{"id":8305,"date":"2026-10-14T18:02:22","date_gmt":"2026-10-14T18:02:22","guid":{"rendered":"http:\/\/french.arabpsychology.com\/statistics\/regression-a-travers-l-origine-definition-et-exemple\/"},"modified":"2026-10-14T18:02:22","modified_gmt":"2026-10-14T18:02:22","slug":"regression-a-travers-l-origine-definition-et-exemple","status":"publish","type":"psych_stat","link":"https:\/\/french.arabpsychology.com\/?psych_stat=regression-a-travers-l-origine-definition-et-exemple","title":{"rendered":"R\u00e9gression \u00e0 travers l’origine : D\u00e9finition et exemple"},"content":{"rendered":"

Dans le vaste champ de la mod\u00e9lisation statistique appliqu\u00e9e, l’analyse de r\u00e9gression lin\u00e9aire constitue sans conteste l’un des piliers m\u00e9thodologiques les plus universellement d\u00e9ploy\u00e9s, tant dans les sciences exp\u00e9rimentales que dans les sciences sociales ou l’\u00e9conom\u00e9trie. Sa vocation premi\u00e8re r\u00e9side dans la formalisation rigoureuse de la relation fonctionnelle unissant une variable d\u00e9pendante \u00e0 une ou plusieurs variables pr\u00e9dictives. Au sein de cette architecture math\u00e9matique classique, l’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine, d\u00e9sign\u00e9e conventionnellement sous le terme d’intercepte ou de constante, joue un r\u00f4le r\u00e9gulateur fondamental en absorbant le niveau de base de la r\u00e9ponse lorsque l’ensemble des covariables s’annule. Pourtant, une question th\u00e9orique et pratique lancinante traverse r\u00e9guli\u00e8rement l’esprit du mod\u00e9lisateur : que devient la structure du mod\u00e8le lorsque la th\u00e9orie substantielle impose que l’absence absolue de stimulus entra\u00eene obligatoirement l’absence totale de r\u00e9ponse ?<\/p>\n

Cette interrogation conceptuelle ouvre la voie \u00e0 la r\u00e9gression lin\u00e9aire \u00e0 travers l’origine<\/a> (commun\u00e9ment d\u00e9sign\u00e9e par l’acronyme anglophone RTO pour Regression Through the Origin<\/em>, ou r\u00e9gression sans constante). Loin de constituer une simple variante calculatoire obtenue par la d\u00e9sactivation d’un param\u00e8tre dans un progiciel statistique, la suppression d\u00e9lib\u00e9r\u00e9e de l’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine transforme radicalement la g\u00e9om\u00e9trie sous-jacente des estimateurs, modifie la distribution des erreurs r\u00e9siduelles et invalide une grande partie des r\u00e9flexes interpr\u00e9tatifs acquis par les praticiens. Les propri\u00e9t\u00e9s asymptotiques, les m\u00e9canismes de projection orthogonale et les m\u00e9triques usuelles d’\u00e9valuation de la qualit\u00e9 de l’ajustement s’en trouvent profond\u00e9ment boulevers\u00e9s, cr\u00e9ant parfois des pi\u00e8ges m\u00e9thodologiques redoutables pour les chercheurs non avertis.<\/p>\n

Le pr\u00e9sent article propose une exploration encyclop\u00e9dique, exhaustive et math\u00e9matiquement rigoureuse de la r\u00e9gression \u00e0 travers l’origine. En parcourant ses fondements th\u00e9oriques, ses justifications m\u00e9canistiques au sein de disciplines vari\u00e9es, ses d\u00e9rivations alg\u00e9briques pas \u00e0 pas, ainsi que le probl\u00e8me tristement c\u00e9l\u00e8bre de la d\u00e9g\u00e9n\u00e9rescence du coefficient de d\u00e9termination, ce guide a pour ambition d’offrir une r\u00e9f\u00e9rence compl\u00e8te. \u00c0 travers un exemple num\u00e9rique enti\u00e8rement calcul\u00e9 \u00e0 la main, des protocoles de tests d’hypoth\u00e8ses embo\u00eet\u00e9s et une revue des impl\u00e9mentations logicielles majeures, le lecteur d\u00e9couvrira comment mobiliser cet outil avec rigueur, discernement et lucidit\u00e9 \u00e9pist\u00e9mologique.<\/p>\n

1. Fondements th\u00e9oriques de la r\u00e9gression lin\u00e9aire et r\u00f4le de l’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine<\/h2>\n

1.1 Structure du mod\u00e8le de r\u00e9gression lin\u00e9aire simple classique<\/h3>\n

Le mod\u00e8le standard de la r\u00e9gression lin\u00e9aire simple repose sur la formulation univari\u00e9e d’une relation affine entre deux grandeurs observables. Sur le plan math\u00e9matique, pour une observation individuelle indic\u00e9e par i<\/em> au sein d’un \u00e9chantillon de taille n<\/em>, l’\u00e9quation fondamentale s’\u00e9nonce comme suit :<\/p>\n

yi<\/sub><\/em> = β0<\/sub> + β1<\/sub> xi<\/sub><\/em> + εi<\/sub>,   avec i<\/em> ∈ {1, …, n<\/em>}<\/p>\n

Dans ce paradigme, la variable yi<\/sub><\/em> repr\u00e9sente la variable d\u00e9pendante, expliqu\u00e9e ou endog\u00e8ne, tandis que xi<\/sub><\/em> d\u00e9signe la variable ind\u00e9pendante, explicative ou exog\u00e8ne. Le param\u00e8tre β0<\/sub>, ou intercepte, quantifie la valeur attendue de la r\u00e9ponse lorsque le pr\u00e9dicteur x<\/em> est rigoureusement \u00e9gal \u00e0 z\u00e9ro. De son c\u00f4t\u00e9, le coefficient angulaire β1<\/sub> mesure la pente de la droite d’ajustement, traduisant ainsi la variation marginale esp\u00e9r\u00e9e de y<\/em> cons\u00e9cutive \u00e0 une augmentation d’une unit\u00e9 de x<\/em>.<\/p>\n

Le terme stochastique εi<\/sub> mod\u00e9lise l’erreur al\u00e9atoire, r\u00e9ceptacle de l’ensemble des micro-d\u00e9terminants non observ\u00e9s, des impr\u00e9cisions de mesure et des fluctuations intrins\u00e8ques au processus \u00e9tudi\u00e9. Selon les hypoth\u00e8ses classiques de Gauss-Markov, ce terme d’erreur ob\u00e9it \u00e0 des propri\u00e9t\u00e9s strictes : son esp\u00e9rance conditionnelle par rapport au pr\u00e9dicteur est rigoureusement nulle, soit E(εi<\/sub> | xi<\/sub><\/em>) = 0, sa variance conditionnelle est constante sur l’ensemble du domaine d’observation (homosc\u00e9dasticit\u00e9, formalis\u00e9e par Var(εi<\/sub> | xi<\/sub><\/em>) = σ2<\/sup>), et les erreurs associ\u00e9es \u00e0 deux observations distinctes sont mutuellement d\u00e9corr\u00e9l\u00e9es (Cov(εi<\/sub>, εj<\/sub>) = 0 pour tout i<\/em> ≠ j<\/em>).<\/p>\n

1.2 Nature statistique et g\u00e9om\u00e9trique de l’intercept<\/h3>\n

D’un point de vue g\u00e9om\u00e9trique, l’introduction du param\u00e8tre β0<\/sub> conf\u00e8re \u00e0 la droite des moindres carr\u00e9s un degr\u00e9 de libert\u00e9 translationnel dans l’espace euclidien bidimensionnel. La droite de r\u00e9gression classique poss\u00e8de la propri\u00e9t\u00e9 fondamentale de passer n\u00e9cessairement par le centre de gravit\u00e9 ou barycentre des donn\u00e9es, d\u00e9fini par le couple de coordonn\u00e9es moyennes (x\u0304<\/em>, \u0233<\/em>). L’intercepte agit ainsi comme un pivot d’ajustement assurant que le r\u00e9sidu moyen empirique s’annule strictement :<\/p>\n

∑i=1<\/sub>n<\/sup> ei<\/sub><\/em> = 0,   o\u00f9 ei<\/sub><\/em> = yi<\/sub><\/em> – (b\u0302<\/em>0<\/sub> + b\u0302<\/em>1<\/sub> xi<\/sub><\/em>)<\/p>\n

Toutefois, la signification substantielle de l’intercepte fait fr\u00e9quemment l’objet d’interpr\u00e9tations abusives. Sur le plan empirique, x<\/em> = 0 se situe tr\u00e8s souvent en dehors du domaine exp\u00e9rimental explor\u00e9 par l’\u00e9chantillon. \u00c9valuer la droite en ce point revient alors \u00e0 une extrapolation risqu\u00e9e, d\u00e9pourvue de validit\u00e9 empirique directe. Par exemple, si l’on mod\u00e9lise le poids corporel d’individus adultes en fonction de leur taille en centim\u00e8tres, la constante repr\u00e9sentera la masse th\u00e9orique d’un individu mesurant z\u00e9ro centim\u00e8tre, ce qui constitue une aberration physiologique totale. Dans ce contexte, β0<\/sub> n’a aucune vocation \u00e0 d\u00e9crire un ph\u00e9nom\u00e8ne observable r\u00e9el ; il n’est qu’un artefact math\u00e9matique garantissant la justesse du taux de variation marginal dans la r\u00e9gion o\u00f9 les donn\u00e9es sont effectivement collect\u00e9es.<\/p>\n

1.3 Origines du besoin de contraindre le mod\u00e8le statistique<\/h3>\n

En d\u00e9pit de son efficacit\u00e9 technique, la pr\u00e9sence syst\u00e9matique d’une constante libre cr\u00e9e une tension \u00e9pist\u00e9mologique majeure lorsque la th\u00e9orie sous-jacente impose une contrainte d\u00e9terministe incontournable. Dans de nombreuses disciplines scientifiques, il existe des relations causales o\u00f9 l’inactivation compl\u00e8te de la cause rend impossible l’existence de l’effet. Dans un circuit \u00e9lectrique passif ob\u00e9issant \u00e0 la loi d’Ohm<\/a> (U<\/em> = R<\/em> · I<\/em>), il ne peut circuler de courant mesurable sans diff\u00e9rence de potentiel appliqu\u00e9e. Autoriser une constante empirique diff\u00e9rente de z\u00e9ro sous pr\u00e9texte d’ajustement statistique revient \u00e0 admettre la g\u00e9n\u00e9ration spontan\u00e9e d’\u00e9nergie ou l’existence de flux fant\u00f4mes au sein du mod\u00e8le.<\/p>\n

