{"id":6038,"date":"2026-09-16T04:28:16","date_gmt":"2026-09-16T04:28:16","guid":{"rendered":"http:\/\/french.arabpsychology.com\/statistics\/comment-effectuer-un-test-de-breusch-pagan-dans-excel\/"},"modified":"2026-09-16T04:28:42","modified_gmt":"2026-09-16T04:28:42","slug":"comment-effectuer-un-test-de-breusch-pagan-dans-excel","status":"publish","type":"psych_stat","link":"https:\/\/french.arabpsychology.com\/?psych_stat=comment-effectuer-un-test-de-breusch-pagan-dans-excel","title":{"rendered":"Comment effectuer un test de Breusch-Pagan dans Excel"},"content":{"rendered":"

L’analyse de r\u00e9gression lin\u00e9aire multiple constitue sans conteste l’un des piliers m\u00e9thodologiques les plus mobilis\u00e9s au sein des sciences quantitatives contemporaines, qu’il s’agisse de l’\u00e9conom\u00e9trie, de l’\u00e9pid\u00e9miologie, de la sociologie empirique ou de la psychom\u00e9trie. Lorsque les chercheurs s’efforcent d’\u00e9lucider la dynamique liant une variable d\u00e9pendante d’int\u00e9r\u00eat \u00e0 un ensemble de pr\u00e9dicteurs covariants, la m\u00e9thode des moindres carr\u00e9s ordinaires (MCO) offre un cadre d\u00e9ductif \u00e0 la fois \u00e9l\u00e9gant et intuitif. Cependant, l’\u00e9l\u00e9gance formelle de ce mod\u00e8le repose sur une s\u00e9rie d’hypoth\u00e8ses probabilistes fondamentales, dont le non-respect alt\u00e8re consid\u00e9rablement la port\u00e9e inf\u00e9rentielle des r\u00e9sultats obtenus. Parmi ces postulats directeurs, l’hypoth\u00e8se d’homosc\u00e9dasticit\u00e9 \u2014 postulant l’invariance de la variance des perturbations al\u00e9atoires pour toute valeur prise par les variables explicatives \u2014 s’av\u00e8re centrale pour garantir l’efficience et la validit\u00e9 probabiliste des estimateurs.<\/p>\n

Dans la pratique de la recherche, il n’est pourtant pas rare d’observer une rupture nette de cette r\u00e9gularit\u00e9 g\u00e9om\u00e9trique et stochastique : l’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9. Lorsque la dispersion des r\u00e9sidus se dilate ou se contracte le long du continuum pr\u00e9dictif, l’estimation des erreurs-types des coefficients est irr\u00e9m\u00e9diablement fauss\u00e9e, entra\u00eenant des d\u00e9rives critiques lors des tests de significativit\u00e9 statistique de Student et de Fisher. D\u00e9celer avec une rigueur inf\u00e9rentielle incontestable la pr\u00e9sence d’une telle anomalie requiert d\u00e8s lors l’utilisation de tests de diagnostic ad\u00e9quats, au premier rang desquels figure le c\u00e9l\u00e8bre test d\u00e9velopp\u00e9 par Trevor Breusch et Adrian Pagan en 1979, ult\u00e9rieurement affin\u00e9 par Roger Koenker en 1981. Ce test d’hypoth\u00e8se offre une d\u00e9marche param\u00e9trique puissante pour d\u00e9terminer si la variance inh\u00e9rente aux perturbations du mod\u00e8le pr\u00e9sente une d\u00e9pendance fonctionnelle syst\u00e9matique \u00e0 l’\u00e9gard des variables ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

Bien que des environnements logiciels sp\u00e9cialis\u00e9s tels que R, Stata, SAS ou SPSS int\u00e8grent des routines automatis\u00e9es d\u00e9di\u00e9es \u00e0 ce diagnostic, la ma\u00eetrise de sa mise en \u0153uvre pas \u00e0 pas au sein d’un tableur ubiquitaire comme Microsoft Excel rev\u00eat une port\u00e9e p\u00e9dagogique et pratique inestimable. D\u00e9composer chaque phase du calcul dans Excel \u2014 de l’estimation de la r\u00e9gression principale \u00e0 la r\u00e9gression auxiliaire des r\u00e9sidus au carr\u00e9, jusqu’\u00e0 la d\u00e9rivation de la statistique de multiplicateur de Lagrange et de la p<\/em>-valeur associ\u00e9e \u2014 permet au praticien d’acqu\u00e9rir une compr\u00e9hension granulaire des m\u00e9canismes math\u00e9matiques sous-jacents, tout en garantissant une auditabilit\u00e9 int\u00e9grale de ses proc\u00e9dures empiriques. Ce guide exhaustif propose un cheminement rigoureux, exhaustif et m\u00e9thodologiquement irr\u00e9prochable pour ex\u00e9cuter et interpr\u00e9ter le test de Breusch-Pagan sous Excel.<\/p>\n

1. Introduction aux postulats de la r\u00e9gression lin\u00e9aire et \u00e0 l’homosc\u00e9dasticit\u00e9<\/h2>\n

1.1 Le r\u00f4le fondamental des r\u00e9sidus dans la mod\u00e9lisation statistique<\/h3>\n

Dans tout protocole d’estimation lin\u00e9aire, le mod\u00e8le postule qu’une observation empirique r\u00e9sulte de la sommation d’une composante d\u00e9terministe, incarn\u00e9e par la combinaison lin\u00e9aire des variables pr\u00e9dictives, et d’un \u00e9l\u00e9ment stochastique r\u00e9siduel inobservable, d\u00e9sign\u00e9 couramment sous le vocable de perturbation ou d’erreur al\u00e9atoire. Le r\u00e9sidu observ\u00e9, quant \u00e0 lui, mat\u00e9rialise la divergence arithm\u00e9tique directe entre la valeur empiriquement recueillie pour l’unit\u00e9 d’analyse et la valeur ajust\u00e9e ou pr\u00e9dite par l’hyperplan de r\u00e9gression calcul\u00e9. L’analyse fouill\u00e9e de ces r\u00e9sidus ne constitue en rien une \u00e9tape p\u00e9riph\u00e9rique ou cosm\u00e9tique de la mod\u00e9lisation ; elle repr\u00e9sente le m\u00e9canisme v\u00e9rificateur supr\u00eame par lequel le chercheur s’assure que la structure fonctionnelle s\u00e9lectionn\u00e9e a \u00e9puis\u00e9 l’information intelligible contenue dans le jeu de donn\u00e9es, ne laissant subsister dans le terme d’erreur qu’un bruit purement fortuit.<\/p>\n

L’int\u00e9grit\u00e9 du paradigme des moindres carr\u00e9s ordinaires (MCO)<\/a> repose sur des conditions pr\u00e9cises encadrant la distribution th\u00e9orique de ces erreurs. Si l’esp\u00e9rance conditionnelle des perturbations doit imp\u00e9rativement \u00eatre nulle pour certifier l’absence d’erreurs syst\u00e9matiques d’estimation, la structure de leur variance conditionnelle s’av\u00e8re tout aussi d\u00e9terminante. Les r\u00e9sidus constituent le seul vecteur empirique accessible permettant d’approximer la nature et le comportement des perturbations non mesurables. D\u00e8s lors qu’une organisation syst\u00e9matique ou une instabilit\u00e9 distributionnelle se manifeste au sein de l’espace r\u00e9siduel, c’est l’ensemble de l’\u00e9difice probabiliste du mod\u00e8le qui se trouve fragilis\u00e9, compromettant l’ad\u00e9quation globale entre la th\u00e9orie postul\u00e9e et la r\u00e9alit\u00e9 ph\u00e9nom\u00e9nale observ\u00e9e.<\/p>\n

