Bien que des logiciels statistiques sp\u00e9cialis\u00e9s comme R, SPSS ou SAS int\u00e8grent des routines automatis\u00e9es pour ce test, la ma\u00eetrise de son impl\u00e9mentation pas \u00e0 pas dans Microsoft Excel pr\u00e9sente des vertus p\u00e9dagogiques et pratiques inestimables. Excel permet de d\u00e9composer chaque \u00e9tape alg\u00e9brique du calcul, d’auditer avec rigueur la structure des donn\u00e9es brutes, et de s’affranchir de la nature opaque des algorithmes \u00ab bo\u00eete noire \u00bb. Le pr\u00e9sent trait\u00e9 propose une exploration exhaustive, th\u00e9orique et op\u00e9rationnelle, du test de Jarque-Bera dans Microsoft Excel, guidant le chercheur depuis les fondements \u00e9pist\u00e9mologiques du test jusqu’\u00e0 son interpr\u00e9tation clinique et psychom\u00e9trique rigoureuse.<\/p>\n
1. Introduction th\u00e9orique et \u00e9pist\u00e9mologique au test de Jarque-Bera<\/h2>\n1.1 Origine et d\u00e9finition du test d’ad\u00e9quation de Jarque-Bera<\/h3>\n
Le test d’ad\u00e9quation de Jarque-Bera a \u00e9t\u00e9 formalis\u00e9 au d\u00e9but des ann\u00e9es 1980 par les \u00e9conom\u00e8tres Carlos M. Jarque et Anil K. Bera, initialement dans le cadre de l’\u00e9valuation de la normalit\u00e9 des r\u00e9sidus de r\u00e9gression \u00e9conom\u00e9trique (Jarque & Bera, 1980, 1987). Face aux limites computationnelles et conceptuelles des tests d’ad\u00e9quation conventionnels, les auteurs ont cherch\u00e9 \u00e0 concevoir une proc\u00e9dure fond\u00e9e sur le principe du multiplicateur de Lagrange (Lagrange Multiplier test<\/em>), capable de v\u00e9rifier simultan\u00e9ment si les troisi\u00e8me et quatri\u00e8me moments standardis\u00e9s d’une distribution d’\u00e9chantillonnage s’\u00e9cartent significativement des valeurs th\u00e9oriques dict\u00e9es par la loi normale de Gauss-Laplace.<\/p>\n Sur le plan \u00e9pist\u00e9mologique, le test de Jarque-Bera se classe dans la cat\u00e9gorie des tests d’ad\u00e9quation (goodness-of-fit<\/em>) fond\u00e9s sur les moments d’\u00e9chantillonnage. Alors que les tests d’ad\u00e9quation dits globaux ou \u00ab omnibus \u00bb traditionnels analysent la distance spatiale supr\u00e9mum ou quadratique entre la distribution cumulative observ\u00e9e et la distribution cumulative th\u00e9orique, l’approche de Jarque-Bera postule que l’identit\u00e9 morphologique d’une loi normale est int\u00e9gralement encapsul\u00e9e dans la nullit\u00e9 de son asym\u00e9trie et la fixation stricte de son aplatissement \u00e0 une valeur de r\u00e9f\u00e9rence. Tout \u00e9cart substantiel observ\u00e9 sur ces moments d’ordre sup\u00e9rieur traduit une d\u00e9formation structurelle incompatible avec l’hypoth\u00e8se d’une gen\u00e8se stochastique gaussienne.<\/p>\n Cette m\u00e9thodologie tire sa force de ses propri\u00e9t\u00e9s asymptotiques optimales. Sous les conditions d’un grand \u00e9chantillon, le test de Jarque-Bera b\u00e9n\u00e9ficie du statut de test uniform\u00e9ment le plus puissant parmi les tests invariants pour d\u00e9tecter des d\u00e9viations issues de la famille des lois de Pearson. En sciences humaines et en psychologie, o\u00f9 les instruments de mesure capturent des r\u00e9alit\u00e9s latentes complexes, l’\u00e9valuation conjointe de la d\u00e9viation lat\u00e9rale et de l’\u00e9paisseur des queues fournit un diagnostic qualitatif bien sup\u00e9rieur \u00e0 une simple statistique de distance scalaire.<\/p>\n Toute d\u00e9marche d’inf\u00e9rence statistique formelle exige une explicitation rigoureuse des hypoth\u00e8ses rivales soumises \u00e0 l’\u00e9preuve des donn\u00e9es. Dans le cadre du test de Jarque-Bera, l’hypoth\u00e8se nulle, not\u00e9e $H_0$<\/span>, postule que l’\u00e9chantillon observ\u00e9 est issu d’une population dont la distribution sous-jacente suit une loi normale d’esp\u00e9rance math\u00e9matique $\\mu$<\/span> et de variance $\\sigma^2$<\/span>, param\u00e8tres pouvant \u00eatre inconnus et estim\u00e9s \u00e0 partir des donn\u00e9es :<\/p>\n $$H_0 : S = 0 \\quad \\text{et} \\quad K = 3$$<\/span><\/p>\n Dans cette formulation canonique, $S$<\/span> repr\u00e9sente le coefficient th\u00e9orique d’asym\u00e9trie (skewness<\/em>) et $K$<\/span> d\u00e9signe le coefficient th\u00e9orique d’aplatissement (kurtosis<\/em> brut). Si l’on choisit de travailler en termes d’exc\u00e8s d’aplatissement, not\u00e9 $C$<\/span>, o\u00f9 $C = K – 3$<\/span>, l’hypoth\u00e8se nulle se r\u00e9duit \u00e9l\u00e9gamment \u00e0 la conjonction : $H_0 : S = 0 \\text{ et } C = 0$<\/span>. L’hypoth\u00e8se nulle affirme donc que les donn\u00e9es observ\u00e9es ne pr\u00e9sentent aucune distorsion morphologique d’asym\u00e9trie ni aucune anomalie dans l’\u00e9paisseur de leurs queues de distribution comparativement au profil gaussien standard.