D\u00e8s les travaux pionniers de Sir Francis Galton et de Karl Pearson sur la biom\u00e9trie et l’h\u00e9r\u00e9dit\u00e9, la question de l’ancrage forc\u00e9 des relations lin\u00e9aires s’est pos\u00e9e face aux lois de conservation de la physique et aux contraintes anatomiques. En \u00e9conomie, les d\u00e9bats des ann\u00e9es 1950 et 1960 autour de la fonction de consommation keyn\u00e9sienne et de la th\u00e9orie du revenu permanent de Milton Friedman ont soulign\u00e9 la n\u00e9cessit\u00e9 de distinguer rigoureusement les mod\u00e8les comportant un niveau de subsistance autonome (β0<\/sub> > 0) des mod\u00e8les d’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 stricte de degr\u00e9 un (β0<\/sub> = 0). Il convient d\u00e8s lors de s\u00e9parer nettement la d\u00e9marche consistant \u00e0 contraindre structurellement un mod\u00e8le sur la base de principes physiques ou logiques d\u00e9ductifs de l’erreur m\u00e9thodologique qui consisterait \u00e0 \u00e9liminer arbitrairement une constante statistique pour la simple raison qu’elle n’atteint pas un seuil de significativit\u00e9 conventionnel.<\/p>\n

2. D\u00e9finition et formalisation math\u00e9matique de la r\u00e9gression \u00e0 travers l’origine<\/h2>\n

2.1 \u00c9quation fondamentale du mod\u00e8le sans constante<\/h3>\n

La r\u00e9gression lin\u00e9aire \u00e0 travers l’origine se d\u00e9finit formellement par l’omission intentionnelle et d\u00e9lib\u00e9r\u00e9e du terme constant β0<\/sub> dans l’\u00e9quation structurelle de la relation. Le mod\u00e8le univari\u00e9 prend alors la forme concise :<\/p>\n

yi<\/sub><\/em> = β1<\/sub> xi<\/sub><\/em> + εi<\/sub>,   pour tout i<\/em> ∈ {1, …, n<\/em>}<\/p>\n

Cette formulation impose une contrainte d\u00e9terministe rigide sur la g\u00e9om\u00e9trie de la droite estim\u00e9e : cette derni\u00e8re est condamn\u00e9e \u00e0 intersecter l’axe des ordonn\u00e9es au point pr\u00e9cis de coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes (0, 0). Sous l’hypoth\u00e8se d’esp\u00e9rance conditionnelle nulle des perturbations stochastiques E(εi<\/sub> | xi<\/sub><\/em>) = 0, l’esp\u00e9rance math\u00e9matique de la r\u00e9ponse conditionnellement \u00e0 une valeur nulle du r\u00e9gresseur est imp\u00e9rativement nulle : E(y<\/em> | x<\/em> = 0) = 0.<\/p>\n

Dans le formalisme matriciel g\u00e9n\u00e9ral des mod\u00e8les lin\u00e9aires, o\u00f9 le vecteur des r\u00e9ponses y<\/strong> ∈ \u211dn×1<\/sup> est reli\u00e9 \u00e0 la matrice des pr\u00e9dicteurs X<\/strong> ∈ \u211dn×p<\/sup> par la relation y<\/strong> = Xβ<\/strong> + ε<\/strong>, la sp\u00e9cification d’un mod\u00e8le sans ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine se traduit par la suppression de la colonne unitaire traditionnellement allou\u00e9e \u00e0 la constante. Pour une r\u00e9gression simple, la matrice du dessein exp\u00e9rimental X<\/strong> se r\u00e9duit \u00e0 un simple vecteur colonne contenant les valeurs observ\u00e9es du r\u00e9gresseur :<\/p>\n

X<\/strong> = [x<\/em>1<\/sub>, x<\/em>2<\/sub>, …, x<\/em>n<\/sub>]T<\/sup> ∈ \u211dn×1<\/sup>,   et   β<\/strong> = [β1<\/sub>] ∈ \u211d1×1<\/sup><\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

2.2 Diff\u00e9rences structurales avec le mod\u00e8le standard<\/h3>\n

L’\u00e9limination du param\u00e8tre constant engendre une cascade de modifications structurelles profondes dans l’appareil math\u00e9matique de l’inf\u00e9rence. La premi\u00e8re alt\u00e9ration notable concerne les degr\u00e9s de libert\u00e9 r\u00e9siduels. Alors que le mod\u00e8le classique estime deux param\u00e8tres (β0<\/sub> et β1<\/sub>) et consomme par cons\u00e9quent deux degr\u00e9s de libert\u00e9 — laissant n<\/em> – 2 degr\u00e9s de libert\u00e9 pour l’estimation de la variance r\u00e9siduelle σ2<\/sup> —, le mod\u00e8le \u00e0 travers l’origine ne mobilise qu’un seul param\u00e8tre, pr\u00e9servant ainsi n<\/em> – 1 degr\u00e9s de libert\u00e9 pour caract\u00e9riser la dispersion des erreurs.<\/p>\n

Sur le plan de l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire, la matrice de projection orthogonale, ou matrice chapeau H<\/strong> = X<\/strong>(X<\/strong>T<\/sup>X<\/strong>)-1<\/sup>X<\/strong>T<\/sup>, projette d\u00e9sormais l’espace des donn\u00e9es non plus sur le sous-espace affine engendr\u00e9 par le vecteur constant 1<\/strong> et le vecteur x<\/strong>, mais strictement sur la droite vectorielle unidimensionnelle port\u00e9e par x<\/strong>. Il en d\u00e9coule une cons\u00e9quence statistique majeure et trop souvent n\u00e9glig\u00e9e : la somme des r\u00e9sidus des moindres carr\u00e9s n’est plus garantie d’\u00eatre nulle<\/strong>. L’\u00e9galit\u00e9 ∑ ei<\/sub><\/em> = 0, syst\u00e9matiquement v\u00e9rifi\u00e9e dans le mod\u00e8le classique par l’interm\u00e9diaire des \u00e9quations normales associ\u00e9es \u00e0 la d\u00e9riv\u00e9e partielle par rapport \u00e0 β0<\/sub>, cesse d’exister en tant qu’identit\u00e9 alg\u00e9brique. La droite estim\u00e9e n’a plus l’obligation g\u00e9om\u00e9trique de passer par le barycentre d’\u00e9chantillonnage (x\u0304<\/em>, \u0233<\/em>), ce qui modifie substantiellement la distribution de l’estimateur de pente.<\/p>\n

2.3 Conditions formelles d’admissibilit\u00e9 du mod\u00e8le sans intercept<\/h3>\n

L’application l\u00e9gitime de la r\u00e9gression \u00e0 travers l’origine exige la satisfaction simultan\u00e9e de plusieurs conditions math\u00e9matiques et scientifiques strictes. La premi\u00e8re condition r\u00e9side dans la validit\u00e9 ontologique absolue de la proposition x<\/em> = 0 ⇒ y<\/em> = 0. Il ne suffit pas que l’intercepte estim\u00e9 dans une r\u00e9gression classique ne soit pas statistiquement significatif au seuil α = 0,05 ; il faut que la structure m\u00eame du syst\u00e8me r\u00e9el interdise physiquement, \u00e9conomiquement ou logiquement toute valeur de y<\/em> non nulle \u00e0 l’origine.<\/p>\n

La seconde condition fondamentale concerne la stabilit\u00e9 de la relation lin\u00e9aire au voisinage imm\u00e9diat de z\u00e9ro. M\u00eame si la contrainte (0, 0) est v\u00e9rifi\u00e9e sur le plan physique, le comportement de la fonction peut pr\u00e9senter une courbure importante, une latence ou un seuil d’activation asymptotique lorsque x<\/em> tend vers z\u00e9ro. Si la relation observ\u00e9e est strictement lin\u00e9aire sur l’intervalle [100, 500] mais subit une rupture de pente concave ou convexe sur l’intervalle [0, 100], contraindre la droite \u00e0 passer par l’origine cart\u00e9sienne introduit un biais de sp\u00e9cification massif qui faussera dramatiquement l’estimation de la pente dans la r\u00e9gion d’int\u00e9r\u00eat. La justification doit donc \u00eatre imp\u00e9rativement d\u00e9ductive et corrobor\u00e9e par l’absence d’effets de seuil.<\/p>\n

3. Justifications th\u00e9oriques et domaines d’application privil\u00e9gi\u00e9s<\/h2>\n

3.1 Applications en \u00e9cologie, foresterie et sciences naturelles<\/h3>\n

Les sciences de l’environnement et l’\u00e9cologie quantitative constituent un terreau particuli\u00e8rement propice \u00e0 l’utilisation \u00e9clair\u00e9e de la r\u00e9gression \u00e0 travers l’origine. En foresterie, l’estimation de la biomasse totale ou du volume de bois marchand \u00e0 partir de mesures allom\u00e9triques directes s’appuie sur le principe \u00e9vident de non-g\u00e9n\u00e9ration spontan\u00e9e de mati\u00e8re organique. Un arbre hypoth\u00e9tique pr\u00e9sentant un diam\u00e8tre \u00e0 hauteur de poitrine (DHP) ou une section transversale strictement nuls ne saurait contenir une masse volumique ou ligneuse positive. Les \u00e9quations dendrom\u00e9triques reliant le volume V<\/em> au produit du carr\u00e9 du diam\u00e8tre et de la hauteur totale (D<\/em>2<\/sup>H<\/em>) int\u00e8grent ainsi cette contrainte physique fondamentale :<\/p>\n

V<\/em> = β1<\/sub> (D<\/em>2<\/sup>H<\/em>) + ε<\/p>\n

De fa\u00e7on analogue, en chimie analytique et en \u00e9cotoxicologie, le calibrage d’appareils de spectrom\u00e9trie d’absorption mol\u00e9culaire repose sur la loi de Beer-Lambert<\/a>. Selon cette loi physique, l’absorbance optique A<\/em> d’une solution homog\u00e8ne est directement proportionnelle \u00e0 la concentration molaire C<\/em> de l’esp\u00e8ce absorbante et \u00e0 la longueur du trajet optique. Dans des conditions exp\u00e9rimentales rigoureusement ma\u00eetris\u00e9es avec soustraction pr\u00e9alable du bruit de fond du solvant (le \u00ab blanc \u00bb spectrophotom\u00e9trique), une concentration nulle en solut\u00e9 garantit une absorption nulle de photons. Tout mod\u00e8le pr\u00e9dictif int\u00e9grant une constante artificielle risquerait d’attribuer une densit\u00e9 spectrale fictive \u00e0 des milieux totalement purs.<\/p>\n

3.2 Transposition aux sciences comportementales et \u00e0 la psychom\u00e9trie<\/h3>\n

Bien que les sciences comportementales fassent un usage pr\u00e9dominant d’\u00e9chelles de mesure relatives ou d’intervalles arbitraires, certaines configurations exp\u00e9rimentales rigoureuses justifient l’adoption d’un mod\u00e8le sans constante. C’est particuli\u00e8rement le cas lors de l’analyse des temps d’acc\u00e8s cognitifs et des co\u00fbts attentionnels additifs mesur\u00e9s dans le cadre de t\u00e2ches de choix multiples, mod\u00e9lis\u00e9es sous l’\u00e9gide de la loi de Hick-Hyman ou du paradigme de soustraction de Donders.<\/p>\n

