Dans le domaine de l’analyse quantitative et de la mod\u00e9lisation statistique, la synth\u00e8se rigoureuse de distributions empiriques constitue une \u00e9tape fondamentale pr\u00e9alable \u00e0 toute inf\u00e9rence ou mod\u00e9lisation pr\u00e9dictive. Si la tendance centrale d’un ensemble d’observations est couramment r\u00e9sum\u00e9e par la moyenne arithm\u00e9tique ou la m\u00e9diane, l’\u00e9valuation de la dispersion demeure le v\u00e9ritable r\u00e9v\u00e9lateur de la structure sous-jacente des donn\u00e9es. Une mesure de tendance centrale isol\u00e9e de sa variabilit\u00e9 s’av\u00e8re non seulement incompl\u00e8te, mais fr\u00e9quemment trompeuse, en masquant l’h\u00e9t\u00e9rog\u00e9n\u00e9it\u00e9 des sujets, l’instabilit\u00e9 d’un ph\u00e9nom\u00e8ne ou la pr\u00e9sence de sous-structures au sein d’un \u00e9chantillon.<\/p>\n
Historiquement domin\u00e9e par des m\u00e9triques param\u00e9triques classiques telles que la variance et l’\u00e9cart-type, la statistique descriptive contemporaine accorde une place pr\u00e9pond\u00e9rante aux estimateurs robustes. Parmi ces m\u00e9triques non param\u00e9triques, l’\u00e9cart interquartile<\/strong> (souvent abr\u00e9g\u00e9 IQR<\/em> pour Interquartile Range<\/em>) s’impose comme l’outil d’\u00e9valuation de la dispersion le plus stable, intelligible et r\u00e9sistant aux perturbations distributionnelles. Con\u00e7u pour quantifier l’\u00e9talement du c\u0153ur d’une distribution sans subir l’influence d\u00e9stabilisatrice des valeurs extr\u00eames ou aberrantes, l’\u00e9cart interquartile fournit un ancrage analytique indispensable aux chercheurs, psychom\u00e8tres, biostatisticiens et analystes de donn\u00e9es.<\/p>\n Ce trait\u00e9 exhaustif explore en profondeur les fondements th\u00e9oriques, les m\u00e9thodologies de calcul, les applications diagnostiques et les modalit\u00e9s d’interpr\u00e9tation de l’\u00e9cart interquartile. \u00c0 travers une analyse comparative rigoureuse avec les autres mesures de variabilit\u00e9, l’\u00e9tude d\u00e9taill\u00e9e de son utilisation pour la d\u00e9tection d’observations atypiques, l’examen de ses repr\u00e9sentations graphiques et l’exposition de trois cas d’application concrets en psychologie clinique, en neurosciences cognitives et en sciences organisationnelles, ce guide offre une r\u00e9f\u00e9rence compl\u00e8te pour ma\u00eetriser l’interpr\u00e9tation statistique des 50 % centraux de n’importe quel jeu de donn\u00e9es.<\/p>\n L’\u00e9cart interquartile<\/strong> est une mesure statistique de dispersion non param\u00e9trique d\u00e9finie formellement comme la diff\u00e9rence absolue entre le troisi\u00e8me quartile ($Q_3$<\/span> ou 75e percentile) et le premier quartile ($Q_1$<\/span> ou 25e percentile) d’une distribution ordonn\u00e9e. Sur le plan conceptuel, cette m\u00e9trique d\u00e9limite la largeur de l’intervalle au sein duquel se concentrent exactement les 50 % m\u00e9dians des observations collect\u00e9es. Contrairement aux estimateurs gaussiens fond\u00e9s sur les moments d’ordre deux, l’\u00e9cart interquartile ne d\u00e9pend pas des valeurs num\u00e9riques directes prises par les extr\u00e9mit\u00e9s de la s\u00e9rie, mais uniquement de la position relative des points de coupure qui segmentent la population \u00e9tudi\u00e9e.