L’inf\u00e9rence statistique au sein des mod\u00e8les lin\u00e9aires repose sur un ensemble d’hypoth\u00e8ses fondamentales qui garantissent \u00e0 la fois la convergence, l’efficacit\u00e9 et la validit\u00e9 des estimateurs obtenus par la m\u00e9thode des moindres carr\u00e9s ordinaires. Parmi ces conditions, l’ind\u00e9pendance s\u00e9rielle des termes d’erreur occupe une place cardinale. Lorsque cette condition d’orthogonalit\u00e9 temporelle ou s\u00e9quentielle est compromise, l’ensemble de l’\u00e9difice inf\u00e9rentiel s’effondre : les erreurs-types calcul\u00e9es deviennent artificiellement \u00e9troites, les intervalles de confiance perdent leur couverture nominale et les tests d’hypoth\u00e8ses usuels affichent des taux de faux positifs alarmants. D\u00e8s lors, le diagnostic de l’autocorr\u00e9lation des r\u00e9sidus ne constitue pas une simple formalit\u00e9 technique, mais un imp\u00e9ratif m\u00e9thodologique incontournable pour tout chercheur ou praticien de la mod\u00e9lisation quantitative.<\/p>\n
Historiquement domin\u00e9 par le test classique de Durbin-Watson<\/a>, le champ de l’\u00e9conom\u00e9trie appliqu\u00e9e a longtemps souffert de limitations restrictives, notamment l’incapacit\u00e9 de ce dernier \u00e0 d\u00e9tecter des processus stochastiques d’ordre sup\u00e9rieur \u00e0 un ou \u00e0 traiter des mod\u00e8les incorporant des variables d\u00e9pendantes retard\u00e9es. Pour surmonter ces verrous analytiques, Trevor Breusch et Leslie Godfrey ont formalis\u00e9 une proc\u00e9dure diagnostique g\u00e9n\u00e9rale fond\u00e9e sur le principe du multiplicateur de Lagrange. Ce test, couramment d\u00e9sign\u00e9 sous le nom de test de Breusch-Godfrey, permet d’\u00e9valuer la pr\u00e9sence d’une corr\u00e9lation s\u00e9rielle jusqu’\u00e0 un ordre arbitraire arbitrairement choisi, tout en conservant ses propri\u00e9t\u00e9s asymptotiques m\u00eame en pr\u00e9sence d’endog\u00e9n\u00e9it\u00e9 dynamique partielle li\u00e9e aux r\u00e9gresseurs autor\u00e9gressifs.<\/p>\n L’av\u00e8nement de l’\u00e9cosyst\u00e8me de calcul scientifique Python, emmen\u00e9 par des biblioth\u00e8ques de haut niveau telles que Statsmodels<\/a>, a profond\u00e9ment d\u00e9mocratis\u00e9 la mise en \u0153uvre de ces v\u00e9rifications statistiques rigoureuses. Cet article propose un guide exhaustif et appliqu\u00e9 pour ma\u00eetriser le test de Breusch-Godfrey en Python. De la th\u00e9orie math\u00e9matique sous-jacente aux raffinements algorithmiques, en passant par l’interpr\u00e9tation empirique en sciences comportementales et la rem\u00e9diation par des estimateurs robustes, nous explorerons pas \u00e0 pas les dimensions m\u00e9thodologiques indispensables \u00e0 l’int\u00e9grit\u00e9 de vos r\u00e9gressions lin\u00e9aires.<\/p>\n Le mod\u00e8le classique de r\u00e9gression lin\u00e9aire multiple estim\u00e9 par les Moindres Carr\u00e9s Ordinaires (MCO)<\/a> repose sur les hypoth\u00e8ses structurelles de Gauss-Markov. Selon ce cadre fondamental, la relation entre une variable d\u00e9pendante continue et un ensemble de r\u00e9gresseurs d\u00e9terministes ou stochastiques s’exprime sous une forme matricielle o\u00f9 le terme d’erreur capture l’ensemble des variations non expliqu\u00e9es par la combinaison lin\u00e9aire des pr\u00e9dicteurs. Pour que les coefficients estim\u00e9s poss\u00e8dent la propri\u00e9t\u00e9 de meilleur estimateur lin\u00e9aire non biais\u00e9 (statut d\u00e9sign\u00e9 par l’acronyme anglais BLUE), la matrice de variance-covariance des perturbations stochastiques doit imp\u00e9rativement \u00eatre scalaire. Cela implique non seulement l’homosc\u00e9dasticit\u00e9, soit une variance constante des r\u00e9sidus pour toutes les observations, mais \u00e9galement la nullit\u00e9 stricte des covariances entre deux erreurs associ\u00e9es \u00e0 des observations distinctes.<\/p>\n Sur le plan formel, la condition de non-corr\u00e9lation des erreurs exige que pour toute paire d’indices temporels ou s\u00e9quentiels distincts not\u00e9s i<\/em> et j<\/em>, la covariance th\u00e9orique de leurs termes d’erreur respectifs soit exactement \u00e9gale \u00e0 z\u00e9ro. Lorsque les perturbations sont distribu\u00e9es selon une loi normale multivari\u00e9e, cette absence de covariance \u00e9quivaut \u00e0 une stricte ind\u00e9pendance stochastique. En pratique, cette propri\u00e9t\u00e9 signifie que l’information contenue dans la d\u00e9viation d’une observation par rapport au plan de r\u00e9gression n’apporte rigoureusement aucun pouvoir pr\u00e9dictif sur le sens ou l’amplitude de la d\u00e9viation de l’observation subs\u00e9quente. L’erreur statistique est alors assimilable \u00e0 un bruit blanc pur sans m\u00e9moire.<\/p>\n La violation de cette hypoth\u00e8se fondamentale engendre des cons\u00e9quences particuli\u00e8rement pernicieuses sur la validit\u00e9 interne du mod\u00e8le. Bien que l’estimateur des MCO conserve son esp\u00e9rance math\u00e9matique non biais\u00e9e en pr\u00e9sence d’autocorr\u00e9lation pure d\u00e8s lors que les r\u00e9gresseurs demeurent strictement exog\u00e8nes, il cesse d’\u00eatre \u00e0 variance minimale. Plus grave encore, la formule conventionnelle employ\u00e9e pour estimer la matrice de covariance des param\u00e8tres devient totalement erron\u00e9e. Elle tend syst\u00e9matiquement \u00e0 sous-estimer la dispersion r\u00e9elle des coefficients, ce qui comprime artificiellement les erreurs-types et gonfle de mani\u00e8re trompeuse les valeurs de la statistique de Student, induisant le mod\u00e9lisateur en erreur lors des tests de significativit\u00e9.