 1 \u00e0 7) constituent des variables ordinales pour lesquelles la moyenne arithm\u00e9tique et la variance n’ont pas de d\u00e9finition math\u00e9matique rigoureuse, les distances subjectives entre les \u00e9chelons n’\u00e9tant pas uniformes.<\/p>\n

Enfin, la r\u00e9sistance intrins\u00e8que du test U de Mann-Whitney face aux valeurs aberrantes (outliers) ou extr\u00eames en fait un outil de choix. Dans un essai clinique ou industriel, la pr\u00e9sence d’une ou deux valeurs atypiques \u2014 r\u00e9sultant de variations biologiques extr\u00eames mais l\u00e9gitimes \u2014 peut distordre dramatiquement la moyenne et gonfler artificiellement la variance combin\u00e9e d’un test t<\/em>, conduisant \u00e0 une erreur de type II (non-rejet abusif d’une hypoth\u00e8se nulle fausse). Le test de Mann-Whitney, en rempla\u00e7ant la valeur extr\u00eame par son simple rang ordinal au sommet de la distribution, circonscrit rigoureusement son influence perturbatrice sans n\u00e9cessiter la suppression arbitraire d’observations l\u00e9gitimes.<\/p>\n

2. Conditions d’application et postulats m\u00e9thodologiques sous-jacents<\/h2>\n

2.1 Nature et niveau de mesure des variables \u00e9tudi\u00e9es<\/h3>\n

La validit\u00e9 des inf\u00e9rences produites par le test U de Mann-Whitney d\u00e9pend du respect d’exigences formelles concernant les \u00e9chelles de mesure des variables engag\u00e9es dans l’analyse. L’architecture du test requiert deux variables distinctes : une variable ind\u00e9pendante (ou variable de classification) et une variable d\u00e9pendante (ou variable de r\u00e9ponse). La variable ind\u00e9pendante doit \u00eatre obligatoirement cat\u00e9gorielle et strictement dichotomique, d\u00e9finissant deux groupes mutuellement exclusifs et exhaustivement repr\u00e9sentatifs des conditions exp\u00e9rimentales ou observationnelles compar\u00e9es (par exemple : groupe contr\u00f4le versus groupe trait\u00e9, ou cohorte saine versus cohorte pathologique).<\/p>\n

La variable d\u00e9pendante, quant \u00e0 elle, doit satisfaire au minimum aux propri\u00e9t\u00e9s d’une \u00e9chelle de mesure ordinale. Cela signifie que les modalit\u00e9s de la variable doivent pouvoir \u00eatre hi\u00e9rarchis\u00e9es sans \u00e9quivoque selon une relation d’ordre binaire transitive, r\u00e9flexive et antisym\u00e9trique. Le test peut parfaitement op\u00e9rer sur des donn\u00e9es continues issues d’\u00e9chelles d’intervalle ou de rapport, mais sa flexibilit\u00e9 exceptionnelle r\u00e9side dans sa capacit\u00e9 \u00e0 traiter des variables o\u00f9 seule la structure d’ordre est signifiante.<\/p>\n

Il est fondamental de souligner que le test n’exige aucune continuit\u00e9 stricte ni aucune diff\u00e9rentiabilit\u00e9 de la variable dans son espace support. Cependant, si la variable d\u00e9pendante est de nature discr\u00e8te avec un nombre restreint de cat\u00e9gories (par exemple, une \u00e9chelle ordinale \u00e0 trois points), la survenue d’un volume substantiel de valeurs ex \u00e6quo (ties) peut affecter la distribution de la statistique de test, imposant des ajustements computationnels que nous d\u00e9taillerons dans les sections d\u00e9di\u00e9es aux calculs exacts.<\/p>\n

2.2 Ind\u00e9pendance stricte des observations et des groupes<\/h3>\n

Le postulat le plus critique et le moins n\u00e9gociable du test U de Mann-Whitney r\u00e9side dans l’ind\u00e9pendance statistique absolue des unit\u00e9s d’\u00e9chantillonnage. Chaque observation individuelle doit \u00eatre g\u00e9n\u00e9r\u00e9e ind\u00e9pendamment de toutes les autres, tant \u00e0 l’int\u00e9rieur de son propre groupe qu’entre les deux groupes mis en concurrence. Sur le plan de la conception exp\u00e9rimentale, cela implique une assignation mutuellement exclusive : une unit\u00e9 exp\u00e9rimentale (patient, sujet, composant industriel) ne peut appartenir qu’\u00e0 un seul groupe, et aucune mesure r\u00e9p\u00e9t\u00e9e dans le temps sur un m\u00eame individu ne peut \u00eatre int\u00e9gr\u00e9e dans cette mod\u00e9lisation.<\/p>\n