<\/p>\n L’\u00e9mergence de l’\u00e9cart interquartile en tant qu’instrument privil\u00e9gi\u00e9 de la statistique descriptive moderne trouve son origine dans les travaux s\u00e9minaux de John Wilder Tukey<\/a> sur l’analyse exploratoire des donn\u00e9es (Exploratory Data Analysis<\/em> ou EDA) dans les ann\u00e9es 1970. Tukey cherchait \u00e0 affranchir les analystes du postulat dogmatique de normalit\u00e9 qui caract\u00e9risait la statistique inf\u00e9rentielle classique. En introduisant des outils fond\u00e9s sur l’ordre de grandeur et le rang plut\u00f4t que sur la somme des carr\u00e9s des \u00e9carts, Tukey a mis en lumi\u00e8re la capacit\u00e9 de l’\u00e9cart interquartile \u00e0 d\u00e9crire fid\u00e8lement le noyau central d’une distribution, qu’elle soit sym\u00e9trique, fortement asym\u00e9trique, tronqu\u00e9e ou contamin\u00e9e par des erreurs de mesure exp\u00e9rimentales.<\/p>\n Dans la pratique de la recherche empirique, la port\u00e9e de l’\u00e9cart interquartile s’exprime avec une acuit\u00e9 particuli\u00e8re face aux distributions asym\u00e9triques (dites skewed distributions<\/em>). Dans de telles configurations, la moyenne arithm\u00e9tique subit une traction m\u00e9canique vers la queue de distribution \u00e9tir\u00e9e, et l’\u00e9cart-type s’accro\u00eet artificiellement sous l’effet de ces valeurs distantes. L’\u00e9cart interquartile, en neutralisant les 25 % des observations les plus basses et les 25 % des observations les plus hautes, offre une estimation non biais\u00e9e du degr\u00e9 de resserrement ou d’\u00e9parpillement des sujets typiques, garantissant ainsi une interpr\u00e9tation exempte d’art\u00e9facts math\u00e9matiques.<\/p>\n L’investigation scientifique ne saurait se limiter \u00e0 la d\u00e9termination du niveau moyen ou m\u00e9dian d’une variable. Deux populations exp\u00e9rimentales peuvent pr\u00e9senter rigoureusement la m\u00eame tendance centrale tout en traduisant des r\u00e9alit\u00e9s empiriques radicalement divergentes en raison de leur dispersion interne. Par exemple, si deux groupes de patients atteints de d\u00e9pression majeure affichent un score m\u00e9dian identique \u00e0 une \u00e9chelle d’\u00e9valuation clinique, mais que le premier groupe pr\u00e9sente un \u00e9cart interquartile deux fois sup\u00e9rieur \u00e0 celui du second, l’interpr\u00e9tation diagnostique et pronostique doit \u00eatre substantiellement modul\u00e9e. Le premier groupe t\u00e9moigne d’une grande h\u00e9t\u00e9rog\u00e9n\u00e9it\u00e9 dans la s\u00e9v\u00e9rit\u00e9 symptomatique ou dans la r\u00e9ponse au traitement, tandis que le second refl\u00e8te une cohorte clinique hautement homog\u00e8ne.<\/p>\n La distinction entre la variabilit\u00e9 globale d’un ensemble de donn\u00e9es et la variabilit\u00e9 circonscrite \u00e0 sa zone m\u00e9diane constitue un enjeu m\u00e9thodologique majeur. L’analyse de la variabilit\u00e9 globale englobe l’int\u00e9gralit\u00e9 des sources de variation, incluant les fluctuations al\u00e9atoires d’\u00e9chantillonnage, la diversit\u00e9 interindividuelle extr\u00eame et les \u00e9ventuels bruits instrumentaux. \u00c0 l’inverse, l’analyse de la variabilit\u00e9 de la zone m\u00e9diane, captur\u00e9e par l’\u00e9cart interquartile, cible sp\u00e9cifiquement la dynamique comportementale ou biologique du segment majoritaire et stable de l’\u00e9chantillon. Cette approche permet de caract\u00e9riser le comportement standard d’un syst\u00e8me complexe sans que les cas exceptionnels ne viennent fausser la lecture des tendances dominantes.