<\/p>\n L’autocorr\u00e9lation des r\u00e9sidus, fr\u00e9quemment qualifi\u00e9e de d\u00e9pendance s\u00e9rielle, d\u00e9crit une configuration statistique au sein de laquelle les termes d’erreur successifs d’un mod\u00e8le manifestent une corr\u00e9lation syst\u00e9matique \u00e0 travers le temps ou l’espace. Si une erreur positive \u00e0 une p\u00e9riode donn\u00e9e augmente la probabilit\u00e9 que l’erreur de la p\u00e9riode suivante soit \u00e9galement positive, le ph\u00e9nom\u00e8ne est qualifi\u00e9 d’autocorr\u00e9lation positive, induisant une inertie et des trajectoires r\u00e9siduelles en vagues persistantes. Inversement, une alternance rapide de signes positifs et n\u00e9gatifs caract\u00e9rise une autocorr\u00e9lation n\u00e9gative, bien que cette derni\u00e8re soit consid\u00e9rablement moins fr\u00e9quente dans les donn\u00e9es empiriques r\u00e9elles.<\/p>\n Les m\u00e9canismes sous-tendant l’\u00e9mergence d’une telle d\u00e9pendance s\u00e9rielle sont multiples et d\u00e9coulent souvent d’une inad\u00e9quation entre le processus g\u00e9n\u00e9rateur de donn\u00e9es sous-jacent et la mod\u00e9lisation choisie. L’une des causes pr\u00e9pond\u00e9rantes r\u00e9side dans l’omission d’une ou plusieurs variables explicatives pertinentes qui poss\u00e8dent elles-m\u00eames une forte dynamique temporelle ou une m\u00e9moire interne. D\u00e8s lors que ces covariables omises sont rel\u00e9gu\u00e9es dans le terme d’erreur global du mod\u00e8le, leurs propres structures d’autocorr\u00e9lation viennent contaminer directement les r\u00e9sidus, conf\u00e9rant au bruit statistique une dynamique d\u00e9terministe sous-jacente.<\/p>\n Une autre source fr\u00e9quente r\u00e9side dans la mauvaise sp\u00e9cification fonctionnelle du mod\u00e8le statistique. L’ajustement d’une trajectoire strictement lin\u00e9aire sur un ph\u00e9nom\u00e8ne qui r\u00e9pond en r\u00e9alit\u00e9 \u00e0 une cin\u00e9tique quadratique, exponentielle ou logistique produit in\u00e9vitablement des regroupements syst\u00e9matiques de r\u00e9sidus de m\u00eame signe le long de la courbe ajust\u00e9e. De surcro\u00eet, le lissage artificiel des donn\u00e9es \u00e0 travers des moyennes mobiles pr\u00e9alables ou l’agr\u00e9gation d’indicateurs sur des \u00e9chelles temporelles disparates injecte une corr\u00e9lation fallacieuse au sein de la s\u00e9rie r\u00e9siduelle, violant de facto l’orthogonalit\u00e9 requise par l’\u00e9conom\u00e9trie classique.<\/p>\n Si l’\u00e9conom\u00e9trie et l’analyse macro\u00e9conomique ont historiquement constitu\u00e9 le berceau des tests d’autocorr\u00e9lation, la psychologie quantitative, les neurosciences cognitives et les sciences comportementales contemporaines sont aujourd’hui confront\u00e9es \u00e0 des d\u00e9fis m\u00e9thodologiques identiques. Le d\u00e9ploiement massif de protocoles d’\u00e9valuation \u00e9cologique momentan\u00e9e (Ecological Momentary Assessment<\/em> ou EMA) et d’\u00e9tudes longitudinales intensives soumet les participants \u00e0 des mesures r\u00e9p\u00e9t\u00e9es \u00e0 haute fr\u00e9quence, g\u00e9n\u00e9rant des jeux de donn\u00e9es denses o\u00f9 la dimension temporelle est pr\u00e9pond\u00e9rante.<\/p>\n Chez les sujets humains, les processus psychologiques ne se r\u00e9initialisent pas de mani\u00e8re discr\u00e8te et ind\u00e9pendante entre deux mesures cons\u00e9cutives. L’inertie \u00e9motionnelle, l’\u00e9puisement cognitif cumulatif, l’habituation sensorielle ou encore les fluctuations circadiennes de la vigilance cr\u00e9ent une continuit\u00e9 biologique et psychologique inh\u00e9rente au sujet. Par exemple, lors d’une t\u00e2che de temps de r\u00e9action mesur\u00e9e sur plusieurs centaines d’essais successifs, une baisse transitoire de concentration survenue \u00e0 l’instant t<\/em> \u00e9tend n\u00e9cessairement ses r\u00e9percussions sur l’essai t+1<\/em>, g\u00e9n\u00e9rant des blocs d’erreurs corr\u00e9l\u00e9es si le mod\u00e8le n’int\u00e8gre pas explicitement cette cin\u00e9tique de fatigue.<\/p>\n Dans le cadre de la mod\u00e9lisation psychom\u00e9trique et des mod\u00e8les de r\u00e9gression appliqu\u00e9s aux donn\u00e9es comportementales, ignorer cette dynamique temporelle biaise fondamentalement l’\u00e9valuation de l’efficacit\u00e9 d’un traitement psychologique ou d’une intervention cognitive. Un chercheur pourrait faussement conclure \u00e0 un effet statistiquement significatif d’un stimulus exp\u00e9rimental simplement parce que les r\u00e9sidus autocorr\u00e9l\u00e9s ont artificiellement r\u00e9duit l’erreur-type de son coefficient de r\u00e9gression. Le diagnostic rigoureux de l’autocorr\u00e9lation constitue d\u00e8s lors un rempart indispensable contre les crises de r\u00e9plicabilit\u00e9 qui touchent les disciplines exp\u00e9rimentales.<\/p>\n Confront\u00e9s aux limitations structurelles des tests d’autocorr\u00e9lation de premi\u00e8re g\u00e9n\u00e9ration au cours des ann\u00e9es 1970, l’\u00e9conom\u00e8tre australien Trevor Breusch et le statisticien britannique Leslie Godfrey ont ind\u00e9pendamment propos\u00e9, en 1978, une proc\u00e9dure de v\u00e9rification d’hypoth\u00e8se g\u00e9n\u00e9rale fond\u00e9e sur le principe du test de score ou Multiplicateur de Lagrange<\/a> (LM). Ce cadre d’inf\u00e9rence statistique pr\u00e9sente l’avantage m\u00e9thodologique exceptionnel de ne n\u00e9cessiter que l’estimation du mod\u00e8le sous l’hypoth\u00e8se nulle, c’est-\u00e0-dire le mod\u00e8le standard estim\u00e9 par les simples moindres carr\u00e9s ordinaires, sans qu’il soit besoin d’estimer au pr\u00e9alable le mod\u00e8le non contraint complet.