<\/p>\n \u00c0 l’inverse, l’hypoth\u00e8se alternative, not\u00e9e $H_1$<\/span>, est formul\u00e9e de mani\u00e8re composite et non directionnelle. Elle stipule que la distribution parente d\u00e9vie de la normalit\u00e9 en raison d’une asym\u00e9trie non nulle, d’un aplatissement anormal, ou d’une combinaison simultan\u00e9e de ces deux alt\u00e9rations :<\/p>\n $$H_1 : S \\neq 0 \\quad \\text{ou} \\quad K \\neq 3 \\quad (\\text{soit } C \\neq 0)$$<\/span><\/p>\n La statistique de test de Jarque-Bera, couramment d\u00e9sign\u00e9e par l’acronyme $JB$<\/span>, quantifie pr\u00e9cis\u00e9ment la distance quadratique conjointe s\u00e9parant le vecteur d’\u00e9chantillonnage $(S, C)$<\/span> de l’origine th\u00e9orique $(0, 0)$<\/span>. D\u00e8s lors, la r\u00e8gle de d\u00e9cision repose sur une logique de rejet unilat\u00e9ral \u00e0 droite : plus la valeur observ\u00e9e de $JB$<\/span> s’\u00e9loigne de z\u00e9ro pour atteindre des magnitudes \u00e9lev\u00e9es, plus la plausibilit\u00e9 de l’hypoth\u00e8se nulle s’\u00e9tiole. La confrontation de la statistique empirique \u00e0 une valeur critique issue de la loi du Chi-carr\u00e9, pour un seuil d’erreur de premi\u00e8re esp\u00e8ce pr\u00e9d\u00e9termin\u00e9 (conventionnellement $\\alpha = 0{,}05$<\/span>), permet de trancher de fa\u00e7on cat\u00e9gorique entre le rejet ou le maintien de l’hypoth\u00e8se de normalit\u00e9.<\/p>\n Pour garantir la validit\u00e9 m\u00e9trologique et th\u00e9orique des conclusions tir\u00e9es du test de Jarque-Bera, plusieurs pr\u00e9requis fondamentaux doivent \u00eatre imp\u00e9rativement satisfaits lors du recueil et de la structuration des donn\u00e9es. Le premier postulat r\u00e9side dans la nature probabiliste de l’\u00e9chantillonnage : les observations composant la s\u00e9rie doivent \u00eatre ind\u00e9pendantes et identiquement distribu\u00e9es (i.i.d.). Toute violation de l’ind\u00e9pendance statistique, qu’elle r\u00e9sulte d’une autocorr\u00e9lation temporelle au sein de mesures longitudinales r\u00e9p\u00e9t\u00e9es ou d’une d\u00e9pendance groupale (effets de grappes scolaires ou cliniques), fausse dramatiquement la variance asymptotique des moments empiriques, conduisant \u00e0 des rejets abusifs de la normalit\u00e9.<\/p>\n Le second pr\u00e9requis a trait \u00e0 la nature m\u00e9trique de la variable analys\u00e9e. Le test de Jarque-Bera pr\u00e9suppose que la grandeur mesur\u00e9e est une variable quantitative continue. L’application directe de ce formalisme \u00e0 des donn\u00e9es strictement cat\u00e9gorielles, ordinales pures ou binomiales constitue une h\u00e9r\u00e9sie m\u00e9thodologique, dans la mesure o\u00f9 les moments d’ordre sup\u00e9rieur de variables discr\u00e8tes sont contraints par le support fini de l’\u00e9chelle, invalidant les distributions limites standardis\u00e9es. En psychom\u00e9trie, son emploi sur des scores composites issus d’\u00e9chelles de Likert n’est tol\u00e9r\u00e9 que si l’\u00e9chelle globale pr\u00e9sente un continuum suffisant de valeurs (g\u00e9n\u00e9ralement plus de 15 \u00e0 20 graduations distinctes).<\/p>\n Enfin, le comportement asymptotique du test impose une vigilance extr\u00eame quant \u00e0 la taille de l’\u00e9chantillon ($n$<\/span>). D\u00e9riv\u00e9 sous des conditions limites o\u00f9 $n$<\/span> tend vers l’infini, le test de Jarque-Bera pr\u00e9sente des distorsions notables dans les \u00e9chantillons de taille modeste ($n < 30$<\/span> ou $n < 50$<\/span>). Dans ce contexte restreint, les estimateurs d'\u00e9chantillon des moments d'ordre 3 et 4 manifestent une forte variabilit\u00e9 d'\u00e9chantillonnage, ce qui peut alt\u00e9rer le taux r\u00e9el d'erreur de premi\u00e8re esp\u00e8ce. Le test exprime toute sa robustesse et sa puissance de discrimination sur des \u00e9chantillons de taille mod\u00e9r\u00e9e \u00e0 grande ($n ge 100$<\/span>), configuration fr\u00e9quente dans les protocoles de recherche en psychologie diff\u00e9rentielle, cognitive ou sociale.