Dans les mod\u00e8les d’apprentissage moteur ou d’acquisition lexicale o\u00f9 la r\u00e9ponse mesure un gain incr\u00e9mental direct (ΔPerformance<\/em>) par rapport \u00e0 un \u00e9tat de r\u00e9f\u00e9rence initial cons\u00e9cutivement \u00e0 un temps d’entra\u00eenement T<\/em>, l’absence absolue d’intervention (T<\/em> = 0) entra\u00eene invariablement un gain de performance nul. Ajuster un mod\u00e8le autorisant une constante non nulle \u00e9quivaudrait \u00e0 postuler un apprentissage autonome spontan\u00e9 sans pratique ou, inversement, une d\u00e9gradation instantan\u00e9e non caus\u00e9e. De surcro\u00eet, dans les mod\u00e9lisations psychophysiques \u00e9valuant le taux de perception subliminale proportionnellement \u00e0 l’intensit\u00e9 d’un stimulus physique calibr\u00e9 en flux d’\u00e9nergie \u00e9l\u00e9mentaire (lux ou d\u00e9cibels acoustiques au-dessus du seuil absolu), la nullit\u00e9 du stimulus implique l’extinction probabiliste de l’\u00e9v\u00e9nement sensoriel.<\/p>\n

3.3 \u00c9conom\u00e9trie, finance et analyse des co\u00fbts<\/h3>\n

Dans l’analyse micro\u00e9conomique de la production, la th\u00e9orie classique des co\u00fbts op\u00e8re une distinction fondamentale entre les horizons temporels de court et de long terme. \u00c0 long terme, l’ensemble des facteurs de production (capital physique, installations, \u00e9quipements) devient pleinement variable. Par cons\u00e9quent, les charges fixes structurelles disparaissent int\u00e9gralement : en l’absence totale de production physique (Q<\/em> = 0), le co\u00fbt total de long terme s’annule strictement. La formalisation d’une fonction de co\u00fbt total de long terme homog\u00e8ne s’exprime alors naturellement par une r\u00e9gression sans constante CT<\/em> = β1<\/sub> Q<\/em> + ε, o\u00f9 le param\u00e8tre de pente repr\u00e9sente le co\u00fbt marginal moyen de long terme.<\/p>\n

En finance quantitative de march\u00e9, le prestigieux Mod\u00e8le d’\u00c9valuation des Actifs Financiers (MEDAF\/CAPM)<\/a>, formalis\u00e9 initialement par William Sharpe et John Lintner, postule que la prime de risque attendue d’un titre financier individuel [E(Ri<\/sub><\/em>) – Rf<\/sub><\/em>] est une fonction strictement lin\u00e9aire de la prime de risque du march\u00e9 [E(Rm<\/sub><\/em>) – Rf<\/sub><\/em>]. Sous la condition d’efficience informationnelle des march\u00e9s au sens de Fama, l’alpha de Jensen (αi<\/sub>, qui correspond math\u00e9matiquement \u00e0 l’intercepte de la r\u00e9gression temporelle) doit \u00eatre th\u00e9oriquement \u00e9gal \u00e0 z\u00e9ro pour tout actif ne d\u00e9livrant pas de rendement anormal non r\u00e9mun\u00e9r\u00e9 par le risque de march\u00e9 :<\/p>\n

[Ri,t<\/sub><\/em> – Rf,t<\/sub><\/em>] = βi<\/sub> [Rm,t<\/sub><\/em> – Rf,t<\/sub><\/em>] + εi,t<\/sub><\/p>\n

Imposer la contrainte de nullit\u00e9 de la constante permet alors d’obtenir une estimation non contamin\u00e9e du coefficient d’exposition syst\u00e9matique b\u00eata (βi<\/sub>), sous l’hypoth\u00e8se nulle conjointe d’absence d’opportunit\u00e9 d’arbitrage.<\/p>\n

4. Estimation des param\u00e8tres par les moindres carr\u00e9s ordinaires sans constante<\/h2>\n

4.1 D\u00e9rivation math\u00e9matique de la formule de la pente<\/h3>\n

Le principe fondamental de la m\u00e9thode des Moindres Carr\u00e9s Ordinaires (MCO)<\/a> repose sur la minimisation d\u00e9terministe de la somme des carr\u00e9s des \u00e9carts verticaux s\u00e9parant les points observ\u00e9s de la droite fonctionnelle postul\u00e9e. Pour le mod\u00e8le \u00e0 travers l’origine yi<\/sub><\/em> = β1<\/sub> xi<\/sub><\/em> + εi<\/sub>, la fonction de perte r\u00e9siduelle, not\u00e9e S<\/em>(β1<\/sub>), s’exprime sous la forme :<\/p>\n

S<\/em>(β1<\/sub>) = ∑i=1<\/sub>n<\/sup> (yi<\/sub><\/em> – β1<\/sub> xi<\/sub><\/em>)2<\/sup><\/p>\n

Pour d\u00e9terminer la valeur optimale de β1<\/sub> qui minimise cette quantit\u00e9, nous calculons la d\u00e9riv\u00e9e premi\u00e8re partielle de S<\/em> par rapport \u00e0 β1<\/sub> :<\/p>\n

∂S<\/em> \/ ∂β1<\/sub> = ∂ \/ ∂β1<\/sub> [∑i=1<\/sub>n<\/sup> (yi<\/sub><\/em>2<\/sup> – 2 β1<\/sub> xi<\/sub> yi<\/sub><\/em> + β1<\/sub>2<\/sup> xi<\/sub><\/em>2<\/sup>)] = -2 ∑i=1<\/sub>n<\/sup> xi<\/sub> yi<\/sub><\/em> + 2 β1<\/sub> ∑i=1<\/sub>n<\/sup> xi<\/sub><\/em>2<\/sup><\/p>\n

L’\u00e9galisation de cette d\u00e9riv\u00e9e \u00e0 z\u00e9ro (condition de premier ordre pour l’identification d’un extremum global) conduit \u00e0 l’\u00e9quation normale unique du mod\u00e8le :<\/p>\n

-2 ∑i=1<\/sub>n<\/sup> xi<\/sub> yi<\/sub><\/em> + 2 b\u0302<\/em>1<\/sub> ∑i=1<\/sub>n<\/sup> xi<\/sub><\/em>2<\/sup> = 0   ⇒   b\u0302<\/em>1<\/sub> ∑i=1<\/sub>n<\/sup> xi<\/sub><\/em>2<\/sup> = ∑i=1<\/sub>n<\/sup> xi<\/sub> yi<\/sub><\/em><\/p>\n

D\u00e8s lors que la variable explicative pr\u00e9sente au moins une valeur non nulle, le terme quadratique ∑ xi<\/sub><\/em>2<\/sup> est strictement positif, ce qui permet d’isoler analytiquement l’estimateur des moindres carr\u00e9s sans constante :<\/p>\n

b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> = (∑i=1<\/sub>n<\/sup> xi<\/sub> yi<\/sub><\/em>) \/ (∑i=1<\/sub>n<\/sup> xi<\/sub><\/em>2<\/sup>)<\/p>\n

La d\u00e9riv\u00e9e seconde ∂2<\/sup>S<\/em> \/ ∂β1<\/sub>2<\/sup> = 2 ∑ xi<\/sub><\/em>2<\/sup> \u00e9tant strictement positive, la solution analytique obtenue correspond rigoureusement au minimum global unique de la surface d’erreur.<\/p>\n

4.2 Comparaison analytique avec l’estimateur de la r\u00e9gression classique<\/h3>\n

La divergence entre l’estimateur sans constante et son homologue issu du mod\u00e8le classique met en lumi\u00e8re des propri\u00e9t\u00e9s fondamentales de pond\u00e9ration g\u00e9om\u00e9trique. Dans la r\u00e9gression affine standard avec intercepte β0<\/sub> libre, la pente estim\u00e9e s’\u00e9crit conventionnellement :<\/p>\n

b\u0302<\/em>1, OLS<\/sub> = (∑i=1<\/sub>n<\/sup> (xi<\/sub><\/em> – x\u0304<\/em>)(yi<\/sub><\/em> – \u0233<\/em>)) \/ (∑i=1<\/sub>n<\/sup> (xi<\/sub><\/em> – x\u0304<\/em>)2<\/sup>)<\/p>\n

Une comparaison terme \u00e0 terme r\u00e9v\u00e8le imm\u00e9diatement que l’estimateur RTO op\u00e8re sur les moments bruts non centr\u00e9s<\/strong> du premier et du second ordre (∑ xi<\/sub> yi<\/sub><\/em> et ∑ xi<\/sub><\/em>2<\/sup>), alors que le mod\u00e8le classique neutralise pr\u00e9alablement le niveau moyen des s\u00e9ries par un centrage syst\u00e9matique autour du barycentre d’\u00e9chantillonnage (∑ (xi<\/sub><\/em> – x\u0304<\/em>)2<\/sup>). Dans la r\u00e9gression sans constante, le d\u00e9nominateur repr\u00e9sente l’\u00e9nergie g\u00e9om\u00e9trique totale du signal plut\u00f4t que sa variance empirique.<\/p>\n

Cette absence de centrage a des cons\u00e9quences m\u00e9caniques consid\u00e9rables : dans le calcul de b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub>, chaque observation individuelle est implicitement pond\u00e9r\u00e9e par l’amplitude absolue de sa coordonn\u00e9e xi<\/sub><\/em> et non par son \u00e9cart \u00e0 la moyenne (xi<\/sub><\/em> – x\u0304<\/em>). Les points situ\u00e9s loin de l’origine (grandes valeurs absolues de x<\/em>) exercent un bras de levier disproportionn\u00e9 sur la trajectoire angulaire de la droite, tandis que les observations nich\u00e9es \u00e0 proximit\u00e9 imm\u00e9diate de l’origine ont un impact marginal quasi n\u00e9gligeable sur l’orientation de la pente, bien qu’elles soient situ\u00e9es pr\u00e8s du point d’ancrage d\u00e9terministe.<\/p>\n

4.3 Calcul de la variance et de l’erreur-type du param\u00e8tre<\/h3>\n

Pour d\u00e9terminer la pr\u00e9cision d’\u00e9chantillonnage de l’estimateur b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub>, calculons sa variance th\u00e9orique sous les postulats d’homosc\u00e9dasticit\u00e9 et d’ind\u00e9pendance des erreurs stochastiques. Sachant que b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> = ∑ wi<\/sub> yi<\/sub><\/em>, o\u00f9 les poids d\u00e9terministes sont formalis\u00e9s par wi<\/sub><\/em> = xi<\/sub><\/em> \/ ∑ xj<\/sub><\/em>2<\/sup>, la variance s’\u00e9tablit par lin\u00e9arit\u00e9 des op\u00e9rateurs de dispersion :<\/p>\n

Var(b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> | X<\/strong>) = Var(∑i=1<\/sub>n<\/sup> wi<\/sub> yi<\/sub><\/em>) = ∑i=1<\/sub>n<\/sup> wi<\/sub><\/em>2<\/sup> Var(yi<\/sub><\/em> | xi<\/sub><\/em>) = σ2<\/sup> ∑i=1<\/sub>n<\/sup> (xi<\/sub><\/em> \/ ∑j=1<\/sub>n<\/sup> xj<\/sub><\/em>2<\/sup>)2<\/sup><\/p>\n

En factorisant le d\u00e9nominateur constant, l’expression se simplifie de mani\u00e8re remarquable :<\/p>\n