<\/p>\n Dans le domaine de la psychom\u00e9trie et des sciences humaines, l’\u00e9valuation de la dispersion via l’\u00e9cart interquartile conditionne directement l’\u00e9valuation de la fid\u00e9lit\u00e9 des instruments de mesure et la pertinence des \u00e9talonnages normatifs. Lorsqu’un chercheur standardise un test d’aptitude cognitive ou un questionnaire de personnalit\u00e9, la connaissance pr\u00e9cise de l’\u00e9cart interquartile permet d’\u00e9tablir des intervalles de confiance robustes pour les rangs percentiles et d’identifier avec exactitude les limites au-del\u00e0 desquelles un score individuel doit \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme significativement atypique ou pathologique.<\/p>\n Pour appr\u00e9hender l’architecture fonctionnelle de l’\u00e9cart interquartile, il convient de formaliser la notion de quartile au sens large. Les quartiles constituent une partition ordinale sp\u00e9cifique de la distribution empirique. Lorsque les donn\u00e9es d’un \u00e9chantillon sont tri\u00e9es par ordre strictement croissant, trois points de coupure distincts, not\u00e9s respectivement $Q_1$<\/span>, $Q_2$<\/span> et $Q_3$<\/span>, subdivisent l’effectif total en quatre sous-ensembles ou segments \u00e9quipotents, chacun repr\u00e9sentant exactement 25 % du volume global des observations :<\/p>\n Cette structure conf\u00e8re aux quartiles et \u00e0 leur diff\u00e9rence une propri\u00e9t\u00e9 math\u00e9matique remarquable : l’invariance face aux transformations strictement monotones. Si l’on applique une transformation continue non lin\u00e9aire croissante (comme une fonction logarithmique ou une racine carr\u00e9e) \u00e0 l’ensemble d’un jeu de donn\u00e9es, les quartiles de la distribution transform\u00e9e correspondent exactement aux valeurs transform\u00e9es des quartiles d’origine. Cette robustesse ordinale garantit que la hi\u00e9rarchie des observations et la structuration en proportions relatives demeurent parfaitement pr\u00e9serv\u00e9es, ce qui n’est nullement le cas pour des m\u00e9triques fond\u00e9es sur la moyenne et la variance.<\/p>\n L’expression math\u00e9matique de l’\u00e9cart interquartile repose sur une d\u00e9finition algorithmique d’une apparente simplicit\u00e9, formalis\u00e9e par l’\u00e9quation lin\u00e9aire directe :<\/p>\n $$IQR = Q_3 – Q_1$$<\/span><\/p>\n Bien que cette op\u00e9ration arithm\u00e9tique consiste en une simple soustraction scalaire, sa signification th\u00e9orique est fondamentale : elle quantifie la distance absolue, exprim\u00e9e dans l’unit\u00e9 de mesure d’origine des donn\u00e9es (par exemple en millisecondes, en points de score psychom\u00e9trique, en milligrammes par d\u00e9cilitre ou en euros), n\u00e9cessaire pour balayer l’ensemble de la moiti\u00e9 centrale des individus observ\u00e9s. Si une variable clinique relative \u00e0 la pression art\u00e9rielle systolique pr\u00e9sente un $Q_1$<\/span> de 115 mmHg et un $Q_3$<\/span> de 135 mmHg, l’\u00e9cart interquartile s’\u00e9tablit \u00e0 $135 – 115 = 20\\text{ mmHg}$<\/span>. Ce r\u00e9sultat brut signifie sans ambigu\u00eft\u00e9 que la moiti\u00e9 centrale de la cohorte \u00e9valu\u00e9e est comprise dans un intervalle d’une amplitude stricte de 20 mmHg.