{"id":5541,"date":"2026-09-11T22:39:24","date_gmt":"2026-09-11T22:39:24","guid":{"rendered":"http:\/\/french.arabpsychology.com\/statistics\/comment-calculer-residus-studentises-python-2\/"},"modified":"2026-09-11T22:39:25","modified_gmt":"2026-09-11T22:39:25","slug":"comment-calculer-residus-studentises-python-2","status":"publish","type":"psych_stat","link":"https:\/\/french.arabpsychology.com\/?psych_stat=comment-calculer-residus-studentises-python-2","title":{"rendered":"Comment calculer les r\u00e9sidus studentis\u00e9s en Python"},"content":{"rendered":"

L’\u00e9valuation de la validit\u00e9 d’un mod\u00e8le de r\u00e9gression lin\u00e9aire classique repose sur un ensemble d’hypoth\u00e8ses distributionnelles et structurelles qui, lorsqu’elles sont viol\u00e9es, compromettent gravement l’inf\u00e9rence statistique. Parmi ces postulats figurent la lin\u00e9arit\u00e9 de l’esp\u00e9rance conditionnelle, l’homosc\u00e9dasticit\u00e9 de la variance d’erreur, l’ind\u00e9pendance des perturbations stochastiques et leur normalit\u00e9 asymptotique. Dans la pratique de la mod\u00e9lisation statistique appliqu\u00e9e aux sciences empiriques, l’analyste se trouve confront\u00e9 \u00e0 des jeux de donn\u00e9es r\u00e9els o\u00f9 certaines observations s’\u00e9cartent substantiellement de la tendance g\u00e9n\u00e9rale. Si les r\u00e9sidus bruts constituent le point de d\u00e9part intuitif pour quantifier ces \u00e9carts, leur utilisation brute pour tester des hypoth\u00e8ses de valeurs aberrantes s’av\u00e8re m\u00e9thodologiquement d\u00e9ficiente en raison de leur h\u00e9t\u00e9rog\u00e9n\u00e9it\u00e9 intrins\u00e8que de variance.<\/p>\n

Cette limite fondamentale a motiv\u00e9 le d\u00e9veloppement de r\u00e9sidus standardis\u00e9s et plus particuli\u00e8rement des r\u00e9sidus studentis\u00e9s. En divisant l’\u00e9cart d’ajustement par un estimateur rigoureux de son \u00e9cart-type conditionnel \u00e0 la position de l’observation dans l’espace multidimensionnel des r\u00e9gresseurs, la studentisation conf\u00e8re au r\u00e9sidu une m\u00e9trique adimensionnelle et une distribution th\u00e9orique connue sous l’hypoth\u00e8se nulle. La distinction cardinale entre studentisation interne et studentisation externe (ou jackknife) repr\u00e9sente une avanc\u00e9e majeure dans la d\u00e9tection des points atypiques, permettant de neutraliser l’effet d’att\u00e9nuation qu’une observation extr\u00eame exerce sur l’estimation de sa propre variance d’erreur.<\/p>\n

L’\u00e9cosyst\u00e8me scientifique du langage Python, structur\u00e9 autour de biblioth\u00e8ques performantes telles que NumPy, Pandas et Statsmodels, fournit un cadre computationnel id\u00e9al pour op\u00e9rationnaliser ces diagnostics avanc\u00e9s. Ce guide exhaustif explore l’ensemble des fondements th\u00e9oriques, des formulations math\u00e9matiques et des impl\u00e9mentations algorithmiques n\u00e9cessaires au calcul, \u00e0 l’interpr\u00e9tation et \u00e0 la visualisation des r\u00e9sidus studentis\u00e9s en Python. \u00c0 travers des cas d’application concrets issus des sciences du comportement et de la mod\u00e9lisation quantitative, nous d\u00e9taillerons les protocoles m\u00e9thodologiques assurant une inf\u00e9rence robuste et reproductible.<\/p>\n