Toute violation de l’hypoth\u00e8se d’ind\u00e9pendance d\u00e9truit irr\u00e9m\u00e9diablement la validit\u00e9 de la loi de probabilit\u00e9 sous-jacente \u00e0 la statistique de test. Les situations d’appariement (matching), les protocoles pr\u00e9-test \/ post-test, les conceptions en blocs randomis\u00e9s ou la collecte de donn\u00e9es hi\u00e9rarchiques (par exemple, des \u00e9l\u00e8ves nich\u00e9s au sein de classes, ou des mesures recueillies sur les deux yeux d’un m\u00eame patient) introduisent une structure de covariance intraclasse non nulle. L’application erron\u00e9e d’un test U de Mann-Whitney \u00e0 de telles donn\u00e9es corr\u00e9l\u00e9es conduit quasi invariablement \u00e0 une sous-estimation s\u00e9v\u00e8re de la variance d’\u00e9chantillonnage, provoquant une inflation catastrophique du taux d’erreur de type I (rejet de l’hypoth\u00e8se nulle alors qu’elle est vraie).<\/p>\n

Dans les cas de mesures r\u00e9p\u00e9t\u00e9es ou d’\u00e9chantillons appari\u00e9s, l’analyste doit imp\u00e9rativement d\u00e9laisser le test U de Mann-Whitney au profit du test des rangs sign\u00e9s de Wilcoxon pour s\u00e9ries appari\u00e9es, ou recourir \u00e0 des mod\u00e8les mixtes non param\u00e9triques plus \u00e9labor\u00e9s.<\/p>\n

2.3 Forme des distributions et interpr\u00e9tation des m\u00e9dianes<\/h3>\n

Une confusion \u00e9pist\u00e9mologique et m\u00e9thodologique extr\u00eamement r\u00e9pandue dans la litt\u00e9rature empirique consiste \u00e0 affirmer unilat\u00e9ralement que \u00ab le test de Mann-Whitney est un test de comparaison des m\u00e9dianes \u00bb. Cette all\u00e9gation n’est math\u00e9matiquement exacte que sous une condition distributionnelle particuli\u00e8rement restrictive, connue sous le nom de postulat de d\u00e9calage de localisation (location-shift assumption<\/em>).<\/p>\n

Selon ce postulat, les distributions des deux populations m\u00e8res poss\u00e8dent des fonctions de densit\u00e9 de probabilit\u00e9 qui partagent exactement la m\u00eame forme g\u00e9om\u00e9trique, la m\u00eame variance, la m\u00eame asym\u00e9trie et le m\u00eame aplatissement, \u00e0 une constante de translation spatiale pr\u00e8s. Formellement, cela s’exprime par la relation :<\/p>\n

$$F_1(x) = F_2(x – \\theta)$$<\/span><\/p>\n

o\u00f9 $\\theta$<\/span> repr\u00e9sente le param\u00e8tre de d\u00e9calage de localisation. Lorsque cette hypoth\u00e8se d’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 morphologique est satisfaite, le test U de Mann-Whitney devient effectivement un test parfait de l’hypoth\u00e8se nulle $\\theta = 0$<\/span>, ce qui \u00e9quivaut rigoureusement \u00e0 tester l’\u00e9galit\u00e9 des m\u00e9dianes des deux populations ($Med_1 = Med_2$<\/span>). Dans cette configuration sp\u00e9cifique, rejeter $H_0$<\/span> autorise le chercheur \u00e0 conclure que la m\u00e9diane d’un groupe est significativement plus \u00e9lev\u00e9e que celle de l’autre.<\/p>\n

En revanche, lorsque les distributions pr\u00e9sentent des morphologies manifestement discordantes \u2014 par exemple, une distribution bimodale oppos\u00e9e \u00e0 une distribution unimodale asym\u00e9trique, ou des variances h\u00e9t\u00e9rog\u00e8nes \u2014, le test ne teste plus les m\u00e9dianes. Il \u00e9value alors la dominance stochastique pure. Il est tout \u00e0 fait possible que deux populations poss\u00e8dent rigoureusement la m\u00eame m\u00e9diane num\u00e9rique tout en produisant un r\u00e9sultat hautement significatif au test de Mann-Whitney ($p < 0,001$<\/span>) si l'une des distributions pr\u00e9sente une dispersion asym\u00e9trique syst\u00e9matiquement d\u00e9cal\u00e9e par rapport \u00e0 l'autre. Les chercheurs doivent donc inspecter imp\u00e9rativement la dispersion et la forme des distributions avant de formuler leurs conclusions en termes de comparaison de m\u00e9dianes.<\/p>\n

