L’av\u00e8nement de l’analyse statistique moderne et la complexification croissante des protocoles exp\u00e9rimentaux, particuli\u00e8rement dans les sciences du comportement, la biom\u00e9decine et l’\u00e9conom\u00e9trie, ont r\u00e9v\u00e9l\u00e9 les limites structurelles des m\u00e9thodes d’estimation classiques. Longtemps domin\u00e9e par les principes de la r\u00e9gression lin\u00e9aire ordinaire et l’analyse de la variance, la recherche empirique s’est heurt\u00e9e \u00e0 la nature intrins\u00e8que de ses donn\u00e9es : proportions restreintes \u00e0 un intervalle strict, variables dichotomiques traduisant l’apparition d’un \u00e9v\u00e9nement clinique, ou encore d\u00e9nombrements discrets d’occurrences comportementales. Face \u00e0 ces architectures de donn\u00e9es, l’application aveugle des moindres carr\u00e9s conduit in\u00e9vitablement \u00e0 des aberrations inf\u00e9rentielles, telles que des pr\u00e9dictions hors du domaine de d\u00e9finition ou des estimations biais\u00e9es de l’incertitude.<\/p>\n
Pour d\u00e9passer ces impasses m\u00e9thodologiques, le cadre unificateur des mod\u00e8les lin\u00e9aires g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9s<\/a> (GLM), formalis\u00e9 au d\u00e9but des ann\u00e9es 1970, a red\u00e9fini en profondeur la mani\u00e8re dont les statisticiens conceptualisent la relation entre les pr\u00e9dicteurs et la distribution d’une variable d\u00e9pendante. En s’affranchissant du carcan de l’hypoth\u00e8se de normalit\u00e9 au profit de la famille exponentielle globale, cette approche a substitu\u00e9 \u00e0 la notion intuitive de somme des carr\u00e9s des r\u00e9sidus un concept fondamentalement ancr\u00e9 dans la th\u00e9orie de l’information et le principe de vraisemblance : la d\u00e9viance statistique. Loin d’\u00eatre un simple artifice calculatoire r\u00e9serv\u00e9 aux logiciels sp\u00e9cialis\u00e9s, la d\u00e9viance constitue l’instrument pivot permettant d’\u00e9valuer la qualit\u00e9 de l’ajustement, d’arbitrer entre parcimonie et exhaustivit\u00e9, et de juger de la validit\u00e9 d’une hypoth\u00e8se scientifique.<\/p>\n Pourtant, la transition conceptuelle entre la somme des carr\u00e9s r\u00e9siduels (bien comprise des praticiens) et la d\u00e9viance demeure l’un des \u00e9cueils p\u00e9dagogiques les plus ardus de l’analyse de donn\u00e9es avanc\u00e9e. Les sorties logicielles fournissent syst\u00e9matiquement deux m\u00e9triques cardinales : la d\u00e9viance nulle (Null Deviance<\/em>) et la d\u00e9viance r\u00e9siduelle (Residual Deviance<\/em>). Bien que ces valeurs figurent au c\u0153ur de chaque rapport de r\u00e9gression logistique, de r\u00e9gression de Poisson ou de mod\u00e8le gamma, leur interpr\u00e9tation reste fr\u00e9quemment superficielle, voire erron\u00e9e, dans la litt\u00e9rature appliqu\u00e9e. Ce guide approfondi a pour vocation de d\u00e9construire m\u00e9ticuleusement les soubassements th\u00e9oriques, math\u00e9matiques et pratiques de ces deux indicateurs, afin de doter les chercheurs et analystes des comp\u00e9tences n\u00e9cessaires pour \u00e9valuer rigoureusement la pertinence de leurs mod\u00e8les statistiques.<\/p>\n Le mod\u00e8le de r\u00e9gression lin\u00e9aire classique, reposant sur l’estimation par les moindres carr\u00e9s ordinaires (MCO), a constitu\u00e9 le socle du d\u00e9veloppement quantitatif en psychologie et en sociologie empirique durant une grande partie du vingti\u00e8me si\u00e8cle. Cependant, ce paradigme math\u00e9matique exige le respect scrupuleux de postulats stricts concernant la composante d’erreur : les r\u00e9sidus doivent \u00eatre ind\u00e9pendants, identiquement distribu\u00e9s, afficher une variance constante \u00e0 tous les niveaux des pr\u00e9dicteurs (homosc\u00e9dasticit\u00e9) et suivre une loi normale. Or, dans les investigations consacr\u00e9es aux comportements humains, les variables d’int\u00e9r\u00eat prennent quasi syst\u00e9matiquement la forme de structures discr\u00e8tes. Qu’il s’agisse de mesurer la rechute d’un patient au terme d’une psychoth\u00e9rapie (variable binaire 0\/1), le stade d’une pathologie neurod\u00e9g\u00e9n\u00e9rative (variable ordinale), ou le nombre de tentatives de suicide r\u00e9pertori\u00e9es au sein d’une cohorte (donn\u00e9es de d\u00e9nombrement positives et tronqu\u00e9es \u00e0 z\u00e9ro), la distribution des donn\u00e9es contrevient directement \u00e0 l’id\u00e9al gaussien.