1. Fondements th\u00e9oriques et \u00e9pist\u00e9mologiques du test de Chow<\/h2>\n1.1 Origine et d\u00e9finition de la rupture structurelle<\/h3>\n
L’av\u00e8nement du test de Chow trouve son ancrage historique dans les travaux s\u00e9minaux de l’\u00e9conom\u00e8tre Gregory C. Chow, publi\u00e9s en 1960 au sein de la revue Econometrica<\/em> sous le titre \u00ab Tests of Equality Between Sets of Coefficients in Two Linear Regressions \u00bb<\/em>. Confront\u00e9 aux d\u00e9fis de la v\u00e9rification empirique des fonctions de demande de biens durables, notamment dans le secteur de l’automobile aux \u00c9tats-Unis, Chow a formalis\u00e9 un cadre statistique permettant de trancher entre la constance temporelle d’un vecteur de param\u00e8tres et son \u00e9clatement sous l’effet de mutations structurelles macro\u00e9conomiques.<\/p>\n Le concept d’instabilit\u00e9 param\u00e9trique se d\u00e9finit formellement comme la situation dans laquelle le processus g\u00e9n\u00e9rateur de donn\u00e9es sous-jacent modifie ses r\u00e8gles de projection lin\u00e9aire au cours du temps. Dans un cadre de mod\u00e9lisation par les moindres carr\u00e9s ordinaires (MCO), cette instabilit\u00e9 peut se manifester sous diff\u00e9rentes formes g\u00e9om\u00e9triques et stochastiques :<\/p>\n Les cons\u00e9quences th\u00e9oriques de l’omission d’une rupture structurelle av\u00e9r\u00e9e sont d\u00e9vastatrices pour l’inf\u00e9rence statistique. Lorsqu’un chercheur impose arbitrairement un vecteur de param\u00e8tres unique sur un \u00e9chantillon h\u00e9t\u00e9rog\u00e8ne travers\u00e9 par une discontinuit\u00e9, l’estimateur des MCO tente d’agr\u00e9ger deux processus g\u00e9om\u00e9triques inconciliables. Il en r\u00e9sulte un biais de sp\u00e9cification majeur, une d\u00e9gradation substantielle de la puissance des tests de Student usuels, une sous-estimation artificielle du pouvoir explicatif r\u00e9el du mod\u00e8le et, par-dessus tout, une persistance s\u00e9rielle trompeuse au sein des r\u00e9sidus, souvent confondue \u00e0 tort avec de l’autocorr\u00e9lation temporelle intrins\u00e8que.<\/p>\n Le socle logique du test de Chow repose sur le principe de l’embo\u00eetement de mod\u00e8les statistiques dans le cadre des moindres carr\u00e9s. Pour d\u00e9terminer si une s\u00e9rie chronologique est soumise \u00e0 deux r\u00e9gimes distincts s\u00e9par\u00e9s par un \u00e9v\u00e9nement critique survenu \u00e0 la date $T^*$<\/span>, l’\u00e9conom\u00e8tre formule deux visions concurrentes de la structure des donn\u00e9es : un mod\u00e8le contraint et un mod\u00e8le non contraint.<\/p>\n Le mod\u00e8le contraint (ou mod\u00e8le global restreint) postule que la m\u00eame relation lin\u00e9aire s’applique invariablement avant et apr\u00e8s la date critique. Sous cette sp\u00e9cification, tous les coefficients sont forc\u00e9s \u00e0 demeurer strictement identiques sur la totalit\u00e9 des $N$<\/span> observations. En contrepartie, le mod\u00e8le non contraint (ou mod\u00e8le partitionn\u00e9) accorde une flexibilit\u00e9 absolue aux donn\u00e9es en estimant deux \u00e9quations ind\u00e9pendantes : la premi\u00e8re sur le sous-\u00e9chantillon pr\u00e9c\u00e9dant la rupture potentielle (comportant $N_1$<\/span> observations), et la seconde sur le sous-\u00e9chantillon succ\u00e9dant \u00e0 cette rupture (comportant $N_2$<\/span> observations, avec $N = N_1 + N_2$<\/span>).<\/p>\n L’hypoth\u00e8se nulle ($H_0$<\/span>) du test stipule l’\u00e9galit\u00e9 stricte des vecteurs de coefficients entre les deux sous-p\u00e9riodes :<\/p>\n $$H_0 : \\beta_1 = \\beta_2$$<\/span><\/p>\n L’hypoth\u00e8se alternative ($H_1$<\/span>) stipule qu’au moins un \u00e9l\u00e9ment du vecteur des param\u00e8tres diff\u00e8re de mani\u00e8re statistiquement significative entre les deux sous-espaces temporels :<\/p>\n $$H_1 : \\beta_1 \\neq \\beta_2$$<\/span><\/p>\n Puisque le mod\u00e8le partitionn\u00e9 dispose de deux fois plus de degr\u00e9s de libert\u00e9 param\u00e9triques que le mod\u00e8le global, sa somme des carr\u00e9s des r\u00e9sidus sera n\u00e9cessairement inf\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 celle du mod\u00e8le contraint. Le c\u0153ur de l’inf\u00e9rence consiste \u00e0 \u00e9valuer si cette r\u00e9duction de l’erreur r\u00e9siduelle non contrainte est suffisamment massive pour ne pas \u00eatre attribu\u00e9e aux seules fluctuations de l’\u00e9chantillonnage al\u00e9atoire.<\/p>\n Bien que con\u00e7u initialement dans l’ar\u00e8ne de l’\u00e9conom\u00e9trie macro\u00e9conomique pour \u00e9valuer l’impact des politiques mon\u00e9taires ou fiscales, le test de Chow d\u00e9montre une pertinence m\u00e9thodologique transdisciplinaire remarquable. Dans les sciences quantitatives modernes, son utilisation d\u00e9passe largement les seules fronti\u00e8res de l’analyse des s\u00e9ries financi\u00e8res.