1. Introduction th\u00e9orique aux r\u00e9sidus studentis\u00e9s dans l’analyse de r\u00e9gression<\/h2>\n

### 1.1 D\u00e9finition fondamentale et formalisation math\u00e9matique<\/p>\n

Dans le cadre d’un mod\u00e8le de r\u00e9gression lin\u00e9aire multiple exprim\u00e9 sous la forme matricielle canonique $Y = X\\beta + \\varepsilon$<\/span>, o\u00f9 $Y$<\/span> d\u00e9signe le vecteur des r\u00e9ponses de dimension $n \\times 1$<\/span>, $X$<\/span> la matrice de conception de dimension $n \\times p$<\/span> incluant la constante, $\\beta$<\/span> le vecteur des param\u00e8tres inconnus de dimension $p \\times 1$<\/span>, et $varepsilon$<\/span> le vecteur des erreurs stochastiques non observables suivant une distribution gaussienne $\\mathcal{N}(0, \\sigma^2 I_n)$<\/span>, le vecteur des r\u00e9sidus ordinaires (ou bruts) est d\u00e9fini par la diff\u00e9rence alg\u00e9brique entre les valeurs observ\u00e9es et les valeurs ajust\u00e9es par la m\u00e9thode des moindres carr\u00e9s ordinaires (MCO) :<\/p>\n

$e = Y – \\hat{Y} = Y – X\\hat{\\beta} = (I_n – H)Y$<\/span><\/p>\n

L’op\u00e9rateur $H = X(X^T X)^{-1} X^T$<\/span> repr\u00e9sente la matrice de projection orthogonale sur l’espace vectoriel engendr\u00e9 par les colonnes de $X$<\/span>, commun\u00e9ment appel\u00e9e matrice chapeau (*hat matrix*). Bien que l’hypoth\u00e8se classique postule que les erreurs th\u00e9oriques $\\varepsilon_i$<\/span> partagent une variance commune et constante $\\sigma^2$<\/span>, les r\u00e9sidus empiriques $e_i$<\/span> ne poss\u00e8dent pas cette propri\u00e9t\u00e9 d’homosc\u00e9dasticit\u00e9. En d\u00e9veloppant la matrice de covariance du vecteur r\u00e9siduel $e$<\/span>, nous obtenons :<\/p>\n

$\\text{Var}(e) = \\text{Var}((I_n – H)Y) = (I_n – H) \\text{Var}(Y) (I_n – H)^T = \\sigma^2 (I_n – H)$<\/span><\/p>\n

Il en d\u00e9coule directement que la variance th\u00e9orique du $i$<\/span>-\u00e8me r\u00e9sidu brut d\u00e9pend explicitement de la position occup\u00e9e par l’observation correspondante dans l’espace des covariables, mat\u00e9rialis\u00e9e par le $i$<\/span>-\u00e8me \u00e9l\u00e9ment diagonal $h_{ii}$<\/span> de la matrice $H$<\/span> :<\/p>\n

$\\text{Var}(e_i) = \\sigma^2 (1 – h_{ii})$<\/span><\/p>\n

Cette d\u00e9pendance met en lumi\u00e8re les limites intrins\u00e8ques des r\u00e9sidus bruts comme outil de diagnostic comparatif. Les observations situ\u00e9es aux confins de la distribution des variables explicatives pr\u00e9sentent une valeur de levier $h_{ii}$<\/span> \u00e9lev\u00e9e, ce qui comprime m\u00e9caniquement la variance de leur r\u00e9sidu brut vers z\u00e9ro. Par cons\u00e9quent, un point poss\u00e9dant un fort effet de levier peut forcer la droite de r\u00e9gression \u00e0 passer excessivement pr\u00e8s de lui, affichant un r\u00e9sidu brut artificiellement modeste alors m\u00eame qu’il d\u00e9stabilise profond\u00e9ment l’estimation des coefficients $\\beta$<\/span>. Pour rem\u00e9dier \u00e0 cette inhomog\u00e9n\u00e9it\u00e9, la proc\u00e9dure de studentisation consiste \u00e0 diviser le r\u00e9sidu brut par l’estimation de son \u00e9cart-type exact, g\u00e9n\u00e9rant ainsi une statistique d’ajustement normalis\u00e9e et adimensionnelle.<\/p>\n