La c\u00e9l\u00e8bre formulation du th\u00e9or\u00e8me de Gauss-Markov<\/a> \u00e9tablit formellement que, sous r\u00e9serve du respect strict d’un faisceau d’hypoth\u00e8ses axiomatiques \u2014 incluant l’exog\u00e9n\u00e9it\u00e9 stricte, l’absence d’autocorr\u00e9lation et l’homosc\u00e9dasticit\u00e9 \u2014, l’estimateur des moindres carr\u00e9s ordinaires s’impose comme le meilleur estimateur lin\u00e9aire non biais\u00e9, commun\u00e9ment d\u00e9sign\u00e9 sous l’acronyme anglophone BLUE<\/em> (Best Linear Unbiased Estimator<\/em>). Cette propri\u00e9t\u00e9 d’optimalit\u00e9 conf\u00e8re aux coefficients estim\u00e9s la variance d’\u00e9chantillonnage minimale parmi l’ensemble des estimateurs lin\u00e9aires sans biais concevables. Lorsque la structure des r\u00e9sidus s’\u00e9carte de ces normes id\u00e9ales, cette supr\u00e9matie s’effondre : l’estimateur demeure certes non biais\u00e9, mais il perd son efficience, ouvrant la voie \u00e0 des inf\u00e9rences erron\u00e9es.<\/p>\n

1.2 D\u00e9finition formelle de l’homosc\u00e9dasticit\u00e9 et de l’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9<\/h3>\n

L’hypoth\u00e8se d’homosc\u00e9dasticit\u00e9, issue \u00e9tymologiquement des racines grecques homo<\/em> (semblable) et skedasis<\/em> (dispersion), \u00e9nonce que la variance conditionnelle des erreurs demeure rigoureusement constante, quel que soit le point consid\u00e9r\u00e9 au sein de l’espace vectoriel engendr\u00e9 par les r\u00e9gresseurs. Exprim\u00e9e en notation matricielle formelle, cette condition stipule que la variance conditionnelle de l’erreur $u_i$<\/span> sachant le vecteur des variables explicatives $X_i$<\/span> satisfait l’\u00e9galit\u00e9 constante : $operatorname{Var}(u_i mid X_i) = \\sigma^2$<\/span>, o\u00f9 $\\sigma^2$<\/span> repr\u00e9sente un scalaire fini et invariant pour l’ensemble des observations $i = 1, dots, N$<\/span>. Cette sym\u00e9trie implique g\u00e9om\u00e9triquement que la dispersion des points empiriques autour de la droite ou de l’hyperplan de r\u00e9gression se maintient dans un couloir d’amplitude invariante sur toute la plage de mesure.<\/p>\n

\u00c0 l’oppos\u00e9, l’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 d\u00e9signe la violation manifeste de cette homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 stochastique, se caract\u00e9risant par une variance conditionnelle des erreurs d\u00e9pendante de l’indice de l’observation ou des grandeurs prises par une ou plusieurs variables pr\u00e9dictives, soit : $operatorname{Var}(u_i mid X_i) = \\sigma_i^2$<\/span>. Dans les donn\u00e9es empiriques, ce ph\u00e9nom\u00e8ne se traduit fr\u00e9quemment par des configurations o\u00f9 l’incertitude pr\u00e9dictive cro\u00eet ou d\u00e9cro\u00eet de mani\u00e8re proportionnelle \u00e0 l’amplitude des r\u00e9gresseurs. Par exemple, l’\u00e9tude de l’\u00e9pargne des m\u00e9nages r\u00e9v\u00e8le traditionnellement une h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 structurelle : les m\u00e9nages \u00e0 faibles revenus manifestent des capacit\u00e9s d’\u00e9pargne contraintes et donc uniform\u00e9ment faibles, tandis que les m\u00e9nages ais\u00e9s pr\u00e9sentent des comportements d’\u00e9pargne d’une variabilit\u00e9 consid\u00e9rable, induisant une explosion de la variance r\u00e9siduelle pour les quantiles sup\u00e9rieurs de revenu.<\/p>\n

Il importe de dissocier m\u00e9thodologiquement l’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 dite \u00ab pure \u00bb de l’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 induite par une mauvaise sp\u00e9cification du mod\u00e8le math\u00e9matique. L’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 pure d\u00e9coule de la nature ontologique du ph\u00e9nom\u00e8ne sous examen, o\u00f9 la variabilit\u00e9 intrins\u00e8que du comportement humain ou des processus physiques s’accro\u00eet organiquement sous certaines conditions. En revanche, l’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 imputable \u00e0 une sp\u00e9cification erron\u00e9e r\u00e9sulte d’une maladresse analytique, telle que l’omission d\u00e9lib\u00e9r\u00e9e ou fortuite d’une variable explicative non lin\u00e9aire, l’absence de termes d’interaction pertinents, ou le recours inappropri\u00e9 \u00e0 une forme lin\u00e9aire simple alors qu’une relation exponentielle ou logarithmique pr\u00e9vaut au sein du syst\u00e8me observ\u00e9.<\/p>\n

1.3 Cons\u00e9quences de l’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 sur les inf\u00e9rences statistiques<\/h3>\n

Bien que l’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 n’alt\u00e8re pas la propri\u00e9t\u00e9 de non-biais des estimateurs de coefficients de r\u00e9gression issus des moindres carr\u00e9s ordinaires \u2014 dans la mesure o\u00f9 l’esp\u00e9rance de l’erreur demeure conditionnellement nulle \u2014, ses r\u00e9percussions sur la cha\u00eene inf\u00e9rentielle s’av\u00e8rent d\u00e9vastatrices. L’impact premier s’observe sur l’estimation de la matrice de variance-covariance des coefficients estim\u00e9s. Les formules standards d\u00e9ploy\u00e9es par les logiciels statistiques et les tableurs reposent sur l’hypoth\u00e8se d’une variance unique $\\sigma^2$<\/span>. En pr\u00e9sence de variances variables $\\sigma_i^2$<\/span>, la formule standard calcule des estimations fauss\u00e9es, sous-estimant ou surestimant significativement la variance r\u00e9elle d’\u00e9chantillonnage de chaque coefficient.<\/p>\n

Cette distorsion de l’erreur-type des estimateurs entra\u00eene directement l’invalidation formelle des tests statistiques param\u00e9triques usuels. Le test $t$<\/span> de Student, employ\u00e9 pour \u00e9valuer la significativit\u00e9 individuelle de chaque param\u00e8tre partiel, ainsi que le test $F$<\/span> de Fisher, destin\u00e9 \u00e0 juger de la pertinence conjointe de la r\u00e9gression, s’appuient sur l’hypoth\u00e8se d’un ratio r\u00e9gulier entre l’estimation du coefficient et son erreur-type standardis\u00e9e. Si cette erreur-type est sous-estim\u00e9e en raison de l’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9, la statistique $t$<\/span> empirique sera artificiellement gonfl\u00e9e, conduisant l’analyste \u00e0 conclure \u00e0 tort \u00e0 la significativit\u00e9 statistique d’une variable qui n’exerce en r\u00e9alit\u00e9 aucun effet notable au sein de la population parente.<\/p>\n