<\/p>\n En sciences comportementales, en psychom\u00e9trie longitudinale et en recherche clinique, le test de Chow constitue l’instrument canonique pour l’\u00e9valuation des plans quasi-exp\u00e9rimentaux et des s\u00e9ries temporelles interrompues. Par exemple, lorsqu’une cohorte de sujets est soumise \u00e0 une intervention th\u00e9rapeutique ou comportementale \u00e0 un instant pr\u00e9cis, il est imp\u00e9ratif de v\u00e9rifier si la dynamique temporelle du r\u00e9tablissement ou de l’acquisition de comp\u00e9tences a chang\u00e9 non seulement en niveau imm\u00e9diat, mais \u00e9galement en taux d’\u00e9volution longitudinal. L’application du test de Chow permet de confirmer statistiquement si l’intervention a induit une v\u00e9ritable refonte de la trajectoire psychologique ou si les observations post-interventionnelles s’inscrivent dans le simple prolongement inertiel du r\u00e9gime ant\u00e9rieur.<\/p>\n De surcro\u00eet, dans les disciplines environnementales, \u00e9pid\u00e9miologiques et d’ing\u00e9nierie industrielle, le test valide la robustesse des mod\u00e9lisations face aux chocs exog\u00e8nes discontinus. Qu’il s’agisse de mesurer la modification des taux d’\u00e9missions polluantes suite \u00e0 l’adoption d’un r\u00e8glement contraignant, d’analyser la dynamique d’une pand\u00e9mie avant et apr\u00e8s la mise en \u0153uvre de mesures de confinement, ou de d\u00e9tecter la d\u00e9gradation physique pr\u00e9matur\u00e9e d’un composant m\u00e9canique soumis \u00e0 des contraintes thermiques, le test de Chow offre une m\u00e9thodologie formelle pour attester de la non-stationnarit\u00e9 structurelle d’un syst\u00e8me dynamique.<\/p>\n Pour appr\u00e9hender la m\u00e9canique inf\u00e9rentielle du test de Chow, il est indispensable de formaliser l’\u00e9criture matricielle des r\u00e9gressions concurrentes. Consid\u00e9rons un \u00e9chantillon global de taille $N$<\/span>, partitionn\u00e9 en deux sous-\u00e9chantillons contigus de tailles respectives $N_1$<\/span> et $N_2$<\/span>, tels que $N = N_1 + N_2$<\/span>. Soit $k$<\/span> le nombre de r\u00e9gresseurs inclus dans chaque mod\u00e8le, en comptant le terme constant d’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine.<\/p>\n Le mod\u00e8le global contraint s’\u00e9crit sous la forme classique :<\/p>\n $$Y = X\\beta + \\varepsilon$$<\/span><\/p>\n o\u00f9 $Y$<\/span> est un vecteur colonne de dimension $(N \\times 1)$<\/span>, $X$<\/span> est une matrice d’observations de dimension $(N \\times k)$<\/span> suppos\u00e9e de rang plein $k$<\/span>, $\\beta$<\/span> est le vecteur des param\u00e8tres communs de dimension $(k \\times 1)$<\/span>, et $varepsilon$<\/span> est le vecteur des perturbations stochastiques de dimension $(N \\times 1)$<\/span>. L’estimation par les moindres carr\u00e9s ordinaires fournit le vecteur d’estimation $\\hat{\\beta} = (X’X)^{-1}X’Y$<\/span> et le vecteur des r\u00e9sidus contraints $e = Y – X\\hat{\\beta}$<\/span>. La somme des carr\u00e9s des r\u00e9sidus du mod\u00e8le contraint, not\u00e9e conventionnellement $SCR_c$<\/span> (ou $RSS_c$<\/span> pour Residual Sum of Squares<\/em>), est d\u00e9finie par :<\/p>\n $$SCR_c = e’e = \\sum_{t=1}^{N} (y_t – \\hat{y}_t)^2$$<\/span><\/p>\n Parall\u00e8lement, les r\u00e9gressions non contraintes associ\u00e9es \u00e0 chaque r\u00e9gime temporel s’expriment comme suit :<\/p>\n $$Y_1 = X_1 \\beta_1 + \\varepsilon_1 \\quad \\text{pour } t in [1, N_1]$$<\/span><\/p>\n $$Y_2 = X_2 \\beta_2 + \\varepsilon_2 \\quad \\text{pour } t in [N_1 + 1, N]$$<\/span><\/p>\n Les estimations ind\u00e9pendantes par les MCO g\u00e9n\u00e8rent les r\u00e9sidus non contraints $e_1 = Y_1 – X_1\\hat{\\beta}_1$<\/span> et $e_2 = Y_2 – X_2\\hat{\\beta}_2$<\/span>. La somme des carr\u00e9s des r\u00e9sidus de chaque sous-mod\u00e8le s’\u00e9crit respectivement :<\/p>\n $$SCR_1 = e_1’e_1 = \\sum_{t=1}^{N_1} (y_t – \\hat{y}_{1,t})^2$$<\/span><\/p>\n $$SCR_2 = e_2’e_2 = \\sum_{t=N_1+1}^{N} (y_t – \\hat{y}_{2,t})^2$$<\/span><\/p>\n La somme globale des carr\u00e9s des r\u00e9sidus du syst\u00e8me non contraint, d\u00e9sign\u00e9e par $SCR_{nc}$<\/span>, correspond \u00e0 la sommation directe des erreurs r\u00e9siduelles des deux r\u00e9gimes partitionn\u00e9s :<\/p>\n $$SCR_{nc} = SCR_1 + SCR_2$$<\/span><\/p>\n Par construction math\u00e9matique, l’espace des colonnes couvert par le mod\u00e8le non contraint englobe strictement celui du mod\u00e8le global contraint. En cons\u00e9quence, l’in\u00e9galit\u00e9 fondamentale $SCR_c ge SCR_{nc}$<\/span> est rigoureusement garantie en toutes circonstances.<\/p>\n La statistique du test de Chow d\u00e9rive directement de la th\u00e9orie g\u00e9n\u00e9rale des tests de restrictions lin\u00e9aires d\u00e9velopp\u00e9e par Ronald Fisher. L’objectif consiste \u00e0 quantifier la perte d’ajustement relative inflig\u00e9e au mod\u00e8le par l’imposition de l’hypoth\u00e8se de stabilit\u00e9 structurelle $H_0 : \\beta_1 = \\beta_2$<\/span>.<\/p>\n La p\u00e9nalit\u00e9 d’ajustement s’exprime par la variation de la somme des carr\u00e9s r\u00e9siduels, \u00e0 savoir $(SCR_c – SCR_{nc})$<\/span>. Cette quantit\u00e9 refl\u00e8te le surcro\u00eet d’erreur inh\u00e9rent \u00e0 la contrainte de param\u00e8tres invariants. Pour que cette m\u00e9trique devienne ind\u00e9pendante de l’unit\u00e9 de mesure de la variable d\u00e9pendante et puisse suivre une loi de probabilit\u00e9 tabul\u00e9e, elle doit \u00eatre normalis\u00e9e par le nombre de restrictions lin\u00e9aires impos\u00e9es ainsi que par l’estimateur non biais\u00e9 de la variance de l’erreur du mod\u00e8le non contraint.