3. Comparaison m\u00e9thodologique : Test U de Mann-Whitney versus Test t de Student<\/h2>\n

3.1 Sensibilit\u00e9 aux violations de normalit\u00e9 et petits \u00e9chantillons<\/h3>\n

Le test t<\/em> de Student \u00e0 deux \u00e9chantillons repose sur l’hypoth\u00e8se fondamentale que la variable d’int\u00e9r\u00eat suit une distribution gaussienne au sein de chaque sous-population d’origine. Si le th\u00e9or\u00e8me central limite garantit une robustesse asymptotique appr\u00e9ciable au test t<\/em> lorsque les effectifs deviennent consid\u00e9rables ($n > 100$<\/span>), sa performance s’effondre de mani\u00e8re dramatique en pr\u00e9sence d’\u00e9chantillons de petite taille ($n < 30$<\/span>) confront\u00e9s \u00e0 de s\u00e9v\u00e8res \u00e9carts de normalit\u00e9.<\/p>\n

Sous l’influence d’une forte asym\u00e9trie (skewness marqu\u00e9e) combin\u00e9e \u00e0 de faibles effectifs, la distribution d’\u00e9chantillonnage de la statistique t<\/em> cesse de se conformer \u00e0 la loi de Student th\u00e9orique. Il en r\u00e9sulte un d\u00e9r\u00e8glement complet du taux d’erreur de type I effectif, qui s’\u00e9carte substantiellement du seuil nominal conventionnel $\\alpha = 0,05$<\/span>. Le chercheur s’expose alors soit \u00e0 une perte dramatique de puissance statistique (incapacit\u00e9 \u00e0 d\u00e9tecter un effet exp\u00e9rimental r\u00e9el), soit \u00e0 une lib\u00e9ralit\u00e9 inacceptable du test g\u00e9n\u00e9rant de faux positifs.<\/p>\n

\u00c0 l’oppos\u00e9, la statistique bas\u00e9e sur les rangs du test de Mann-Whitney conserve un contr\u00f4le exact et invariant de l’erreur de type I, quelle que soit la nature de la distribution continue sous-jacente. Face \u00e0 des queues de distribution lourdes (leptokurtiques), la probabilit\u00e9 assign\u00e9e \u00e0 l’ordonnancement combinatoire des rangs demeure parfaitement calibr\u00e9e. Ainsi, la stabilit\u00e9 des inf\u00e9rences statistiques issues de Mann-Whitney surpasse syst\u00e9matiquement celle du test de Student d\u00e8s lors que les donn\u00e9es s’\u00e9cartent du paradigme gaussien id\u00e9alis\u00e9.<\/p>\n

3.2 Efficacit\u00e9 asymptotique relative (ARE)<\/h3>\n

Une pr\u00e9occupation r\u00e9currente chez les statisticiens appliqu\u00e9s concerne le \u00ab co\u00fbt th\u00e9orique \u00bb associ\u00e9 \u00e0 l’abandon du cadre param\u00e9trique lorsque les postulats de ce dernier sont pourtant satisfaits. Ce co\u00fbt est formellement quantifi\u00e9 par le concept d’efficacit\u00e9 asymptotique relative (ARE, pour Asymptotic Relative Efficiency)<\/a> de Pitman. L’ARE mesure le ratio des tailles d’\u00e9chantillon requises par deux tests concurrents pour atteindre une puissance statistique strictement \u00e9quivalente face \u00e0 une alternative locale donn\u00e9e, lorsque la taille de l’\u00e9chantillon tend vers l’infini.<\/p>\n

Dans le pire sc\u00e9nario envisageable pour le test non param\u00e9trique \u2014 c’est-\u00e0-dire lorsque la population suit rigoureusement et parfaitement une distribution normale id\u00e9ale \u2014, l’efficacit\u00e9 asymptotique relative du test de Mann-Whitney par rapport au test t<\/em> de Student s’\u00e9tablit exactement \u00e0 :<\/p>\n

$$ARE = \\frac{3}{\\pi} \\approx 0,955$$<\/span><\/p>\n

Cette valeur remarquable d\u00e9montre que, sous les conditions optimales du test t<\/em>, le test de Mann-Whitney ne conc\u00e8de qu’une perte de puissance statistique d\u00e9risoire de 4,5 %. Il suffirait th\u00e9oriquement de 100 observations sous Mann-Whitney pour \u00e9galer la puissance fournie par 95 ou 96 observations sous le test t<\/em>.<\/p>\n