Il en r\u00e9sulte une amplification substantielle du risque d’erreur de type I, consistant \u00e0 rejeter l’hypoth\u00e8se nulle \u00e0 tort en d\u00e9celant des effets fallacieux. Inversement, si les erreurs-types sont surestim\u00e9es, le risque d’erreur de type II cro\u00eet de mani\u00e8re d\u00e9l\u00e9t\u00e8re, occultant des relations empiriques substantielles. Dans les disciplines ax\u00e9es sur la mesure psychom\u00e9trique et l’\u00e9valuation clinique, o\u00f9 l’\u00e9talonnage des \u00e9chelles et l’\u00e9valuation d’interventions comportementales requi\u00e8rent une pr\u00e9cision maximale, de telles d\u00e9rives induisent des interpr\u00e9tations th\u00e9oriques invalides, mena\u00e7ant la reproductibilit\u00e9 des protocoles d’investigation et faussant les orientations m\u00e9thodologiques subs\u00e9quentes.<\/p>\n

2. Fondements th\u00e9oriques et math\u00e9matiques du test de Breusch-Pagan<\/h2>\n

2.1 Origine et hypoth\u00e8ses nulle et alternative du test<\/h3>\n

Confront\u00e9s aux \u00e9cueils pos\u00e9s par la variance non constante des r\u00e9sidus dans les mod\u00e8les \u00e9conom\u00e9triques et biostatistiques, les statisticiens britanniques et australiens Trevor S. Breusch et Adrian R. Pagan<\/a> ont publi\u00e9 en 1979 dans la revue Econometrica<\/em> un protocole inf\u00e9rentiel novateur fond\u00e9 sur le principe du score. Leur contribution visait \u00e0 supplanter les m\u00e9thodes purement graphiques ou les tests restrictifs existants, tels que le test de Goldfeld-Quandt, qui exigeait un tri pr\u00e9alable des donn\u00e9es selon une variable unique et l’exclusion arbitraire d’une portion centrale de l’\u00e9chantillon. Le cadre de Breusch et Pagan propose une formalisation param\u00e9trique flexible permettant d’\u00e9prouver simultan\u00e9ment la d\u00e9pendance de l’erreur envers plusieurs variables explicatives.<\/p>\n

Le protocole pose comme point d’ancrage une r\u00e9gression lin\u00e9aire standard de la forme g\u00e9n\u00e9rale :<\/p>\n

$$Y_i = \\beta_0 + \\beta_1 X_{i1} + \\beta_2 X_{i2} + dots + \\beta_k X_{ik} + u_i$$<\/span><\/p>\n

Les auteurs mod\u00e9lisent la variance de la perturbation $u_i$<\/span> \u00e0 travers une fonction param\u00e9trique de r\u00e9gresseurs connus, g\u00e9n\u00e9ralement les m\u00eames variables ind\u00e9pendantes $X$<\/span> ou un sous-ensemble de celles-ci, via une fonction d’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 arbitraire mais diff\u00e9rentiable :<\/p>\n

$$\\sigma_i^2 = h(\\alpha_0 + \\alpha_1 Z_{i1} + dots + \\alpha_p Z_{ip})$$<\/span><\/p>\n

o\u00f9 la fonction $h(\\cdot)$<\/span> est une fonction positive non sp\u00e9cifi\u00e9e et $Z$<\/span> repr\u00e9sente le vecteur des variables suspect\u00e9es de g\u00e9n\u00e9rer la variance instable. L’hypoth\u00e8se nulle ($H_0$<\/span>) et l’hypoth\u00e8se alternative ($H_1$<\/span>) s’articulent alors formellement ainsi :<\/p>\n

$$H_0 : \\alpha_1 = \\alpha_2 = dots = \\alpha_p = 0$$<\/span><\/p>\n

$$H_1 : \\exists , j in {1, dots, p} \\text{ tel que } \\alpha_j \\neq 0$$<\/span><\/p>\n

Sous l’hypoth\u00e8se nulle, l’ensemble des coefficients associ\u00e9s aux variables explicatives de la variance s’annule, ramenant la fonction \u00e0 la constante $\\sigma_i^2 = h(\\alpha_0) = \\sigma^2$<\/span>. La variance r\u00e9siduelle se trouve d\u00e8s lors totalement \u00e9mancip\u00e9e de toute d\u00e9pendance vis-\u00e0-vis des r\u00e9gresseurs, attestant la parfaite homosc\u00e9dasticit\u00e9 du syst\u00e8me stochastique \u00e9tudi\u00e9.<\/p>\n

2.2 La statistique de test du multiplicateur de Lagrange (LM)<\/h3>\n

Le g\u00e9nie analytique du test de Breusch-Pagan r\u00e9side dans l’exploitation du principe du multiplicateur de Lagrange (LM), dispensant l’analyste de devoir estimer le mod\u00e8le sous l’hypoth\u00e8se alternative, t\u00e2che souvent complexe et lourde en calculs d’optimisation non lin\u00e9aire. La statistique se d\u00e9duit exclusivement des r\u00e9sidus estim\u00e9s sous l’hypoth\u00e8se nulle d’homosc\u00e9dasticit\u00e9 par les moindres carr\u00e9s ordinaires conventionnels. En \u00e9valuant la propension de ces r\u00e9sidus au carr\u00e9 \u00e0 varier de mani\u00e8re conjointe avec les r\u00e9gresseurs suspect\u00e9s, le test mesure l’\u00e9cart marginal du mod\u00e8le par rapport \u00e0 la contrainte d’homosc\u00e9dasticit\u00e9.<\/p>\n

Sur le plan calculatoire, la formulation op\u00e9rationnelle de la statistique de test s’exprime au moyen du coefficient de d\u00e9termination \u2014 not\u00e9 $R^2_{\\text{aux}}$<\/span> \u2014 extrait d’une r\u00e9gression lin\u00e9aire auxiliaire ayant pour variable d\u00e9pendante les r\u00e9sidus primaires au carr\u00e9 (ou normalis\u00e9s) et pour variables explicatives les pr\u00e9dicteurs s\u00e9lectionn\u00e9s. En consid\u00e9rant un \u00e9chantillon de taille $N$<\/span>, la statistique de test du multiplicateur de Lagrange s’\u00e9crit formellement :<\/p>\n

$$\\text{LM} = N \\times R^2_{\\text{aux}}$$<\/span><\/p>\n

En vertu des th\u00e9or\u00e8mes centraux limites et des propri\u00e9t\u00e9s asymptotiques d\u00e9montr\u00e9es par Breusch et Pagan, cette statistique converge asymptotiquement vers une loi du Khi-deux de Pearson ($\\chi^2$<\/span>) lorsque la taille de l’\u00e9chantillon tend vers l’infini :<\/p>\n

$$\\text{LM} x\\rightarrow{d} \\chi^2(p)$$<\/span><\/p>\n

Le nombre de degr\u00e9s de libert\u00e9 $p$<\/span> associ\u00e9 \u00e0 cette distribution th\u00e9orique correspond strictement au nombre de variables explicatives incorpor\u00e9es dans la r\u00e9gression auxiliaire (\u00e0 l’exclusion de la constante). Cette propri\u00e9t\u00e9 autorise une d\u00e9termination probabiliste ais\u00e9e du seuil critique au-del\u00e0 duquel l’ind\u00e9pendance de la variance doit \u00eatre rejet\u00e9e avec un risque d’erreur consenti.<\/p>\n

