{"id":5658,"date":"2026-09-11T23:53:25","date_gmt":"2026-09-11T23:53:25","guid":{"rendered":"http:\/\/french.arabpsychology.com\/statistics\/comment-calculer-dffits-dans-r\/"},"modified":"2026-09-11T23:53:26","modified_gmt":"2026-09-11T23:53:26","slug":"comment-calculer-dffits-dans-r","status":"publish","type":"psych_stat","link":"https:\/\/french.arabpsychology.com\/?psych_stat=comment-calculer-dffits-dans-r","title":{"rendered":"Comment calculer DFFITS dans R"},"content":{"rendered":"

L’estimation des param\u00e8tres au sein des mod\u00e8les lin\u00e9aires par la m\u00e9thode des moindres carr\u00e9s ordinaires repose sur un ensemble d’hypoth\u00e8ses distributionnelles et structurelles fondamentales dont la violation compromet la validit\u00e9 des inf\u00e9rences statistiques. Parmi les menaces m\u00e9thodologiques les plus insidieuses figure la pr\u00e9sence d’observations singuli\u00e8res capables d’exercer une distorsion disproportionn\u00e9e sur la trajectoire de l’hyperplan de r\u00e9gression. Dans les disciplines quantitatives contemporaines, qu’il s’agisse de l’\u00e9conom\u00e9trie, de la biostatistique ou de la psychom\u00e9trie appliqu\u00e9e, l’analyste ne peut se contenter d’un examen superficiel des coefficients d’ajustement global. Il est imp\u00e9ratif de proc\u00e9der \u00e0 un audit diagnostique granulaire visant \u00e0 identifier les unit\u00e9s statistiques qui exercent un contr\u00f4le excessif sur les pr\u00e9dictions du mod\u00e8le.<\/p>\n

Parmi l’arsenal d’indicateurs d\u00e9velopp\u00e9s au cours du second tiers du vingti\u00e8me si\u00e8cle pour sonder la robustesse locale des estimations, la statistique DFFITS, introduite initialement par David A. Belsley, Edwin Kuh et Roy E. Welsch dans leur ouvrage pionnier de 1980, s’impose comme une m\u00e9trique de choix. En quantifiant directement la variation standardis\u00e9e induite sur la valeur pr\u00e9dite d’un individu lorsque celui-ci est d\u00e9lib\u00e9r\u00e9ment exclu du calibrage du mod\u00e8le, le DFFITS fournit une mesure synth\u00e9tique et \u00e9l\u00e9gante combinant l’\u00e9cart r\u00e9siduel de l’observation et sa position g\u00e9om\u00e9trique dans l’espace multidimensionnel des pr\u00e9dicteurs. Cette approche par suppression unitaire permet de d\u00e9masquer des points qui, bien que ne paraissant pas n\u00e9cessairement anormaux sur un diagramme de dispersion bivari\u00e9, alt\u00e8rent substantiellement la structure pr\u00e9dictive globale.<\/p>\n

Le pr\u00e9sent article propose une exploration approfondie et exhaustive de la th\u00e9orie, du calcul et de l’interpr\u00e9tation empirique de la statistique DFFITS au sein de l’environnement de programmation et d’analyse statistique R. \u00c0 travers un protocole pas \u00e0 pas alliant formulations math\u00e9matiques formelles, d\u00e9compositions algorithmiques manuelles et utilisation des fonctions vectoris\u00e9es natives de R, nous examinerons comment int\u00e9grer rigoureusement ce diagnostic dans les pipelines de recherche. Nous aborderons \u00e9galement les seuils critiques adapt\u00e9s aux propri\u00e9t\u00e9s de l’\u00e9chantillon, les strat\u00e9gies de visualisation avanc\u00e9e, ainsi que les arbitrages m\u00e9thodologiques et \u00e9thiques n\u00e9cessaires face aux donn\u00e9es aberrantes et influentes.<\/p>\n