Sous l’hypoth\u00e8se de normalit\u00e9 des perturbations stochastiques $\\varepsilon \\sim \\mathcal{N}(0, \\sigma^2 I_n)$<\/span>, la transformation normalis\u00e9e par l’\u00e9cart-type r\u00e9siduel ne suit pas une loi normale standard en raison de l’estimation de la variance d’erreur par un carr\u00e9 moyen r\u00e9siduel comportant un nombre fini de degr\u00e9s de libert\u00e9. Selon les travaux fondamentaux de William Sealy Gosset (publi\u00e9s sous le pseudonyme de Student en 1908<\/a>), ce ratio d’une variable gaussienne par la racine carr\u00e9e d’une variable du khi-deux ind\u00e9pendante divis\u00e9e par ses degr\u00e9s de libert\u00e9 engendre une distribution de Student. Cette propri\u00e9t\u00e9 formelle offre une base probabiliste rigoureuse pour construire des tests de signification d’atypicit\u00e9 statistique.<\/p>\n

### 1.2 R\u00e9sidus studentis\u00e9s internes versus externes<\/p>\n

La litt\u00e9rature \u00e9conom\u00e9trique et statistique \u00e9tablit une distinction m\u00e9thodologique imp\u00e9rative entre les r\u00e9sidus studentis\u00e9s internes (parfois qualifi\u00e9s de r\u00e9sidus standardis\u00e9s) et les r\u00e9sidus studentis\u00e9s externes (\u00e9galement appel\u00e9s r\u00e9sidus jackknife, r\u00e9sidus d’exclusion ou r\u00e9sidus *leave-one-out*). Cette divergence repose fondamentalement sur le sous-\u00e9chantillon utilis\u00e9 pour estimer la variance r\u00e9siduelle inconnue $\\sigma^2$<\/span>.<\/p>\n

Le r\u00e9sidu studentis\u00e9 interne, couramment not\u00e9 $r_i$<\/span>, s’obtient en utilisant l’estimateur sans biais global de la variance d’erreur calcul\u00e9 sur l’int\u00e9gralit\u00e9 des $n$<\/span> observations de l’\u00e9chantillon, soit le carr\u00e9 moyen de l’erreur $s^2 = \\frac{e^T e}{n – p} = \\frac{SSE}{n – p}$<\/span>. Sa formulation analytique s’\u00e9crit :<\/p>\n

$r_i = \\frac{e_i}{s \\sqrt{1 – h_{ii}}}$<\/span><\/p>\n

Bien que cette m\u00e9trique corrige l’effet de structure imputable \u00e0 la matrice chapeau via le facteur $\\sqrt{1 – h_{ii}}$<\/span>, elle souffre d’un biais d’auto-contamination. Si la $i$<\/span>-\u00e8me observation est une valeur aberrante extr\u00eame (un *outlier* majeur), son propre r\u00e9sidu brut $e_i$<\/span> de grande amplitude contribue de mani\u00e8re disproportionn\u00e9e \u00e0 la somme des carr\u00e9s des erreurs r\u00e9siduelles ($SSE$<\/span>). Cette inflation m\u00e9canique de $SSE$<\/span> gonfle artificiellement l’estimateur global $s$<\/span>, ce qui a pour effet pervers de r\u00e9duire le d\u00e9nominateur de $r_i$<\/span>. Ainsi, le r\u00e9sidu studentis\u00e9 interne d’une observation aberrante se trouve auto-masqu\u00e9 par sa propre pr\u00e9sence dans le calcul de la dispersion globale, diminuant la puissance diagnostique du test.<\/p>\n