2.3 La variante de Koenker pour donn\u00e9es non normales<\/h3>\n

En d\u00e9pit de son \u00e9l\u00e9gance matricielle, la formulation primitive \u00e9tablie par Breusch et Pagan en 1979 souffre d’une sensibilit\u00e9 pathologique \u00e0 une hypoth\u00e8se auxiliaire fr\u00e9quemment ignor\u00e9e : la normalit\u00e9 stricte des perturbations stochastiques du mod\u00e8le primaire. D\u00e8s lors que la distribution r\u00e9elle des r\u00e9sidus s’\u00e9carte de la loi normale \u2014 notamment en pr\u00e9sence de kurtosis excessif (distributions leptokurtiques ou \u00e0 queues lourdes), omnipr\u00e9sent dans les sciences sociales et comportementales \u2014, le test de Breusch-Pagan d’origine tend \u00e0 rejeter l’hypoth\u00e8se nulle avec une fr\u00e9quence anormalement \u00e9lev\u00e9e, confondant la non-normalit\u00e9 avec une v\u00e9ritable h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9.<\/p>\n

Pour parer \u00e0 cette vuln\u00e9rabilit\u00e9, le statisticien et \u00e9conom\u00e8tre Roger Koenker<\/a> a formul\u00e9 en 1981 une modification robuste du test, fr\u00e9quemment labellis\u00e9e dans la litt\u00e9rature scientifique comme le test de Breusch-Pagan-Koenker ou test de Koenker. Koenker a d\u00e9montr\u00e9 que la statistique standard du multiplicateur de Lagrange sous la forme directe $N \\times R^2_{\\text{aux}}$<\/span> conserve une robustesse asymptotique face aux distorsions du kurtosis sans n\u00e9cessiter la normalisation pr\u00e9alable par la variance moyenne th\u00e9orique qui caract\u00e9risait la m\u00e9thode de 1979. Dans sa variante robuste, la statistique ajuste l’\u00e9chelle par le moment d’ordre quatre des r\u00e9sidus empiriques.<\/p>\n

Au sein d’un environnement de tableur tel que Microsoft Excel, cette distinction m\u00e9thodologique s’av\u00e8re hautement strat\u00e9gique. L’approche de Koenker bas\u00e9e sur le produit limpide de l’effectif total par le coefficient de d\u00e9termination auxiliaire ($N \\times R^2_{\\text{aux}}$<\/span>) se pr\u00eate remarquablement \u00e0 l’architecture computationnelle des cellules, garantissant \u00e0 l’analyste un test plus tol\u00e9rant face aux distributions empiriques imparfaites tout en all\u00e9geant les s\u00e9quences arithm\u00e9tiques interm\u00e9diaires. C’est pr\u00e9cis\u00e9ment cette variante robuste que la majorit\u00e9 des progiciels \u00e9conom\u00e9triques contemporains ex\u00e9cutent sous l’appellation g\u00e9n\u00e9rique de Breusch-Pagan.<\/p>\n

3. Configuration de l’environnement de travail dans Excel<\/h2>\n

3.1 V\u00e9rification et activation de l’Utilitaire d’analyse<\/h3>\n

Avant d’engager le traitement computationnel des r\u00e9gressions lin\u00e9aires dans Microsoft Excel, il est indispensable de configurer convenablement le logiciel en s’assurant de la pr\u00e9sence op\u00e9rationnelle de son module de mod\u00e9lisation avanc\u00e9e. Bien qu’Excel int\u00e8gre nativement des fonctions matricielles pour estimer les param\u00e8tres de r\u00e9gression \u2014 \u00e0 l’instar de la commande DROITEREG<\/code> \u2014, la conduite fluide et transparente du test de Breusch-Pagan gagne en clart\u00e9 par l’activation du compl\u00e9ment officiel fourni par Microsoft : l’Utilitaire d’analyse (Analysis ToolPak<\/em>).<\/p>\n

Pour activer ce module sous l’environnement Windows, il convient de cheminer \u00e0 travers l’interface en cliquant sur l’onglet Fichier<\/strong> situ\u00e9 \u00e0 l’extr\u00e9mit\u00e9 sup\u00e9rieure gauche du ruban, puis de s\u00e9lectionner les Options<\/strong> en bas du volet de navigation. Dans la bo\u00eete de dialogue contextuelle, cliquez sur la rubrique Compl\u00e9ments<\/strong>. Dans la zone inf\u00e9rieure intitul\u00e9e G\u00e9rer<\/em>, assurez-vous que la s\u00e9lection affiche Compl\u00e9ments Excel<\/em>, puis actionnez le bouton Atteindre…<\/strong>. Une nouvelle fen\u00eatre surgissante liste les extensions disponibles : il est imp\u00e9ratif de cocher la case relative \u00e0 l’Utilitaire d’analyse<\/strong>, puis de valider l’op\u00e9ration en cliquant sur OK<\/strong>.<\/p>\n

\"Data
Data Analysis Toolpak in Excel<\/figcaption><\/figure>\n

Pour les utilisateurs op\u00e9rant sous l’environnement macOS, le cheminement d’acc\u00e8s s’effectue via le menu principal Outils<\/strong>, au sein duquel il faut s\u00e9lectionner la ligne Compl\u00e9ments Excel…<\/strong>, puis cocher l’option analogue de l’Utilitaire d’analyse avant d’ent\u00e9riner par validation. Pour vous assurer du parfait d\u00e9ploiement de l’outil, rendez-vous sur l’onglet Donn\u00e9es<\/strong> du ruban principal d’Excel : vous devez d\u00e9sormais constater l’apparition d’un nouveau groupe positionn\u00e9 \u00e0 l’extr\u00e9mit\u00e9 droite, d\u00e9nomm\u00e9 Analyse<\/em>, abritant le bouton Utilitaire d’analyse<\/strong>.<\/p>\n

3.2 Avantages et limites des fonctionnalit\u00e9s statistiques d’Excel<\/h3>\n

Le recours \u00e0 Microsoft Excel dans le cadre d’investigations \u00e9conom\u00e9triques ou m\u00e9thodologiques avanc\u00e9es pr\u00e9sente un int\u00e9r\u00eat p\u00e9dagogique ind\u00e9niable. Contrairement aux environnements de programmation en ligne de commande comme R, Python ou SAS, qui encapsulent les transformations math\u00e9matiques dans des fonctions ferm\u00e9es dont l’ex\u00e9cution est souvent assimil\u00e9e \u00e0 une \u00ab bo\u00eete noire \u00bb, le tableur force le chercheur ou l’\u00e9tudiant \u00e0 manipuler directement les structures r\u00e9siduelles, \u00e0 observer la cr\u00e9ation de nouvelles variables et \u00e0 ma\u00eetriser visuellement le cha\u00eenage s\u00e9quentiel de l’inf\u00e9rence. Cette transparence favorise une appropriation conceptuelle sup\u00e9rieure des postulats stochastiques sous-jacents.<\/p>\n