<\/p>\n L’interpr\u00e9tation de la valeur num\u00e9rique de l’IQR requiert syst\u00e9matiquement de la rapporter \u00e0 l’\u00e9chelle de mesure originale. Contrairement \u00e0 des coefficients de dispersion adimensionnels (comme le coefficient de variation de Pearson), l’\u00e9cart interquartile conserve la dimensionnalit\u00e9 physique ou psychom\u00e9trique du ph\u00e9nom\u00e8ne sous observation. Cette propri\u00e9t\u00e9 assure une interpr\u00e9tabilit\u00e9 clinique et op\u00e9rationnelle imm\u00e9diate : le praticien ou l’exp\u00e9rimentateur peut projeter directement la valeur de l’IQR sur le continuum de la variable pour juger si l’amplitude observ\u00e9e correspond \u00e0 une fluctuation n\u00e9gligeable, mod\u00e9r\u00e9e ou critique dans le contexte scientifique consid\u00e9r\u00e9.<\/p>\n Si la formule $IQR = Q_3 – Q_1$<\/span> ne souffre d’aucune ambigu\u00eft\u00e9 th\u00e9orique, la d\u00e9termination concr\u00e8te des valeurs de $Q_1$<\/span> et $Q_3$<\/span> sur un \u00e9chantillon discret de taille finie $N$<\/span> fait l’objet de plusieurs conventions algorithmiques concurrentes au sein de la litt\u00e9rature statistique et des logiciels d’analyse de donn\u00e9es. La divergence principale repose sur le traitement de la m\u00e9diane ($Q_2$<\/span>) lors de la scission de l’\u00e9chantillon en deux moiti\u00e9s et sur le mode d’interpolation continue appliqu\u00e9 aux rangs fractionnaires.<\/p>\n On distingue traditionnellement deux grandes approches m\u00e9thodologiques pour le calcul discret :<\/p>\n Sur le plan computationnel, l’article fondamental de Hyndman et Fan (1996)<\/a> a catalogu\u00e9 neuf algorithmes distincts d’estimation des quantiles continus, d\u00e9sign\u00e9s sous les types 1 \u00e0 9. Le standard le plus universellement impl\u00e9ment\u00e9 par d\u00e9faut dans les environnements de calcul contemporains (incluant les fonctions de base du langage R<\/em>, les modules descriptifs du logiciel SPSS<\/em> et la biblioth\u00e8que Python NumPy<\/em> avec le param\u00e8tre d’interpolation lin\u00e9aire) correspond au Type 7<\/strong>. Dans cette formule, le rang th\u00e9orique $r$<\/span> du percentile $p$<\/span> (o\u00f9 $p in [0, 1]$<\/span>) pour un \u00e9chantillon ordonn\u00e9 $x_{(1)} le x_{(2)} le dots le x_{(N)}$<\/span> est donn\u00e9 par :<\/p>\n $$r = 1 + (N – 1)p$$<\/span><\/p>\n Si la valeur de $r$<\/span> n’est pas un nombre entier mais comporte une partie fractionnaire not\u00e9e $f = r – lfloor r rfloor$<\/span>, la valeur du quartile correspondant est estim\u00e9e par interpolation lin\u00e9aire entre les observations de rangs entiers adjacents :<\/p>\n $$Q(p) = (1 – f) \\cdot x_{(\\lfloor r \\rfloor)} + f \\cdot x_{(\\lfloor r \\rfloor + 1)}$$<\/span><\/p>\n Cette approche par interpolation assure une continuit\u00e9 analytique rigoureuse, pr\u00e9venant les discontinuit\u00e9s artificielles qui r\u00e9sulteraient d’un simple arrondi aux entiers les plus proches.