Var(b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> | X<\/strong>) = σ2<\/sup> · (∑i=1<\/sub>n<\/sup> xi<\/sub><\/em>2<\/sup>) \/ (∑j=1<\/sub>n<\/sup> xj<\/sub><\/em>2<\/sup>)2<\/sup> = σ2<\/sup> \/ (∑i=1<\/sub>n<\/sup> xi<\/sub><\/em>2<\/sup>)<\/p>\n

Dans la pratique empirique, la variance intrins\u00e8que des perturbations σ2<\/sup> est inconnue et doit \u00eatre estim\u00e9e sans biais \u00e0 partir de la somme des carr\u00e9s des r\u00e9sidus du mod\u00e8le contraint. Comme l’estimation n’implique qu’un seul degr\u00e9 de libert\u00e9 param\u00e9trique, l’estimateur non biais\u00e9 de la variance r\u00e9siduelle s’\u00e9crit :<\/p>\n

s<\/em>2<\/sup> = S<\/em>e<\/sub>2<\/sup> = (∑i=1<\/sub>n<\/sup> (yi<\/sub><\/em> – b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> xi<\/sub><\/em>)2<\/sup>) \/ (n<\/em> – 1)<\/p>\n

L’erreur-type (ou standard error<\/em>) estim\u00e9e du coefficient de pente s’obtient alors en extrayant la racine carr\u00e9e du quotient de dispersion :<\/p>\n

SE(b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub>) = √(s<\/em>2<\/sup> \/ ∑i=1<\/sub>n<\/sup> xi<\/sub><\/em>2<\/sup>) = s<\/em> \/ √(∑i=1<\/sub>n<\/sup> xi<\/sub><\/em>2<\/sup>)<\/p>\n

5. Propri\u00e9t\u00e9s statistiques des estimateurs dans la r\u00e9gression \u00e0 l’origine<\/h2>\n

5.1 Le th\u00e9or\u00e8me de Gauss-Markov sans terme constant<\/h3>\n

Le prestigieux th\u00e9or\u00e8me de Gauss-Markov<\/a> s’applique parfaitement au cadre de la r\u00e9gression lin\u00e9aire contrainte, \u00e0 la condition expresse et imp\u00e9rative que la sp\u00e9cification structurelle du mod\u00e8le soit rigoureusement exacte. Si le v\u00e9ritable processus g\u00e9n\u00e9rateur de donn\u00e9es (PGD) est de la forme yi<\/sub><\/em> = β1<\/sub> xi<\/sub><\/em> + εi<\/sub> avec E(εi<\/sub> | xi<\/sub><\/em>) = 0, l’estimateur b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> satisfait le crit\u00e8re de non-biais statistique :<\/p>\n

E(b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub>) = E[(∑ xi<\/sub><\/em> (β1<\/sub> xi<\/sub><\/em> + εi<\/sub>)) \/ (∑ xi<\/sub><\/em>2<\/sup>)] = β1<\/sub> + E[(∑ xi<\/sub> εi<\/sub><\/em>) \/ (∑ xi<\/sub><\/em>2<\/sup>)] = β1<\/sub><\/p>\n

Sous ces conditions strictes, b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> est le meilleur estimateur lin\u00e9aire non biais\u00e9 (BLUE, pour Best Linear Unbiased Estimator<\/em>) de la pente. Sa variance th\u00e9orique est strictement inf\u00e9rieure \u00e0 celle de l’estimateur de la r\u00e9gression classique b\u0302<\/em>1, OLS<\/sub>, car le d\u00e9nominateur ∑ xi<\/sub><\/em>2<\/sup> est syst\u00e9matiquement sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 ∑ (xi<\/sub><\/em> – x\u0304<\/em>)2<\/sup>.<\/p>\n

Cependant, si le v\u00e9ritable mod\u00e8le de la population comporte une ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine non nulle β0<\/sub> ≠ 0 (mauvaise sp\u00e9cification), l’estimateur sans constante subit un biais syst\u00e9matique d’omission<\/strong> irr\u00e9ductible et d\u00e9vastateur :<\/p>\n

E(b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub>) = E[(∑ xi<\/sub><\/em> (β0<\/sub> + β1<\/sub> xi<\/sub><\/em> + εi<\/sub>)) \/ (∑ xi<\/sub><\/em>2<\/sup>)] = β1<\/sub> + β0<\/sub> · (∑ xi<\/sub><\/em>) \/ (∑ xi<\/sub><\/em>2<\/sup>) = β1<\/sub> + β0<\/sub> · (n x\u0304<\/em>) \/ (∑ xi<\/sub><\/em>2<\/sup>)<\/p>\n

Ce biais ne tend pas vers z\u00e9ro lorsque la taille d’\u00e9chantillon n<\/em> s’approche de l’infini, rendant l’estimateur asymptotiquement inconsistant si la moyenne x\u0304<\/em> est non nulle.<\/p>\n

5.2 Somme des r\u00e9sidus et absence de recentrage automatique<\/h3>\n

Une m\u00e9prise fr\u00e9quente chez les utilisateurs des progiciels statistiques concerne le comportement des r\u00e9sidus d’\u00e9chantillonnage ei<\/sub><\/em> = yi<\/sub><\/em> – b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> xi<\/sub><\/em>. Dans une r\u00e9gression avec intercepte, la condition de premier ordre ∂S<\/em>\/∂β0<\/sub> = 0 force alg\u00e9briquement l’annulation de la somme arithm\u00e9tique des r\u00e9sidus : ∑ ei<\/sub><\/em> = 0. En r\u00e9gression \u00e0 travers l’origine, cette condition dispara\u00eet totalement. En lieu et place, la condition d’orthogonalit\u00e9 impose uniquement que :<\/p>\n

∑i=1<\/sub>n<\/sup> xi<\/sub> ei<\/sub><\/em> = 0<\/p>\n

Par cons\u00e9quent, les r\u00e9sidus sont orthogonaux au vecteur du r\u00e9gresseur x<\/strong>, mais ils ne sont plus orthogonaux au vecteur constant 1<\/strong>. Il s’ensuit que :<\/p>\n

∑i=1<\/sub>n<\/sup> ei<\/sub><\/em> ≠ 0   ⇒   \u0113<\/em> ≠ 0<\/p>\n

Cette d\u00e9rive r\u00e9siduelle implique directement que la moyenne empirique des valeurs pr\u00e9dites n’est pas \u00e9gale \u00e0 la moyenne empirique des valeurs observ\u00e9es de la variable d\u00e9pendante : \u0233\u0302<\/em> ≠ \u0233<\/em>. Le mod\u00e8le peut ainsi accumuler un biais global de sous-estimation ou de surestimation sur l’ensemble de la s\u00e9rie temporelle ou spatiale \u00e9tudi\u00e9e.<\/p>\n

5.3 Distribution d’\u00e9chantillonnage et intervalles de confiance<\/h3>\n

Lorsque le terme d’erreur stochastique ob\u00e9it \u00e0 une distribution normale multivari\u00e9e selon l’hypoth\u00e8se εi<\/sub> ~ i.i.d. Ν(0, σ2<\/sup>), le quotient standardis\u00e9 de l’estimateur par son erreur-type suit rigoureusement une loi de Student<\/a> \u00e0 n<\/em> – 1 degr\u00e9s de libert\u00e9 :<\/p>\n

T<\/em> = (b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> – β1<\/sub>) \/ SE(b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub>) ~ t<\/em>(n-1)<\/sub><\/p>\n

Cette propri\u00e9t\u00e9 distributionnelle permet de b\u00e2tir des tests d’hypoth\u00e8ses unilat\u00e9raux ou bilat\u00e9raux et d’\u00e9tablir des intervalles de confiance exacts. Pour un niveau de confiance fix\u00e9 \u00e0 (1 – α), l’intervalle de confiance encadrant le param\u00e8tre th\u00e9orique β1<\/sub> est d\u00e9fini par :<\/p>\n

IC(1-α)<\/sub>(β1<\/sub>) = [ b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> – t<\/em>(1-α\/2, n-1)<\/sub> · SE(b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub>)  ;  b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> + t<\/em>(1-α\/2, n-1)<\/sub> · SE(b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub>) ]<\/p>\n

Sous les conditions de r\u00e9gularit\u00e9 asymptotique garanties par le th\u00e9or\u00e8me central limite, cette convergence vers la normalit\u00e9 demeure robuste face aux d\u00e9viations mod\u00e9r\u00e9es de l’hypoth\u00e8se de gaussianit\u00e9 des erreurs, \u00e0 mesure que n<\/em> tend vers des dimensions substantielles.<\/p>\n

6. La probl\u00e9matique critique du coefficient de d\u00e9termination (R\u00b2)<\/h2>\n

6.1 La d\u00e9composition d\u00e9faillante de la somme des carr\u00e9s<\/h3>\n

Le point le plus litigieux et la source d’erreurs logicielles la plus document\u00e9e de la r\u00e9gression sans constante r\u00e9side dans l’interpr\u00e9tation et le calcul du coefficient de d\u00e9termination<\/a> R<\/em>2<\/sup>. Dans le mod\u00e8le de r\u00e9gression lin\u00e9aire affine classique avec intercepte, la variabilit\u00e9 totale de la variable expliqu\u00e9e se d\u00e9compose de fa\u00e7on parfaite selon l’identit\u00e9 fondamentale de l’ANOVA :<\/p>\n

SSTcentr\u00e9<\/sub> = SSMcentr\u00e9<\/sub> + SSR<\/p>\n

∑i=1<\/sub>n<\/sup> (yi<\/sub><\/em> – \u0233<\/em>)2<\/sup> = ∑i=1<\/sub>n<\/sup> (\u0177i<\/sub><\/em> – \u0233<\/em>)2<\/sup> + ∑i=1<\/sub>n<\/sup> (yi<\/sub><\/em> – \u0177i<\/sub><\/em>)2<\/sup><\/p>\n

Cette orthogonalit\u00e9 stricte entre les \u00e9carts du mod\u00e8le et les r\u00e9sidus d’ajustement est une cons\u00e9quence directe de la pr\u00e9sence de la constante, laquelle garantit que ∑ (yi<\/sub><\/em> – \u0177i<\/sub><\/em>) = 0 et que ∑ \u0177i<\/sub><\/em>(yi<\/sub><\/em> – \u0177i<\/sub><\/em>) = 0. En l’absence d’intercepte, le double produit crois\u00e9 2 ∑ (\u0177i<\/sub><\/em> – \u0233<\/em>)(yi<\/sub><\/em> – \u0177i<\/sub><\/em>) ne s’annule plus ! Il s’ensuit que la somme des carr\u00e9s r\u00e9siduels (SSR) peut parfaitement d\u00e9passer la somme des carr\u00e9s totale centr\u00e9e (SSTcentr\u00e9<\/sub>).<\/p>\n

Si un logiciel applique na\u00efvement la formule conventionnelle R<\/em>2<\/sup> = 1 – (SSR \/ SSTcentr\u00e9<\/sub>), le ratio peut exc\u00e9der l’unit\u00e9, conduisant math\u00e9matiquement \u00e0 un coefficient de d\u00e9termination n\u00e9gatif<\/strong> :<\/p>\n