1. Introduction aux diagnostics de r\u00e9gression et \u00e0 la m\u00e9trique DFFITS<\/h2>\n

1.1 Notion d’influence et de levier en mod\u00e9lisation statistique<\/h3>\n

L’analyse rigoureuse des mod\u00e8les de r\u00e9gression lin\u00e9aire requiert une distinction conceptuelle fondamentale entre trois manifestations distinctes de l’atypicit\u00e9 des donn\u00e9es : les valeurs aberrantes (outliers<\/em>), les points de levier (leverage points<\/em>) et les observations influentes (influential observations<\/em>). Une valeur aberrante correspond classiquement \u00e0 une observation dont la variable d\u00e9pendante s’\u00e9carte substantiellement de la valeur attendue par le mod\u00e8le conditionnel, g\u00e9n\u00e9rant ainsi un r\u00e9sidu de magnitude exceptionnelle. \u00c0 l’inverse, un point de levier d\u00e9signe une entit\u00e9 statistique occupant une position isol\u00e9e ou extr\u00eame dans l’espace vectoriel form\u00e9 par les variables pr\u00e9dictrices ind\u00e9pendantes, sans que sa r\u00e9ponse observ\u00e9e ne soit obligatoirement discordante par rapport \u00e0 la droite de r\u00e9gression. L’effet de levier mesure donc un potentiel structurel d’alt\u00e9ration du mod\u00e8le, fonction exclusive des coordonn\u00e9es dans l’espace des covariables.<\/p>\n

L’observation influente, quant \u00e0 elle, repr\u00e9sente l’intersection op\u00e9rationnelle ou la r\u00e9sultante dynamique de ces deux ph\u00e9nom\u00e8nes. Une donn\u00e9e n’est qualifi\u00e9e d’influente que si son inclusion ou son omission modifie substantiellement les r\u00e9sultats statistiques fondamentaux du mod\u00e8le, tels que la valeur des coefficients estim\u00e9s, l’erreur standard r\u00e9siduelle ou l’ensemble des valeurs ajust\u00e9es. Dans le cadre de l’estimation par les moindres carr\u00e9s ordinaires<\/a>, le crit\u00e8re quadratique minimise la somme des carr\u00e9s des r\u00e9sidus, conf\u00e9rant de facto un poids d\u00e9mesur\u00e9 aux \u00e9carts importants. Par cons\u00e9quent, un point combinant un levier \u00e9lev\u00e9 et un r\u00e9sidu non nul agit comme un point d’appui m\u00e9canique, attirant l’hyperplan vers lui et faussant la trajectoire g\u00e9n\u00e9rale de la relation mod\u00e9lis\u00e9e.<\/p>\n

Dans les sciences comportementales, sociales et psychom\u00e9triques, la survenue de telles observations est fr\u00e9quente en raison de l’h\u00e9t\u00e9rog\u00e9n\u00e9it\u00e9 non observ\u00e9e, des comportements de r\u00e9ponse atypiques, de la fatigue exp\u00e9rimentale ou de simples b\u00e9vues de saisie. N\u00e9gliger la d\u00e9tection de ces cas singuliers menace directement l’int\u00e9grit\u00e9 des conclusions tir\u00e9es des donn\u00e9es d’\u00e9chantillon. Un diagnostic post-estimation syst\u00e9matique n’est donc pas une simple formalit\u00e9 technique facultative, mais une \u00e9tape indispensable garantissant la fiabilit\u00e9 des inf\u00e9rences, la reproductibilit\u00e9 des analyses et la validit\u00e9 interne des mod\u00e8les empiriques d\u00e9ploy\u00e9s.<\/p>\n

1.2 Origine conceptuelle et d\u00e9finition du DFFITS<\/h3>\n

La statistique DFFITS trouve son \u00e9tymologie directe dans l’expression anglaise Difference in Fits<\/em>, traduisible litt\u00e9ralement par la \u00ab diff\u00e9rence d’ajustement \u00bb. Formalis\u00e9e dans les travaux s\u00e9minaux de David A. Belsley, Edwin Kuh et Roy E. Welsch consign\u00e9s dans leur trait\u00e9 classique de 1980 intitul\u00e9 Regression Diagnostics: Identifying Influential Data and Sources of Collinearity<\/em>, cette mesure a \u00e9t\u00e9 sp\u00e9cifiquement con\u00e7ue pour \u00e9valuer l’impact marginal de la suppression d’une observation donn\u00e9e sur sa propre pr\u00e9diction. L’intuition th\u00e9orique sous-jacente est d’une grande clart\u00e9 : si le retrait d’un individu du jeu de donn\u00e9es entra\u00eene un d\u00e9placement substantiel de la valeur ajust\u00e9e qui lui \u00e9tait assign\u00e9e par le mod\u00e8le, cet individu exerce alors une emprise d\u00e9raisonnable sur le calibrage local de l’\u00e9quation.<\/p>\n