N\u00e9anmoins, une lucidit\u00e9 \u00e9pist\u00e9mologique s’impose quant aux limites intrins\u00e8ques du logiciel. Excel ne comporte aucune commande unifi\u00e9e ou macro-instruction native permettant d’ex\u00e9cuter d’un simple clic le test de Breusch-Pagan, contrairement aux commandes standardis\u00e9es des progiciels d\u00e9di\u00e9s (comme bptest<\/code> dans le package lmtest<\/em> de R). L’analyste se trouve dans l’obligation de concevoir lui-m\u00eame le protocole en couplant l’outil de r\u00e9gression automatis\u00e9 avec des formules analytiques et matricielles manuelles. Cette exigence op\u00e9rationnelle accro\u00eet le risque d’erreur humaine lors de la s\u00e9lection des plages ou du recopiage des formules.<\/p>\n

De surcro\u00eet, la gestion de mod\u00e8les comportant un tr\u00e8s grand nombre de r\u00e9gresseurs ou des volumes d’observations massifs (plusieurs centaines de milliers de lignes) peut induire des ralentissements significatifs dans l’\u00e9valuation dynamique des formules. Excel demeure un formidable outil de prototypage, de diagnostic transparent et de p\u00e9dagogie statistique, mais sa rigueur d\u00e9pend enti\u00e8rement de la vigilance m\u00e9thodologique d\u00e9ploy\u00e9e par l’op\u00e9rateur dans l’orchestration de ses calculs.<\/p>\n

3.3 Pr\u00e9cautions relatives \u00e0 la pr\u00e9cision num\u00e9rique du tableur<\/h3>\n

L’exactitude des r\u00e9sultats inf\u00e9rentiels produits au sein d’un tableur d\u00e9pend directement de la gestion de la pr\u00e9cision en arithm\u00e9tique flottante. Historiquement, les versions ant\u00e9rieures d’Excel ont fait l’objet de critiques l\u00e9gitimes de la part des m\u00e9thodologistes en raison de routines d’arrondi impr\u00e9cises lors du calcul de sommes de carr\u00e9s tr\u00e8s \u00e9lev\u00e9es ou face \u00e0 des matrices de donn\u00e9es hautement colin\u00e9aires. Bien que le moteur de calcul d’Excel ait \u00e9t\u00e9 consid\u00e9rablement fiabilis\u00e9 pour respecter les standards modernes de calcul statistique, des pr\u00e9cautions strictes s’imposent \u00e0 l’analyste rigoureux.<\/p>\n

Il est imp\u00e9ratif d’\u00e9viter d’utiliser des valeurs interm\u00e9diaires arrondies pour alimenter les calculs ult\u00e9rieurs. Lorsque vous calculez des indicateurs tels que la moyenne des r\u00e9sidus, la variance empirique ou le coefficient de d\u00e9termination auxiliaire, veillez syst\u00e9matiquement \u00e0 r\u00e9f\u00e9rencer directement les cellules h\u00f4tes contenant l’int\u00e9gralit\u00e9 de la pr\u00e9cision d\u00e9cimale plut\u00f4t que de ressaisir manuellement des valeurs tronqu\u00e9es au centi\u00e8me ou au milli\u00e8me. Les erreurs d’arrondi propag\u00e9es au fil des \u00e9tapes peuvent induire des \u00e9carts notables au moment de convertir la statistique de test en p<\/em>-valeur.<\/p>\n

Par ailleurs, l’utilisation m\u00e9ticuleuse du r\u00e9f\u00e9rencement absolu via le symbole $<\/code> (par exemple $A$<\/span>2:$A$<\/span>101<\/code>) s’av\u00e8re indispensable pour pr\u00e9munir vos formules contre les glissements involontaires de plages de donn\u00e9es lors de la duplication des cellules vers le bas. Une v\u00e9rification d’int\u00e9grit\u00e9 doit \u00eatre conduite p\u00e9riodiquement sur les plages cibles afin de s’assurer qu’aucune cellule vide, aucun d\u00e9calage de ligne et aucun caract\u00e8re textuel n’a \u00e9t\u00e9 ins\u00e9r\u00e9 par inadvertance au sein des blocs r\u00e9serv\u00e9s aux variables continues de mod\u00e9lisation.<\/p>\n

4. Structuration et nettoyage des donn\u00e9es avant analyse<\/h2>\n

4.1 Organisation tabulaire rigoureuse des variables<\/h3>\n

La r\u00e9ussite de l’estimation \u00e9conom\u00e9trique sous l’Utilitaire d’analyse d’Excel exige une discipline rigide dans l’architecture spatiale de la feuille de calcul. L’algorithme de r\u00e9gression de l’extension impose en effet que l’ensemble des variables explicatives soit dispos\u00e9 de mani\u00e8re continue dans des colonnes adjacentes. D\u00e8s lors, le formatage des donn\u00e9es brutes en amont de toute manipulation pr\u00e9vient les messages d’erreur d’ex\u00e9cution r\u00e9currents g\u00e9n\u00e9r\u00e9s par le module.<\/p>\n

\"Raw
Raw data in Excel<\/figcaption><\/figure>\n

Il est pr\u00e9conis\u00e9 de placer la variable d\u00e9pendante continue, conventionnellement \u00e9tiquet\u00e9e $Y$<\/span>, dans une colonne individualis\u00e9e, par exemple la colonne A<\/strong>. Les variables explicatives ou pr\u00e9dicteurs ($X_1, X_2, dots, X_k$<\/span>) doivent obligatoirement \u00eatre agenc\u00e9s dans un bloc de colonnes contigu\u00ebs imm\u00e9diatement attenantes, telles que les colonnes B<\/strong>, C<\/strong> et D<\/strong>. La ligne sommitale (ligne 1) doit \u00eatre express\u00e9ment r\u00e9serv\u00e9e \u00e0 l’identification claire et univoque des variables au moyen d’\u00e9tiquettes textuelles pr\u00e9cises (telles que Score_Anxiete<\/em>, Niveau_Stress<\/em>, Performance_Cognitive<\/em>), en \u00e9vitant les caract\u00e8res sp\u00e9ciaux ou les espaces superflus.<\/p>\n

Chaque ligne subs\u00e9quente, de la ligne 2 jusqu’\u00e0 la ligne $N+1$<\/span>, doit mat\u00e9rialiser une unit\u00e9 statistique d’observation singuli\u00e8re. Cette g\u00e9om\u00e9trie tabulaire stricte permettra une s\u00e9lection continue des blocs de donn\u00e9es sans manipulation complexe de matrices disjointes lors de la configuration des param\u00e8tres d’entr\u00e9e du solveur de r\u00e9gression.<\/p>\n