R<\/em>2<\/sup> = 1 – (∑ (yi<\/sub><\/em> – \u0177i<\/sub><\/em>)2<\/sup>) \/ (∑ (yi<\/sub><\/em> – \u0233<\/em>)2<\/sup>) < 0<\/p>\n

Un R<\/em>2<\/sup> n\u00e9gatif signifie simplement que la droite issue de la r\u00e9gression sans constante effectue des pr\u00e9dictions empiriques globalement pires que celles qui r\u00e9sulteraient de la simple assignation de la constante triviale \u0233<\/em> \u00e0 l’ensemble des observations.<\/p>\n

\"regression
regression through the origin<\/figcaption><\/figure>\n

6.2 Le R\u00b2 non centr\u00e9 ou brut : D\u00e9finition et controverses<\/h3>\n

Pour contourner l’embarras m\u00e9thodologique provoqu\u00e9 par des R<\/em>2<\/sup> n\u00e9gatifs, de nombreux concepteurs de progiciels statistiques (notamment SAS, SPSS ou le r\u00e9capitulatif par d\u00e9faut du langage R) basculent automatiquement, lors de l’omission de la constante, vers le coefficient de d\u00e9termination non centr\u00e9<\/strong> (raw R<\/em>2<\/sup>) :<\/p>\n

R<\/em>2<\/sup>non centr\u00e9<\/sub> = (∑i=1<\/sub>n<\/sup> \u0177i<\/sub><\/em>2<\/sup>) \/ (∑i=1<\/sub>n<\/sup> yi<\/sub><\/em>2<\/sup>) = 1 – (∑i=1<\/sub>n<\/sup> (yi<\/sub><\/em> – \u0177i<\/sub><\/em>)2<\/sup>) \/ (∑i=1<\/sub>n<\/sup> yi<\/sub><\/em>2<\/sup>)<\/p>\n

Sous cette formulation, la variation est mesur\u00e9e non plus par rapport \u00e0 la moyenne empirique \u0233<\/em>, mais par rapport au point z\u00e9ro cart\u00e9sien absolu. L’\u00e9galit\u00e9 non centr\u00e9e ∑ yi<\/sub><\/em>2<\/sup> = ∑ \u0177i<\/sub><\/em>2<\/sup> + ∑ ei<\/sub><\/em>2<\/sup> est alors strictement v\u00e9rifi\u00e9e, ce qui force le R<\/em>2<\/sup>non centr\u00e9<\/sub> \u00e0 demeurer confin\u00e9 dans l’intervalle canonique [0, 1].<\/p>\n

Toutefois, cette man\u0153uvre cr\u00e9e une illusion d’ajustement majeure. La quantit\u00e9 ∑ yi<\/sub><\/em>2<\/sup> est habituellement colossale par rapport \u00e0 ∑ (yi<\/sub><\/em> – \u0233<\/em>)2<\/sup>, en particulier lorsque la moyenne de la variable r\u00e9ponse est nettement \u00e9loign\u00e9e de z\u00e9ro. Le d\u00e9nominateur se trouvant artificiellement gonfl\u00e9, le R<\/em>2<\/sup>non centr\u00e9<\/sub> affiche fr\u00e9quemment des valeurs spectaculairement \u00e9lev\u00e9es (sup\u00e9rieures \u00e0 0,95 ou 0,98), dissimulant une qualit\u00e9 de pr\u00e9diction intrins\u00e8que m\u00e9diocre. Il est formellement interdit de comparer le R\u00b2 non centr\u00e9 d’un mod\u00e8le sans constante avec le R\u00b2 conventionnel d’un mod\u00e8le affine standard<\/strong> ; une telle comparaison est d\u00e9pourvue de toute coh\u00e9rence math\u00e9matique.<\/p>\n

6.3 M\u00e9triques alternatives pour \u00e9valuer l’ajustement sans constante<\/h3>\n

Face \u00e0 la d\u00e9faillance structurelle du coefficient de d\u00e9termination, l’\u00e9valuation de la performance d’un mod\u00e8le \u00e0 travers l’origine doit s’\u00e9manciper du r\u00e9flexe du R<\/em>2<\/sup> et se tourner vers des indicateurs d’erreur absolue non sujets aux ambigu\u00eft\u00e9s de recentrage. La premi\u00e8re m\u00e9trique de choix est l’erreur quadratique moyenne<\/a> (MSE pour Mean Squared Error<\/em>) et sa racine carr\u00e9e (RMSE) :<\/p>\n

RMSE = √[ (1 \/ n<\/em>) ∑i=1<\/sub>n<\/sup> (yi<\/sub><\/em> – \u0177i<\/sub><\/em>)2<\/sup> ]<\/p>\n

Le RMSE pr\u00e9sente l’avantage fondamental d’exprimer la dispersion des r\u00e9sidus directement dans l’unit\u00e9 physique de mesure de la variable d\u00e9pendante y<\/em>. En compl\u00e9ment, l’erreur absolue moyenne (MAE) offre une lecture robuste face aux points aberrants :<\/p>\n

MAE = (1 \/ n<\/em>) ∑i=1<\/sub>n<\/sup> |yi<\/sub><\/em> – \u0177i<\/sub><\/em>|<\/p>\n

Pour l’arbitrage formel entre plusieurs sp\u00e9cifications concurrentes, il convient d’employer les crit\u00e8res d’information p\u00e9nalis\u00e9s, tels que le crit\u00e8re d’information d’Akaike<\/a> (AIC) ou le crit\u00e8re d’information bay\u00e9sien (BIC), calcul\u00e9s directement \u00e0 partir de la fonction de vraisemblance non centr\u00e9e :<\/p>\n

AIC = n<\/em> · ln(SSR \/ n<\/em>) + 2k<\/em>,   o\u00f9 k<\/em> = 1 pour le mod\u00e8le sans constante<\/p>\n

Enfin, la proc\u00e9dure de validation crois\u00e9e k<\/em>-blocs (k-fold cross-validation<\/em>) constitue le test de r\u00e9f\u00e9rence absolu pour mesurer la capacit\u00e9 de g\u00e9n\u00e9ralisation r\u00e9elle du mod\u00e8le sur des \u00e9chantillons non vus.<\/p>\n

7. Diagnostic des r\u00e9sidus et v\u00e9rification des hypoth\u00e8ses fondamentales<\/h2>\n

7.1 Homosc\u00e9dasticit\u00e9 et h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 le long de la droite<\/h3>\n

Dans la r\u00e9gression lin\u00e9aire sans constante, l’hypoth\u00e8se d’homosc\u00e9dasticit\u00e9 (variance constante du terme d’erreur) est tr\u00e8s fr\u00e9quemment viol\u00e9e dans les applications concr\u00e8tes. Dans les syst\u00e8mes physiques, biologiques ou financiers o\u00f9 une valeur nulle de x<\/em> conditionne imp\u00e9rativement une valeur nulle de y<\/em>, la variabilit\u00e9 stochastique tend naturellement \u00e0 s’\u00e9tendre en \u00e9ventail \u00e0 mesure que l’on s’\u00e9carte de l’origine. L’erreur r\u00e9siduelle pr\u00e9sente alors un profil en c\u00f4ne caract\u00e9ristique, traduisant une h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9<\/a> marqu\u00e9e o\u00f9 Var(εi<\/sub> | xi<\/sub><\/em>) = σ2<\/sup> xi<\/sub><\/em> ou σ2<\/sup> xi<\/sub><\/em>2<\/sup>.<\/p>\n

Les tests d’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 classiques, tels que le test de Breusch-Pagan ou le test de White, doivent \u00eatre d\u00e9ploy\u00e9s avec rigueur en utilisant les r\u00e9sidus issus du mod\u00e8le contraint. Lorsque l’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 est formellement caract\u00e9ris\u00e9e, l’estimateur des moindres carr\u00e9s ordinaires perd son statut de variance minimale. Il devient alors indispensable de recourir \u00e0 la m\u00e9thode des moindres carr\u00e9s pond\u00e9r\u00e9s<\/strong> (WLS pour Weighted Least Squares<\/em>), attribuant \u00e0 chaque observation un poids inversement proportionnel \u00e0 sa variance pr\u00e9sum\u00e9e (wi<\/sub><\/em> = 1 \/ xi<\/sub><\/em>), ou d’adopter des estimateurs de variance-covariance robustes de type White-Huber (sandwich estimators).<\/p>\n

7.2 D\u00e9tection des observations influentes et points de levier<\/h3>\n

L’absence d’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine modifie fondamentalement la g\u00e9om\u00e9trie de projection de la matrice chapeau H<\/strong> = X<\/strong>(X<\/strong>T<\/sup>X<\/strong>)-1<\/sup>X<\/strong>T<\/sup>. Pour la r\u00e9gression simple sans constante, l’\u00e9l\u00e9ment diagonal de cette matrice, not\u00e9 hii<\/sub><\/em> et quantifiant la valeur de levier (leverage<\/em>) de la i<\/em>-i\u00e8me observation, prend la forme math\u00e9matique suivante :<\/p>\n

hii<\/sub><\/em> = xi<\/sub><\/em>2<\/sup> \/ (∑j=1<\/sub>n<\/sup> xj<\/sub><\/em>2<\/sup>)<\/p>\n

Cette expression tranche nettement avec le mod\u00e8le lin\u00e9aire classique, o\u00f9 le levier vaut hii, OLS<\/sub><\/em> = (1 \/ n<\/em>) + (xi<\/sub><\/em> – x\u0304<\/em>)2<\/sup> \/ ∑ (xj<\/sub><\/em> – x\u0304<\/em>)2<\/sup>. Dans le mod\u00e8le sans intercepte, le levier ne d\u00e9pend que de l’amplitude quadratique absolue de xi<\/sub><\/em>. Une observation dont le r\u00e9gresseur se situe \u00e0 l’extr\u00e9mit\u00e9 sup\u00e9rieure de la distribution poss\u00e8de un pouvoir d’influence disproportionn\u00e9 sur l’estimation de la pente. La suppression ou l’alt\u00e9ration d’un unique point d’\u00e9chantillonnage \u00e9loign\u00e9 peut faire basculer la droite autour de l’axe d’ancrage (0, 0).<\/p>\n

La d\u00e9tection de ces points critiques requiert l’adaptation des statistiques d’influence, notamment la distance de Cook Di<\/sub><\/em>, qui doit int\u00e9grer un nombre de param\u00e8tres p<\/em> = 1 :<\/p>\n

Di<\/sub><\/em> = [ ei<\/sub><\/em>2<\/sup> \/ (1 · s<\/em>2<\/sup>) ] · [ hii<\/sub><\/em> \/ (1 – hii<\/sub><\/em>)2<\/sup> ]<\/p>\n

Tout seuil de levier exc\u00e9dant la recommandation conventionnelle 2 \/ n<\/em> doit inciter \u00e0 une inspection minutieuse des donn\u00e9es au moyen de r\u00e9gressions robustes (estimateurs M de Huber ou m\u00e9thode Theil-Sen modifi\u00e9e).<\/p>\n