<\/p>\n L’architecture interne du test de Jarque-Bera s’enracine dans la th\u00e9orie statistique des moments d’une variable al\u00e9atoire. Pour une variable al\u00e9atoire continue $X$<\/span> d’esp\u00e9rance $\\mu = \\mathbb{E}[X]$<\/span>, le moment centr\u00e9 d’ordre $k$<\/span> est formellement d\u00e9fini par l’expression math\u00e9matique :<\/p>\n $$\\mu_k = \\mathbb{E}\\left[(X – \\mu)^k\\right] = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} (x – \\mu)^k f(x) , dx$$<\/span><\/p>\n Le troisi\u00e8me moment centr\u00e9, correspondant \u00e0 $k = 3$<\/span>, quantifie le degr\u00e9 d’asym\u00e9trie de la fonction de densit\u00e9 de probabilit\u00e9 $f(x)$<\/span> autour de son centre de gravit\u00e9. Afin d’obtenir une m\u00e9trique adimensionnelle, insensible aux unit\u00e9s d’\u00e9chelle de la mesure, ce moment centr\u00e9 est standardis\u00e9 par la puissance correspondante de l’\u00e9cart-type $\\sigma = \\sqrt{\\mu_2}$<\/span>, donnant naissance au coefficient th\u00e9orique d’asym\u00e9trie de Fisher-Pearson :<\/p>\n $$S = \\beta_1^{1\/2} = \\frac{\\mu_3}{\\sigma^3} = \\frac{\\mathbb{E}\\left[(X – \\mu)^3\\right]}{\\left(\\mathbb{E}\\left[(X – \\mu)^2\\right]\\right)^{3\/2}}$$<\/span><\/p>\n Sur le plan g\u00e9om\u00e9trique, une distribution rigoureusement sym\u00e9trique par rapport \u00e0 sa moyenne poss\u00e8de une valeur $S = 0$<\/span>. Les d\u00e9viations positives et n\u00e9gatives s’annulent int\u00e9gralement deux \u00e0 deux lors de l’\u00e9l\u00e9vation \u00e0 la puissance impaire 3. Une asym\u00e9trie positive ($S > 0$<\/span>) signale un \u00e9talement pr\u00e9dominant de la queue de distribution vers la droite (valeurs \u00e9lev\u00e9es), tandis que la masse m\u00e9diane des observations est concentr\u00e9e sur la gauche. Inversement, une asym\u00e9trie n\u00e9gative ($S < 0$<\/span>) traduit un \u00e9tirement de la queue gauche, r\u00e9v\u00e9lant une accumulation de valeurs dans les zones sup\u00e9rieures de l'\u00e9chelle de mesure.<\/p>\n Dans un contexte d’\u00e9chantillonnage fini comportant $n$<\/span> observations $x_1, x_2, dots, x_n$<\/span> de moyenne $\\bar{x}$<\/span>, l’estimateur empirique de l’asym\u00e9trie peut \u00eatre calcul\u00e9 selon deux formulations distinctes : l’estimateur direct avec biais :<\/p>\n $$m_3 \/ m_2^{3\/2} = \\frac{\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n (x_i – \\bar{x})^3}{\\left(\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n (x_i – \\bar{x})^2\\right)^{3\/2}}$$<\/span><\/p>\n et l’estimateur sans biais corrig\u00e9 pour les petits \u00e9chantillons, formalis\u00e9 par Fisher, qui int\u00e8gre un facteur de correction polynomial multiplicatif :<\/p>\n $$G_1 = \\frac{n}{(n – 1)(n – 2)} \\sum_{i=1}^n \\left(\\frac{x_i – \\bar{x}}{s}\\right)^3$$<\/span><\/p>\n o\u00f9 $s$<\/span> repr\u00e9sente l’\u00e9cart-type d’\u00e9chantillon corrig\u00e9. Cette distinction technique rev\u00eat une importance capitale lors de la manipulation des fonctions natives du tableur Excel.<\/p>\n Le quatri\u00e8me moment centr\u00e9, correspondant \u00e0 la puissance paire $k = 4$<\/span>, mesure la distribution relative de la masse probabiliste entre le centre, les flancs et les queues de la distribution. Standardis\u00e9 par le carr\u00e9 de la variance (soit $\\sigma^4$<\/span>), il d\u00e9finit le coefficient d’aplatissement brut (raw kurtosis<\/em>), traditionnellement not\u00e9 $\\alpha_4$<\/span> ou $\\beta_2$<\/span> :<\/p>\n $$K = \\beta_2 = \\frac{\\mu_4}{\\sigma^4} = \\frac{\\mathbb{E}\\left[(X – \\mu)^4\\right]}{\\left(\\mathbb{E}\\left[(X – \\mu)^2\\right]\\right)^2}$$<\/span><\/p>\n Pour la loi normale th\u00e9orique, l’int\u00e9gration par parties de l’int\u00e9grale gaussienne r\u00e9v\u00e8le une propri\u00e9t\u00e9 immuable : $\\mu_4 = 3\\sigma^4$<\/span>, ce qui implique rigoureusement que $K = 3$<\/span>. En raison de cette constante fondamentale, les statisticiens privil\u00e9gient quasi syst\u00e9matiquement l’usage du coefficient d’exc\u00e8s d’aplatissement (excess kurtosis<\/em>), not\u00e9 $C$<\/span> ou $\\gamma_2$<\/span>, qui op\u00e8re un centrage direct par rapport \u00e0 la r\u00e9f\u00e9rence gaussienne :<\/p>\n $$C = K – 3 = \\frac{\\mu_4}{\\sigma^4} – 3$$<\/span><\/p>\n Une typologie tridimensionnelle standard permet de classifier les formes de distribution selon l’amplitude de cet exc\u00e8s :<\/p>\n L’estimation de l’aplatissement sur un \u00e9chantillon fini n\u00e9cessite, elle aussi, une correction structurelle pour \u00e9liminer les biais d’\u00e9chantillonnage. L’estimateur sans biais corrig\u00e9 de l’exc\u00e8s de kurtosis, d\u00e9sign\u00e9 par $G_2$<\/span>, s’exprime selon une relation alg\u00e9brique complexe faisant intervenir les degr\u00e9s de libert\u00e9 r\u00e9siduels $(n-1)$<\/span>, $(n-2)$<\/span> et $(n-3)$<\/span>, garantissant que son esp\u00e9rance math\u00e9matique sous condition de normalit\u00e9 soit strictement nulle.