<\/p>\n Afin de mat\u00e9rialiser l’articulation de ces principes math\u00e9matiques, examinons la proc\u00e9dure d’extraction pas \u00e0 pas de l’\u00e9cart interquartile sur un jeu de donn\u00e9es g\u00e9n\u00e9rique constitu\u00e9 de 15 observations brutes recueillies dans le cadre d’un test d’efficience motrice :<\/p>\n $$\\text{Donn\u00e9es brutes : } [28, 14, 45, 19, 32, 24, 18, 52, 38, 22, 16, 41, 30, 26, 35]$$<\/span><\/p>\n \u00c9tape 1 : Ordonnancement strict de la s\u00e9rie statistique<\/strong> $$x_{(1)}=14, x_{(2)}=16, x_{(3)}=18, x_{(4)}=19, x_{(5)}=22, x_{(6)}=24, x_{(7)}=26, x_{(8)}=28,$$<\/span> \u00c9tape 2 : D\u00e9termination de la m\u00e9diane ($Q_2$<\/span>)<\/strong> \u00c9tape 3 : Calcul de $Q_1$<\/span> et $Q_3$<\/span> par la m\u00e9thode standard de Type 7<\/strong> Proc\u00e9dons de mani\u00e8re analogue pour le troisi\u00e8me quartile $Q_3$<\/span> ($p = 0,75$<\/span>) : \u00c9tape 4 : D\u00e9duction de l’\u00e9cart interquartile<\/strong> L’analyse d\u00e9montre que l’\u00e9tendue du bloc central contenant 50 % des participants \u00e0 ce protocole psychomoteur est de 16,0 unit\u00e9s, centr\u00e9 autour d’une m\u00e9diane de 28 unit\u00e9s.<\/p>\n L’interpr\u00e9tation s\u00e9mantique de l’\u00e9cart interquartile repose sur une analyse directe de l’amplitude de la plage m\u00e9diane. L’observation d’un IQR particuli\u00e8rement faible<\/strong> au regard de l’\u00e9chelle globale de la variable signale une concentration massive des observations autour de la m\u00e9diane. Sur le plan empirique, cela d\u00e9note une forte homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 centrale au sein de la population : la majorit\u00e9 des individus manifestent des caract\u00e9ristiques, des comportements ou des performances extr\u00eamement proches les uns des autres. Dans un tel contexte, la valeur de la m\u00e9diane poss\u00e8de une repr\u00e9sentativit\u00e9 descriptive tr\u00e8s \u00e9lev\u00e9e, car elle r\u00e9sume fid\u00e8lement un consensus comportemental ou biologique r\u00e9el au sein de la cohorte.<\/p>\n \u00c0 l’oppos\u00e9, un IQR \u00e9lev\u00e9<\/strong> met en \u00e9vidence une dispersion substantielle de la moiti\u00e9 m\u00e9diane des donn\u00e9es, traduisant une h\u00e9t\u00e9rog\u00e9n\u00e9it\u00e9 marqu\u00e9e entre les individus consid\u00e9r\u00e9s comme typiques. M\u00eame en ayant \u00e9cart\u00e9 les 25 % des valeurs les plus basses et les 25 % des valeurs les plus hautes, les sujets du noyau central divergent consid\u00e9rablement entre eux. Dans cette situation, la m\u00e9diane ne doit pas \u00eatre interpr\u00e9t\u00e9e comme un point d’\u00e9quilibre dense, mais plut\u00f4t comme un point de rep\u00e8re ordinal au milieu d’un spectre de r\u00e9ponses \u00e9tal\u00e9. L’analyste doit alors suspecter l’existence de facteurs de confusion sous-jacents, de sous-groupes non stratifi\u00e9s ou d’une variabilit\u00e9 intrins\u00e8que majeure du ph\u00e9nom\u00e8ne investigu\u00e9.<\/p>\n Pour illustrer ce contraste, consid\u00e9rons deux programmes d’entra\u00eenement cognitif \u00e9valu\u00e9s sur la progression des scores de m\u00e9moire de travail. Si le programme A produit un gain m\u00e9dian de 12 points avec un IQR de 2 points, et le programme B un gain m\u00e9dian identique de 12 points avec un IQR de 10 points, l’\u00e9valuation op\u00e9rationnelle des deux interventions diff\u00e8re radicalement. Le programme A g\u00e9n\u00e8re un effet hautement pr\u00e9visible et reproductible sur la quasi-totalit\u00e9 des apprenants centraux, tandis que le programme B induit une r\u00e9ponse fortement contrast\u00e9e, certains sujets centraux progressant modestement (par exemple de 7 points) tandis que d’autres progressent massivement (par exemple de 17 points).