<\/p>\n Le nombre de restrictions impos\u00e9es par l’hypoth\u00e8se nulle est \u00e9gal \u00e0 $k$<\/span>, car nous for\u00e7ons les $k$<\/span> param\u00e8tres du premier r\u00e9gime \u00e0 \u00eatre rigoureusement identiques aux $k$<\/span> param\u00e8tres du second r\u00e9gime. Les degr\u00e9s de libert\u00e9 associ\u00e9s au num\u00e9rateur sont donc de $k$<\/span>. De son c\u00f4t\u00e9, le mod\u00e8le non contraint estime au total $2k$<\/span> param\u00e8tres ($k$<\/span> coefficients pour le premier sous-mod\u00e8le et $k$<\/span> coefficients pour le second). Par cons\u00e9quent, les degr\u00e9s de libert\u00e9 du d\u00e9nominateur sont donn\u00e9s par $(N_1 – k) + (N_2 – k) = N_1 + N_2 – 2k = N – 2k$<\/span>.<\/p>\n La statistique canonique du test de Chow, not\u00e9e $F_{Chow}$<\/span>, s’\u00e9nonce ainsi formellement :<\/p>\n $$F_{Chow} = \\frac{(SCR_c – (SCR_1 + SCR_2)) \/ k}{(SCR_1 + SCR_2) \/ (N – 2k)} = \\frac{(SCR_c – SCR_{nc}) \/ k}{SCR_{nc} \/ (N – 2k)}$$<\/span><\/p>\n Sous la validit\u00e9 de l’hypoth\u00e8se nulle $H_0$<\/span> et sous r\u00e9serve du respect strict des postulats du mod\u00e8le lin\u00e9aire gaussien, cette quantit\u00e9 suit exactement la distribution de Fisher-Snedecor \u00e0 $k$<\/span> degr\u00e9s de libert\u00e9 au num\u00e9rateur et $N – 2k$<\/span> degr\u00e9s de libert\u00e9 au d\u00e9nominateur :<\/p>\n $$F_{Chow} \\sim \\mathcal{F}(k, N – 2k)$$<\/span><\/p>\n Lorsque la valeur calcul\u00e9e $F_{Chow}$<\/span> exc\u00e8de la valeur critique th\u00e9orique $F_{\\alpha}(k, N – 2k)$<\/span> pour un seuil de significativit\u00e9 $\\alpha$<\/span> donn\u00e9 (usuellement 5 % ou 1 %), ou de mani\u00e8re \u00e9quivalente lorsque la $p$<\/span>-valeur associ\u00e9e est inf\u00e9rieure \u00e0 $\\alpha$<\/span>, l’hypoth\u00e8se nulle de stabilit\u00e9 temporelle est formellement rejet\u00e9e au profit de l’existence d’une rupture structurelle \u00e0 la date $T^*$<\/span>.<\/p>\n L’exactitude distributionnelle de la statistique de Fisher repose sur un ensemble d’hypoth\u00e8ses stochastiques contraignantes qu’il convient de formaliser avec la plus grande rigueur acad\u00e9mique. La violation de ces hypoth\u00e8ses alt\u00e8re profond\u00e9ment le comportement asymptotique du test et peut conduire \u00e0 des erreurs d’inf\u00e9rence substantielles.<\/p>\n La mise en \u0153uvre rigoureuse du test de Chow en langage Python s’appuie sur une architecture logicielle compos\u00e9e des biblioth\u00e8ques fondamentales du calcul scientifique et de l’\u00e9conom\u00e9trie appliqu\u00e9e. Contrairement aux langages monolithiques pr\u00e9configur\u00e9s, Python offre une granularit\u00e9 qui permet de ma\u00eetriser pr\u00e9cis\u00e9ment chaque \u00e9tape du flux de traitement matriciel et inf\u00e9rentiel.<\/p>\n Le socle analytique repose sur quatre piliers biblioth\u00e9caires majeurs :<\/p>\n Pour garantir la reproductibilit\u00e9 absolue des calculs et pr\u00e9munir le syst\u00e8me contre d’\u00e9ventuels conflits de d\u00e9pendances logicielles, il est vivement recommand\u00e9 d’initialiser le projet au sein d’un environnement virtuel d\u00e9di\u00e9, administr\u00e9 via l’utilitaire standard L’installation des biblioth\u00e8ques s’op\u00e8re via la commande standard ex\u00e9cut\u00e9e dans le terminal syst\u00e8me :<\/p>\n Une fois les paquets install\u00e9s au sein de l’interpr\u00e9teur Python, l’initialisation du script ou du carnet computationnel requiert l’importation ordonn\u00e9e des modules selon les conventions d’alias consacr\u00e9es par la communaut\u00e9 scientifique internationale :<\/p>\n \nimport numpy as np Cette standardisation garantit la lisibilit\u00e9 et l’interop\u00e9rabilit\u00e9 imm\u00e9diate du code source dans tout environnement de recherche ou de production analytique.<\/p>\n Pour exposer la m\u00e9canique op\u00e9rationnelle du test de Chow avec une transparence math\u00e9matique absolue, il est m\u00e9thodologiquement pertinent de g\u00e9n\u00e9rer un jeu de donn\u00e9es synth\u00e9tique contr\u00f4l\u00e9 au sein duquel une rupture structurelle discr\u00e8te est explicitement inject\u00e9e. Cette approche par simulation permet de confronter le r\u00e9sultat du test \u00e0 une v\u00e9rit\u00e9 terrain parfaitement connue a priori<\/em>.<\/p>\n Consid\u00e9rons un processus temporel comportant $N = 200$<\/span> observations s\u00e9quentielles, partitionn\u00e9 en deux p\u00e9riodes distinctes de $N_1 = 100$<\/span> et $N_2 = 100$<\/span> unit\u00e9s temporelles. Le mod\u00e8le th\u00e9orique sous-jacent est formalis\u00e9 de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n o\u00f9 la perturbation $\\varepsilon_t$<\/span> suit rigoureusement une distribution normale gaussienne de moyenne nulle et d’\u00e9cart-type unitaire ($\\varepsilon_t \\sim \\mathcal{N}(0, 1.0)$<\/span>), garantissant le respect strict du postulat d’homosc\u00e9dasticit\u00e9. Dans cette configuration, la rupture structurelle affecte simultan\u00e9ment l’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine (qui subit une \u00e9l\u00e9vation de $+20.0$<\/span> unit\u00e9s) et la pente marginale (qui fl\u00e9chit de $-1.7$<\/span> unit\u00e9, passant de $2.5$ \u00e0 $0.8$).