D’un point de vue fonctionnel, le DFFITS se d\u00e9finit formellement comme la diff\u00e9rence standardis\u00e9e entre la valeur ajust\u00e9e pour l’observation i<\/em> obtenue en utilisant l’int\u00e9gralit\u00e9 de l’\u00e9chantillon de taille n<\/em>, et la valeur ajust\u00e9e pour cette m\u00eame observation issue d’un mod\u00e8le r\u00e9estim\u00e9 sur l’\u00e9chantillon r\u00e9duit de taille n – 1<\/em> duquel la i<\/em>-\u00e8me observation a \u00e9t\u00e9 temporairement \u00e9lagu\u00e9e. L’op\u00e9ration de standardisation est op\u00e9r\u00e9e en divisant cet \u00e9cart par une estimation rigoureuse de l’erreur type de la pr\u00e9diction, calcul\u00e9e elle-m\u00eame en omettant l’observation cible afin d’\u00e9viter toute contamination r\u00e9siduelle de la variance d’erreur.<\/p>\n

Contrairement \u00e0 d’autres indicateurs qui fragmentent l’examen de l’influence en d\u00e9composant l’effet sur chaque coefficient individuel de r\u00e9gression, le DFFITS constitue un indicateur univari\u00e9 synth\u00e9tique de l’influence globale exerc\u00e9e sur la pr\u00e9diction ponctuelle. Il offre ainsi \u00e0 l’analyste un indice direct, condens\u00e9 et \u00e9l\u00e9gant permettant de hi\u00e9rarchiser imm\u00e9diatement les observations selon la s\u00e9v\u00e9rit\u00e9 du trouble pr\u00e9dictif qu’elles injectent dans la structure globale du mod\u00e8le lin\u00e9aire param\u00e9trique.<\/p>\n

1.3 Pertinence du DFFITS dans la recherche empirique<\/h3>\n

L’utilit\u00e9 m\u00e9thodologique du DFFITS dans la recherche empirique moderne s’\u00e9tend bien au-del\u00e0 de la simple v\u00e9rification math\u00e9matique des conditions de r\u00e9gularit\u00e9. Dans les protocoles cliniques ou les enqu\u00eates probabilistes \u00e0 grande \u00e9chelle, cet indicateur agit comme un r\u00e9v\u00e9lateur pr\u00e9cieux de sous-populations non anticip\u00e9es ou de cas cliniquement discordants. En rep\u00e9rant les sujets pour lesquels le mod\u00e8le global \u00e9choue dramatiquement \u00e0 fournir une pr\u00e9diction stable en leur absence, le chercheur s’offre l’opportunit\u00e9 d’examiner en d\u00e9tail la plausibilit\u00e9 substantive des donn\u00e9es recueillies et d’identifier de possibles biais d’\u00e9chantillonnage ou des distorsions induites par des participants non repr\u00e9sentatifs.<\/p>\n

Sur le plan de l’inf\u00e9rence causale et pr\u00e9dictive, la pr\u00e9sence d’individus pr\u00e9sentant un DFFITS d’amplitude anormale a pour cons\u00e9quence directe de gonfler artificiellement ou d’att\u00e9nuer ind\u00fbment les estimations des param\u00e8tres de r\u00e9gression, conduisant fr\u00e9quemment \u00e0 des erreurs de type I (faux positifs) ou de type II (faux n\u00e9gatifs). En stabilisant le mod\u00e8le via l’examen rigoureux du DFFITS, on pr\u00e9serve la validit\u00e9 interne des estimations et on pr\u00e9vient la publication de relations fallacieuses qui \u00e9choueraient in\u00e9luctablement lors des tentatives ult\u00e9rieures de r\u00e9plication empirique sur des \u00e9chantillons ind\u00e9pendants.<\/p>\n

Enfin, dans le contexte actuel du d\u00e9ploiement d’algorithmes de prise de d\u00e9cision automatis\u00e9s et d’architectures d’apprentissage statistique supervis\u00e9, o\u00f9 les mod\u00e8les de type r\u00e9gression servent souvent de briques \u00e9l\u00e9mentaires ou de r\u00e9f\u00e9rences interpr\u00e9tables, la robustesse aux donn\u00e9es contamin\u00e9es devient un enjeu op\u00e9rationnel majeur. Le calcul syst\u00e9matique du DFFITS garantit que le mod\u00e8le r\u00e9sultant ne refl\u00e8te pas les particularit\u00e9s singuli\u00e8res d’une poign\u00e9e d’individus excentriques, mais capture fid\u00e8lement les tendances structurelles sous-jacentes de la population cible.<\/p>\n