<\/p>\n L’interpr\u00e9tation de l’\u00e9cart interquartile gagne une profondeur analytique consid\u00e9rable lorsqu’elle est mise en perspective avec l’\u00e9tendue totale<\/strong> ($\u00c9tendue = Max – Min$<\/span>) de la distribution. Le ratio form\u00e9 par l’\u00e9cart interquartile et l’\u00e9tendue totale ($\\frac{IQR}{\u00c9tendue}$<\/span>) constitue un indice informel particuli\u00e8rement puissant pour \u00e9valuer le tassement des donn\u00e9es et la structure de densit\u00e9 de l’\u00e9chantillon.<\/p>\n Dans une distribution parfaitement uniforme o\u00f9 les observations sont r\u00e9parties \u00e0 intervalles strictement \u00e9quidistants sur l’ensemble de l’intervalle $[Min, Max]$<\/span>, l’\u00e9cart interquartile occupe exactement 50 % de l’\u00e9tendue totale, soit un ratio th\u00e9orique de $\\frac{IQR}{\u00c9tendue} = 0,50$<\/span>. Lorsque ce ratio devient significativement inf\u00e9rieur \u00e0 0,50 (par exemple un ratio de 0,20 ou 0,15), cela indique une concentration leptokurtique des valeurs autour de la zone m\u00e9diane, associ\u00e9e \u00e0 des queues de distribution tr\u00e8s \u00e9tendues ou \u00e0 la pr\u00e9sence de points extr\u00eames distants. \u00c0 l’inverse, un ratio qui s’approche de 0,50 ou qui le d\u00e9passe dans des cas d’\u00e9chantillons tronqu\u00e9s signale une absence de pic central et une dispersion \u00e9quilibr\u00e9e sur l’ensemble du domaine de variation.<\/p>\n Cette mise en relation permet \u00e9galement d’appr\u00e9cier la densit\u00e9 relative des observations centrales. Si une cohorte de salari\u00e9s pr\u00e9sente une \u00e9tendue d’anciennet\u00e9 s’\u00e9talant de 1 an \u00e0 40 ans ($\u00c9tendue = 39\\text{ ans}$<\/span>) mais que son IQR n’est que de 4 ans (par exemple de 5 \u00e0 9 ans d’anciennet\u00e9 pour $Q_1$<\/span> et $Q_3$<\/span>), l’analyste conclut imm\u00e9diatement que l’organisation est massivement structur\u00e9e autour d’un socle d’employ\u00e9s r\u00e9cents, l’\u00e9tendue globale \u00e9tant tir\u00e9e vers le haut par une infime minorit\u00e9 de cadres historiques.<\/p>\n La robustesse th\u00e9orique de l’\u00e9cart interquartile ne dispense pas le chercheur d’une vigilance m\u00e9thodologique quant \u00e0 la taille de l’\u00e9chantillon ($N$<\/span>). Sur des \u00e9chantillons de tr\u00e8s faible effectif ($N < 15$), typiques de certaines \u00e9tudes pilotes ou d'exp\u00e9rimentations biom\u00e9dicales hautement invasives, l'estimation des quantiles est intrins\u00e8quement sensible aux erreurs d'\u00e9chantillonnage discret. L'ajout ou le retrait d'une seule observation peut modifier substantiellement les rangs th\u00e9oriques et induire des fluctuations notables de la valeur calcul\u00e9e de l'IQR.<\/p>\n Toutefois, d\u00e8s que la taille de l’\u00e9chantillon atteint des niveaux mod\u00e9r\u00e9s ($N ge 30$<\/span>) et a fortiori dans les grands \u00e9chantillons \u00e9pid\u00e9miologiques ($N ge 100$<\/span>), l’\u00e9cart interquartile manifeste une convergence asymptotique<\/strong> remarquable. La variance d’\u00e9chantillonnage des quantiles est inversement proportionnelle \u00e0 la densit\u00e9 de la distribution au point consid\u00e9r\u00e9. Puisque $Q_1$<\/span> et $Q_3$<\/span> sont situ\u00e9s dans des zones de densit\u00e9 g\u00e9n\u00e9ralement plus \u00e9lev\u00e9e que les percentiles extr\u00eames (tels que le 1er ou le 99e percentile), l’estimateur de l’IQR fait preuve d’une stabilit\u00e9 d’\u00e9chantillonnage nettement sup\u00e9rieure \u00e0 celle des bornes d’intervalles empiriques larges.