<\/p>\n Le principe fondamental du test repose sur l’\u00e9valuation des propri\u00e9t\u00e9s de r\u00e9sidus issus d’une r\u00e9gression auxiliaire. Consid\u00e9rons le mod\u00e8le de r\u00e9gression lin\u00e9aire initial o\u00f9 la variable d\u00e9pendante y<\/em> est r\u00e9gress\u00e9e sur une matrice de r\u00e9gresseurs X<\/em> contenant k<\/em> pr\u00e9dicteurs (incluant la constante). Apr\u00e8s avoir ajust\u00e9 cette \u00e9quation par les MCO, le vecteur des r\u00e9sidus estim\u00e9s e<\/em> est extrait. Breusch et Godfrey ont d\u00e9montr\u00e9 qu’une \u00e9ventuelle d\u00e9pendance s\u00e9rielle pouvait \u00eatre mise en \u00e9vidence en r\u00e9gressant ces m\u00eames r\u00e9sidus e<\/em> sur l’ensemble des r\u00e9gresseurs originaux X<\/em> d’une part, et sur les valeurs retard\u00e9es des r\u00e9sidus et-1<\/sub><\/em>, et-2<\/sub><\/em>, …, et-p<\/sub><\/em> d’autre part, o\u00f9 p<\/em> repr\u00e9sente l’ordre maximal de retard investigu\u00e9.<\/p>\n Cette r\u00e9gression auxiliaire prend ainsi la forme math\u00e9matique rigoureuse : et<\/sub> = Xt<\/sub>β + ρ1<\/sub>et-1<\/sub> + ρ2<\/sub>et-2<\/sub> + … + ρp<\/sub>et-p<\/sub> + ut<\/sub><\/em>, o\u00f9 ut<\/sub><\/em> d\u00e9signe le terme d’erreur de l’\u00e9quation auxiliaire et β<\/em> un vecteur de coefficients associ\u00e9s aux r\u00e9gresseurs originaux. L’inclusion conjointe des pr\u00e9dicteurs d’origine Xt<\/sub><\/em> assure la purge g\u00e9om\u00e9trique compl\u00e8te des corr\u00e9lations r\u00e9siduelles projet\u00e9es sur le sous-espace des variables ind\u00e9pendantes, garantissant ainsi l’orthogonalit\u00e9 n\u00e9cessaire \u00e0 l’\u00e9valuation impartiale des param\u00e8tres de corr\u00e9lation s\u00e9rielle ρ<\/em>.<\/p>\n La formulation des hypoth\u00e8ses au sein du test de Breusch-Godfrey se distingue par sa grande pr\u00e9cision param\u00e9trique. L’hypoth\u00e8se nulle, d\u00e9sign\u00e9e conventionnellement par H0<\/sub><\/em>, postule l’absence totale de corr\u00e9lation s\u00e9rielle parmi les r\u00e9sidus du mod\u00e8le jusqu’\u00e0 l’ordre de d\u00e9calage p<\/em> sp\u00e9cifi\u00e9 par l’analyste. Sous cette hypoth\u00e8se nulle, tous les coefficients d’autocorr\u00e9lation des r\u00e9sidus d\u00e9cal\u00e9s dans l’\u00e9quation auxiliaire sont conjointement \u00e9gaux \u00e0 z\u00e9ro :<\/p>\n H0<\/sub> : ρ1<\/sub> = ρ2<\/sub> = … = ρp<\/sub> = 0<\/em><\/p>\n L’acceptation ou le non-rejet de cette hypoth\u00e8se nulle indique que les d\u00e9viations statistiques du mod\u00e8le ne poss\u00e8dent aucune structure lin\u00e9aire pr\u00e9visible bas\u00e9e sur leurs r\u00e9alisations pass\u00e9es jusqu’au d\u00e9calage temporel p<\/em>. Le processus r\u00e9siduel est alors consid\u00e9r\u00e9 comme asymptotiquement conforme \u00e0 l’hypoth\u00e8se de non-corr\u00e9lation s\u00e9rielle de Gauss-Markov.<\/p>\n \u00c0 l’inverse, l’hypoth\u00e8se alternative, not\u00e9e H1<\/sub><\/em> ou HA<\/sub><\/em>, stipule qu’au moins l’un des coefficients d’autocorr\u00e9lation est significativement diff\u00e9rent de z\u00e9ro au sein de l’intervalle des retards consid\u00e9r\u00e9s :<\/p>\n HA<\/sub> : ∃ j ∈ {1, 2, …, p} tel que ρj<\/sub> ≠ 0<\/em><\/p>\n Le choix de l’ordre de retard maximal p<\/em> d\u00e9limite donc rigoureusement l’espace des hypoth\u00e8ses. Si l’analyste sp\u00e9cifie un ordre p = 4<\/em> sur des donn\u00e9es trimestrielles, le test \u00e9valuera la pr\u00e9sence conjointe d’autocorr\u00e9lations d’ordres un, deux, trois et quatre, prot\u00e9geant ainsi l’analyse contre des dynamiques cycliques ou saisonni\u00e8res qu’un simple test d’ordre un ne saurait identifier.<\/p>\n Pour statuer sur le rejet de l’hypoth\u00e8se nulle, le test de Breusch-Godfrey mobilise une statistique d\u00e9riv\u00e9e du coefficient de d\u00e9termination de la r\u00e9gression auxiliaire. Soit R2<\/sup>aux<\/sub><\/em> le coefficient de d\u00e9termination non centr\u00e9 (ou centr\u00e9 lorsque la constante est pr\u00e9sente) issu de l’ajustement de la r\u00e9gression auxiliaire sur les T<\/em> observations disponibles (ou T – p<\/em> selon la m\u00e9thode d’initialisation des premi\u00e8res valeurs retard\u00e9es). La statistique du multiplicateur de Lagrange, couramment not\u00e9e LM<\/em>, s’obtient par la relation :<\/p>\n LM = T × R2<\/sup>aux<\/sub><\/em><\/p>\n Sous la validit\u00e9 de l’hypoth\u00e8se nulle H0<\/sub><\/em> et sous r\u00e9serve des conditions classiques de r\u00e9gularit\u00e9 asymptotique, cette statistique LM<\/em> converge en loi, lorsque la taille de l’\u00e9chantillon T<\/em> tend vers l’infini, vers une distribution du Chi-deux<\/a> dont le nombre de degr\u00e9s de libert\u00e9 correspond exactement \u00e0 l’ordre maximal de retard p<\/em> :<\/p>\n LM ∼ χ2<\/sup>(p)<\/em><\/p>\n Dans les \u00e9chantillons de taille mod\u00e9r\u00e9e, la convergence asymptotique de la statistique LM<\/em> peut s’av\u00e9rer imparfaite et conduire \u00e0 une l\u00e9g\u00e8re sur-rejet de l’hypoth\u00e8se nulle. Pour pallier cette faiblesse, une variante bas\u00e9e sur la statistique de Fisher est syst\u00e9matiquement calcul\u00e9e. Cette statistique F<\/em> ajuste le ratio des sommes de carr\u00e9s par les degr\u00e9s de libert\u00e9 r\u00e9siduels de la r\u00e9gression auxiliaire, suivant approximativement une loi de Fisher-Snedecor<\/a> F(p, T – k – p)<\/em>, offrant ainsi une robustesse sup\u00e9rieure lorsque le nombre total d’observations n’est pas suffisamment grand pour garantir l’exactitude des propri\u00e9t\u00e9s asymptotiques pures du Chi-deux.