<\/p>\n L’\u00e9l\u00e9gance m\u00e9thodologique du test de Jarque-Bera repose sur la dynamique conjointe de ces deux descripteurs distributionnels. Sous l’hypoth\u00e8se nulle de normalit\u00e9, une propri\u00e9t\u00e9 probabiliste fondamentale issue des travaux de Ronald Fisher stipule que les coefficients d’\u00e9chantillonnage de l’asym\u00e9trie et de l’aplatissement sont asymptotiquement ind\u00e9pendants. Cela signifie qu’\u00e0 mesure que la taille de l’\u00e9chantillon cro\u00eet, la covariance entre l’estimateur de l’asym\u00e9trie $\\hat{S}$<\/span> et l’estimateur de l’exc\u00e8s de kurtosis $\\hat{C}$<\/span> converge vers z\u00e9ro :<\/p>\n $$operatorname{Cov}(\\hat{S}, \\hat{C}) x\\rightarrow[n to \\infty]{} 0$$<\/span><\/p>\n Cette orthogonalit\u00e9 asymptotique autorise une additionnalit\u00e9 quadratique directe des d\u00e9viations standardis\u00e9es dans un espace vectoriel bidimensionnel. L’\u00e9valuation de la normalit\u00e9 ne proc\u00e8de donc pas par une succession de tests marginaux disjoints \u2014 qui souffriraient du probl\u00e8me des comparaisons multiples et de l’inflation de l’erreur globale \u2014 mais par une m\u00e9trique globale synth\u00e9tisant la distance euclidienne pond\u00e9r\u00e9e du couple $(\\hat{S}, \\hat{C})$<\/span> par rapport au centre normatif $(0, 0)$<\/span>.<\/p>\n Cette interaction conf\u00e8re au test une sensibilit\u00e9 diff\u00e9rentielle remarquable. Une distribution peut pr\u00e9senter une sym\u00e9trie exemplaire ($S \\approx 0$<\/span>) tout en affichant un profil hautement leptokurtique qui invalide les calculs de puissance d’un test param\u00e9trique. Inversement, une distribution mod\u00e9r\u00e9ment platykurtique peut dissimuler une asym\u00e9trie prononc\u00e9e. En sommant quadratiquement ces deux sources d’\u00e9cart apr\u00e8s normalisation de leurs variances d’\u00e9chantillonnage respectives, le test de Jarque-Bera emp\u00eache qu’une anomalie sur un moment ne soit occult\u00e9e ou neutralis\u00e9e par la conformit\u00e9 apparente de l’autre moment.<\/p>\n La formulation alg\u00e9brique canonique de la statistique de Jarque-Bera est le r\u00e9sultat direct de la normalisation asymptotique des moments d’\u00e9chantillonnage. Soit un \u00e9chantillon al\u00e9atoire de $n$<\/span> observations ind\u00e9pendantes issues d’une population gaussienne. En vertu du th\u00e9or\u00e8me central limite appliqu\u00e9 aux moments empiriques, l’estimateur de l’asym\u00e9trie $\\hat{S}$<\/span> converge en loi vers une distribution normale d’esp\u00e9rance nulle et de variance asymptotique \u00e9gale \u00e0 $6\/n$<\/span> :<\/p>\n $$\\hat{S} x\\rightarrow{\\mathcal{D}} \\mathcal{N}\\left(0, \\frac{6}{n}\\right) \\quad iff \\quad \\frac{\\hat{S}}{\\sqrt{6\/n}} x\\rightarrow{\\mathcal{D}} \\mathcal{N}(0, 1)$$<\/span><\/p>\n Simultan\u00e9ment, l’estimateur de l’exc\u00e8s de kurtosis $\\hat{C}$<\/span> converge vers une loi normale d’esp\u00e9rance nulle, mais avec une variance asymptotique quatre fois sup\u00e9rieure, \u00e9gale \u00e0 $24\/n$<\/span> :<\/p>\n $$\\hat{C} x\\rightarrow{\\mathcal{D}} \\mathcal{N}\\left(0, \\frac{24}{n}\\right) \\quad iff \\quad \\frac{\\hat{C}}{\\sqrt{24\/n}} x\\rightarrow{\\mathcal{D}} \\mathcal{N}(0, 1)$$<\/span><\/p>\n Puisque $\\hat{S}$<\/span> et $\\hat{C}$<\/span> sont asymptotiquement ind\u00e9pendants sous $H_0$<\/span>, la somme des carr\u00e9s de leurs formes standardis\u00e9es constitue une combinaison quadratique naturelle. En \u00e9levant chacune de ces variables normales centr\u00e9es r\u00e9duites au carr\u00e9, on obtient l’\u00e9quation explicite de la statistique de Jarque-Bera :<\/p>\n $$JB = \\left(\\frac{\\hat{S}}{\\sqrt{6\/n}}\\right)^2 + \\left(\\frac{\\hat{C}}{\\sqrt{24\/n}}\\right)^2 = \\frac{\\hat{S}^2}{6\/n} + \\frac{\\hat{C}^2}{24\/n} = \\frac{n}{6} \\left( \\hat{S}^2 + \\frac{\\hat{C}^2}{4} \\right)$$<\/span><\/p>\n Cette \u00e9criture met en exergue le r\u00f4le pond\u00e9rateur d\u00e9terminant de la taille de l’\u00e9chantillon $n$<\/span>. Ce facteur multiplicateur externe agit comme un amplificateur d’\u00e9chelle : \u00e0 d\u00e9viations morphologiques d’asym\u00e9trie et de kurtosis constantes, la valeur de la statistique $JB$<\/span> cro\u00eet de fa\u00e7on strictement lin\u00e9aire avec le nombre d’observations. Par ailleurs, la division de $\\hat{C}^2$<\/span> par 4 au sein de la parenth\u00e8se d\u00e9coule directement du ratio des variances asymptotiques ($24 \/ 6 = 4$<\/span>), illustrant que l’estimation de l’aplatissement requiert quatre fois plus de variabilit\u00e9 th\u00e9orique pour peser de mani\u00e8re \u00e9quivalente \u00e0 l’asym\u00e9trie dans la statistique globale.