Pour contourner ce ph\u00e9nom\u00e8ne d’att\u00e9nuation, le r\u00e9sidu studentis\u00e9 externe, not\u00e9 $t_i$<\/span>, substitue \u00e0 l’estimateur global $s$<\/span> un estimateur d’exclusion not\u00e9 $s_{(-i)}$<\/span>, calcul\u00e9 sur le jeu de donn\u00e9es duquel la $i$<\/span>-\u00e8me observation a \u00e9t\u00e9 pr\u00e9alablement retranch\u00e9e :<\/p>\n

$t_i = \\frac{e_i}{s_{(-i)} \\sqrt{1 – h_{ii}}}$<\/span><\/p>\n

Dans cette configuration, l’estimateur $s_{(-i)}^2$<\/span> est calcul\u00e9 sur $n – 1$<\/span> observations et $n – p – 1$<\/span> degr\u00e9s de libert\u00e9. Par construction, si l’observation $i$<\/span> est fortement discordante, son exclusion \u00e9limine son influence contaminatrice sur l’estimation de la variance de fond du mod\u00e8le. L’\u00e9cart-type d’erreur $s_{(-i)}$<\/span> refl\u00e8te fid\u00e8lement la variabilit\u00e9 des donn\u00e9es non contamin\u00e9es, ce qui propulse le ratio $t_i$<\/span> vers des valeurs d’amplitude consid\u00e9rablement plus \u00e9lev\u00e9es.<\/p>\n

Sur le plan strictement distributionnel, tandis que le r\u00e9sidu interne $r_i^2 \/ (n – p)$<\/span> suit une loi B\u00eata en raison de la d\u00e9pendance stochastique entre son num\u00e9rateur $e_i$<\/span> et le d\u00e9nominateur $s$<\/span>, le r\u00e9sidu externe $t_i$<\/span> est rigoureusement distribu\u00e9 selon une loi de Student \u00e0 $n – p – 1$<\/span> degr\u00e9s de libert\u00e9 sous l’hypoth\u00e8se nulle stipulant que l’observation $i$<\/span> est issue du m\u00eame processus g\u00e9n\u00e9rateur que le reste de la cohorte. Cette propri\u00e9t\u00e9 statistique exacte justifie la sup\u00e9riorit\u00e9 des r\u00e9sidus studentis\u00e9s externes pour les tests d’hypoth\u00e8se formels relatifs aux valeurs aberrantes dans les pipelines d’audit diagnostique.<\/p>\n

### 1.3 R\u00f4le des r\u00e9sidus studentis\u00e9s dans l’inf\u00e9rence statistique<\/p>\n

L’analyse des r\u00e9sidus studentis\u00e9s remplit une fonction heuristique et confirmatoire centrale dans l’\u00e9valuation de la robustesse des mod\u00e8les de r\u00e9gression appliqu\u00e9s aux sciences empiriques. Le postulat fondamental d’homosc\u00e9dasticit\u00e9 exige que l’erreur stochastique poss\u00e8de une variance constante $\\sigma^2$<\/span> sur l’ensemble du domaine de pr\u00e9diction. Lorsque l’analyste examine un diagramme de dispersion opposant les r\u00e9sidus bruts aux valeurs pr\u00e9dites, la contraction structurelle de la variance induite par les points de fort levier peut mimer ou au contraire occulter une structure h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dastique r\u00e9elle. Les r\u00e9sidus studentis\u00e9s, en \u00e9liminant cette h\u00e9t\u00e9rog\u00e9n\u00e9it\u00e9 artefactuelle li\u00e9e \u00e0 la configuration spatiale des covariables, permettent d’isoler avec une fid\u00e9lit\u00e9 optimale les v\u00e9ritables distorsions de la variance r\u00e9siduelle, telles que les patrons en entonnoir repr\u00e9sentatifs d’une variance proportionnelle \u00e0 l’amplitude des variables d\u00e9pendantes.<\/p>\n