<\/p>\n Le test d\u00e9velopp\u00e9 par James Durbin et Geoffrey Watson au d\u00e9but des ann\u00e9es 1950 demeure indiscutablement l’outil le plus fr\u00e9quemment rencontr\u00e9 dans les manuels d’introduction \u00e0 la statistique. Cependant, sa popularit\u00e9 masque des faiblesses m\u00e9thodologiques consid\u00e9rables qui limitent son champ d’application dans la recherche contemporaine. La premi\u00e8re restriction, et non des moindres, r\u00e9side dans son incapacit\u00e9 intrins\u00e8que \u00e0 diagnostiquer l’autocorr\u00e9lation au-del\u00e0 du premier ordre. Le test de Durbin-Watson est calibr\u00e9 exclusivement pour d\u00e9tecter un processus autor\u00e9gressif d’ordre un, not\u00e9 AR(1), sous la forme et<\/sub> = ρet-1<\/sub> + εt<\/sub><\/em>.<\/p>\n Cette focalisation exclusive sur le premier retard rend le test aveugle aux d\u00e9pendances temporelles d’ordres plus \u00e9lev\u00e9s, telles que les variations saisonni\u00e8res trimestrielles (AR(4)), mensuelles (AR(12)) ou les ph\u00e9nom\u00e8nes d’oscillations altern\u00e9es complexes. Un processus r\u00e9siduel pr\u00e9sentant une autocorr\u00e9lation nulle au retard 1 mais une tr\u00e8s forte d\u00e9pendance au retard 2 obtiendra une valeur de Durbin-Watson proche de 2, concluant \u00e0 tort \u00e0 l’absence de toute anomalie s\u00e9rielle.<\/p>\n La seconde limitation majeure tient \u00e0 la pr\u00e9sence de zones d’ind\u00e9termination dans la distribution de la statistique d<\/em> de Durbin-Watson. La distribution exacte de cette statistique d\u00e9pend des valeurs sp\u00e9cifiques prises par la matrice des r\u00e9gresseurs X<\/em>. Par cons\u00e9quent, les tables statistiques ne fournissent que deux bornes critiques, une borne inf\u00e9rieure dL<\/sub><\/em> et une borne sup\u00e9rieure dU<\/sub><\/em>. Lorsque la valeur observ\u00e9e se situe entre ces deux seuils, le test se r\u00e9v\u00e8le incapable de trancher formellement, laissant le praticien dans une zone grise d’incertitude m\u00e9thodologique incompatible avec les standards rigoureux de la recherche quantitative moderne.<\/p>\n Face aux carences du test de Durbin-Watson, la proc\u00e9dure de Breusch-Godfrey d\u00e9ploie une sup\u00e9riorit\u00e9 technique indiscutable. Son atout principal r\u00e9side dans sa totale flexibilit\u00e9 param\u00e9trique : le chercheur est libre de configurer l’ordre maximal de retard p<\/em> \u00e0 n’importe quel entier positif adapt\u00e9 \u00e0 la p\u00e9riodicit\u00e9 de ses donn\u00e9es ou \u00e0 son hypoth\u00e8se th\u00e9orique. Cette flexibilit\u00e9 permet d’auditer simultan\u00e9ment une vaste fen\u00eatre de d\u00e9pendance temporelle sans multiplier les tests univari\u00e9s individuels.<\/p>\n De surcro\u00eet, le test de Breusch-Godfrey b\u00e9n\u00e9ficie d’une propri\u00e9t\u00e9 th\u00e9orique fondamentale \u00e9tablie par Leslie Godfrey : il s’av\u00e8re asymptotiquement \u00e9quivalent qu’il teste un processus d’autocorr\u00e9lation purement autor\u00e9gressif de type AR(p<\/em>) ou un processus de moyenne mobile de type MA(p<\/em>). Sous l’hypoth\u00e8se nulle de bruit blanc, le multiplicateur de Lagrange poss\u00e8de rigoureusement la m\u00eame distribution locale de puissance contre ces deux familles de perturbations stochastiques. Le chercheur n’a donc pas besoin de pr\u00e9juger de la forme exacte (AR ou MA) que prend la contamination s\u00e9rielle de ses r\u00e9sidus.<\/p>\n Enfin, le r\u00e9sultat du test de Breusch-Godfrey ne souffre d’aucune zone d’inconduite ou d’ambigu\u00eft\u00e9. La statistique de test \u00e9tant directement reli\u00e9e \u00e0 des distributions probabilistes continues universelles (la loi du Chi-deux ou la loi de Fisher), elle d\u00e9bouche de mani\u00e8re transparente et imm\u00e9diate sur une valeur p<\/a> (p-value<\/em>) exacte. Cette quantification probabiliste pr\u00e9cise \u00e9limine le recours aux tables archa\u00efques \u00e0 bornes doubles et s’int\u00e8gre harmonieusement dans les pipelines modernes de calcul statistique automatis\u00e9.<\/p>\n Le talon d’Achille le plus destructeur du test de Durbin-Watson r\u00e9side sans doute dans son invalidation th\u00e9orique totale d\u00e8s lors que la matrice des r\u00e9gresseurs X<\/em> contient la variable d\u00e9pendante retard\u00e9e d’une ou plusieurs p\u00e9riodes (par exemple yt-1<\/sub><\/em> en tant que variable explicative). Dans une telle configuration de mod\u00e8le autor\u00e9gressif distribu\u00e9, la statistique d<\/em> de Durbin-Watson subit un biais asymptotique s\u00e9v\u00e8re qui la rapproche inexorablement de la valeur 2, cr\u00e9ant une illusion d’absence d’autocorr\u00e9lation m\u00eame lorsque les erreurs sont gravement d\u00e9pendantes.<\/p>\n Ce biais r\u00e9sulte du fait que le terme d’erreur autocorr\u00e9l\u00e9 corr\u00e8le n\u00e9cessairement avec la variable d\u00e9pendante retard\u00e9e pr\u00e9sente \u00e0 droite du signe \u00e9gal. Cette corr\u00e9lation contemporaine viole l’hypoth\u00e8se d’exog\u00e9n\u00e9it\u00e9 stricte requise par le test de Durbin-Watson. Bien que Durbin ait propos\u00e9 ult\u00e9rieurement une statistique alternative corrig\u00e9e, connue sous le nom de h de Durbin<\/em>, cette derni\u00e8re souffre d’instabilit\u00e9s num\u00e9riques fr\u00e9quentes et ne peut \u00eatre calcul\u00e9e lorsque la variance estim\u00e9e du coefficient du retard est sup\u00e9rieure \u00e0 l’inverse de la taille d’\u00e9chantillon.