<\/p>\n La d\u00e9rivation de la distribution th\u00e9orique de la statistique $JB$<\/span> repose sur un th\u00e9or\u00e8me \u00e9l\u00e9mentaire des probabilit\u00e9s fondamentales : la somme des carr\u00e9s de $k$<\/span> variables al\u00e9atoires normales centr\u00e9es r\u00e9duites ind\u00e9pendantes suit rigoureusement une distribution du Chi-carr\u00e9 ($\\chi^2$<\/span>) \u00e0 $k$<\/span> degr\u00e9s de libert\u00e9. Posons :<\/p>\n $$Z_1 = \\frac{\\hat{S}}{\\sqrt{6\/n}} \\sim \\mathcal{N}(0, 1) \\quad \\text{et} \\quad Z_2 = \\frac{\\hat{C}}{\\sqrt{24\/n}} \\sim \\mathcal{N}(0, 1)$$<\/span><\/p>\n Sous l’hypoth\u00e8se nulle $H_0$<\/span> et lorsque $n to \\infty$<\/span>, la statistique $JB = Z_1^2 + Z_2^2$<\/span> converge asymptotiquement en loi vers une variable al\u00e9atoire distribu\u00e9e selon une loi du Chi-carr\u00e9 poss\u00e9dant deux degr\u00e9s de libert\u00e9 ($df = 2$<\/span>) :<\/p>\n $$JB x\\rightarrow{\\mathcal{D}} \\chi^2(2)$$<\/span><\/p>\n L’attribution exacte de deux degr\u00e9s de libert\u00e9 ($df = 2$<\/span>) est math\u00e9matiquement incontestable : elle correspond au nombre exact de restrictions param\u00e9triques impos\u00e9es sous l’hypoth\u00e8se nulle, \u00e0 savoir la nullit\u00e9 stricte du coefficient d’asym\u00e9trie ($S = 0$<\/span>) et la nullit\u00e9 stricte de l’exc\u00e8s de kurtosis ($C = 0$<\/span>).<\/p>\n Toutefois, il est primordial de souligner le danger de distorsion asymptotique en pr\u00e9sence d’\u00e9chantillons finis de petite dimension. Pour des effectifs restreints (typiquement $n < 30$<\/span>), les variances r\u00e9elles d'\u00e9chantillonnage de l'asym\u00e9trie et du kurtosis s'\u00e9cartent significativement de leurs limites th\u00e9oriques $6\/n$<\/span> et $24\/n$<\/span>, et la convergence normale de $\\hat{C}$<\/span> s'av\u00e8re particuli\u00e8rement lente en raison de la lourdeur des moments d'ordre 4. Il en r\u00e9sulte que pour de petits \u00e9chantillons sous $H_0$<\/span>, la distribution empirique de $JB$<\/span> a tendance \u00e0 pr\u00e9senter une queue droite plus \u00e9paisse que celle de la loi th\u00e9orique du $\\chi^2(2)$<\/span>, g\u00e9n\u00e9rant un conservatisme ou une impr\u00e9cision d\u00e9cisionnelle qui exige des pr\u00e9cautions m\u00e9thodologiques rigoureuses.<\/p>\n La statistique de Jarque-Bera poss\u00e8de des propri\u00e9t\u00e9s m\u00e9trologiques fondamentales qui en facilitent l’usage et l’interpr\u00e9tation dans les analyses quantitatives appliqu\u00e9es :<\/p>\n En sciences du comportement et en recherche psychologique contemporaine, le test de Jarque-Bera constitue un outil privil\u00e9gi\u00e9 pour l’audit des mod\u00e8les lin\u00e9aires g\u00e9n\u00e9raux. Une m\u00e9connaissance r\u00e9pandue consiste \u00e0 exiger la normalit\u00e9 brute des variables pr\u00e9dictives et des variables crit\u00e8res. En r\u00e9alit\u00e9, le postulat de normalit\u00e9 sous-tendant la validit\u00e9 des tests de Student, des mod\u00e8les de r\u00e9gression lin\u00e9aire multiple et de l’analyse de variance (ANOVA) porte sp\u00e9cifiquement sur la distribution des r\u00e9sidus d’\u00e9chantillonnage :<\/p>\n $$\\varepsilon_i = y_i – \\hat{y}_i \\sim \\mathcal{N}(0, \\sigma^2)$$<\/span><\/p>\n L’application du test de Jarque-Bera sur les s\u00e9ries r\u00e9siduelles permet d’authentifier la l\u00e9gitimit\u00e9 des erreurs types d’estimation, des intervalles de confiance et des seuils de significativit\u00e9 associ\u00e9s aux coefficients de r\u00e9gression. Lorsque les r\u00e9sidus pr\u00e9sentent un kurtosis excessif (distribution leptokurtique), la variance d’\u00e9chantillonnage des coefficients estim\u00e9s tend \u00e0 \u00eatre sous-\u00e9valu\u00e9e par les logiciels, induisant un r\u00e9tr\u00e9cissement artificiel des intervalles de confiance et augmentant exponentiellement le risque de d\u00e9clarer un effet psychologique significatif alors qu’il ne s’agit que d’un artefact stochastique (erreur de type I). L’int\u00e9gration d’un test de normalit\u00e9 robuste comme Jarque-Bera sur les r\u00e9sidus constitue donc un gage indispensable d’int\u00e9grit\u00e9 m\u00e9thodologique.