7.3 Lin\u00e9arit\u00e9 locale et absence d’effets de seuil<\/h3>\n

L’examen graphique des r\u00e9sidus en fonction des valeurs ajust\u00e9es (ei<\/sub><\/em> en fonction de \u0177i<\/sub><\/em>) rev\u00eat une importance capitale pour attester de la validit\u00e9 de la r\u00e9gression sans constante. Dans une configuration valide, les r\u00e9sidus doivent fluctuer de fa\u00e7on purement al\u00e9atoire au sein d’une bande horizontale centr\u00e9e sur l’axe z\u00e9ro. Si l’on observe une d\u00e9formation curviligne syst\u00e9matique, particuli\u00e8rement aux faibles valeurs de \u0177<\/em>, l’hypoth\u00e8se de lin\u00e9arit\u00e9 locale \u00e0 l’origine est manifestement compromise.<\/p>\n

Dans de nombreuses disciplines exp\u00e9rimentales, il existe des ph\u00e9nom\u00e8nes d’inertie initiale, souvent d\u00e9nomm\u00e9s \u00ab effets plancher \u00bb ou \u00ab zones de l\u00e9thargie \u00bb. Par exemple, dans les \u00e9tudes pharmacocin\u00e9tiques, un principe actif peut ne produire aucun effet physiologique mesurable tant que sa concentration sanguine n’a pas franchi un seuil minimal d’activation τ. Tenter d’ajuster un mod\u00e8le lin\u00e9aire sans constante sur l’int\u00e9gralit\u00e9 du domaine revient \u00e0 forcer une r\u00e9gression rectiligne au travers d’une fonction sigmo\u00efde ou discontinue, introduisant une distorsion massive tant \u00e0 l’origine que sur les pr\u00e9dictions asymptotiques. Des tests de sp\u00e9cification fonctionnelle, tels que le test RESET de Ramsey adapt\u00e9 \u00e0 l’omission d’intercepte, permettent de rejeter formellement l’hypoth\u00e8se de lin\u00e9arit\u00e9 pure.<\/p>\n

8. Exemple empirique guid\u00e9 : Calculs d\u00e9taill\u00e9s et interpr\u00e9tation pas \u00e0 pas<\/h2>\n

8.1 Pr\u00e9sentation du jeu de donn\u00e9es et contexte substantiel<\/h3>\n

Pour illustrer de mani\u00e8re limpide et p\u00e9dagogique l’application int\u00e9grale de la r\u00e9gression \u00e0 travers l’origine, consid\u00e9rons une \u00e9tude exp\u00e9rimentale issue des sciences de l’ing\u00e9nierie logicielle et des sciences cognitives. Un laboratoire de recherche \u00e9value l’efficacit\u00e9 d’un module d’apprentissage intensif par simulation destin\u00e9 \u00e0 former des op\u00e9rateurs de syst\u00e8mes critiques. L’objectif est d’\u00e9tudier la relation entre la dur\u00e9e totale de pratique simul\u00e9e (not\u00e9e x<\/em>, mesur\u00e9e rigoureusement en dizaines d’heures) et le nombre de comp\u00e9tences op\u00e9rationnelles avanc\u00e9es valid\u00e9es lors d’un test standardis\u00e9 (not\u00e9 y<\/em>).<\/p>\n

Sur le plan th\u00e9orique substantiel, l’environnement de test est con\u00e7u de fa\u00e7on si sp\u00e9cifique et s\u00e9curis\u00e9e qu’un op\u00e9rateur n’ayant b\u00e9n\u00e9fici\u00e9 d’aucune heure de formation (x<\/em> = 0) dispose de comp\u00e9tences techniques strictement nulles (y<\/em> = 0). L’hypoth\u00e8se fondamentale x<\/em> = 0 ⇒ y<\/em> = 0 est ontologiquement indiscutable. L’\u00e9chantillon d’essai comporte n<\/em> = 8 op\u00e9rateurs s\u00e9lectionn\u00e9s al\u00e9atoirement. Les observations appari\u00e9es se d\u00e9clinent comme suit :<\/p>\n

Op\u00e9rateur 1 : (x<\/em>1<\/sub> = 1, y<\/em>1<\/sub> = 2,5)  |  Op\u00e9rateur 2 : (x<\/em>2<\/sub> = 2, y<\/em>2<\/sub> = 5,1)
\nOp\u00e9rateur 3 : (x<\/em>3<\/sub> = 3, y<\/em>3<\/sub> = 7,4)  |  Op\u00e9rateur 4 : (x<\/em>4<\/sub> = 4, y<\/em>4<\/sub> = 10,2)
\nOp\u00e9rateur 5 : (x<\/em>5<\/sub> = 5, y<\/em>5<\/sub> = 12,0)  |  Op\u00e9rateur 6 : (x<\/em>6<\/sub> = 6, y<\/em>6<\/sub> = 14,8)
\nOp\u00e9rateur 7 : (x<\/em>7<\/sub> = 7, y<\/em>7<\/sub> = 17,9)  |  Op\u00e9rateur 8 : (x<\/em>8<\/sub> = 8, y<\/em>8<\/sub> = 19,8)<\/p>\n

8.2 Calcul manuel complet de la pente et des erreurs-types<\/h3>\n

Afin de d\u00e9terminer les param\u00e8tres d’ajustement sans constante avec une transparence math\u00e9matique absolue, dressons le tableau exhaustif des produits crois\u00e9s et des termes quadratiques requis pour l’application des formules des moindres carr\u00e9s :<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Indice i<\/em><\/th>\nxi<\/sub><\/em><\/th>\nyi<\/sub><\/em><\/th>\nxi<\/sub> yi<\/sub><\/em><\/th>\nxi<\/sub><\/em>2<\/sup><\/th>\nValeur ajust\u00e9e \u0177i<\/sub><\/em><\/th>\nR\u00e9sidu ei<\/sub><\/em><\/th>\nR\u00e9sidu au carr\u00e9 ei<\/sub><\/em>2<\/sup><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
1<\/td>\n1<\/td>\n2,5<\/td>\n2,5<\/td>\n1<\/td>\n2,5107<\/td>\n-0,0107<\/td>\n0,00011<\/td>\n<\/tr>\n
2<\/td>\n2<\/td>\n5,1<\/td>\n10,2<\/td>\n4<\/td>\n5,0214<\/td>\n+0,0786<\/td>\n0,00618<\/td>\n<\/tr>\n
3<\/td>\n3<\/td>\n7,4<\/td>\n22,2<\/td>\n9<\/td>\n7,5321<\/td>\n-0,1321<\/td>\n0,01745<\/td>\n<\/tr>\n
4<\/td>\n4<\/td>\n10,2<\/td>\n40,8<\/td>\n16<\/td>\n10,0428<\/td>\n+0,1572<\/td>\n0,02471<\/td>\n<\/tr>\n
5<\/td>\n5<\/td>\n12,0<\/td>\n60,0<\/td>\n25<\/td>\n12,5535<\/td>\n-0,5535<\/td>\n0,30636<\/td>\n<\/tr>\n
6<\/td>\n6<\/td>\n14,8<\/td>\n88,8<\/td>\n36<\/td>\n15,0642<\/td>\n-0,2642<\/td>\n0,06980<\/td>\n<\/tr>\n
7<\/td>\n7<\/td>\n17,9<\/td>\n125,3<\/td>\n49<\/td>\n17,5749<\/td>\n+0,3251<\/td>\n0,10569<\/td>\n<\/tr>\n
8<\/td>\n8<\/td>\n19,8<\/td>\n158,4<\/td>\n64<\/td>\n20,0856<\/td>\n-0,2856<\/td>\n0,08157<\/td>\n<\/tr>\n
Total (∑)<\/td>\n36<\/td>\n89,7<\/td>\n508,2<\/td>\n204<\/td>\n89,8852<\/td>\n-0,6852<\/td>\n0,61187<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Le calcul de la pente optimale s’effectue directement par le quotient des sommes non centr\u00e9es :<\/p>\n

b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> = (∑ xi<\/sub> yi<\/sub><\/em>) \/ (∑ xi<\/sub><\/em>2<\/sup>) = 508,2 \/ 204 &approx; 2,491176<\/strong> (arrondi \u00e0 2,4912)<\/p>\n

Observons imm\u00e9diatement la confirmation empirique de nos d\u00e9monstrations ant\u00e9rieures : la somme des r\u00e9sidus n’est pas nulle (∑ ei<\/sub><\/em> = -0,6852 ≠ 0), et la somme des valeurs pr\u00e9dites (∑ \u0177i<\/sub><\/em> = 89,8852) diff\u00e8re l\u00e9g\u00e8rement de la somme des observations r\u00e9elles (∑ yi<\/sub><\/em> = 89,70).<\/p>\n

Calculons maintenant la variance r\u00e9siduelle non biais\u00e9e s<\/em>2<\/sup> avec n<\/em> – 1 = 8 – 1 = 7 degr\u00e9s de libert\u00e9 :<\/p>\n

s<\/em>2<\/sup> = SSR \/ (n<\/em> – 1) = 0,61187 \/ 7 &approx; 0,08741<\/strong><\/p>\n

L’erreur-type du coefficient s’obtient alors en rapportant cette variance \u00e0 la somme des carr\u00e9s de x<\/em> :<\/p>\n

SE(b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub>) = √(s<\/em>2<\/sup> \/ ∑ xi<\/sub><\/em>2<\/sup>) = √(0,08741 \/ 204) = √(0,00042848) &approx; 0,02070<\/strong><\/p>\n

8.3 Conduite du test d’hypoth\u00e8se et intervalle de confiance<\/h3>\n

Pour statuer sur l’efficacit\u00e9 globale du programme de formation, formulons le test statistique portant sur la significativit\u00e9 de l’effet d’entra\u00eenement. Les hypoth\u00e8ses s’\u00e9noncent :<\/p>\n

H<\/em>0<\/sub> : β1<\/sub> = 0   versus   H<\/em>1<\/sub> : β1<\/sub> ≠ 0<\/p>\n

La statistique empirique de Student se calcule selon la formule usuelle :<\/p>\n

t<\/em>calcul\u00e9<\/sub> = b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> \/ SE(b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub>) = 2,4912 \/ 0,02070 &approx; 120,35<\/strong><\/p>\n

Pour un seuil de risque bilat\u00e9ral α = 0,05 avec 7 degr\u00e9s de libert\u00e9, la valeur critique tabul\u00e9e dans la table de la loi de Student est t<\/em>(0,975 ; 7)<\/sub> = 2,365. La valeur empirique (120,35) exc\u00e9dant tr\u00e8s largement le seuil critique th\u00e9orique, nous rejetons sans \u00e9quivoque l’hypoth\u00e8se nulle H<\/em>0<\/sub> au profit de l’hypoth\u00e8se alternative (p<\/em> < 0,0001).<\/p>\n

Construisons \u00e0 pr\u00e9sent l’intervalle de confiance \u00e0 95 % pour la v\u00e9ritable pente de la population :<\/p>\n

IC0,95<\/sub>(β1<\/sub>) = 2,4912 ± (2,365 · 0,02070) = 2,4912 ± 0,0490 = [2,4422 ; 2,5402]<\/strong><\/p>\n