<\/p>\n \u00c0 l’oppos\u00e9, le test de Breusch-Godfrey a \u00e9t\u00e9 explicitement d\u00e9riv\u00e9 pour conserver son int\u00e9grit\u00e9 statistique et sa puissance asymptotique en pr\u00e9sence de r\u00e9gresseurs stochastiques et de variables cibles retard\u00e9es. Dans la r\u00e9gression auxiliaire du test de Breusch-Godfrey, la projection des r\u00e9sidus sur l’ensemble des pr\u00e9dicteurs originaux \u2014 incluant la variable d\u00e9pendante retard\u00e9e \u2014 neutralise exactement le biais de projection. Il constitue ainsi la r\u00e9f\u00e9rence acad\u00e9mique absolue recommand\u00e9e par les consortiums scientifiques internationaux pour valider tout mod\u00e8le \u00e9conom\u00e9trique ou psychom\u00e9trique dynamique.<\/p>\n La mise en \u0153uvre professionnelle de diagnostics statistiques en langage Python s’articule autour d’un ensemble de biblioth\u00e8ques open source hautement optimis\u00e9es et interconnect\u00e9es. Au c\u0153ur de ce dispositif d’analyse figure Statsmodels<\/a>, la r\u00e9f\u00e9rence institutionnelle pour la mod\u00e9lisation statistique avanc\u00e9e, l’\u00e9conom\u00e9trie et l’inf\u00e9rence formelle. Contrairement aux biblioth\u00e8ques orient\u00e9es principalement vers l’apprentissage automatique pr\u00e9dictif pur comme Scikit-Learn, Statsmodels privil\u00e9gie la rigueur inf\u00e9rentielle, le calcul pr\u00e9cis des erreurs-types, l’affichage complet des r\u00e9sum\u00e9s d’estimation et les tests diagnostiques d’ad\u00e9quation des r\u00e9sidus.<\/p>\n Pour orchestrer la structuration matricielle des donn\u00e9es, l’incontournable biblioth\u00e8que pandas<\/a> fournit les structures de donn\u00e9es bidimensionnelles (DataFrame<\/em>) indispensables \u00e0 l’alignement s\u00e9quentiel et \u00e0 la manipulation temporelle. Elle fonctionne en synergie avec NumPy<\/a>, qui prend en charge les calculs vectoriels sous-jacents, l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire haute performance et la gestion des tableaux multidimensionnels n\u00e9cessaires \u00e0 l’\u00e9valuation des r\u00e9gressions auxiliaires.<\/p>\n Enfin, l’exploration et la validation des diagnostics requi\u00e8rent un appui visuel indissociable des m\u00e9triques num\u00e9riques. Pour cette dimension graphique, l’association de Matplotlib<\/a> pour le contr\u00f4le typographique granulaire et de Seaborn<\/a> pour l’\u00e9l\u00e9gance des trac\u00e9s statistiques permet de g\u00e9n\u00e9rer des graphiques s\u00e9quentiels, des fonctions d’autocorr\u00e9lation et des trac\u00e9s de r\u00e9sidus r\u00e9pondant aux normes de publication les plus strictes.<\/p>\n Pour garantir la stabilit\u00e9 de l’environnement d’ex\u00e9cution et pr\u00e9venir tout conflit de versions entre les d\u00e9pendances scientifiques, il est imp\u00e9ratif d’isoler l’espace de travail au moyen d’un environnement virtuel d\u00e9di\u00e9. Que l’on utilise le module standard venv<\/em> ou le gestionnaire Conda<\/em>, cette \u00e9tape garantit la parfaite reproductibilit\u00e9 des calculs statistiques \u00e0 travers diff\u00e9rentes machines et syst\u00e8mes d’exploitation.<\/p>\n L’installation des biblioth\u00e8ques requises s’op\u00e8re au moyen de l’utilitaire pip<\/em> au sein du terminal de commandes. La commande suivante permet de d\u00e9ployer l’int\u00e9gralit\u00e9 de la pile logicielle n\u00e9cessaire aux diagnostics statistiques :<\/p>\n Une fois les biblioth\u00e8ques install\u00e9es, l’acc\u00e8s aux fonctionnalit\u00e9s du test de Breusch-Godfrey s’effectue par l’importation cibl\u00e9e du sous-module de diagnostic statistique de Statsmodels. La syntaxe canonique d’importation dans vos scripts Python s’articule comme suit :<\/p>\n La fonction Sa signature d’appel se pr\u00e9sente sous la forme g\u00e9n\u00e9rale suivante : Le premier argument, Le param\u00e8tre Le param\u00e8tre bool\u00e9en L’application rigoureuse d’un diagnostic d’autocorr\u00e9lation exige une structuration irr\u00e9prochable du jeu de donn\u00e9es en amont de toute phase de mod\u00e9lisation. Contrairement \u00e0 des donn\u00e9es en coupe transversale pure o\u00f9 les observations peuvent \u00eatre permut\u00e9es sans alt\u00e9rer la signification statistique du mod\u00e8le, les donn\u00e9es s\u00e9quentielles ou temporelles poss\u00e8dent une indexation stricte dont l’ordonnancement conditionne l’ensemble des calculs de d\u00e9calage.<\/p>\n Lors du chargement d’un fichier de donn\u00e9es \u00e0 l’aide de pandas (via des fonctions telles que Dans les contextes exp\u00e9rimentaux de laboratoire ou de psychologie cognitive o\u00f9 les observations correspondent \u00e0 des blocs d’essais successifs, il est indispensable de v\u00e9rifier qu’aucun tri arbitraire (par exemple un tri alphab\u00e9tique sur l’identifiant des participants ou sur les conditions exp\u00e9rimentales) n’a bris\u00e9 la chronologie s\u00e9quentielle r\u00e9elle de passation des tests. Une seule rupture dans l’alignement temporel des lignes du DataFrame rendrait les termes d’erreur retard\u00e9s et-1<\/sub><\/em> totalement incoh\u00e9rents, faussant irr\u00e9m\u00e9diablement l’estimation de la r\u00e9gression auxiliaire.<\/p>\n Une fois la structure s\u00e9quentielle valid\u00e9e, une phase de contr\u00f4le qualit\u00e9 des donn\u00e9es brutes s’impose. La pr\u00e9sence de valeurs manquantes (NaN) repr\u00e9sente un obstacle m\u00e9thodologique majeur pour le test de Breusch-Godfrey. En effet, l’op\u00e9rateur de retard appliqu\u00e9 aux r\u00e9sidus propage les valeurs manquantes le long de la s\u00e9rie : une seule valeur non renseign\u00e9e \u00e0 l’instant t<\/em> entra\u00eene l’indisponibilit\u00e9 du retard \u00e0 l’instant t+1<\/em>, amputant l’\u00e9chantillon effectif. Il convient d’adopter des strat\u00e9gies d’imputation adapt\u00e9es aux s\u00e9ries temporelles (comme l’interpolation lin\u00e9aire locale) ou de supprimer les observations manquantes de mani\u00e8re contr\u00f4l\u00e9e avant l’ajustement du mod\u00e8le lin\u00e9aire.