2. Fondements th\u00e9oriques et formulation math\u00e9matique du DFFITS<\/h2>\n

2.1 D\u00e9composition math\u00e9matique de la formule<\/h3>\n

La formulation alg\u00e9brique originelle du DFFITS pour une observation donn\u00e9e index\u00e9e par la lettre i<\/em> (avec i<\/em> variant de 1 \u00e0 n<\/em>) repose sur la comparaison entre la pr\u00e9diction compl\u00e8te, not\u00e9e $\\hat{y}_i$<\/span>, issue de l’estimation sur la totalit\u00e9 de l’\u00e9chantillon, et la pr\u00e9diction avec omission, not\u00e9e $\\hat{y}_{(i)}$<\/span>, calcul\u00e9e \u00e0 partir des coefficients obtenus en excluant l’observation i<\/em>. La formule brute s’exprime sous la forme du ratio suivant :<\/p>\n

$$\\text{DFFITS}_i = \\frac{\\hat{y}_i – \\hat{y}_{(i)}}{\\sqrt{s_{(i)}^2 h_{ii}}}$$<\/span><\/p>\n

Dans cette formulation canonique, le d\u00e9nominateur repr\u00e9sente l’erreur type estim\u00e9e de la valeur ajust\u00e9e $\\hat{y}_i$<\/span>. Le terme $s_{(i)}^2$<\/span> d\u00e9signe la variance r\u00e9siduelle estim\u00e9e (l’erreur quadratique moyenne) du mod\u00e8le ajust\u00e9 sans la $i$<\/span>-\u00e8me observation, garantissant une estimation non contamin\u00e9e de la dispersion du bruit de fond. La grandeur $h_{ii}$<\/span> correspond au $i$<\/span>-\u00e8me \u00e9l\u00e9ment diagonal de la matrice de projection orthogonale<\/a>, commun\u00e9ment d\u00e9nomm\u00e9e matrice chapeau (hat matrix<\/em>), d\u00e9finie par l’op\u00e9rateur matriciel $H = X(X^T X)^{-1} X^T$<\/span>, o\u00f9 $X$<\/span> repr\u00e9sente la matrice de dessein des variables explicatives compl\u00e9t\u00e9e par une colonne unitaire pour la constante.<\/p>\n

Gr\u00e2ce aux identit\u00e9s fondamentales de l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire appliqu\u00e9es \u00e0 la r\u00e9gression, il n’est heureusement pas requis de r\u00e9estimer formellement n<\/em> r\u00e9gressions distinctes pour \u00e9valuer chaque pr\u00e9diction avec suppression. Le DFFITS peut \u00eatre factoris\u00e9 et r\u00e9\u00e9crit sous une forme computationnelle exacte combinant deux grandeurs analytiques fondamentales :<\/p>\n

$$\\text{DFFITS}_i = rstudent_i \\times \\sqrt{\\frac{h_{ii}}{1 – h_{ii}}}$$<\/span><\/p>\n

Dans cette \u00e9quation \u00e9l\u00e9gante, le premier facteur, $rstudent_i$<\/span>, repr\u00e9sente le r\u00e9sidu studentis\u00e9 externe (\u00e9galement appel\u00e9 r\u00e9sidu jackknife ou r\u00e9sidu supprim\u00e9 standardis\u00e9), d\u00e9fini par :<\/p>\n

$$rstudent_i = \\frac{e_i}{s_{(i)} \\sqrt{1 – h_{ii}}}$$<\/span><\/p>\n

o\u00f9 $e_i = y_i – \\hat{y}_i$<\/span> est le r\u00e9sidu brut ordinaire des moindres carr\u00e9s. Le second facteur, quant \u00e0 lui, est une fonction strictement monotone de la valeur de levier $h_{ii}$<\/span>. Cette factorisation met en lumi\u00e8re la nature profonde du DFFITS : il s’agit du produit direct entre une mesure de la non-conformit\u00e9 de la r\u00e9ponse (l’\u00e9cart r\u00e9siduel standardis\u00e9 hors mod\u00e8le) et une mesure de l’\u00e9loignement de l’observation par rapport au centre de gravit\u00e9 des pr\u00e9dicteurs dans l’espace euclidien.<\/p>\n

2.2 Propri\u00e9t\u00e9s distributionnelles et comportement asymptotique<\/h3>\n

L’analyse distributionnelle du DFFITS d\u00e9coule directement des propri\u00e9t\u00e9s probabilistes du r\u00e9sidu studentis\u00e9 externe et des caract\u00e9ristiques de la matrice chapeau. Sous l’hypoth\u00e8se nulle d’un mod\u00e8le correctement sp\u00e9cifi\u00e9 avec des erreurs gaussiennes ind\u00e9pendantes et identiquement distribu\u00e9es, le r\u00e9sidu studentis\u00e9 $rstudent_i$<\/span> suit rigoureusement une distribution t<\/em> de Student \u00e0 $n – p – 1$<\/span> degr\u00e9s de libert\u00e9, o\u00f9 $p$<\/span> repr\u00e9sente le nombre total de param\u00e8tres estim\u00e9s dans le mod\u00e8le (incluant la constante). En revanche, le facteur de levier $\\sqrt{h_{ii} \/ (1 – h_{ii})}$<\/span> est une constante d\u00e9terministe conditionnellement \u00e0 la matrice de dessein fix\u00e9e $X$<\/span>.<\/p>\n