Sur le plan de la g\u00e9om\u00e9trie multidimensionnelle, l’inf\u00e9rence moderne distingue formellement les points \u00e0 fort r\u00e9sidu des points \u00e0 fort levier. Une observation peut afficher une position excentrique dans l’espace factoriel des variables explicatives (levier \u00e9lev\u00e9 $h_{ii}$<\/span>) tout en s’alignant scrupuleusement sur la trajectoire lin\u00e9aire du mod\u00e8le ; un tel point poss\u00e8de un r\u00e9sidu studentis\u00e9 proche de z\u00e9ro et ne perturbe nullement l’estimation des coefficients directeurs. \u00c0 l’inverse, une observation peut se situer \u00e0 proximit\u00e9 imm\u00e9diate du centro\u00efde des r\u00e9gresseurs (faible levier) mais d\u00e9vier drastiquement le long de l’axe de la variable d\u00e9pendante $Y$<\/span>. Les r\u00e9sidus studentis\u00e9s externes constituent l’unique sonde statistique capable de quantifier cette discordance verticale ind\u00e9pendamment du positionnement horizontal de l’observation.<\/p>\n

Dans les protocoles de recherche quantitative en sciences m\u00e9dicales, \u00e9conomiques et sociales, la non-d\u00e9tection d’observations aberrantes menace directement la validit\u00e9 interne des inf\u00e9rences causales et corr\u00e9lationnelles. La m\u00e9thode des moindres carr\u00e9s ordinaires minimise la somme des \u00e9carts quadratiques, ce qui octroie un poids quadratiquement proportionnel aux d\u00e9viations extr\u00eames. Une seule observation erron\u00e9e non identifi\u00e9e peut infl\u00e9chir la pente d’un coefficient $\\beta$<\/span>, inverser son signe alg\u00e9brique, ou faire basculer artificiellement une valeur $p$<\/span> en de\u00e7\u00e0 ou au-del\u00e0 du seuil de significativit\u00e9 conventionnel $\\alpha = 0,05$<\/span>. L’\u00e9valuation syst\u00e9matique des r\u00e9sidus studentis\u00e9s pr\u00e9serve la stabilit\u00e9 structurelle du mod\u00e8le en garantissant que les conclusions th\u00e9oriques tir\u00e9es des donn\u00e9es ne sont pas l’art\u00e9fact d’une fraction infinit\u00e9simale d’observations pathologiques.<\/p>\n

## 2. Pertinence diagnostique des r\u00e9sidus studentis\u00e9s en psychom\u00e9trie et sciences du comportement<\/p>\n

### 2.1 Vuln\u00e9rabilit\u00e9 des donn\u00e9es psychologiques aux observations atypiques<\/p>\n

Les sciences du comportement, la neuropsychologie et la psychom\u00e9trie contemporaine op\u00e8rent par nature sur des donn\u00e9es caract\u00e9ris\u00e9es par un ratio signal-sur-bruit intrins\u00e8quement modeste et une vuln\u00e9rabilit\u00e9 aigu\u00eb aux perturbations m\u00e9thodologiques. Lors de l’administration de protocoles exp\u00e9rimentaux chronom\u00e9tr\u00e9s ou de batteries d’\u00e9valuation psychologique standardis\u00e9es (telles que les \u00e9chelles de Wechsler ou les inventaires de personnalit\u00e9 NEO-PI), de multiples facteurs parasites peuvent corrompre l’acquisition des donn\u00e9es. Les biais d’acquiescement, la fatigue attentionnelle, les comportements de r\u00e9ponse al\u00e9atoire (*careless responding*), la falsification d\u00e9lib\u00e9r\u00e9e, ou de simples d\u00e9faillances logicielles d’enregistrement des temps de r\u00e9action engendrent des profils de r\u00e9ponse aberrants qui s’\u00e9cartent radicalement des pr\u00e9dictions th\u00e9oriques des mod\u00e8les lin\u00e9aires.<\/p>\n