<\/p>\n La d\u00e9tection des valeurs aberrantes extr\u00eames (outliers<\/em>) constitue un second pr\u00e9requis indispensable. Les estimateurs des MCO sont notoirement sensibles aux observations atypiques situ\u00e9es aux extr\u00e9mit\u00e9s de la distribution. Un choc exog\u00e8ne isol\u00e9 ou une erreur d’enregistrement ponctuelle peut induire un r\u00e9sidu isol\u00e9 de magnitude d\u00e9mesur\u00e9e. Dans l’\u00e9quation auxiliaire, ce choc r\u00e9siduel extr\u00eame appara\u00eetra successivement dans la variable courante puis dans les r\u00e9gresseurs retard\u00e9s, g\u00e9n\u00e9rant une fausse impression d’autocorr\u00e9lation n\u00e9gative ou masquant au contraire une d\u00e9pendance s\u00e9rielle sous-jacente bien r\u00e9elle.<\/p>\n Enfin, il est imp\u00e9ratif d’\u00e9valuer la stationnarit\u00e9 des s\u00e9ries temporelles en jeu. La th\u00e9orie de la r\u00e9gression lin\u00e9aire classique pr\u00e9suppose que les s\u00e9ries mod\u00e9lis\u00e9es poss\u00e8dent des propri\u00e9t\u00e9s statistiques stables (moyenne et variance constantes dans le temps). L’ajustement direct de r\u00e9gressions sur des s\u00e9ries non stationnaires int\u00e9gr\u00e9es de type marche al\u00e9atoire engendre le redoutable ph\u00e9nom\u00e8ne de r\u00e9gression fallacieuse ou fallacieuse (spurious regression<\/em>), caract\u00e9ris\u00e9 par des coefficients R2<\/sup><\/em> artificiellement proches de 1 et une autocorr\u00e9lation massive des r\u00e9sidus qui ne refl\u00e8te aucune r\u00e9alit\u00e9 structurelle mais simplement la d\u00e9rive conjointe de deux processus stochastiques non stationnaires.<\/p>\n Avant d’engager les calculs d’estimation et d’inf\u00e9rence, une exploration descriptive visuelle constitue une \u00e9tape d’hygi\u00e8ne analytique essentielle. La repr\u00e9sentation graphique conjointe des trajectoires temporelles de la variable r\u00e9ponse et des variables explicatives permet de d\u00e9celer imm\u00e9diatement la pr\u00e9sence de tendances d\u00e9terministes \u00e0 long terme, de ruptures structurelles brutales de niveau ou de composantes p\u00e9riodiques \u00e9videntes.<\/p>\n Le calcul des m\u00e9triques de dispersion et de tendance centrale doit \u00eatre compl\u00e9t\u00e9 par l’analyse des matrices de covariance et de corr\u00e9lation bivari\u00e9e. En Python, ces \u00e9l\u00e9ments s’obtiennent ais\u00e9ment par les commandes Les visualisations exploratoires peuvent \u00eatre rapidement g\u00e9n\u00e9r\u00e9es au moyen de Matplotlib en tra\u00e7ant la s\u00e9rie temporelle brute via L’estimation d’un mod\u00e8le de r\u00e9gression lin\u00e9aire multiple dans Statsmodels repose sur une formulation matricielle explicite qui le distingue notablement d’autres progiciels comme R. Soit Y<\/em> le vecteur dimensionnel (T × 1)<\/em> repr\u00e9sentant la variable d\u00e9pendante continue, et X<\/em> la matrice dimensionnelle (T × k)<\/em> contenant les observations associ\u00e9es aux diff\u00e9rentes variables explicatives quantitatives ou indicatrices. Le mod\u00e8le statistique th\u00e9orique s’\u00e9nonce sous la forme classique :<\/p>\n Y = Xβ + ε<\/em><\/p>\n o\u00f9 β<\/em> est le vecteur (k × 1)<\/em> des param\u00e8tres r\u00e9els inconnus \u00e0 estimer, et ε<\/em> le vecteur stochastique des perturbations non observables, que l’on postule \u00eatre d’esp\u00e9rance nulle et de matrice de covariance scalaire.<\/p>\n Une particularit\u00e9 technique fondamentale de Statsmodels r\u00e9side dans le fait que la classe L’ajustement du mod\u00e8le s’effectue par l’instanciation de la classe L’objet renvoy\u00e9, Ce tableau fournit \u00e9galement des indicateurs de la qualit\u00e9 globale d’ajustement du mod\u00e8le, notamment le coefficient de d\u00e9termination R2<\/sup><\/em>, son homologue ajust\u00e9 pour les degr\u00e9s de libert\u00e9, et la statistique du test F<\/em> de Fisher \u00e9valuant la significativit\u00e9 conjointe de tous les coefficients non constants. L’analyste doit garder \u00e0 l’esprit que toutes ces grandeurs d’\u00e9valuation globale reposent sur la validit\u00e9 des hypoth\u00e8ses de Gauss-Markov ; si une autocorr\u00e9lation r\u00e9siduelle contamine le mod\u00e8le, l’ensemble de ces estimations de variance devient sujet \u00e0 caution.<\/p>\n Une fois le mod\u00e8le estim\u00e9, l’objet de r\u00e9sultats offre un acc\u00e8s direct au vecteur des r\u00e9sidus calcul\u00e9s par la propri\u00e9t\u00e9 et<\/sub> = yt<\/sub> – \u0177t<\/sub> = yt<\/sub> – Xt<\/sub>β\u0302<\/em><\/p>\n La premi\u00e8re v\u00e9rification num\u00e9rique consiste \u00e0 contr\u00f4ler que la moyenne arithm\u00e9tique de ce vecteur de r\u00e9sidus est rigoureusement nulle (aux erreurs d’arrondi machine pr\u00e8s de l’ordre de 10-14<\/sup>), ce qui confirme que la constante a \u00e9t\u00e9 correctement sp\u00e9cifi\u00e9e dans le mod\u00e8le :<\/p>\n Au-del\u00e0 de la v\u00e9rification de cette moyenne, une analyse exploratoire univari\u00e9e des r\u00e9sidus doit \u00eatre imm\u00e9diatement men\u00e9e. L’inspection visuelle de leur distribution au moyen d’un histogramme compl\u00e9t\u00e9 par une estimation de densit\u00e9 par noyau (KDE) permet de juger de la sym\u00e9trie de la dispersion. Parall\u00e8lement, l’\u00e9tablissement d’un graphique quantile-quantile (Q-Q plot), r\u00e9alisable via L’ex\u00e9cution pratique du test de Breusch-Godfrey au moyen de Statsmodels brille par sa concision syntaxique. La fonction Dans cet appel minimal reproductible, le param\u00e8tre Le param\u00e8tre facultatif Le choix de l’argument 1. Introduction aux postulats de la r\u00e9gression lin\u00e9aire et \u00e0 l’autocorr\u00e9lation<\/h2>\n