Cependant, d\u00e8s que la distribution r\u00e9elle d\u00e9vie de la normalit\u00e9, l’avantage s’inverse de mani\u00e8re spectaculaire. Pour des distributions mod\u00e9r\u00e9ment asym\u00e9triques ou \u00e0 queue lourde (comme la distribution log-normale ou la distribution de Laplace), l’ARE de Mann-Whitney d\u00e9passe fr\u00e9quemment 1,00, atteignant des valeurs de 1,15 \u00e0 1,50. Dans le cas extr\u00eame de distributions pathologiques \u00e0 queues tr\u00e8s \u00e9paisses, telles que la loi de Cauchy, l’ARE de Mann-Whitney par rapport au test t<\/em> tend vers l’infini, le test t<\/em> devenant asymptotiquement incapable de converger en raison de la non-existence math\u00e9matique des moments d’ordre sup\u00e9rieur. Le compromis m\u00e9thodologique plaide donc massivement en faveur de la parcimonie et de la s\u00e9curit\u00e9 offertes par l’approche non param\u00e9trique.<\/p>\n

3.3 Traitement des valeurs aberrantes (outliers)<\/h3>\n

L’un des talons d’Achille majeurs de l’inf\u00e9rence param\u00e9trique classique r\u00e9side dans l’extr\u00eame vuln\u00e9rabilit\u00e9 des estimateurs de moments face aux observations discordantes ou aberrantes. La moyenne arithm\u00e9tique poss\u00e8de un point de rupture (breakdown point<\/em>) asymptotique \u00e9gal \u00e0 $0$, signifiant qu’une unique valeur arbitrairement \u00e9lev\u00e9e ou corrompue suffit \u00e0 d\u00e9porter la moyenne de l’\u00e9chantillon vers l’infini. De surcro\u00eet, la variance combin\u00e9e \u00e9tant calcul\u00e9e \u00e0 partir de la somme des carr\u00e9s des \u00e9carts \u00e0 la moyenne, une valeur aberrante gonfle le d\u00e9nominateur de la statistique t<\/em> de fa\u00e7on quadratique, \u00e9crasant litt\u00e9ralement la valeur de t<\/em> et masquant des effets r\u00e9els hautement significatifs.<\/p>\n

Le test U de Mann-Whitney r\u00e9sout cette aporie de mani\u00e8re structurelle gr\u00e2ce au m\u00e9canisme d’assignation des rangs. Lorsqu’un jeu de donn\u00e9es contenant une valeur aberrante colossale est transform\u00e9 en rangs, cette observation extr\u00eame re\u00e7oit simplement le rang maximal ($N$<\/span>). Qu’elle exc\u00e8de le reste de l’\u00e9chantillon de 5 unit\u00e9s ou de 5 millions d’unit\u00e9s, son poids math\u00e9matique dans la statistique du test reste rigoureusement plafonn\u00e9 \u00e0 la valeur de son rang relatif.<\/p>\n

Cette propri\u00e9t\u00e9 conf\u00e8re au test U de Mann-Whitney une fonction de troncature naturelle et non destructive. Contrairement aux pratiques contestables de \u00ab nettoyage de donn\u00e9es \u00bb \u2014 qui consistent \u00e0 \u00e9laguer arbitrairement les observations situ\u00e9es au-del\u00e0 de 2 ou 3 \u00e9carts-types \u2014, le test non param\u00e9trique int\u00e8gre l’ensemble du mat\u00e9riel empirique collect\u00e9. La validit\u00e9 interne du protocole est ainsi pr\u00e9serv\u00e9e, tout en prot\u00e9geant l’exp\u00e9rimentateur contre les artefacts de mesure.<\/p>\n

4. Pr\u00e9paration et structuration des donn\u00e9es pour l’analyse sous SAS<\/h2>\n

4.1 Architecture et formatage requis du jeu de donn\u00e9es<\/h3>\n

Pour ex\u00e9cuter un test non param\u00e9trique sous l’environnement SAS, la structuration relationnelle des tables de donn\u00e9es ob\u00e9it \u00e0 des conventions d’architecture strictes. La quasi-totalit\u00e9 des proc\u00e9dures analytiques de SAS, y compris PROC NPAR1WAY<\/code>, exigent une disposition des donn\u00e9es dite en format \u00ab long \u00bb (ou vertical), par opposition au format \u00ab large \u00bb (ou horizontal).<\/p>\n

Dans un format long, chaque ligne de la table SAS repr\u00e9sente une unit\u00e9 exp\u00e9rimentale unique (une observation individuelle). La structure tabulaire minimale requiert imp\u00e9rativement deux colonnes :<\/p>\n