\"Studentized
Studentized residuals in Python<\/figcaption><\/figure>\n

Il est imp\u00e9ratif pour le chercheur d’\u00e9tablir une distinction \u00e9pist\u00e9mologique stricte entre une valeur atypique issue d’une erreur d’\u00e9chantillonnage ou de mesure, et une valeur extr\u00eame l\u00e9gitime refl\u00e9tant la variabilit\u00e9 ph\u00e9notypique r\u00e9elle de la population cible. Dans une cohorte clinique examinant le d\u00e9clin cognitif li\u00e9 au vieillissement, un score anormalement bas aux \u00e9preuves de m\u00e9moire de travail peut constituer un signal neurophysiologique valide de prodrome neurod\u00e9g\u00e9n\u00e9ratif, ou d\u00e9couler d’une incompr\u00e9hension des consignes par le participant. L’utilisation non critique des tests de rejet peut induire une inflation dramatique de l’erreur de type I (faux positifs) par suppression injustifi\u00e9e de la variance \u00e9cologique, ou de l’erreur de type II (faux n\u00e9gatifs) par conservation de points aberrants qui \u00e9crasent la puissance statistique des tests d’interaction.<\/p>\n

Les comit\u00e9s de r\u00e9daction des revues scientifiques de premier rang exigent d\u00e9sormais une transparence m\u00e9thodologique absolue quant au traitement des donn\u00e9es divergentes, conform\u00e9ment aux lignes directrices des protocoles de r\u00e9plication et aux normes de l’American Psychological Association (APA Reporting Standards<\/a>). La studentisation externe des r\u00e9sidus fournit un ancrage statistique probabiliste objectif qui affranchit l’investigateur de l’arbitraire des r\u00e8gles empiriques subjectives, garantissant une d\u00e9tection standardis\u00e9e, quantifiable et auditable des d\u00e9viations majeures au mod\u00e8le psychom\u00e9trique ajust\u00e9.<\/p>\n

### 2.2 Levier, distance et influence dans les cohortes comportementales<\/p>\n

L’analyse de r\u00e9gression appliqu\u00e9e aux cohortes comportementales requiert une articulation conceptuelle pr\u00e9cise entre les notions de levier (*leverage*), d’atypicit\u00e9 r\u00e9siduelle (*outlyingness*) et d’influence globale (*influence*). Comme expos\u00e9 pr\u00e9c\u00e9demment, la mesure de levier, codifi\u00e9e par la valeur $h_{ii}$<\/span> extraite de la diagonale de la matrice de projection, quantifie l’\u00e9loignement d’un individu statistique par rapport au barycentre des covariables explicatives de l’\u00e9chantillon. Un participant pr\u00e9sentant un profil sociod\u00e9mographique ou neuropsychologique exceptionnel \u2014 par exemple un individu affichant un \u00e2ge tr\u00e8s avanc\u00e9 coupl\u00e9 \u00e0 un niveau de scolarit\u00e9 atypiquement \u00e9lev\u00e9 au sein d’une \u00e9tude sur l’anxi\u00e9t\u00e9 \u2014 obtiendra une valeur $h_{ii}$<\/span> substantielle, sans que cela n’implique n\u00e9cessairement une discordance comportementale sur la variable pr\u00e9dite.<\/p>\n

L’\u00e9valuation de l’influence d\u00e9terminante exerc\u00e9e par une observation sur l’ensemble de la topologie du mod\u00e8le n\u00e9cessite de combiner l’information port\u00e9e par le r\u00e9sidu studentis\u00e9 et celle port\u00e9e par le levier. Cette synth\u00e8se math\u00e9matique s’incarne notamment dans la distance de Cook ($D_i$<\/span>), dont l’expression analytique peut \u00eatre directement formul\u00e9e en fonction du r\u00e9sidu studentis\u00e9 interne $r_i$<\/span> :<\/p>\n