1.1 Le postulat d’ind\u00e9pendance des r\u00e9sidus dans les mod\u00e8les lin\u00e9aires<\/h3>\n
1.2 Qu’est-ce que l’autocorr\u00e9lation des r\u00e9sidus et quelles en sont les origines ?<\/h3>\n
1.3 Pertinence du diagnostic d’autocorr\u00e9lation en sciences comportementales et psychologie quantitative<\/h3>\n
2. Fondements th\u00e9oriques du test de Breusch-Godfrey<\/h2>\n
2.1 Origine historique et formulation du test du multiplicateur de Lagrange (LM)<\/h3>\n
2.2 \u00c9nonciation rigoureuse des hypoth\u00e8ses nulle et alternative<\/h3>\n
2.3 Distribution asymptotique et propri\u00e9t\u00e9s math\u00e9matiques de la statistique de test<\/h3>\n
3. Comparaison m\u00e9thodologique : Breusch-Godfrey versus Durbin-Watson<\/h2>\n
3.1 Limitations structurelles du test classique de Durbin-Watson<\/h3>\n
3.2 Avantages comparatifs majeurs du test de Breusch-Godfrey<\/h3>\n
3.3 Gestion des variables d\u00e9pendantes retard\u00e9es parmi les pr\u00e9dicteurs<\/h3>\n
4. Environnement logiciel et configuration de l’outillage en Python<\/h2>\n
4.1 Pr\u00e9sentation des biblioth\u00e8ques scientifiques indispensables<\/h3>\n
4.2 Configuration technique et installation des d\u00e9pendances<\/h3>\n
pip install numpy pandas statsmodels matplotlib seaborn scipy<\/code><\/p>\nimport statsmodels.api as sm<\/code>
\nfrom statsmodels.stats.diagnostic import acorr_breusch_godfrey<\/code>
\nimport pandas as pd<\/code>
\nimport numpy as np<\/code>
\nimport matplotlib.pyplot as plt<\/code><\/p>\n4.3 Exploration de la fonction acorr_breusch_godfrey<\/h3>\n
acorr_breusch_godfrey<\/code> constitue l’impl\u00e9mentation algorithmique officielle du test de Breusch-Godfrey au sein du r\u00e9pertoire diagnostique de Statsmodels. L’inspection de sa signature logicielle r\u00e9v\u00e8le une conception pens\u00e9e pour s’interfacer directement avec les objets de r\u00e9sultats issus des mod\u00e8les de r\u00e9gression lin\u00e9aire estim\u00e9s par la m\u00e9thode des moindres carr\u00e9s ordinaires.<\/p>\n
\nacorr_breusch_godfrey(results, nlags=None, store=False)<\/code><\/p>\nresults<\/code>, est strictement obligatoire : il attend une instance de la classe RegressionResultsWrapper<\/code>, g\u00e9n\u00e9r\u00e9e lors de l’appel de la m\u00e9thode .fit()<\/code> sur un mod\u00e8le sm.OLS<\/code>. C’est \u00e0 partir de cet objet que la fonction extrait de fa\u00e7on automatis\u00e9e le vecteur des r\u00e9sidus, la matrice des pr\u00e9dicteurs ainsi que les param\u00e8tres d’\u00e9chantillonnage indispensables \u00e0 la r\u00e9gression auxiliaire.<\/p>\nnlags<\/code> d\u00e9termine le nombre entier d’ordres de retards p<\/em> \u00e0 incorporer dans l’\u00e9quation auxiliaire. Si cet argument n’est pas explicit\u00e9 par l’utilisateur (valeur par d\u00e9faut positionn\u00e9e \u00e0 None<\/code>), la fonction applique une r\u00e8gle heuristique interne qui calcule un nombre de retards par d\u00e9faut bas\u00e9 sur la dimension temporelle de l’\u00e9chantillon. Toutefois, dans le cadre d’une d\u00e9marche acad\u00e9mique rigoureuse, il est vivement d\u00e9conseill\u00e9 de laisser ce param\u00e8tre \u00e0 sa valeur par d\u00e9faut ; il convient de le fixer explicitement en accord avec la fr\u00e9quence d’\u00e9chantillonnage des donn\u00e9es ou les fondements th\u00e9oriques de l’\u00e9tude.<\/p>\nstore<\/code>, quant \u00e0 lui, permet lorsqu’il est positionn\u00e9 sur True<\/code> de retourner un objet d’archivage additionnel contenant l’ensemble des r\u00e9sultats interm\u00e9diaires de la r\u00e9gression auxiliaire. Enfin, la fonction renvoie en sortie un tuple compos\u00e9 de quatre \u00e9l\u00e9ments num\u00e9riques cruciaux : la statistique du multiplicateur de Lagrange (LM), sa p-value<\/em> associ\u00e9e issue de la loi du Chi-deux, la statistique F<\/em> de Fisher, et la p-value<\/em> associ\u00e9e \u00e0 cette derni\u00e8re.<\/p>\n5. Pr\u00e9paration et structuration des donn\u00e9es d’analyse<\/h2>\n
5.1 Chargement et structuration d’un ensemble de donn\u00e9es empiriques<\/h3>\n
pd.read_csv()<\/code> ou pd.read_excel()<\/code>), l’analyste doit imm\u00e9diatement s’assurer de l’existence d’une variable temporelle ou d’un index d’occurrence ordonn\u00e9 de fa\u00e7on strictement croissante. Si les donn\u00e9es proviennent d’une s\u00e9rie temporelle explicite, la colonne horodat\u00e9e doit \u00eatre convertie au format standardis\u00e9 datetime<\/code> gr\u00e2ce \u00e0 la fonction pd.to_datetime()<\/code>, puis assign\u00e9e comme index formel du DataFrame au moyen de la m\u00e9thode set_index()<\/code>.<\/p>\n5.2 Nettoyage pr\u00e9liminaire et v\u00e9rification des pr\u00e9requis de donn\u00e9es<\/h3>\n
5.3 Inspection descriptive et visualisation initiale des s\u00e9ries<\/h3>\n