<\/p>\n Les instruments psychom\u00e9triques \u2014 qu’il s’agisse de batteries d’\u00e9valuation cognitive, d’inventaires de traits de personnalit\u00e9 ou d’\u00e9chelles de psychopathologie clinique \u2014 engendrent des profils distributionnels singuliers qui s’\u00e9cartent fr\u00e9quemment de la stricte cloche gaussienne :<\/p>\n Dans les populations cliniques, l’\u00e9valuation de sympt\u00f4mes tels que la symptomatologie d\u00e9pressive (mesur\u00e9e par exemple via l’inventaire BDI-II) ou l’anxi\u00e9t\u00e9 \u00e9tat-trait pr\u00e9sente de mani\u00e8re presque syst\u00e9matique une asym\u00e9trie positive prononc\u00e9e. La majorit\u00e9 des participants non cliniques cumulent des scores faibles proches du plancher de l’\u00e9chelle (effet de plancher), tandis qu’une minorit\u00e9 clinique s’\u00e9tire le long d’une queue droite particuli\u00e8rement longue. L’asym\u00e9trie $S$<\/span> capture fid\u00e8lement cette d\u00e9formation, \u00e9valuant si le niveau d’\u00e9tirement compromet l’inf\u00e9rence param\u00e9trique.<\/p>\n De m\u00eame, les inventaires de personnalit\u00e9 administr\u00e9s dans des contextes \u00e0 fort enjeu (s\u00e9lection professionnelle, expertise m\u00e9dico-l\u00e9gale) sont souvent biais\u00e9s par la d\u00e9sirabilit\u00e9 sociale, provoquant des effets de plafond (asym\u00e9trie n\u00e9gative). D’autre part, les tests neuropsychologiques d’\u00e9valuation de la vitesse de traitement de l’information ou du temps de r\u00e9action face \u00e0 des stimuli \u00e9motionnels engendrent presque universellement des profils leptokurtiques marqu\u00e9s par des queues de distribution lourdes, dues \u00e0 des ralentissements cognitifs occasionnels. Le test de Jarque-Bera quantifie ces anomalies d’une mani\u00e8re directement lisible pour le clinicien et le chercheur.<\/p>\n L’utilisation du test de Jarque-Bera en psychologie exige une mise en perspective critique dict\u00e9e par la taille de la cohorte analys\u00e9e. Cette probl\u00e9matique confronte le chercheur \u00e0 un dilemme m\u00e9thodologique sym\u00e9trique :<\/p>\n Dans les \u00e9tudes \u00e9pid\u00e9miologiques ou les enqu\u00eates de panel \u00e0 tr\u00e8s grand effectif ($n > 1,000$<\/span> ou $n > 5,000$<\/span>), le facteur multiplicatif $n\/6$<\/span> amplifie la moindre variation microscopique d’asym\u00e9trie ou d’aplatissement. Dans ces conditions de surpuissance statistique, le test de Jarque-Bera rejettera quasi syst\u00e9matiquement l’hypoth\u00e8se nulle ($p < 0{,}001$<\/span>), m\u00eame si les scores pr\u00e9sentent un alignement visuel et fonctionnel quasi parfait avec la courbe gaussienne. La rigueur scientifique impose alors de distinguer la significativit\u00e9 statistique de la significativit\u00e9 pratique, en jaugeant directement l'amplitude brute des coefficients $\\hat{S}$<\/span> et $\\hat{C}$<\/span> plut\u00f4t qu'en se soumettant aveugl\u00e9ment au verdict de la p-valeur.<\/p>\n \u00c0 l’oppos\u00e9, les \u00e9tudes cliniques neurofonctionnelles ou les protocoles de psychoth\u00e9rapie exp\u00e9rimentale reposant sur des \u00e9chantillons restreints ($n 0{,}05$<\/span>) comme la preuve irr\u00e9futable de la normalit\u00e9, et compl\u00e9tera obligatoirement son diagnostic par des outils graphiques compl\u00e9mentaires.<\/p>\n Avant d’engager le moindre calcul statistique dans Microsoft Excel, l’int\u00e9grit\u00e9 de la s\u00e9rie de donn\u00e9es doit \u00eatre scrupuleusement v\u00e9rifi\u00e9e. Les scores psychom\u00e9triques bruts import\u00e9s depuis des plateformes d’\u00e9valuation en ligne (Qualtrics, Google Forms, Gorilla Experiment Builder) comportent r\u00e9guli\u00e8rement des scories techniques qui corrompent les algorithmes matriciels d’Excel : codes de valeurs manquantes num\u00e9riques (tels que $-99$<\/span>, $999$ ou des cha\u00eenes textuelles comme Le chercheur doit standardiser les valeurs manquantes en laissant les cellules cibles rigoureusement vides, ce qui permet aux fonctions natives d’Excel de les exclure automatiquement de l’analyse sans alt\u00e9rer les calculs d’effectif effectif. L’inspection pr\u00e9liminaire des valeurs aberrantes (outliers<\/em>) extr\u00eames est \u00e9galement indispensable : une faute de saisie isol\u00e9e (par exemple un score de $550$ saisi \u00e0 la place de $50$ sur une \u00e9chelle born\u00e9e \u00e0 $100$) exerce un effet disproportionn\u00e9 sur le quatri\u00e8me moment centr\u00e9, le kurtosis augmentant \u00e0 la puissance 4 de l’\u00e9cart \u00e0 la moyenne. L’ensemble des cellules contenant les observations doit \u00eatre express\u00e9ment converti au format \u00ab Nombre \u00bb avec un param\u00e9trage uniforme de deux d\u00e9cimales.