4.2 Traitement des valeurs manquantes et aberrantes<\/h3>\n

L’algorithme de r\u00e9gression des moindres carr\u00e9s ordinaires impl\u00e9ment\u00e9 dans l’Utilitaire d’analyse ne g\u00e8re pas de fa\u00e7on adaptative les valeurs manquantes r\u00e9parties au sein des plages de s\u00e9lection. La pr\u00e9sence d’une cellule vide ou d’un caract\u00e8re non num\u00e9rique au sein de la plage $Y$<\/span> ou $X$<\/span> entra\u00eene in\u00e9vitablement l’interruption pr\u00e9matur\u00e9e du calcul, sanctionn\u00e9e par une alerte d’incompatibilit\u00e9 de donn\u00e9es. Il incombe donc \u00e0 l’analyste de purger pr\u00e9alablement la matrice empirique.<\/p>\n

La m\u00e9thode de traitement la plus robuste au sein d’Excel consiste \u00e0 recourir \u00e0 une suppression m\u00e9thodique par liste (listwise deletion<\/em>). Cette proc\u00e9dure implique l’\u00e9limination int\u00e9grale de toute ligne statistique pr\u00e9sentant une valeur manquante sur au moins l’une des variables retenues pour l’investigation. Bien que des techniques d’imputation multiple existent dans les logiciels avanc\u00e9s, l’Utilitaire d’analyse d’Excel n\u00e9cessite imp\u00e9rativement une matrice pleine et compl\u00e8te pour stabiliser l’estimation des erreurs et l’ajustement de la table d’analyse de variance.<\/p>\n

Parall\u00e8lement, une attention m\u00e9thodique doit \u00eatre accord\u00e9e \u00e0 la d\u00e9tection des valeurs aberrantes univari\u00e9es ou multivari\u00e9es (points de levier). Une observation pr\u00e9sentant une valeur r\u00e9siduelle colossale par rapport au reste du corpus statistique est susceptible de gonfler artificiellement la dispersion \u00e0 l’une des extr\u00e9mit\u00e9s de la distribution, simulant une h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 pure alors qu’il ne s’agit que d’un art\u00e9fact induit par un enregistrement aberrant ou une saisie erron\u00e9e. Un filtrage initial ou un examen par diagrammes en bo\u00eete permet de sanctuariser la plausibilit\u00e9 distributionnelle des donn\u00e9es.<\/p>\n

4.3 V\u00e9rification pr\u00e9alable des distributions univari\u00e9es<\/h3>\n

En conformit\u00e9 avec les standards m\u00e9thodologiques les plus rigoureux, l’analyse inf\u00e9rentielle doit \u00eatre pr\u00e9c\u00e9d\u00e9e d’un examen syst\u00e9matique des distributions descriptives associ\u00e9es \u00e0 chaque variable du mod\u00e8le. Cet audit univari\u00e9 pr\u00e9liminaire garantit que les postulats r\u00e9gissant la mod\u00e9lisation ne sont pas compromis en amont par des configurations distributionnelles d\u00e9viantes.<\/p>\n

Dans un secteur vierge de la feuille de calcul, il est opportun de calculer, pour chaque variable, les indicateurs de tendance centrale et de dispersion au moyen des fonctions d\u00e9di\u00e9es d’Excel : la moyenne arithm\u00e9tique via MOYENNE()<\/code>, la m\u00e9diane par MEDIANE()<\/code>, l’\u00e9cart-type d’\u00e9chantillon au moyen de ECARTYPE.STANDARD()<\/code>, ainsi que les valeurs extr\u00eames par MIN()<\/code> et MAX()<\/code>. Ces grandeurs permettent de valider la coh\u00e9rence interne des ordres de grandeur observ\u00e9s et d’\u00e9carter toute erreur de frappe substantielle.<\/p>\n

Par ailleurs, pour anticiper la sensibilit\u00e9 du test de Breusch-Pagan aux \u00e9carts de distribution, il est recommand\u00e9 de calculer les coefficients de dissym\u00e9trie (skewness<\/em>) et d’aplatissement (kurtosis<\/em>) des variables continues via les formules respectives COEFFICIENT.ASYMETRIE()<\/code> et KURTOSIS()<\/code>. Une valeur d’aplatissement largement sup\u00e9rieure \u00e0 z\u00e9ro signale une distribution leptokurtique, caract\u00e9ris\u00e9e par des queues \u00e9paisses, ce qui constituera une justification analytique majeure pour privil\u00e9gier l’approche robuste de Koenker lors du d\u00e9compte de la statistique de test.<\/p>\n

5. \u00c9tape 1 : Ex\u00e9cution de la r\u00e9gression lin\u00e9aire multiple principale<\/h2>\n

5.1 Param\u00e9trage du module de r\u00e9gression dans Excel<\/h3>\n

La premi\u00e8re op\u00e9ration calculatoire concr\u00e8te du protocole consiste \u00e0 estimer le mod\u00e8le de r\u00e9gression lin\u00e9aire initial formul\u00e9 par la th\u00e9orie de recherche. Cette r\u00e9gression primaire permet d’obtenir les estimations de coefficients des variables explicatives et, surtout, d’extraire la suite vectorielle des r\u00e9sidus non standardis\u00e9s d’ajustement.<\/p>\n

\"Multiple
Multiple regression in Excel<\/figcaption><\/figure>\n

Pour lancer la proc\u00e9dure, rendez-vous sur le ruban principal d’Excel, cliquez sur l’onglet Donn\u00e9es<\/strong>, puis ouvrez la bo\u00eete de dialogue en s\u00e9lectionnant Utilitaire d’analyse<\/strong>. Au sein du menu d\u00e9roulant r\u00e9pertoriant les fonctionnalit\u00e9s disponibles, faites d\u00e9filer les entr\u00e9es jusqu’\u00e0 s\u00e9lectionner l’item R\u00e9gression<\/strong>, puis confirmez par OK<\/strong>. Une bo\u00eete de configuration d\u00e9taill\u00e9e se d\u00e9ploie alors \u00e0 l’\u00e9cran.<\/p>\n

Dans le champ intitul\u00e9 Plage d’entr\u00e9e Y<\/strong>, renseignez la plage correspondant \u00e0 votre variable d\u00e9pendante (par exemple $A$<\/span>1:$A$<\/span>101<\/code> en incluant la ligne de titre). Dans le champ Plage d’entr\u00e9e X<\/strong>, s\u00e9lectionnez la matrice contigu\u00eb englobant l’int\u00e9gralit\u00e9 des pr\u00e9dicteurs (par exemple $B$<\/span>1:$D$<\/span>101<\/code>). Si vous avez inclus la premi\u00e8re ligne contenant la d\u00e9signation textuelle des variables, assurez-vous imp\u00e9rativement de cocher la case Intitul\u00e9s<\/strong>, sous peine d’induire une erreur de compilation dans l’interpr\u00e9teur num\u00e9rique d’Excel.<\/p>\n

5.2 Configuration des options de sortie r\u00e9siduelles<\/h3>\n

Le param\u00e9trage correct des options de sortie r\u00e9siduelles conditionne directement la faisabilit\u00e9 de l’ensemble de la d\u00e9marche. La bo\u00eete de dialogue R\u00e9gression comporte une section basse express\u00e9ment consacr\u00e9e aux r\u00e9sidus, souvent ignor\u00e9e dans les analyses superficielles, mais absolument pivotale pour la construction du test de Breusch-Pagan.<\/p>\n