Sur le plan substantiel, nous pouvons affirmer avec un degr\u00e9 de confiance de 95 % que chaque tranche suppl\u00e9mentaire de dix heures de formation par simulation procure en moyenne l’acquisition d’environ 2,44 \u00e0 2,54 comp\u00e9tences op\u00e9rationnelles valid\u00e9es. Le mod\u00e8le sans intercepte fournit ici une pr\u00e9diction \u00e9pur\u00e9e, exempte de distorsion d’ancrage artificiel.<\/p>\n

9. Test formel de la pertinence de l’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine<\/h2>\n

9.1 Proc\u00e9dure de test de nullit\u00e9 de la constante dans le mod\u00e8le complet<\/h3>\n

Avant d’ent\u00e9riner d\u00e9finitivement un mod\u00e8le contraint \u00e0 travers l’origine, la prudence m\u00e9thodologique impose souvent de proc\u00e9der \u00e0 l’estimation pr\u00e9alable du mod\u00e8le complet non contraint afin de tester formellement l’hypoth\u00e8se de nullit\u00e9 du terme constant :<\/p>\n

yi<\/sub><\/em> = β0<\/sub> + β1<\/sub> xi<\/sub><\/em> + εi<\/sub><\/p>\n

Le test standard de Wald ou test de Student appliqu\u00e9 sp\u00e9cifiquement au param\u00e8tre β0<\/sub> examine :<\/p>\n

H<\/em>0<\/sub> : β0<\/sub> = 0   versus   H<\/em>1<\/sub> : β0<\/sub> ≠ 0<\/p>\n

Sous H<\/em>0<\/sub>, la statistique t<\/em> = (b\u0302<\/em>0, OLS<\/sub> – 0) \/ SE(b\u0302<\/em>0, OLS<\/sub>) suit une loi de Student \u00e0 n<\/em> – 2 degr\u00e9s de libert\u00e9. Si la valeur absolue de t<\/em> est inf\u00e9rieure au quantile critique associ\u00e9 au seuil α, l’analyste conclut qu’il n’existe pas de preuve statistique suffisante pour r\u00e9futer l’hypoth\u00e8se selon laquelle la constante est nulle dans la population parente.<\/p>\n

Toutefois, une limitation majeure de cette proc\u00e9dure pr\u00e9liminaire r\u00e9side dans le manque de puissance statistique fr\u00e9quemment rencontr\u00e9 sur des \u00e9chantillons de taille mod\u00e9r\u00e9e ou lorsque la variable ind\u00e9pendante pr\u00e9sente une faible variabilit\u00e9. L’absence de rejet de H<\/em>0<\/sub> (une p<\/em>-valeur sup\u00e9rieure \u00e0 0,05) ne prouve en aucun cas que β0<\/sub> est rigoureusement \u00e9gal \u00e0 z\u00e9ro. Confondre l’absence de preuve avec la preuve de l’absence constitue une faute \u00e9pist\u00e9mologique classique qui peut conduire \u00e0 contraindre abusivement un syst\u00e8me comportant en r\u00e9alit\u00e9 un d\u00e9calage structurel constant.<\/p>\n

9.2 Test de comparaison de mod\u00e8les embo\u00eet\u00e9s par l’analyse de variance<\/h3>\n

Puisque le mod\u00e8le sans ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine est un cas particulier (mod\u00e8le restreint) du mod\u00e8le lin\u00e9aire classique (mod\u00e8le complet non restreint), ces deux structures sont strictement embo\u00eet\u00e9es<\/a>. Il est d\u00e8s lors possible de mobiliser le test du ratio de variance de Fisher (test F<\/em> incr\u00e9mental) issu de l’analyse de variance pour comparer formellement la d\u00e9gradation de l’ajustement induite par la contrainte.<\/p>\n

Soit SSRR<\/sub> la somme des carr\u00e9s r\u00e9siduels du mod\u00e8le restreint (sans constante, comportant k<\/em>R<\/sub> = 1 param\u00e8tre) et SSRUR<\/sub> la somme des carr\u00e9s r\u00e9siduels du mod\u00e8le non restreint (avec constante, comportant k<\/em>UR<\/sub> = 2 param\u00e8tres). La statistique F<\/em> s’exprime par le ratio :<\/p>\n

F<\/em> = [ (SSRR<\/sub> – SSRUR<\/sub>) \/ (df<\/em>R<\/sub> – df<\/em>UR<\/sub>) ] \/ [ SSRUR<\/sub> \/ df<\/em>UR<\/sub> ] = [ (SSRRTO<\/sub> – SSROLS<\/sub>) \/ 1 ] \/ [ SSROLS<\/sub> \/ (n<\/em> – 2) ]<\/p>\n

Sous l’hypoth\u00e8se nulle H<\/em>0<\/sub> : β0<\/sub> = 0, cette statistique ob\u00e9it strictement \u00e0 une loi de Fisher \u00e0 1 et n<\/em> – 2 degr\u00e9s de libert\u00e9 : F<\/em> ~ F<\/em>(1, n<\/em> – 2). Il est formellement \u00e9quivalent de noter que la statistique de Fisher obtenue est rigoureusement \u00e9gale au carr\u00e9 de la statistique t<\/em> de Student associ\u00e9e \u00e0 l’intercepte dans le mod\u00e8le non restreint : F<\/em> = (t<\/em>β0<\/sub>)2<\/sup>. Si la statistique F<\/em> calcul\u00e9e est inf\u00e9rieure au seuil critique au niveau α, l’accroissement de la somme des carr\u00e9s r\u00e9siduels r\u00e9sultant de l’omission de la constante n’est pas statistiquement significatif, confortant le chercheur dans son choix de parcimonie.<\/p>\n

9.3 Dangers de l’\u00e9limination automatique de l’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine<\/h3>\n

L’automatisation aveugle de l’\u00e9limination de la constante au sein de protocoles algorithmiques de s\u00e9lection descendante (backward elimination<\/em>) repr\u00e9sente une pratique m\u00e9thodologique extr\u00eamement pernicieuse. De nombreux manuels d’\u00e9conom\u00e9trie et de statistique appliqu\u00e9e mettent en garde contre ce pi\u00e8ge r\u00e9current : on ne doit jamais supprimer l’intercepte d’un mod\u00e8le de r\u00e9gression uniquement parce que sa p-valeur d\u00e9passe 0,05<\/strong>.<\/p>\n

Si la th\u00e9orie scientifique ne garantit pas de mani\u00e8re formelle et inconditionnelle que la relation passe par l’origine, imposer artificiellement β0<\/sub> = 0 introduit un biais de sp\u00e9cification irr\u00e9versible sur la pente β1<\/sub>. M\u00eame un d\u00e9calage minime de l’intercepte dans la r\u00e9alit\u00e9 peut forcer la droite des moindres carr\u00e9s \u00e0 basculer vigoureusement pour aller chercher le point (0, 0), faussant totalement l’estimation du taux marginal dans la zone utile des donn\u00e9es. Le principe de parcimonie ne doit jamais primer sur la validit\u00e9 structurelle du mod\u00e8le math\u00e9matique : la primaut\u00e9 appartient toujours \u00e0 la consistance th\u00e9orique du domaine \u00e9tudi\u00e9.<\/p>\n

10. Comparaison critique : R\u00e9gression avec constante versus r\u00e9gression \u00e0 l’origine<\/h2>\n

10.1 Impact comparatif sur l’estimation de la pente<\/h3>\n

L’ajustement simultan\u00e9 d’une r\u00e9gression avec constante et d’une r\u00e9gression \u00e0 travers l’origine sur un m\u00eame ensemble de donn\u00e9es empiriques met en \u00e9vidence une divergence g\u00e9om\u00e9trique imm\u00e9diate. La droite classique pivote librement autour du barycentre d’\u00e9chantillonnage (x\u0304<\/em>, \u0233<\/em>), trouvant son orientation optimale en fonction des covariations locales. En revanche, la r\u00e9gression \u00e0 l’origine poss\u00e8de un point d’ancrage d\u00e9terministe fixe aux coordonn\u00e9es (0, 0), contraignant l’estimation de la pente \u00e0 s’ajuster en fonction de ce second p\u00f4le g\u00e9om\u00e9trique.<\/p>\n

Cette distinction se manifeste avec une acuit\u00e9 particuli\u00e8re lorsque la distribution de la variable explicative est fortement excentr\u00e9e par rapport \u00e0 z\u00e9ro (par exemple si les valeurs de x<\/em> s’\u00e9chelonnent entre 80 et 100). Dans cette configuration, le bras de levier s\u00e9parant la r\u00e9gion des donn\u00e9es observ\u00e9es du point d’ancrage (0, 0) est immense. Si les donn\u00e9es r\u00e9elles pr\u00e9sentent m\u00eame une l\u00e9g\u00e8re non-lin\u00e9arit\u00e9 ou un niveau de base non nul dans l’intervalle [0, 80], la pente b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub> subira une distorsion consid\u00e9rable par rapport \u00e0 b\u0302<\/em>1, OLS<\/sub>. La r\u00e9gression sans intercepte \u00e9change une flexibilit\u00e9 d’ajustement local contre une fid\u00e9lit\u00e9 globale \u00e0 une contrainte de fronti\u00e8re th\u00e9orique.<\/p>\n

10.2 Pr\u00e9cision des pr\u00e9dictions et compromis biais-variance<\/h3>\n

Le choix entre l’inclusion et l’exclusion de l’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine s’interpr\u00e8te \u00e9l\u00e9gamment \u00e0 la lumi\u00e8re du c\u00e9l\u00e8bre arbitrage biais-variance (bias-variance tradeoff<\/em>) en apprentissage statistique. La contrainte β0<\/sub> = 0 r\u00e9duit la complexit\u00e9 structurelle du mod\u00e8le en retranchant un param\u00e8tre du vecteur d’estimation. Par voie de cons\u00e9quence, la variance de l’estimateur de pente est m\u00e9caniquement amoindrie :<\/p>\n

Var(b\u0302<\/em>1, RTO<\/sub>) = σ2<\/sup> \/ ∑ xi<\/sub><\/em>2<\/sup> ≤ σ2<\/sup> \/ ∑ (xi<\/sub><\/em> – x\u0304<\/em>)2<\/sup> = Var(b\u0302<\/em>1, OLS<\/sub>)<\/p>\n

En contrepartie de cette r\u00e9duction appr\u00e9ciable de variance d’\u00e9chantillonnage, le risque de biais syst\u00e9matique est maximal si l’hypoth\u00e8se structurelle sous-jacente est inexacte. L’erreur quadratique moyenne de pr\u00e9diction (MSEpred<\/sub> = Biais2<\/sup> + Variance) du mod\u00e8le \u00e0 travers l’origine sera nettement inf\u00e9rieure \u00e0 celle du mod\u00e8le classique si et seulement si le v\u00e9ritable intercepte est rigoureusement nul ou infinit\u00e9simal. D\u00e8s que β0<\/sub> s’\u00e9carte notablement de z\u00e9ro, le carr\u00e9 du biais accumul\u00e9 submerge tr\u00e8s rapidement le gain de variance, d\u00e9gradant catastrophiquement la pr\u00e9cision des pr\u00e9dictions extrapol\u00e9es.<\/p>\n