Lorsque la taille de l’\u00e9chantillon $n$<\/span> tend vers l’infini pour un nombre de param\u00e8tres $p$<\/span> constant, la trace de la matrice chapeau restant \u00e9gale \u00e0 $p$<\/span> ($\\sum_{i=1}^n h_{ii} = p$<\/span>), la valeur moyenne du levier individuel $\\bar{h} = p\/n$<\/span> converge asymptotiquement vers z\u00e9ro. Par cons\u00e9quent, pour une observation typique, le terme $\\sqrt{h_{ii} \/ (1 – h_{ii})}$<\/span> d\u00e9cro\u00eet selon un ordre de grandeur en $\\mathcal{O}(n^{-1\/2})$<\/span>. Il s’ensuit que les valeurs de DFFITS ont naturellement tendance \u00e0 se contracter vers z\u00e9ro \u00e0 mesure que le volume de donn\u00e9es augmente, rendant les seuils critiques d\u00e9pendants de la taille de l’\u00e9chantillon.<\/p>\n

\u00c0 l’inverse, l’\u00e9mergence d’une forte multicolin\u00e9arit\u00e9 au sein de la matrice de dessein perturbe s\u00e9v\u00e8rement les propri\u00e9t\u00e9s de la matrice $(X^T X)^{-1}$<\/span>, conduisant \u00e0 une inflation substantielle de certains termes diagonaux $h_{ii}$<\/span>. Dans une telle configuration, de l\u00e9g\u00e8res variations dans les r\u00e9ponses peuvent engendrer des valeurs de DFFITS artificiellement explosives pour les observations situ\u00e9es le long des axes de colin\u00e9arit\u00e9, amplifiant la sensibilit\u00e9 du mod\u00e8le \u00e0 des perturbations infinit\u00e9simales des donn\u00e9es d’entra\u00eenement.<\/p>\n

2.3 Comparaison th\u00e9orique avec la distance de Cook<\/h3>\n

Dans la litt\u00e9rature statistique consacr\u00e9e aux diagnostics d’influence, le DFFITS est tr\u00e8s fr\u00e9quemment mis en perspective avec la distance de Cook<\/a>, formul\u00e9e initialement par R. Dennis Cook en 1977. Bien que ces deux m\u00e9triques partagent l’objectif fondamental d’identifier les observations d\u00e9stabilisatrices, elles proc\u00e8dent d’architectures th\u00e9oriques distinctes et adoptent des \u00e9chelles de mesure diff\u00e9renci\u00e9es.<\/p>\n

La distance de Cook \u00e9value le d\u00e9calage quadratique moyen subi par le vecteur complet des valeurs ajust\u00e9es de l’ensemble des n<\/em> observations sous l’effet de l’omission d’un point sp\u00e9cifique. Sa formulation canonique s’\u00e9crit :<\/p>\n

$$D_i = \\frac{(\\hat{Y} – \\hat{Y}_{(i)})^T (\\hat{Y} – \\hat{Y}_{(i)})}{p , s^2} = \\frac{r_i^2}{p} \\times \\frac{h_{ii}}{1 – h_{ii}}$$<\/span><\/p>\n

o\u00f9 $r_i$<\/span> d\u00e9signe le r\u00e9sidu studentis\u00e9 interne (calcul\u00e9 en utilisant l’estimateur de variance global $s^2$<\/span> incluant la $i$<\/span>-\u00e8me observation). En comparant cette expression avec celle du DFFITS, on observe une relation structurelle directe. Si l’on substitue le r\u00e9sidu interne par le r\u00e9sidu externe (qui lui est fonctionnellement tr\u00e8s proche pour des \u00e9chantillons de taille mod\u00e9r\u00e9e \u00e0 grande), on obtient l’\u00e9quivalence fonctionnelle remarquable suivante :<\/p>\n

$$D_i \\approx \\frac{\\text{DFFITS}_i^2}{p}$$<\/span><\/p>\n

Cette relation met en \u00e9vidence les divergences op\u00e9rationnelles fondamentales entre les deux instruments :<\/p>\n