Au sein de cette section inf\u00e9rieure, cochez imp\u00e9rativement la case intitul\u00e9e R\u00e9sidus<\/strong>. Cette directive intime \u00e0 Excel l’ordre formel de g\u00e9n\u00e9rer une table d’ajustement individuel d\u00e9taillant, pour chacune des unit\u00e9s statistiques de l’\u00e9chantillon, la valeur pr\u00e9dite par le mod\u00e8le lin\u00e9aire ainsi que le r\u00e9sidu non standardis\u00e9 correspondant ($e_i = Y_i – \\hat{Y}_i$<\/span>). Les autres options r\u00e9siduelles, telles que les R\u00e9sidus standardis\u00e9s<\/em> ou les graphiques r\u00e9siduels, peuvent \u00eatre coch\u00e9es \u00e0 titre indicatif, bien que la conduite du test requi\u00e8re sp\u00e9cifiquement les r\u00e9sidus bruts.<\/p>\n

\"Regression
Regression output in Excel<\/figcaption><\/figure>\n

Concernant le positionnement des r\u00e9sultats, il est pr\u00e9conis\u00e9 d’opter pour un placement sur une Nouvelle feuille de calcul<\/strong>, que vous pourrez renommer m\u00e9thodiquement Regression_Primaire<\/em>. Cette compartimentation assure une clart\u00e9 visuelle optimale et \u00e9vite que les tables d’analyse g\u00e9n\u00e9r\u00e9es par le tableur ne viennent \u00e9craser accidentellement des formules ou des colonnes pr\u00e9existantes de votre matrice de donn\u00e9es d’origine.<\/p>\n

5.3 Interpr\u00e9tation pr\u00e9liminaire du mod\u00e8le primaire<\/h3>\n

D\u00e8s la validation de l’op\u00e9ration par le bouton OK<\/strong>, Excel g\u00e9n\u00e8re instantan\u00e9ment une s\u00e9rie de trois tableaux r\u00e9capitulatifs fondamentaux : les Statistiques de la r\u00e9gression<\/em>, la table d’Analyse de variance<\/em> (ANOVA) et le tableau des Param\u00e8tres estim\u00e9s<\/em>. Avant de basculer vers les calculs r\u00e9siduels, une inspection acad\u00e9mique de ces r\u00e9sultats primaires s’av\u00e8re indispensable pour certifier la viabilit\u00e9 de la r\u00e9gression d’origine.<\/p>\n

Le tableau des statistiques fournit le coefficient de d\u00e9termination $R^2$<\/span> (mesurant la part globale de variance de la variable d\u00e9pendante absorb\u00e9e par les r\u00e9gresseurs) ainsi que l’erreur-type de l’estimation. Dans la table ANOVA, l’attention doit se porter sur la statistique $F$<\/span> de Fisher et sur sa significativit\u00e9 critique associ\u00e9e (la valeur \u00e9tiquet\u00e9e F significatif<\/em> dans les versions fran\u00e7aises d’Excel). Si cette probabilit\u00e9 critique s’av\u00e8re inf\u00e9rieure au seuil conventionnel de 0,05, l’hyperplan de r\u00e9gression am\u00e9liore de fa\u00e7on statistiquement significative la pr\u00e9diction comparativement \u00e0 un mod\u00e8le nul fond\u00e9 sur la seule moyenne.<\/p>\n

Enfin, le tableau inf\u00e9rieur permet de rep\u00e9rer la valeur des coefficients directeurs ($\\beta_j$<\/span>), leurs erreurs-types respectives, ainsi que les valeurs $t$<\/span> de Student et leurs probabilit\u00e9s critiques ($p$<\/span>-valeurs). Toutefois, ainsi que nous l’avons th\u00e9oris\u00e9 \u00e0 la section 1.3, cette analyse inf\u00e9rentielle pr\u00e9liminaire doit \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme rigoureusement sous r\u00e9serve : si le test de Breusch-Pagan venait \u00e0 mettre en lumi\u00e8re une h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 significative, les erreurs-types affich\u00e9es dans cette table seraient biais\u00e9es, rendant caduques les conclusions tir\u00e9es quant \u00e0 la significativit\u00e9 intrins\u00e8que de ces coefficients.<\/p>\n

6. \u00c9tape 2 : Extraction et calcul des r\u00e9sidus au carr\u00e9<\/h2>\n

6.1 Localisation des valeurs r\u00e9siduelles g\u00e9n\u00e9r\u00e9es par Excel<\/h3>\n

En faisant d\u00e9filer vers le bas la feuille Regression_Primaire<\/em> g\u00e9n\u00e9r\u00e9e par l’Utilitaire d’analyse, on observe, sous les tables d’ANOVA et de coefficients, un tableau substantiel \u00e9tiquet\u00e9 ANALYSE DES R\u00c9SIDUS<\/strong>. Ce tableau comporte un nombre de lignes rigoureusement \u00e9gal \u00e0 la taille $N$<\/span> de votre \u00e9chantillon statistique d’analyse.<\/p>\n

\"Predicted
Predicted values formula for regression in Excel<\/figcaption><\/figure>\n

Ce tableau d’ajustement est structur\u00e9 en trois colonnes majeures : la colonne Observation<\/em> (qui num\u00e9rote chaque sujet de 1 \u00e0 $N$<\/span>), la colonne Valeurs ajust\u00e9es pour Y<\/em> (qui d\u00e9taille l’estimation pr\u00e9dite $\\hat{Y}_i$<\/span>) et la colonne R\u00e9sidus<\/strong> (qui stocke la diff\u00e9rence brute arithm\u00e9tique $e_i = Y_i – \\hat{Y}_i$<\/span>). C’est cette derni\u00e8re colonne qui constitue la mati\u00e8re premi\u00e8re indispensable au d\u00e9ploiement du test de Breusch-Pagan.<\/p>\n

\"Predicted
Predicted regression values in Excel<\/figcaption><\/figure>\n

\u00c0 des fins de contr\u00f4le d’int\u00e9grit\u00e9 num\u00e9rique, il est formellement recommand\u00e9 d’effectuer un test de validation en calculant la somme globale de cette colonne de r\u00e9sidus dans une cellule adjacente, en employant la commande =SOMME(C25:C124)<\/code> (selon les coordonn\u00e9es r\u00e9elles de votre tableau). En conformit\u00e9 stricte avec les th\u00e9or\u00e8mes math\u00e9matiques des moindres carr\u00e9s ordinaires en pr\u00e9sence d’une constante, cette sommation doit converger de fa\u00e7on imperceptible vers z\u00e9ro, aux approximations infinit\u00e9simales pr\u00e8s de la pr\u00e9cision flottante du processeur (par exemple une valeur de l’ordre de $10^{-14}$<\/span>).<\/p>\n

6.2 Formulation arithm\u00e9tique des r\u00e9sidus au carr\u00e9<\/h3>\n

La mise en \u0153uvre pratique du test exige que nous mod\u00e9lisions la variabilit\u00e9 locale des r\u00e9sidus ind\u00e9pendamment de leur sens de d\u00e9viation (positif ou n\u00e9gatif). Pour ce faire, il convient de cr\u00e9er une variable auxiliaire repr\u00e9sentant le carr\u00e9 de chaque r\u00e9sidu individuel estim\u00e9.<\/p>\n