$D_i = \\frac{r_i^2}{p} \\left( \\frac{h_{ii}}{1 – h_{ii}} \\right)$<\/span><\/p>\n

Cette formulation met en exergue la dynamique multiplicative de l’influence statistique : une observation n’exerce une modification substantielle des estimations param\u00e9triques globales que si elle cumule simultan\u00e9ment un r\u00e9sidu studentis\u00e9 d’amplitude marqu\u00e9e ($r_i^2$<\/span>) et une position d’ancrage excentrique dans l’espace factoriel des pr\u00e9dicteurs ($h_{ii} \/ (1 – h_{ii})$<\/span>). <\/p>\n

Consid\u00e9rons \u00e0 titre d’illustration une \u00e9tude psychom\u00e9trique analysant la relation entre le niveau de stress per\u00e7u et la performance \u00e0 une t\u00e2che de flexibilit\u00e9 cognitive chez des adultes neurotypiques et des individus pr\u00e9sentant un profil neurodivergent atypique (par exemple, un trouble du spectre de l’autisme \u00e0 haut niveau de fonctionnement associ\u00e9 \u00e0 une synesth\u00e9sie). Si cet individu atypique obtient des scores de stress mod\u00e9r\u00e9s mais r\u00e9ussit la t\u00e2che cognitive avec un score stratosph\u00e9rique d\u00e9fiant les patterns habituels, son r\u00e9sidu studentis\u00e9 externe $t_i$<\/span> atteindra des grandeurs extr\u00eames. Si son profil de covariables est par ailleurs standard, son levier restera mod\u00e9r\u00e9, limitant son impact d\u00e9stabilisateur sur les coefficients directeurs g\u00e9n\u00e9raux, tout en signalant sans \u00e9quivoque son statut de singularit\u00e9 clinique n\u00e9cessitant une analyse qualitative distincte.<\/p>\n

L’arbitrage entre l’exclusion d’un profil et son maintien dans le mod\u00e8le final conditionne la repr\u00e9sentativit\u00e9 \u00e9cologique des r\u00e9sultats. L’analyste comportemental doit s’appuyer sur un faisceau convergent d’indices diagnostiques \u2014 combinant seuils critiques sur $t_i$<\/span>, examen des variations param\u00e9triques par DFBETAS et calcul de la distance de Cook \u2014 afin de prendre des d\u00e9cisions motiv\u00e9es qui ne biaisent pas artificiellement la composition de l’\u00e9chantillon \u00e9tudi\u00e9.<\/p>\n

## 3. Formulation math\u00e9matique et distribution des r\u00e9sidus studentis\u00e9s<\/p>\n

### 3.1 Matrice de projection et calcul des valeurs de levier<\/p>\n

La d\u00e9rivation alg\u00e9brique rigoureuse des r\u00e9sidus studentis\u00e9s repose sur l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire appliqu\u00e9e \u00e0 l’espace de Hilbert des variables al\u00e9atoires de carr\u00e9 int\u00e9grable. Soit $X$<\/span> la matrice de conception de rang plein $p \\leq n$<\/span>. L’op\u00e9rateur de projection orthogonale $H$<\/span>, qui projette le vecteur des observations $Y$<\/span> sur le sous-espace vectoriel de r\u00e9gression $\\text{Im}(X)$<\/span>, est formellement d\u00e9fini par l’expression :<\/p>\n

$H = X (X^T X)^{-1} X^T$<\/span><\/p>\n

Cette matrice carr\u00e9e de dimension $n \\times n$<\/span> poss\u00e8de des propri\u00e9t\u00e9s g\u00e9om\u00e9triques fondamentales qui dictent le comportement des r\u00e9sidus :<\/p>\n