<\/p>\n La g\u00e9n\u00e9ration programmatique sous Python s’articule via le code conceptuel suivant :<\/p>\n \nnp.random.seed(42) x_data = np.linspace(0, 50, n_observations) y_data = np.empty(n_observations) df_experiment = pd.DataFrame({‘X’: x_data, ‘Y’: y_data}, index=pd.date_range(start=’2020-01-01′, periods=n_observations, freq=’W’))\n<\/p>\n L’examen des cinq premi\u00e8res et des cinq derni\u00e8res lignes via les m\u00e9thodes Avant d’engager toute mod\u00e9lisation stochastique, une validation exhaustive de l’int\u00e9grit\u00e9 structurelle des donn\u00e9es s’av\u00e8re indispensable. Dans le cadre de donn\u00e9es empiriques r\u00e9elles, la pr\u00e9sence inopin\u00e9e de valeurs manquantes (valeurs L’inspection analytique s’effectue au moyen des m\u00e9thodes standard de Pandas :<\/p>\n \nprint(df_experiment.isnull().sum()) Il est imp\u00e9ratif de s’assurer que les variables explicatives et la variable d\u00e9pendante poss\u00e8dent un encodage num\u00e9rique continu, de type flottant 64 bits ( L’exploration graphique constitue une \u00e9tape liminaire d\u00e9cisive dans toute \u00e9tude de stabilit\u00e9 structurelle. Avant m\u00eame d’appliquer le protocole formel de Chow, une inspection visuelle minutieuse permet d’appr\u00e9cier la morphologie du nuage de points, d’\u00e9valuer la plausibilit\u00e9 de l’hypoth\u00e8se de lin\u00e9arit\u00e9 par morceaux et de corroborer l’existence d’une discontinuit\u00e9 majeure.<\/p>\n \u00c0 l’aide de la biblioth\u00e8que \nplt.figure(figsize=(10, 6)) L’examen de cette projection met en relief un d\u00e9crochage visible de la dynamique d’accumulation : le gradient initial tr\u00e8s prononc\u00e9 s’infl\u00e9chit nettement au-del\u00e0 de l’abscisse correspondant \u00e0 la centi\u00e8me observation, confirmant l’int\u00e9r\u00eat d’une analyse d’instabilit\u00e9 structurelle.<\/p>\n Afin de rendre manifeste le contraste g\u00e9om\u00e9trique entre la mod\u00e9lisation contrainte et l’ajustement fragment\u00e9, il est \u00e9clairant de superposer directement sur le nuage de points la droite de r\u00e9gression globale unique ainsi que les deux droites segment\u00e9es associ\u00e9es \u00e0 chaque sous-p\u00e9riode.<\/p>\n Cette visualisation synth\u00e9tique illustre visuellement la nature de l’erreur introduite par le mod\u00e8le contraint. Sur la premi\u00e8re moiti\u00e9 de l’\u00e9chantillon, la droite de tendance globale sous-estime la pente v\u00e9ritable et sur\u00e9value syst\u00e9matiquement les valeurs de d\u00e9part, tandis que sur la seconde moiti\u00e9, elle tend \u00e0 aplatir artificiellement la trajectoire des points terminaux. Cette dichotomie g\u00e9om\u00e9trique illustre concr\u00e8tement pourquoi la somme des r\u00e9sidus globaux exc\u00e8de largement la somme cumul\u00e9e des r\u00e9sidus locaux.<\/p>\n L’observation simultan\u00e9e de deux droites segment\u00e9es aux pentes contrast\u00e9es ($2.5$ contre $0.8$) scelle l’intuition statistique : le syst\u00e8me empirique ne peut \u00eatre valablement synth\u00e9tis\u00e9 par une droite unitaire sans violer gravement la structure intrins\u00e8que des donn\u00e9es.<\/p>\n Le calcul de la statistique de Chow requiert l’estimation rigoureuse de trois mod\u00e8les de r\u00e9gression lin\u00e9aire par les Moindres Carr\u00e9s Ordinaires via Statsmodels. La premi\u00e8re \u00e9tape consiste \u00e0 estimer le mod\u00e8le global contraint sur l’ensemble des $N = 200$<\/span> observations.<\/p>\n Dans la biblioth\u00e8que Statsmodels, la matrice de conception $X$<\/span> n’inclut pas automatiquement de vecteur unitaire pour repr\u00e9senter la constante d’interception. Il est par cons\u00e9quent indispensable d’invoquer la fonction \nX_global = sm.add_constant(df_experiment[‘X’]) modele_contraint = sm.OLS(y_global, X_global).fit() print(modele_contraint.summary()) L’attribut La seconde \u00e9tape op\u00e9rationnelle exige la scission m\u00e9thodique du DataFrame en deux structures ind\u00e9pendantes, d\u00e9limit\u00e9es pr\u00e9cis\u00e9ment par l’indice temporel de rupture $T^*$<\/span>. Une fois cette partition mat\u00e9rialis\u00e9e, une r\u00e9gression OLS distincte est ajust\u00e9e sur chaque sous-groupe :<\/p>\n \ndf_regime1 = df_experiment.iloc[:rupture_index] # Estimation sur le R\u00e9gime 1 # Estimation sur le R\u00e9gime 2 print(f\u00a0\u00bbSCR R\u00e9gime 1 (SCR_1) : {scr_1:.4f}\u00a0\u00bb) Les m\u00e9triques r\u00e9siduelles obtenues r\u00e9v\u00e8lent imm\u00e9diatement une chute drastique de l’erreur d’ajustement. Alors que le mod\u00e8le contraint accumule une somme de carr\u00e9s d’erreurs consid\u00e9rable due \u00e0 son incapacit\u00e9 \u00e0 pivoter au point critique, les deux sous-mod\u00e8les affichent des sommes r\u00e9siduelles extr\u00eamement faibles, conformes \u00e0 la variance r\u00e9siduelle du bruit gaussien unitaire inject\u00e9 lors de la simulation.<\/p>\n Disposant d\u00e9sormais des scalaires $SCR_c$<\/span>, $SCR_1$<\/span> et $SCR_2$<\/span>, il est possible de traduire directement la formule analytique de Gregory Chow sous forme de calculs vectoriels et scalaires en Python pur.