df.describe()<\/code> et df.corr()<\/code>. Si la variable d\u00e9pendante manifeste une inertie visuelle prononc\u00e9e \u2014 visualis\u00e9e par des ondulations lentes et amples autour de sa moyenne empirique \u2014 il est hautement probable que les r\u00e9sidus du mod\u00e8le lin\u00e9aire simple h\u00e9riteront d’une partie de cette d\u00e9pendance temporelle si les r\u00e9gresseurs n’int\u00e8grent pas cette \u00e9chelle de temps.<\/p>\nplt.plot(df.index, df['variable'])<\/code>. Cette confrontation visuelle pr\u00e9coce offre une intuition fondamentale qui guidera ult\u00e9rieurement l’interpr\u00e9tation des sorties statistiques formelles du test de Breusch-Godfrey, \u00e9vitant ainsi d’analyser des m\u00e9triques num\u00e9riques en faisant abstraction de la r\u00e9alit\u00e9 empirique du ph\u00e9nom\u00e8ne \u00e9tudi\u00e9.<\/p>\n6. Ajustement du mod\u00e8le de r\u00e9gression lin\u00e9aire avec statsmodels<\/h2>\n
6.1 Formulation math\u00e9matique et sp\u00e9cification du mod\u00e8le<\/h3>\n
sm.OLS<\/code> n’ajoute pas d’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine (intercept) de mani\u00e8re implicite. Si l’utilisateur omet d’incorporer explicitement une colonne unitaire dans sa matrice de r\u00e9gresseurs, le mod\u00e8le sera contraint de passer g\u00e9om\u00e9triquement par l’origine. Une telle omission fausse l’ensemble des propri\u00e9t\u00e9s des r\u00e9sidus : leur moyenne n’est plus garantie d’\u00eatre \u00e9gale \u00e0 z\u00e9ro et le calcul classique des coefficients de d\u00e9termination R2<\/sup><\/em> perd toute validit\u00e9. Il est donc imp\u00e9ratif d’utiliser la fonction d\u00e9di\u00e9e sm.add_constant(X)<\/code> avant toute estimation :<\/p>\nX_avec_constante = sm.add_constant(X)<\/code><\/p>\n6.2 Estimation des param\u00e8tres par les Moindres Carr\u00e9s Ordinaires<\/h3>\n
sm.OLS<\/code> en transmettant la variable cible et la matrice des r\u00e9gresseurs convenablement compl\u00e9t\u00e9e, suivie de l’ex\u00e9cution de la m\u00e9thode .fit()<\/code>. Cette m\u00e9thode met en \u0153uvre l’algorithme de r\u00e9solution des \u00e9quations normales matricielles par d\u00e9composition QR ou d\u00e9composition en valeurs singuli\u00e8res (SVD) afin d’assurer une stabilit\u00e9 num\u00e9rique maximale du calcul :<\/p>\nmodele = sm.OLS(y, X_avec_constante)<\/code>
\nresultats = modele.fit()<\/code><\/p>\nresultats<\/code>, contient l’ensemble des grandeurs inf\u00e9rentielles associ\u00e9es \u00e0 la r\u00e9gression. L’invocation de la commande print(resultats.summary())<\/code> produit un tableau synth\u00e9tique structur\u00e9 selon les standards acad\u00e9miques internationaux. On y retrouve l’estimation ponctuelle des coefficients β\u0302 = (XT<\/sup>X)-1<\/sup>XT<\/sup>Y<\/em>, leurs erreurs-types conventionnelles calcul\u00e9es sous le postulat de non-corr\u00e9lation s\u00e9rielle, ainsi que les valeurs correspondantes des statistiques t<\/em> de Student et leurs p-values<\/em> respectives.<\/p>\n6.3 Extraction et analyse exploratoire des r\u00e9sidus bruts<\/h3>\n
resultats.resid<\/code>. Par d\u00e9finition, un r\u00e9sidu d’\u00e9chantillonnage correspond \u00e0 l’\u00e9cart constat\u00e9 entre la valeur observ\u00e9e empiriquement et la valeur pr\u00e9dite par le plan de r\u00e9gression :<\/p>\nresidus = resultats.resid<\/code>
\nprint(f\"Moyenne des r\u00e9sidus : {residus.mean():.4e}\")<\/code><\/p>\nsm.qqplot(residus, line='s')<\/code>, offre une v\u00e9rification rigoureuse de la normalit\u00e9 des erreurs. Cette \u00e9tape pr\u00e9alable garantit que d’\u00e9ventuelles violations de distribution n’interf\u00e9reront pas n\u00e9gativement avec les propri\u00e9t\u00e9s asymptotiques des tests s\u00e9riels \u00e0 venir.<\/p>\n7. Ex\u00e9cution pas \u00e0 pas du test de Breusch-Godfrey en Python<\/h2>\n
7.1 Syntaxe d’appel et passage des param\u00e8tres cl\u00e9s<\/h3>\n
acorr_breusch_godfrey<\/code> op\u00e8re une int\u00e9gration directe avec l’objet r\u00e9sultant de l’ajustement lin\u00e9aire, simplifiant grandement le flux de travail statistique de l’analyste. Il suffit de transmettre l’objet de r\u00e9sultats complet directement en premier argument de la fonction :<\/p>\nfrom statsmodels.stats.diagnostic import acorr_breusch_godfrey<\/code>
\nbg_test = acorr_breusch_godfrey(resultats, nlags=4)<\/code><\/p>\nnlags=4<\/code> indique explicitement que l’algorithme doit tester la pr\u00e9sence d’une autocorr\u00e9lation r\u00e9siduelle jusqu’au quatri\u00e8me ordre de retard inclusivement. La fonction extrait automatiquement les r\u00e9sidus de l’objet resultats<\/code>, proc\u00e8de au d\u00e9calage s\u00e9quentiel de ces erreurs en comblant les valeurs initiales par des z\u00e9ros (ou en tronquant la s\u00e9rie selon la convention matricielle retenue), puis ajuste la r\u00e9gression auxiliaire int\u00e9grant les pr\u00e9dicteurs exog\u00e8nes originaux.<\/p>\nstore=False<\/code> peut \u00eatre commut\u00e9 \u00e0 True<\/code> si le chercheur souhaite analyser en d\u00e9tail la matrice de r\u00e9gression auxiliaire sous-jacente ou conserver les coefficients interm\u00e9diaires pour un rapport de recherche approfondi. Dans l’immense majorit\u00e9 des applications empiriques courantes, l’affectation par d\u00e9faut \u00e0 False<\/code> est privil\u00e9gi\u00e9e car elle renvoie directement le tuple de statistiques d\u00e9cisives pour le diagnostic.<\/p>\n7.2 D\u00e9termination optimale du nombre de retards (nlags)<\/h3>\n
nlags<\/code> ne doit jamais \u00eatre laiss\u00e9 au hasard ni dict\u00e9 par une complaisance d’ajustement r\u00e9trospective. Ce choix th\u00e9orique d\u00e9pend intimement de la nature du processus g\u00e9n\u00e9rateur de donn\u00e9es sous-jacent et de la granularit\u00e9 temporelle des observations collect\u00e9es. Dans le cadre de s\u00e9ries chronologiques macro\u00e9conomiques ou financi\u00e8res, la p\u00e9riodicit\u00e9 calendaire impose des choix logiques \u00e9vidents :