10.3 Tableau de synth\u00e8se m\u00e9thodologique d\u00e9cisionnel<\/h3>\n

Pour guider le praticien et le chercheur dans cette d\u00e9cision de mod\u00e9lisation critique, le tableau synoptique suivant r\u00e9capitule de mani\u00e8re syst\u00e9matique les contrastes statistiques et op\u00e9rationnels s\u00e9parant les deux approches :<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Crit\u00e8re de comparaison<\/th>\nR\u00e9gression lin\u00e9aire classique (avec constante)<\/th>\nR\u00e9gression \u00e0 travers l’origine (sans constante)<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
Formulation th\u00e9orique<\/strong><\/td>\nyi<\/sub><\/em> = β0<\/sub> + β1<\/sub> xi<\/sub><\/em> + εi<\/sub><\/td>\nyi<\/sub><\/em> = β1<\/sub> xi<\/sub><\/em> + εi<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n
Ancrage g\u00e9om\u00e9trique<\/strong><\/td>\nPasse imp\u00e9rativement par le barycentre (x\u0304<\/em>, \u0233<\/em>)<\/td>\nPasse imp\u00e9rativement par l’origine cart\u00e9sienne (0, 0)<\/td>\n<\/tr>\n
Somme des r\u00e9sidus (∑ ei<\/sub><\/em>)<\/strong><\/td>\nRigoureusement \u00e9gale \u00e0 0 (propri\u00e9t\u00e9 alg\u00e9brique)<\/td>\nG\u00e9n\u00e9ralement diff\u00e9rente de 0 (∑ ei<\/sub><\/em> ≠ 0)<\/td>\n<\/tr>\n
Moyenne des pr\u00e9dictions (\u0233\u0302<\/em>)<\/strong><\/td>\nStrictement \u00e9gale \u00e0 la moyenne observ\u00e9e (\u0233\u0302<\/em> = \u0233<\/em>)<\/td>\nDiff\u00e8re de la moyenne observ\u00e9e (\u0233\u0302<\/em> ≠ \u0233<\/em>)<\/td>\n<\/tr>\n
Degr\u00e9s de libert\u00e9 r\u00e9siduels<\/strong><\/td>\nn<\/em> – 2<\/td>\nn<\/em> – 1<\/td>\n<\/tr>\n
Coefficient de d\u00e9termination (R<\/em>2<\/sup>)<\/strong><\/td>\nToujours born\u00e9 sur [0, 1] (d\u00e9composition orthogonale)<\/td>\nPeut devenir n\u00e9gatif ou artificiellement gonfl\u00e9 (non centr\u00e9)<\/td>\n<\/tr>\n
Estimateur de la pente (b\u0302<\/em>1<\/sub>)<\/strong><\/td>\nRatio bas\u00e9 sur les moments centr\u00e9s : ∑ (x<\/em>–x\u0304<\/em>)(y<\/em>–\u0233<\/em>) \/ ∑ (x<\/em>–x\u0304<\/em>)2<\/sup><\/td>\nRatio bas\u00e9 sur les moments bruts : ∑ xy<\/em> \/ ∑ x<\/em>2<\/sup><\/td>\n<\/tr>\n
Conditions d’admissibilit\u00e9<\/strong><\/td>\nFlexibilit\u00e9 empirique g\u00e9n\u00e9rale<\/td>\nCertitude d\u00e9ductive absolue que x<\/em>=0 implique y<\/em>=0<\/td>\n<\/tr>\n
Sensibilit\u00e9 aux points extr\u00eames<\/strong><\/td>\nPond\u00e9ration selon la d\u00e9viation \u00e0 la moyenne<\/td>\nPond\u00e9ration quadratique par rapport \u00e0 l’amplitude absolue<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

11. Impl\u00e9mentation pratique dans les logiciels statistiques majeurs<\/h2>\n

11.1 Ex\u00e9cution et analyse sous le langage R<\/h3>\n

Dans l’environnement de calcul statistique R<\/a>, l’ajustement d’un mod\u00e8le lin\u00e9aire est traditionnellement d\u00e9volu \u00e0 la fonction native lm()<\/code>. Par d\u00e9faut, la syntaxe de formule y ~ x<\/code> inclut implicitement un vecteur constant unitaire. Pour contraindre explicitement la droite \u00e0 passer par l’origine, l’utilisateur doit ins\u00e9rer l’op\u00e9rateur arithm\u00e9tique - 1<\/code> ou 0 +<\/code> au sein de la formule structurelle :<\/p>\n

\n# Sp\u00e9cification canonique sous R
\nmodele_rto <- lm(y ~ x – 1, data = donnees)
\n# Syntaxe strictement \u00e9quivalente
\nmodele_rto <- lm(y ~ 0 + x, data = donnees)
\nsummary(modele_rto)\n<\/p>\n

Une vigilance capitale s’impose lors de la lecture de la sortie produite par la commande summary()<\/code>. Lorsque R d\u00e9tecte l’absence de terme constant, il modifie automatiquement son calcul interne et affiche un R<\/em>2<\/sup> non centr\u00e9 sans en avertir explicitement l’utilisateur dans l’en-t\u00eate du tableau. Pour visualiser graphiquement la droite de r\u00e9gression contrainte sous la biblioth\u00e8que ggplot2<\/a>, il convient de sp\u00e9cifier la formule appropri\u00e9e au sein du composant g\u00e9om\u00e9trique geom_smooth()<\/code> :<\/p>\n

\nlibrary(ggplot2)
\nggplot(donnees, aes(x = x, y = y)) +
\n  geom_point(color = \u00ab\u00a0blue\u00a0\u00bb, size = 2) +
\n  geom_smooth(method = \u00ab\u00a0lm\u00a0\u00bb, formula = y ~ 0 + x, color = \u00ab\u00a0red\u00a0\u00bb, se = TRUE) +
\n  expand_limits(x = 0, y = 0) +
\n  theme_minimal()\n<\/p>\n

11.2 Impl\u00e9mentation sous Python (Scikit-Learn et Statsmodels)<\/h3>\n

Dans l’\u00e9cosyst\u00e8me open-source Python<\/a>, deux biblioth\u00e8ques majeures se partagent l’analyse pr\u00e9dictive et inf\u00e9rentielle : Scikit-Learn et Statsmodels. Leurs philosophies respectives diff\u00e8rent sensiblement quant \u00e0 la gestion de la constante.<\/p>\n

Sous Scikit-Learn<\/strong>, l’estimateur LinearRegression<\/code> comporte un argument bool\u00e9en explicite nomm\u00e9 fit_intercept<\/code>, dont la valeur par d\u00e9faut est True<\/code>. Pour param\u00e9trer une r\u00e9gression \u00e0 travers l’origine, il suffit de configurer cet argument \u00e0 False<\/code> :<\/p>\n

\nfrom sklearn.linear_model import LinearRegression
\nmodele_sk = LinearRegression(fit_intercept=False)
\nmodele_sk.fit(X, y)
\npente_estimee = modele_sk.coef_[0]\n<\/p>\n

Attention toutefois : la m\u00e9thode score(X, y)<\/code> de Scikit-Learn renvoie le R<\/em>2<\/sup> centr\u00e9 conventionnel calcul\u00e9 selon la formule 1 – (SSR \/ SSTcentr\u00e9<\/sub>), ce qui peut g\u00e9n\u00e9rer des scores n\u00e9gatifs d\u00e9routants en cas de mauvaise sp\u00e9cification.<\/p>\n

Sous Statsmodels<\/strong>, la classe OLS<\/code> adopte la convention inverse : aucun intercepte n’est ajout\u00e9 par d\u00e9faut \u00e0 moins que la fonction sm.add_constant()<\/code> n’ait \u00e9t\u00e9 pr\u00e9alablement appliqu\u00e9e \u00e0 la matrice des caract\u00e9ristiques. Ex\u00e9cuter sm.OLS(y, X).fit()<\/code> sur un vecteur unidimensionnel X<\/code> ajuste donc automatiquement un mod\u00e8le contraint \u00e0 travers l’origine. L’attribut results.rsquared<\/code> renverra quant \u00e0 lui la m\u00e9trique non centr\u00e9e, en accord avec les conventions \u00e9conom\u00e9triques classiques.<\/p>\n

11.3 Proc\u00e9dure sous IBM SPSS et SAS<\/h3>\n

Au sein de la suite logicielle propri\u00e9taire IBM SPSS Statistics<\/a>, la suppression de l’intercepte dans une proc\u00e9dure de r\u00e9gression lin\u00e9aire s’effectue via l’interface graphique en d\u00e9cochant la case \u00ab Inclure la constante dans l’\u00e9quation \u00bb situ\u00e9e dans le sous-menu des options de r\u00e9gression. En syntaxe de commande SPSS, l’op\u00e9ration est mat\u00e9rialis\u00e9e par la directive \/ORIGIN<\/code> :<\/p>\n

\nREGRESSION
\n  \/MISSING LISTWISE
\n  \/STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA
\n  \/CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10)
\n  \/ORIGIN
\n  \/DEPENDENT y
\n  \/METHOD=ENTER x.\n<\/p>\n

SPSS g\u00e9n\u00e8re alors un tableau d’analyse de variance modifi\u00e9e accompagn\u00e9 d’une note de bas de page explicite signalant que le mod\u00e8le ne comporte pas de terme constant et que les sommes des carr\u00e9s r\u00e9sultantes ne sont pas centr\u00e9es.<\/p>\n

Dans l’environnement de programmation statistique SAS<\/strong>, le module de mod\u00e9lisation univari\u00e9e par excellence est la proc\u00e9dure PROC REG<\/code>. Pour inhiber l’estimation du terme β0<\/sub>, il convient d’adjoindre l’option NOINT<\/code> (pour No Intercept<\/em>) directement \u00e0 la suite de la d\u00e9claration du mod\u00e8le analytique :<\/p>\n

\nproc reg data=donnees;
\n  model y = x \/ noint;
\nrun;
\nquit;\n<\/p>\n

Le listing SAS extrait de cette proc\u00e9dure indique de mani\u00e8re exhaustive les statistiques d’\u00e9chantillonnage adapt\u00e9es, les degr\u00e9s de libert\u00e9 r\u00e9siduels r\u00e9ajust\u00e9s \u00e0 n<\/em> – 1 et le calcul du R<\/em>2<\/sup> brut non centr\u00e9.<\/p>\n

12. Recommandations m\u00e9thodologiques, limites \u00e9pist\u00e9mologiques et synth\u00e8se<\/h2>\n

12.1 Bonnes pratiques pour la communication scientifique des r\u00e9sultats<\/h3>\n

La publication de r\u00e9sultats scientifiques reposant sur une r\u00e9gression \u00e0 travers l’origine requiert une rigueur de r\u00e9daction et une transparence m\u00e9thodologique exemplaires. Compte tenu des idiosyncrasies calculatoires expos\u00e9es tout au long de cet article, tout chercheur faisant usage de cette technique se doit de respecter plusieurs imp\u00e9ratifs d\u00e9ontologiques :<\/p>\n