<\/p>\n La p\u00e9rennit\u00e9 et la reproductibilit\u00e9 d’un protocole d’analyse statistique dans Excel reposent sur une compartimentation spatiale rigoureuse de la feuille de calcul. Il est fortement recommand\u00e9 d’adopter une structure tabulaire normalis\u00e9e divis\u00e9e en trois blocs fonctionnels :<\/p>\n L’attribution de Plages Nomm\u00e9es<\/strong> (Named Ranges<\/em>) dans Excel constitue une bonne pratique pour optimiser la clart\u00e9 syntaxique. En s\u00e9lectionnant la plage L’impl\u00e9mentation op\u00e9rationnelle du test requiert un examen attentif des sp\u00e9cificit\u00e9s de la version d’Excel mobilis\u00e9e et de son environnement linguistique. Depuis la version Excel 2010, Microsoft a proc\u00e9d\u00e9 \u00e0 une refonte substantielle de sa biblioth\u00e8que de fonctions statistiques afin d’am\u00e9liorer la pr\u00e9cision des algorithmes en double pr\u00e9cision et de se conformer aux normes de l’ISO\/IEC. Il convient donc de privil\u00e9gier syst\u00e9matiquement les fonctions statistiques modernes (dont l’intitul\u00e9 comporte des s\u00e9parateurs par point) au d\u00e9triment des anciennes fonctions de compatibilit\u00e9 h\u00e9rit\u00e9es des versions 2003 et ant\u00e9rieures.<\/p>\n Un autre point de vigilance concerne le s\u00e9parateur d\u00e9cimal d\u00e9fini par les param\u00e8tres r\u00e9gionaux du syst\u00e8me d’exploitation h\u00f4te. Dans l’environnement francophone standard, la virgule ( La premi\u00e8re composante scalaire indispensable \u00e0 l’\u00e9dification de la statistique de Jarque-Bera est l’effectif effectif des observations valides, not\u00e9 $n$<\/span>. L’utilisation empirique de la taille g\u00e9om\u00e9trique de la colonne serait une erreur conceptuelle majeure en pr\u00e9sence de cellules non renseign\u00e9es. Pour d\u00e9nombrer strictement les entr\u00e9es num\u00e9riques, on impl\u00e9mente la fonction Formule dans la cellule cible (par exemple La fonction L’exactitude de cette grandeur $n$<\/span> est d\u00e9cisive : elle intervient non seulement dans le facteur de mise \u00e0 l’\u00e9chelle global $n\/6$<\/span>, mais conditionne \u00e9galement la variance asymptotique sous-jacente des moments. Toute sous-estimation ou surestimation de $n$<\/span> invalide l’ensemble de la cha\u00eene d’inf\u00e9rence.<\/p>\n Bien que l’\u00e9quation finale synth\u00e9tique de Jarque-Bera puisse \u00eatre calcul\u00e9e directement \u00e0 l’aide des fonctions de moments pr\u00e9programm\u00e9es, la d\u00e9termination du premier moment brut (la moyenne d’\u00e9chantillon) et du second moment centr\u00e9 (la variance ou l’\u00e9cart-type) s’impose pour auditer le jeu de donn\u00e9es et pour permettre la d\u00e9composition manuelle didactique.<\/p>\n La moyenne empirique arithm\u00e9tique $\\bar{x}$<\/span> s’obtient par l’insertion de la fonction standard dans la cellule Cette grandeur repr\u00e9sente l’estimateur sans biais de l’esp\u00e9rance math\u00e9matique $\\mu$<\/span>. Pour la dispersion empirique, une distinction math\u00e9matique s’impose : l’\u00e9cart-type d’\u00e9chantillon sans biais, not\u00e9 $s$<\/span>, calcul\u00e9 avec le d\u00e9nominateur $n – 1$<\/span> selon le th\u00e9or\u00e8me de Bessel, doit \u00eatre mobilis\u00e9 en lieu et place de l’\u00e9cart-type de population bas\u00e9 sur $n$<\/span>. Dans la cellule L’obtention de ces deux estimateurs permet de situer l’ordre de grandeur de l’\u00e9chelle psychom\u00e9trique analys\u00e9e et sert de point d’ancrage fondamental pour l’\u00e9ventuelle standardisation individuelle des scores en notes r\u00e9duites (scores $z$<\/span>).<\/p>\n Pour garantir une tra\u00e7abilit\u00e9 rigoureuse au sein du classeur Excel, les param\u00e8tres d’\u00e9chantillonnage doivent \u00eatre agenc\u00e9s au sein d’un bloc r\u00e9capitulatif clair et ordonn\u00e9. La matrice suivante illustre l’architecture recommand\u00e9e pour documenter les variables fondamentales avant le traitement des moments d’ordre sup\u00e9rieur :<\/p>\n1.2 Hypoth\u00e8ses statistiques formelles et formulation d\u00e9cisionnelle<\/h3>\n