<\/p>\n D\u00e9finissons d’abord avec une rigueur math\u00e9matique totale les composantes des degr\u00e9s de libert\u00e9. Soit $k = 2$<\/span> le nombre total de param\u00e8tres estim\u00e9s par mod\u00e8le (la constante et le coefficient directeur associ\u00e9 \u00e0 $X$<\/span>). La taille de l’\u00e9chantillon global est $N = 200$<\/span>. Ainsi :<\/p>\n L’algorithme de calcul se d\u00e9ploie pas \u00e0 pas comme suit :<\/p>\n \nk_parametres = 2 # Somme non contrainte des r\u00e9sidus # Num\u00e9rateur : variation d’erreur normalis\u00e9e par le nombre de contraintes # D\u00e9nominateur : variance r\u00e9siduelle du mod\u00e8le non contraint # Statistique F de Chow Cette impl\u00e9mentation pas \u00e0 pas d\u00e9compose minutieusement l’arbitrage op\u00e9r\u00e9 par le test : mesurer si le gain de pr\u00e9cision issu de la d\u00e9sagr\u00e9gation des r\u00e9gimes surpasse de mani\u00e8re \u00e9crasante la variance r\u00e9siduelle naturelle du syst\u00e8me.<\/p>\n Une fois la statistique empirique $F_{Chow}$<\/span> obtenue, la phase finale de l’inf\u00e9rence exige de confronter cette valeur empirique \u00e0 la loi th\u00e9orique de Fisher-Snedecor afin de calculer la $p$<\/span>-valeur exacte associ\u00e9e au test.<\/p>\n Pour d\u00e9terminer la probabilit\u00e9 d’observer sous l’hypoth\u00e8se nulle une statistique au moins aussi extr\u00eame que celle obtenue, nous utilisons la fonction de survie (Survival Function<\/em>, not\u00e9e \nfrom scipy.stats import f<\/p>\n p_valeur = f.sf(f_chow, dfn=k_parametres, dfd=degres_liberte_denominateur) print(f\u00a0\u00bbValeur critique F th\u00e9orique (alpha=0.05) : {seuil_critique_95:.4f}\u00a0\u00bb) La r\u00e8gle de d\u00e9cision statistique s’applique de mani\u00e8re univoque :<\/p>\n Dans notre cas d’\u00e9tude synth\u00e9tique, la statistique $F$<\/span> atteint un niveau spectaculaire (d\u00e9passant g\u00e9n\u00e9ralement plusieurs centaines ou milliers selon le tirage stochastique), et la $p$<\/span>-valeur associ\u00e9e tend vers z\u00e9ro ($p < 10^{-15}$<\/span>), confirmant le rejet cat\u00e9gorique de l'invariance param\u00e9trique.<\/p>\n Pour d\u00e9ployer ce protocole au sein de cha\u00eenes de traitement de donn\u00e9es professionnelles ou d’\u00e9tudes empiriques r\u00e9currentes, il est indispensable de factoriser cette suite d’op\u00e9rations dans une fonction g\u00e9n\u00e9rique, modulaire, robuste et conforme aux standards de l’ing\u00e9nierie logicielle scientifique.<\/p>\n La conception d’une fonction de haut niveau doit imp\u00e9rativement int\u00e9grer des gardes-fous d’assertion logicielle pour pr\u00e9venir les erreurs d’ex\u00e9cution : validation de l’existence des colonnes dans le conteneur de donn\u00e9es, v\u00e9rification de la stricte positivit\u00e9 des degr\u00e9s de libert\u00e9 dans chaque segment, et contr\u00f4le de la compatibilit\u00e9 du seuil de coupure sp\u00e9cifi\u00e9. L’impl\u00e9mentation ci-dessous illustre une architecture logicielle conforme aux recommandations du PEP 8 et du PEP 257 :<\/p>\n \ndef test_de_chow(donnees: pd.DataFrame, var_dependante: str, vars_explicatives: list, point_rupture: int) -> dict: Param\u00e8tres : Retourne : if point_rupture <= k_vars or (n_total – point_rupture) <= k_vars: # Matrice globale # Matrice Premier R\u00e9gime # Matrice Second R\u00e9gime scr_nc = scr_1 + scr_2 stat_f = ((scr_c – scr_nc) \/ df_num) \/ (scr_nc \/ df_denom) return { Cette construction algorithmique modulaire encapsule l’int\u00e9gralit\u00e9 du raisonnement alg\u00e9brique tout en garantissant une r\u00e9utilisation imm\u00e9diate sur n’importe quelle configuration multidimensionnelle de r\u00e9gresseurs.<\/p>\n La formalisation des r\u00e9sultats obtenus doit r\u00e9pondre aux canons de rigueur impos\u00e9s par les comit\u00e9s de lecture scientifique et les normes acad\u00e9miques (telles que les pr\u00e9conisations de l’American Psychological Association – APA). L’int\u00e9gration d’une fonction d’affichage d\u00e9di\u00e9e permet de convertir le dictionnaire brut en un compte-rendu textuel rigoureusement document\u00e9 :<\/p>\n \ndef afficher_rapport_chow(resultats: dict, seuil_significativite: float = 0.05) -> None: L’ex\u00e9cution conjointe de ces modules conf\u00e8re une tra\u00e7abilit\u00e9 totale \u00e0 l’analyse inf\u00e9rentielle, facilitant l’incorporation directe des m\u00e9triques dans les rapports de recherche ou les m\u00e9moires d’\u00e9conom\u00e9trie.<\/p>\n Bien que la m\u00e9thode scind\u00e9e originelle de Chow soit d’une limpidit\u00e9 conceptuelle remarquable, il existe une formulation analytique strictement \u00e9quivalente fond\u00e9e sur l’estimation d’une r\u00e9gression unique augment\u00e9e par des variables muettes (dummy variables<\/em>) et des termes d’interaction multiplicative. Cette approche unifi\u00e9e, th\u00e9oris\u00e9e notamment par Damodar Gujarati, pr\u00e9sente des vertus analytiques sup\u00e9rieures en permettant de tester isol\u00e9ment les ruptures d’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine et les ruptures de pente au sein d’une seule et m\u00eame matrice de covariance.