<\/p>\n Il est donc essentiel, lors de la r\u00e9daction de rapports scientifiques, d’associer syst\u00e9matiquement la taille de l’\u00e9chantillon \u00e0 la communication de l’IQR. Cette pr\u00e9caution permet aux pairs d’\u00e9valuer la pr\u00e9cision relative de la m\u00e9trique et d’\u00e9viter des surinterpr\u00e9tations de variations mineures de dispersion observ\u00e9es sur de petits groupes exp\u00e9rimentaux.<\/p>\n1. Introduction fondamentale \u00e0 l’\u00e9cart interquartile (IQR)<\/h2>\n
1.1 D\u00e9finition conceptuelle et port\u00e9e en statistique descriptive<\/h3>\n
1.2 Importance de la dispersion dans la recherche quantitative<\/h3>\n
1.3 Structure g\u00e9n\u00e9rale des quartiles au sein d’une distribution<\/h3>\n
\n
2. Fondements math\u00e9matiques et m\u00e9thodes de calcul des quartiles<\/h2>\n
2.1 La formule standard de l’\u00e9cart interquartile (IQR = Q3 – Q1)<\/h3>\n
2.2 M\u00e9thodes de calcul de Q1 et Q3 selon les conventions statistiques<\/h3>\n
\n
2.3 Calcul pas \u00e0 pas sur un jeu de donn\u00e9es g\u00e9n\u00e9rique<\/h3>\n
\nLa premi\u00e8re condition imp\u00e9rative consiste \u00e0 r\u00e9organiser l’ensemble des valeurs par ordre de magnitude croissant :<\/p>\n
\n$$x_{(9)}=30, x_{(10)}=32, x_{(11)}=35, x_{(12)}=38, x_{(13)}=41, x_{(14)}=45, x_{(15)}=52$$<\/span><\/p>\n
\nL’effectif total \u00e9tant $N = 15$<\/span> (taille impaire), le rang de la m\u00e9diane est calcul\u00e9 par $r_2 = (15 + 1) \/ 2 = 8$<\/span>. L’observation occupant le 8e rang est $x_{(8)} = 28$<\/span>. La m\u00e9diane s’\u00e9tablit donc formellement \u00e0 $Q_2 = 28$<\/span>.<\/p>\n
\nAppliquons l’algorithme d’interpolation lin\u00e9aire standard pour $Q_1$<\/span> ($p = 0,25$<\/span>) :
\n$$r_1 = 1 + (15 – 1) \\times 0,25 = 1 + 14 \\times 0,25 = 1 + 3,5 = 4,5$$<\/span>
\nLe rang obtenu comporte une partie enti\u00e8re $\\lfloor r_1 \\rfloor = 4$<\/span> et une fraction $f = 0,5$<\/span>. La valeur de $Q_1$<\/span> s’interpole entre la 4e et la 5e observation :
\n$$Q_1 = x_{(4)} + 0,5 \\times (x_{(5)} – x_{(4)}) = 19 + 0,5 \\times (22 – 19) = 19 + 1,5 = 20,5$$<\/span><\/p>\n
\n$$r_3 = 1 + (15 – 1) \\times 0,75 = 1 + 14 \\times 0,75 = 1 + 10,5 = 11,5$$<\/span>
\nLe rang $r_3 = 11,5$<\/span> impose une interpolation entre la 11e et la 12e observation :
\n$$Q_3 = x_{(11)} + 0,5 \\times (x_{(12)} – x_{(11)}) = 35 + 0,5 \\times (38 – 35) = 35 + 1,5 = 36,5$$<\/span><\/p>\n
\nLa soustraction finale donne :
\n$$IQR = Q_3 – Q_1 = 36,5 – 20,5 = 16,0$$<\/span><\/p>\n3. Interpr\u00e9tation statistique de la dispersion des 50 % centraux<\/h2>\n
3.1 Signification d’un IQR faible versus un IQR \u00e9lev\u00e9<\/h3>\n
3.2 Contextualisation de l’IQR par rapport \u00e0 l’\u00e9tendue des donn\u00e9es<\/h3>\n
3.3 Influence de la taille de l’\u00e9chantillon sur la stabilit\u00e9 de l’IQR<\/h3>\n
4. Comparaison critique de l’IQR avec d’autres mesures de dispersion<\/h2>\n
4.1 IQR versus \u00c9cart-type (Standard Deviation)<\/h3>\n