1.3 Cadre d’application g\u00e9n\u00e9rale et pr\u00e9requis distributionnels<\/h3>\n
2. Fondements math\u00e9matiques de l’asym\u00e9trie et de l’aplatissement<\/h2>\n
2.1 Le troisi\u00e8me moment centr\u00e9 : Mesure de l’asym\u00e9trie (Skewness)<\/h3>\n
2.2 Le quatri\u00e8me moment centr\u00e9 : Mesure de l’aplatissement (Kurtosis)<\/h3>\n
\n
2.3 Interaction des moments dans l’\u00e9valuation de la normalit\u00e9<\/h3>\n
3. La statistique de test de Jarque-Bera et sa distribution asymptotique<\/h2>\n
3.1 D\u00e9monstration de la formule g\u00e9n\u00e9rale de la statistique JB<\/h3>\n
3.2 Convergence vers la loi du Chi-carr\u00e9 \u00e0 deux degr\u00e9s de libert\u00e9<\/h3>\n
3.3 Propri\u00e9t\u00e9s m\u00e9trologiques du test de Jarque-Bera<\/h3>\n
\n
\n $$JB ge 0$$<\/span>
\n La valeur $JB = 0$<\/span> ne se r\u00e9alise empiriquement que dans le cas id\u00e9al d’une s\u00e9rie pr\u00e9sentant une asym\u00e9trie parfaitement nulle et un aplatissement rigoureusement \u00e9gal \u00e0 la valeur normale de r\u00e9f\u00e9rence.<\/li>\n4. Pertinence et applications du test de Jarque-Bera en recherche psychologique<\/h2>\n
4.1 Validation des postulats pour les mod\u00e8les statistiques param\u00e9triques<\/h3>\n
4.2 Sp\u00e9cificit\u00e9s des mesures psychom\u00e9triques et distribution des scores<\/h3>\n
4.3 Cons\u00e9quences m\u00e9thodologiques de la taille d’\u00e9chantillon en psychologie<\/h3>\n
5. Pr\u00e9paration et structuration des donn\u00e9es psychom\u00e9triques dans Microsoft Excel<\/h2>\n
5.1 Nettoyage et inspection initiale de l’\u00e9chantillon brut<\/h3>\n
\"NA\"<\/code>, \"Absent\"<\/code>), ou encore espaces ins\u00e9cables invisibles issus d’un copier-coller malencontreux.<\/p>\n![\"Raw](\"http:\/\/french.arabpsychology.com\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/jarqueBeraExcel1.png\")
5.2 Organisation de la feuille de calcul pour un protocole reproductible<\/h3>\n
\n
SUJET_001<\/code> \u00e0 SUJET_150<\/code>) et la colonne B contient la s\u00e9rie de scores quantitatifs continue analys\u00e9e (par exemple, le score total \u00e0 l’inventaire d’anxi\u00e9t\u00e9 de Beck, not\u00e9 SCORE_BAI<\/code>). Les en-t\u00eates sont positionn\u00e9s sur la ligne 1, et les donn\u00e9es s’\u00e9tendent de B2<\/code> \u00e0 B151<\/code>.<\/li>\nB2:B151<\/code> et en la nommant formellement ScoresPsy<\/code> dans la zone de nom, les \u00e9quations ult\u00e9rieures gagnent en lisibilit\u00e9, \u00e9liminant les risques d’erreurs de pointage lors des copies de cellules.<\/p>\n5.3 Audit des pr\u00e9requis techniques dans Excel<\/h3>\n
,<\/code>) constitue le s\u00e9parateur d\u00e9cimal l\u00e9gal, tandis que le point-virgule (;<\/code>) s\u00e9pare les arguments au sein d’une fonction Excel. Une mauvaise interpr\u00e9tation de ces caract\u00e8res, fr\u00e9quente lors de l’importation de fichiers CSV configur\u00e9s \u00e0 l’anglo-saxonne (point d\u00e9cimal et virgule d’argument), transforme les donn\u00e9es num\u00e9riques en cha\u00eenes textuelles inertes, ce qui fausse int\u00e9gralement les calculs d’\u00e9chantillonnage.<\/p>\n6. Calcul pas \u00e0 pas des param\u00e8tres d’\u00e9chantillonnage interm\u00e9diaires dans Excel<\/h2>\n
6.1 D\u00e9nombrement rigoureux de l’\u00e9chantillon effectif<\/h3>\n
NB<\/code> :<\/p>\nE2<\/code>) :<\/p>\n=NB(ScoresPsy)<\/code> ou =NB(B2:B151)<\/code><\/p>\nNB<\/code> ignore automatiquement les cellules textuelles, les cellules vides ou les codes d’erreur, garantissant que l’entier retourn\u00e9 refl\u00e8te exclusivement le nombre de mesures r\u00e9elles disponibles pour le calcul des moments. Si la s\u00e9rie analys\u00e9e comporte des donn\u00e9es filtr\u00e9es dynamiquement, on pourra recourir alternativement \u00e0 la fonction SOUS.TOTAL(102; B2:B151)<\/code> pour ne comptabiliser que les cellules visibles \u00e0 l’\u00e9cran.<\/p>\n6.2 Calcul de la moyenne et de l’\u00e9cart-type d’\u00e9chantillon<\/h3>\n
E3<\/code> :<\/p>\n=MOYENNE(ScoresPsy)<\/code><\/p>\nE4<\/code>, on inscrira la fonction statistique contemporaine :<\/p>\n=ECARTYPE.STANDARD(ScoresPsy)<\/code><\/p>\n6.3 Tableau r\u00e9capitulatif des variables fondamentales<\/h3>\n
\n