<\/p>\n Soit $D_t$<\/span> une variable indicatrice binaire marquant le changement de r\u00e9gime temporel, d\u00e9finie pour chaque observation $t$<\/span> par :<\/p>\n $$D_t = \\begin{\\cases} 0 &a\\mp; \\text{si } t le T^* \\quad (\\text{P\u00e9riode ant\u00e9rieure}) 1 &a\\mp; \\text{si } t > T^* \\quad (\\text{P\u00e9riode post\u00e9rieure}) \\end{\\cases}$$<\/span><\/p>\n Le mod\u00e8le de r\u00e9gression enrichi int\u00e9grant l’interaction compl\u00e8te s’\u00e9nonce ainsi :<\/p>\n $$y_t = \\alpha_0 + \\alpha_1 D_t + \\beta_0 x_t + \\beta_1 (x_t \\times D_t) + \\varepsilon_t$$<\/span><\/p>\n L’interpr\u00e9tation structurelle des coefficients de cette \u00e9quation globale est imm\u00e9diate :<\/p>\n Dans ce cadre, $\\alpha_1$<\/span> mesure pr\u00e9cis\u00e9ment l’\u00e9cart d’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine entre les deux r\u00e9gimes (le saut structurel), tandis que $\\beta_1$<\/span> quantifie le diff\u00e9rentiel de pente (la rotation d’\u00e9lasticit\u00e9). L’hypoth\u00e8se nulle du test de Chow ($\\beta_1 = \\beta_2$<\/span> dans la formulation originelle) \u00e9quivaut rigoureusement \u00e0 l’hypoth\u00e8se conjointe de nullit\u00e9 des coefficients diff\u00e9rentiels :<\/p>\n $$H_0 : \\alpha_1 = 0 \\quad \\text{et} \\quad \\beta_1 = 0$$<\/span><\/p>\n Cette hypoth\u00e8se conjointe de restrictions lin\u00e9aires se teste via un simple test de Wald ou un test $F$<\/span> restreint sur la r\u00e9gression unique augment\u00e9e.<\/p>\n L’impl\u00e9mentation de cette r\u00e9gression augment\u00e9e sous Python se r\u00e9v\u00e8le particuli\u00e8rement \u00e9l\u00e9gante gr\u00e2ce \u00e0 l’interface de formule symbolique propos\u00e9e par \ndf_augmente = df_experiment.copy() modele_augmente = smf.ols(formula=’Y ~ X + D + X_D’, data=df_augmente).fit() # Test d’hypoth\u00e8se conjointe (Wald \/ F-test) print(f\u00a0\u00bbStatistique F du test conjoint : {f_test_resultat.fvalue.item():.4f}\u00a0\u00bb) La concordance num\u00e9rique entre le r\u00e9sultat issu de \n
1.2 Principe sous-jacent de la comparaison de r\u00e9gressions<\/h3>\n
1.3 Pertinence m\u00e9thodologique en sciences quantitatives et comportementales<\/h3>\n
2. Formulation math\u00e9matique et hypoth\u00e8ses distributionnelles du test<\/h2>\n
2.1 Sp\u00e9cification formelle des mod\u00e8les et des r\u00e9sidus<\/h3>\n
2.2 D\u00e9rivation de la statistique de test de Fisher<\/h3>\n
2.3 Conditions d’application et postulats statistiques<\/h3>\n
\n
\n $$\\sigma_1^2 = \\sigma_2^2 = \\sigma^2$$<\/span>
\n Si cette condition n’est pas remplie et que l’\u00e9chantillon pr\u00e9sente une h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 structurelle (une volatilit\u00e9 des r\u00e9sidus diff\u00e9rente avant et apr\u00e8s la rupture), la statistique calcul\u00e9e ne suit plus une loi de Fisher standard. Il en r\u00e9sulte un sur-rejet massif de l’hypoth\u00e8se nulle, le test interpr\u00e9tant \u00e0 tort une simple instabilit\u00e9 de la variance comme une rupture des coefficients de r\u00e9gression.<\/li>\n
\n $$\\varepsilon \\sim \\mathcal{N}(0, \\sigma^2 I_N)$$<\/span>
\n Bien que le th\u00e9or\u00e8me central limite conf\u00e8re une certaine robustesse asymptotique au test sur les tr\u00e8s grands \u00e9chantillons, la normalit\u00e9 stricte est un pr\u00e9requis absolu pour la validit\u00e9 exacte de la loi de Fisher sur des \u00e9chantillons de taille modeste ou restreinte.<\/li>\n
\n $$E[\\varepsilon_t \\varepsilon_s] = 0 \\quad \\forall t \\neq s$$<\/span>
\n La pr\u00e9sence d’autocorr\u00e9lation positive comprime artificiellement la variance r\u00e9siduelle non contrainte, entra\u00eenant une inflation drastique de la statistique de test et une prolif\u00e9ration de rejets faussement positifs.<\/li>\n3. Configuration de l’environnement de calcul statistique en Python<\/h2>\n
3.1 S\u00e9lection et justification de la pile logicielle<\/h3>\n
\n
DataFrame<\/code>, permettant un partitionnement s\u00e9quentiel rigoureux, une indexation chronologique pr\u00e9cise et une gestion contr\u00f4l\u00e9e des s\u00e9ries chronologiques.<\/li>\nOLS<\/code>) avec un niveau d’exhaustivit\u00e9 diagnostique \u00e9quivalent aux logiciels \u00e9conom\u00e9triques propri\u00e9taires, extrayant nativement les sommes de carr\u00e9s r\u00e9siduels, les matrices de covariance et les m\u00e9triques de libert\u00e9.<\/li>\n3.2 Installation et initialisation du socle de travail<\/h3>\n
venv<\/code> ou le gestionnaire de paquets conda<\/code>.<\/p>\npip install numpy pandas statsmodels scipy matplotlib seaborn<\/code><\/p>\n
\nimport pandas as pd
\nimport statsmodels.api as sm
\nimport statsmodels.formula.api as smf
\nfrom scipy import stats
\nimport matplotlib.pyplot as plt
\nimport seaborn as sns\n<\/p>\n4. G\u00e9n\u00e9ration et structuration des donn\u00e9es exp\u00e9rimentales<\/h2>\n
4.1 Cr\u00e9ation du jeu de donn\u00e9es synth\u00e9tique illustratif<\/h3>\n
\n
\nn_observations = 200
\nrupture_index = 100<\/p>\n
\nbruit_gaussien = np.random.normal(loc=0.0, scale=1.0, size=n_observations)<\/p>\n
\ny_data[:rupture_index] = 15.0 + 2.5 * x_data[:rupture_index] + bruit_gaussien[:rupture_index]