\"Calculating
Calculating residuals in Excel<\/figcaption><\/figure>\n

Positionnez-vous dans la cellule situ\u00e9e imm\u00e9diatement \u00e0 droite de la premi\u00e8re observation r\u00e9siduelle du tableau, par exemple dans la colonne D<\/strong> en ligne 25. Attribuez \u00e0 cette cellule un en-t\u00eate explicite, tel que Residus_Carre<\/em>. Dans la cellule sous-jacente (ligne 26), saisissez la formule arithm\u00e9tique d’\u00e9l\u00e9vation \u00e0 la puissance deux en ciblant la cellule h\u00e9bergeant le premier r\u00e9sidu brut :<\/p>\n

=C26^2<\/code><\/p>\n

Validez l’entr\u00e9e par la touche Entr\u00e9e. Positionnez ensuite votre curseur sur le coin inf\u00e9rieur droit de la cellule nouvellement calcul\u00e9e jusqu’\u00e0 l’apparition de la poign\u00e9e de recopie (la croix noire fine), puis double-cliquez pour propager instantan\u00e9ment la formule sur l’int\u00e9gralit\u00e9 des $N$<\/span> lignes du tableau. Vous disposez d\u00e9sormais, pour chaque observation de votre jeu de donn\u00e9es, du terme r\u00e9siduel quadratique $e_i^2$<\/span>.<\/p>\n

\"Squared
Squared residual calculation in Excel<\/figcaption><\/figure>\n

6.3 Compr\u00e9hension de la variable d\u00e9pendante auxiliaire<\/h3>\n

Il est fondamental de saisir la signification th\u00e9orique et g\u00e9om\u00e9trique de cette nouvelle colonne de r\u00e9sidus au carr\u00e9. Par d\u00e9finition, l’erreur pure al\u00e9atoire th\u00e9orique $u_i$<\/span> est une grandeur inobservable dans le monde r\u00e9el ; d\u00e8s lors, sa variance conditionnelle th\u00e9orique $\\sigma_i^2 = operatorname{Var}(u_i mid X_i) = operatorname{E}(u_i^2 mid X_i)$<\/span> demeure intrins\u00e8quement inaccessible \u00e0 la mesure directe.<\/p>\n

Puisque la moyenne th\u00e9orique des erreurs est nulle ($operatorname{E}(u_i) = 0$<\/span>), le carr\u00e9 de l’erreur empirique $e_i^2$<\/span> se comporte comme un estimateur ponctuel non biais\u00e9, quoique extr\u00eamement volatil \u00e0 l’\u00e9chelle unitaire, de la variance locale non observ\u00e9e de la perturbation. \u00c9lever le r\u00e9sidu au carr\u00e9 accomplit deux fonctions analytiques majeures : \u00e9liminer purement et simplement le signe de l’\u00e9cart (un r\u00e9sidu fortement n\u00e9gatif indiquant une dispersion d’erreur tout aussi colossale qu’un r\u00e9sidu fortement positif) et pond\u00e9rer de fa\u00e7on quadratique les grands \u00e9carts pr\u00e9dictifs.<\/p>\n

En cons\u00e9quence, les r\u00e9sidus au carr\u00e9 constituent la m\u00e9trique empirique la plus idoine pour servir de variable d\u00e9pendante op\u00e9rationnelle dans notre r\u00e9gression auxiliaire. Si la variance des erreurs est homosc\u00e9dastique, ces grandeurs quadratiques doivent fluctuer de mani\u00e8re totalement al\u00e9atoire et uniforme autour de leur moyenne globale, sans pr\u00e9senter de covariance appr\u00e9ciable avec les r\u00e9gresseurs de l’\u00e9tude.<\/p>\n

7. \u00c9tape 3 : Estimation du mod\u00e8le de r\u00e9gression auxiliaire<\/h2>\n

7.1 D\u00e9finition de l’\u00e9quation de r\u00e9gression auxiliaire<\/h3>\n

Le c\u0153ur op\u00e9ratoire du test de Breusch-Pagan repose sur l’estimation d’une r\u00e9gression secondaire, qualifi\u00e9e de r\u00e9gression auxiliaire. Cette \u00e9quation ne cherche plus \u00e0 mod\u00e9liser la variable th\u00e9orique originale $Y$<\/span>, mais entreprend de pr\u00e9dire les fluctuations de l’indicateur empirique de la variance r\u00e9siduelle, \u00e0 savoir le vecteur des r\u00e9sidus au carr\u00e9 $e_i^2$<\/span>, \u00e0 partir de l’ensemble des pr\u00e9dicteurs du mod\u00e8le initial.<\/p>\n

L’\u00e9quation de r\u00e9gression auxiliaire s’\u00e9nonce formellement sous la forme :<\/p>\n

$$e_i^2 = \\gamma_0 + \\gamma_1 X_{i1} + \\gamma_2 X_{i2} + dots + \\gamma_k X_{ik} + v_i$$<\/span><\/p>\n

o\u00f9 $\\gamma_0$<\/span> symbolise la constante de l’\u00e9quation auxiliaire, $\\gamma_1, dots, \\gamma_k$<\/span> repr\u00e9sentent les coefficients d’impact des pr\u00e9dicteurs sur la magnitude de la variance, et $v_i$<\/span> mat\u00e9rialise le terme d’erreur r\u00e9siduelle propre \u00e0 cette r\u00e9gression secondaire. Si l’hypoth\u00e8se nulle d’homosc\u00e9dasticit\u00e9 est satisfaite dans les donn\u00e9es m\u00e8res, aucun des r\u00e9gresseurs $X$<\/span> ne doit poss\u00e9der de pouvoir explicatif statistiquement d\u00e9tectable sur la variabilit\u00e9 de $e_i^2$<\/span>, impliquant th\u00e9oriquement que l’ensemble des coefficients $\\gamma_j$<\/span> soit conjointement \u00e9gal \u00e0 z\u00e9ro.<\/p>\n

7.2 Ex\u00e9cution de la seconde r\u00e9gression sous Excel<\/h3>\n

Pour ex\u00e9cuter cette \u00e9quation sous Excel, il est opportun de copier pr\u00e9alablement la nouvelle colonne des r\u00e9sidus au carr\u00e9 ($e_i^2$<\/span>) et de la coller \u2014 sous forme de valeurs uniquement, via l’option Collage sp\u00e9cial > Valeurs<\/em> \u2014 au sein de votre feuille de donn\u00e9es originelle, dans une colonne adjacente \u00e0 vos pr\u00e9dicteurs. Cette disposition contigu\u00eb facilitera la s\u00e9lection matricielle sous l’Utilitaire d’analyse sans g\u00e9n\u00e9rer de ruptures de coordonn\u00e9es inter-feuilles.<\/p>\n

\"Breusch-Pagan
Breusch-Pagan regression in Excel<\/figcaption><\/figure>\n

Une fois les variables align\u00e9es, revenez sur le ruban Donn\u00e9es<\/strong>, cliquez sur Utilitaire d’analyse<\/strong>, s\u00e9lectionnez de nouveau le module R\u00e9gression<\/strong> et validez. Les param\u00e8tres doivent d\u00e9sormais \u00eatre scrupuleusement ajust\u00e9s :<\/p>\n