\ny_data[rupture_index:] = 35.0 + 0.8 * x_data[rupture_index:] + bruit_gaussien[rupture_index:]<\/p>\ndf_experiment.head()<\/code> et df_experiment.tail()<\/code> confirme l’alignement pr\u00e9cis des s\u00e9ries g\u00e9n\u00e9r\u00e9es.<\/p>\n4.2 V\u00e9rification de l’int\u00e9grit\u00e9 et typage des variables<\/h3>\n
NaN<\/code> ou null<\/code>) ou d’aberrations de mesure fausserait le comptage des observations effectives et, par voie de cons\u00e9quence, invaliderait l’exactitude des degr\u00e9s de libert\u00e9 du test.<\/p>\n
\nprint(df_experiment.dtypes)
\nprint(df_experiment.describe())\n<\/p>\nfloat64<\/code>). Par ailleurs, l’indexation doit refl\u00e9ter rigoureusement l’ordonnancement s\u00e9quentiel ou chronologique des observations pour que le partitionnement au point critique $T^*$<\/span> n’alt\u00e8re pas la chronologie sous-jacente des donn\u00e9es.<\/p>\n5. Exploration visuelle et localisation empirique de la rupture<\/h2>\n
5.1 Repr\u00e9sentation graphique \u00e9l\u00e9mentaire par nuage de points<\/h3>\n
matplotlib.pyplot<\/code>, la r\u00e9alisation d’un diagramme de dispersion calibr\u00e9 selon les normes de publication acad\u00e9mique s’ex\u00e9cute par la s\u00e9quence d’instructions suivante :<\/p>\n
\nplt.scatter(df_experiment[‘X’], df_experiment[‘Y’], color=’#2c3e50′, alpha=0.7, edgecolors=’none’, label=’Observations empiriques’)
\nplt.axvline(x=df_experiment[‘X’].iloc[rupture_index], color=’#e74c3c’, linestyle=’–‘, linewidth=2, label=’Seuil de rupture pr\u00e9sum\u00e9 (t=100)’)
\nplt.title(‘Diagramme de dispersion et localisation empirique de la discontinuit\u00e9’, fontsize=14, fontweight=’bold’)
\nplt.xlabel(‘Variable explicative (X)’, fontsize=12)
\nplt.ylabel(‘Variable d\u00e9pendante (Y)’, fontsize=12)
\nplt.grid(True, linestyle=’:’, alpha=0.6)
\nplt.legend(frameon=True, facecolor=’white’, framealpha=0.9)
\nplt.tight_layout()
\nplt.show()\n<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/french.arabpsychology.com\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/chow11.png\")
<\/figure>\n5.2 Superposition de tendances lin\u00e9aires pr\u00e9liminaires<\/h3>\n
6. Estimation des trois mod\u00e8les de r\u00e9gression sous Statsmodels<\/h2>\n
6.1 Ajustement du mod\u00e8le contraint sur la s\u00e9rie globale<\/h3>\n
sm.add_constant()<\/code> pour incorporer explicitement l’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine dans le syst\u00e8me matriciel :<\/p>\n
\ny_global = df_experiment[‘Y’]<\/p>\n
\nscr_contraint = modele_contraint.ssr<\/p>\n
\nprint(f\u00a0\u00bbSomme des Carr\u00e9s des R\u00e9sidus Contraints (SCR_c) : {scr_contraint:.4f}\u00a0\u00bb)\n<\/p>\n.ssr<\/code> (pour Sum of Squared Residuals<\/em>) de l’objet de r\u00e9sultats renvoie la valeur scalaire exacte de la somme des carr\u00e9s des r\u00e9sidus du mod\u00e8le global ($SCR_c$<\/span>). Ce r\u00e9sultat constitue la premi\u00e8re valeur fondamentale requise pour le num\u00e9rateur de la statistique de Chow.<\/p>\n6.2 Partitionnement et estimation des sous-mod\u00e8les temporels<\/h3>\n
\ndf_regime2 = df_experiment.iloc[rupture_index:]<\/p>\n
\nX_1 = sm.add_constant(df_regime1[‘X’])
\ny_1 = df_regime1[‘Y’]
\nmodele_regime1 = sm.OLS(y_1, X_1).fit()
\nscr_1 = modele_regime1.ssr<\/p>\n
\nX_2 = sm.add_constant(df_regime2[‘X’])
\ny_2 = df_regime2[‘Y’]
\nmodele_regime2 = sm.OLS(y_2, X_2).fit()
\nscr_2 = modele_regime2.ssr<\/p>\n
\nprint(f\u00a0\u00bbSCR R\u00e9gime 2 (SCR_2) : {scr_2:.4f}\u00a0\u00bb)\n<\/p>\n7. Calcul algorithmique de la statistique F du test de Chow<\/h2>\n
7.1 Impl\u00e9mentation pas \u00e0 pas de l’\u00e9quation de Chow<\/h3>\n
\n
\nn_total = len(df_experiment)<\/p>\n
\nscr_non_contraint = scr_1 + scr_2<\/p>\n
\nnumerateur = (scr_contraint – scr_non_contraint) \/ k_parametres<\/p>\n
\ndegres_liberte_denominateur = n_total – (2 * k_parametres)
\ndenominateur = scr_non_contraint \/ degres_liberte_denominateur<\/p>\n
\nf_chow = numerateur \/ denominateur
\nprint(f\u00a0\u00bbStatistique F de Chow calcul\u00e9e : {f_chow:.4f}\u00a0\u00bb)\n<\/p>\n7.2 Calcul de la probabilit\u00e9 critique et prise de d\u00e9cision<\/h3>\n
sf<\/code>) du module scipy.stats.f<\/code>. La fonction de survie est d\u00e9finie math\u00e9matiquement par $1 – F(x)$<\/span>, o\u00f9 $F(x)$<\/span> est la fonction de r\u00e9partition cumulative ; elle garantit une pr\u00e9cision num\u00e9rique optimale, particuli\u00e8rement dans les queues de distribution extr\u00eames o\u00f9 l’arrondi machine de $1 – cdf$<\/span> peut introduire des pertes de pr\u00e9cision significatives :<\/p>\n
\nseuil_critique_95 = f.ppf(q=0.95, dfn=k_parametres, dfd=degres_liberte_denominateur)<\/p>\n
\nprint(f\u00a0\u00bbP-valeur asymptotique exacte : {p_valeur:.4e}\u00a0\u00bb)\n<\/p>\n\n
8. Automatisation du test via une fonction Python g\u00e9n\u00e9rique et modulaire<\/h2>\n
8.1 Architecture logicielle de la fonction personnalis\u00e9e<\/h3>\n
\n \u00ab\u00a0\u00a0\u00bb\u00a0\u00bb
\n Ex\u00e9cute un test de rupture structurelle de Chow sur un mod\u00e8le de r\u00e9gression lin\u00e9aire.<\/p>\n
\n ———–
\n donnees : pd.DataFrame
\n Tableau de donn\u00e9es contenant l’ensemble des s\u00e9ries \u00e0 mod\u00e9liser.
\n var_dependante : str
\n Nom de la colonne cible (Y).
\n vars_explicatives : list
\n Liste des noms de colonnes repr\u00e9sentant les pr\u00e9dicteurs (X).
\n point_rupture : int
\n Indice positionnel d\u00e9limitant la fin du premier r\u00e9gime temporel.<\/p>\n
\n ———
\n dict : Dictionnaire enrichi contenant les m\u00e9triques d’ajustement, la statistique F,
\n les degr\u00e9s de libert\u00e9, la p-valeur et la d\u00e9cision inf\u00e9rentielle.
\n \u00ab\u00a0\u00a0\u00bb\u00a0\u00bb
\n n_total = len(donnees)
\n k_vars = len(vars_explicatives) + 1 # Inclusion de la constante<\/p>\n
\n raise ValueError(\u00ab\u00a0Sous-\u00e9chantillons trop restreints pour estimer le nombre de pr\u00e9dicteurs sp\u00e9cifi\u00e9.\u00a0\u00bb)<\/p>\n
\n X_glob = sm.add_constant(donnees[vars_explicatives])
\n y_glob = donnees[var_dependante]
\n res_glob = sm.OLS(y_glob, X_glob).fit()
\n scr_c = res_glob.ssr<\/p>\n
\n d1 = donnees.iloc[:point_rupture]
\n res_1 = sm.OLS(d1[var_dependante], sm.add_constant(d1[vars_explicatives])).fit()
\n scr_1 = res_1.ssr<\/p>\n
\n d2 = donnees.iloc[point_rupture:]
\n res_2 = sm.OLS(d2[var_dependante], sm.add_constant(d2[vars_explicatives])).fit()
\n scr_2 = res_2.ssr<\/p>\n
\n df_num = k_vars
\n df_denom = n_total – (2 * k_vars)<\/p>\n
\n p_val = stats.f.sf(stat_f, df_num, df_denom)<\/p>\n
\n ‘statistique_F’: stat_f,
\n ‘p_valeur’: p_val,
\n ‘degres_liberte_num’: df_num,
\n ‘degres_liberte_denom’: df_denom,
\n ‘scr_contraint’: scr_c,
\n ‘scr_non_contraint’: scr_nc,
\n ‘rupture_rejetee’: bool(p_val < 0.05)
\n }\n<\/p>\n8.2 Formatage acad\u00e9mique et restitution des r\u00e9sultats<\/h3>\n
\n \u00ab\u00a0\u00a0\u00bb\u00a0\u00bbAffiche une synth\u00e8se format\u00e9e des r\u00e9sultats du test de Chow.\u00a0\u00bb\u00a0\u00bb\u00a0\u00bb
\n print(\u00ab\u00a0=\u00a0\u00bb * 65)
\n print(\u00a0\u00bb RAPPORT D’ANALYSE DE RUPTURE STRUCTURELLE\u00a0\u00bb)
\n print(\u00a0\u00bb (TEST DE CHOW)\u00a0\u00bb)
\n print(\u00ab\u00a0=\u00a0\u00bb * 65)
\n print(f\u00a0\u00bbStatistique F de Fisher : {resultats[‘statistique_F’]:.4f}\u00a0\u00bb)
\n print(f\u00a0\u00bbDegr\u00e9s de libert\u00e9 : F({resultats[‘degres_liberte_num’]}, {resultats[‘degres_liberte_denom’]})\u00a0\u00bb)
\n print(f\u00a0\u00bbProbabilit\u00e9 critique (p-val) : {resultats[‘p_valeur’]:.4e}\u00a0\u00bb)
\n print(f\u00a0\u00bbSomme des carr\u00e9s contrainte : {resultats[‘scr_contraint’]:.4f}\u00a0\u00bb)
\n print(f\u00a0\u00bbSomme des carr\u00e9s partitionn\u00e9e : {resultats[‘scr_non_contraint’]:.4f}\u00a0\u00bb)
\n print(\u00ab\u00a0–\u00a0\u00bb * 65)
\n if resultats[‘p_valeur’] < seuil_significativite:
\n print(f\u00a0\u00bbCONCLUSION : Rejet de H0 au seuil alpha = {seuil_significativite * 100:.1f}%.\u00a0\u00bb)
\n print(\u00ab\u00a0Pr\u00e9sence av\u00e9r\u00e9e d’une rupture structurelle statistiquement significative.\u00a0\u00bb)
\n else:
\n print(f\u00a0\u00bbCONCLUSION : Non-rejet de H0 au seuil alpha = {seuil_significativite * 100:.1f}%.\u00a0\u00bb)
\n print(\u00ab\u00a0Absence de preuve statistique en faveur d’un changement de r\u00e9gime.\u00a0\u00bb)
\n print(\u00ab\u00a0=\u00a0\u00bb * 65)\n<\/p>\n9. M\u00e9thode alternative par mod\u00e8le \u00e0 variables indicatrices et termes d’interaction<\/h2>\n
9.1 Sp\u00e9cification de l’approche par r\u00e9gression unique augment\u00e9e<\/h3>\n
\n
9.2 Ex\u00e9cution et v\u00e9rification statistique sous Statsmodels<\/h3>\n
statsmodels.formula.api<\/code> (inspir\u00e9e de la syntaxe de Wilkinson-Rogers utilis\u00e9e dans le langage R) :<\/p>\n
\ndf_augmente[‘D’] = (df_augmente.index >= df_augmente.index[rupture_index]).astype(int)
\ndf_augmente[‘X_D’] = df_augmente[‘X’] * df_augmente[‘D’]<\/p>\n
\nprint(modele_augmente.summary())<\/p>\n
\nhypothese_conjointe = ‘(D = 0), (X_D = 0)’
\nf_test_resultat = modele_augmente.f_test(hypothese_conjointe)<\/p>\n
\nprint(f\u00a0\u00bbP-valeur associ\u00e9e : {f_test_resultat.pvalue.item():.4e}\u00a0\u00bb)\n<\/p>\nf_test<\/code> sur le mod\u00e8le augment\u00e9 et la statistique $F_{Chow}$<\/span> obtenue via la m\u00e9thode des r\u00e9gressions partitionn\u00e9es de la section pr\u00e9c\u00e9dente est strictement parfaite (au niveau de pr\u00e9cision de la machine). L’avantage additionnel majeur de cette seconde formulation r\u00e9side dans l’examen direct des tests $t$<\/span> individuels associ\u00e9s aux variables D<\/code> et