<\/p>\n L’application forc\u00e9e des moindres carr\u00e9s ordinaires \u00e0 de telles variables engendre des distorsions th\u00e9oriques et pratiques majeures. D’une part, la variance d’une variable binaire ou de d\u00e9nombrement est intrins\u00e8quement li\u00e9e \u00e0 sa moyenne math\u00e9matique ; par cons\u00e9quent, l’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 n’est pas une anomalie accidentelle mais une propri\u00e9t\u00e9 inh\u00e9rente \u00e0 la nature m\u00eame des donn\u00e9es. Les erreurs-types des coefficients estim\u00e9s deviennent alors biais\u00e9es, invalidant les tests de Student et les intervalles de confiance associ\u00e9s. D’autre part, la fonction lin\u00e9aire reliant les pr\u00e9dicteurs \u00e0 la r\u00e9ponse n’\u00e9tant pas born\u00e9e, le mod\u00e8le classique est susceptible de pr\u00e9dire des probabilit\u00e9s n\u00e9gatives ou sup\u00e9rieures \u00e0 1, ou encore des fr\u00e9quences d’occurrence n\u00e9gatives, ce qui constitue une impossibilit\u00e9 physique et clinique absolue.<\/p>\n Face \u00e0 ces faiblesses structurelles, les tentatives d’adaptation par transformation non lin\u00e9aire des donn\u00e9es (telles que les transformations logarithmiques ou angulaires) se sont av\u00e9r\u00e9es insuffisantes, produisant des biais d’interpr\u00e9tation notables sur l’\u00e9chelle originale de mesure. La r\u00e9solution d\u00e9finitive de cette impasse a \u00e9t\u00e9 apport\u00e9e par les travaux s\u00e9minaux de John Nelder et Robert Wedderburn en 1972, qui ont forg\u00e9 la th\u00e9orie des mod\u00e8les lin\u00e9aires g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9s. Cette avanc\u00e9e th\u00e9orique a permis d’int\u00e9grer dans une architecture math\u00e9matique commune des r\u00e9ponses suivant des lois statistiques vari\u00e9es, rendant imp\u00e9rative l’adoption de m\u00e9triques d’ajustement qui ne d\u00e9pendent plus de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne des distances au carr\u00e9, mais reposent rigoureusement sur le paradigme probabiliste de la fonction de vraisemblance.<\/p>\n L’architecture fondamentale d’un mod\u00e8le lin\u00e9aire g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9 repose sur une d\u00e9composition \u00e9l\u00e9gante en trois composantes interd\u00e9pendantes : la composante al\u00e9atoire, la composante syst\u00e9matique et la fonction de lien. La composante al\u00e9atoire sp\u00e9cifie la variable d\u00e9pendante $Y$<\/span> et sa distribution conditionnelle au regard des variables explicatives. Contrairement au mod\u00e8le standard qui impose la normalit\u00e9, le cadre GLM postule que la variable r\u00e9ponse appartient \u00e0 la famille exponentielle canonique ou de dispersion. Cette vaste famille de distributions probabilistes englobe non seulement la loi normale, mais \u00e9galement les distributions binomiale, de Poisson, multinomiale, gamma et gaussienne inverse. Chaque loi de cette famille est r\u00e9gie par une fonction de densit\u00e9 pouvant s’exprimer sous une formulation analytique standardis\u00e9e, facilitant ainsi la d\u00e9rivation unifi\u00e9e des algorithmes d’estimation.<\/p>\n La composante syst\u00e9matique du GLM correspond au pr\u00e9dicteur lin\u00e9aire, conventionnellement d\u00e9sign\u00e9 par la lettre grecque $eta$<\/span> (\u00eata). Ce pr\u00e9dicteur lin\u00e9aire repr\u00e9sente une combinaison math\u00e9matique lin\u00e9aire classique des $p$<\/span> variables explicatives et de leurs coefficients de r\u00e9gression associ\u00e9s : $\\eta_i = \\beta_0 + \\beta_1 X_{i1} + \\beta_2 X_{i2} + dots + \\beta_p X_{ip}$<\/span>. Cette composante conserve la flexibilit\u00e9, la simplicit\u00e9 analytique et l’interpr\u00e9tabilit\u00e9 g\u00e9om\u00e9trique inh\u00e9rentes \u00e0 la mod\u00e9lisation lin\u00e9aire, permettant l’inclusion sans restriction de variables continues, d’indicatrices cat\u00e9gorielles (variables muettes) et de termes d’interaction complexes.<\/p>\n Le pont th\u00e9orique indispensable qui articule la composante syst\u00e9matique \u00e0 la moyenne th\u00e9orique $\\mu_i = E(Y_i)$<\/span> de la composante al\u00e9atoire est mat\u00e9rialis\u00e9 par la fonction de lien, not\u00e9e $g(\\cdot)$<\/span>, de sorte que $g(\\mu_i) = \\eta_i$<\/span>. La fonction de lien est une bijection monotone et diff\u00e9rentiable qui transforme l’esp\u00e9rance de la variable d\u00e9pendante \u2014 laquelle peut \u00eatre contrainte sur un intervalle restreint tel que $[0, 1]$<\/span> pour les probabilit\u00e9s ou $[0, +\\infty[$<\/span> pour les d\u00e9nombrements \u2014 en un espace non born\u00e9 compris entre $-\\infty$<\/span> et $+\\infty$<\/span>, parfaitement congruent avec le domaine de variation du pr\u00e9dicteur lin\u00e9aire. L’estimation des param\u00e8tres $\\beta$<\/span> ne proc\u00e8de plus par une formule analytique directe en forme ferm\u00e9e comme dans les MCO, mais requiert l’application de la m\u00e9thode du maximum de vraisemblance<\/a> (MLE), op\u00e9rationnalis\u00e9e par des algorithmes it\u00e9ratifs puissants tels que la m\u00e9thode des moindres carr\u00e9s r\u00e9pond\u00e9r\u00e9s it\u00e9rativement (IRLS, Iteratively Reweighted Least Squares<\/em>).<\/p>\n Dans l’\u00e9cosyst\u00e8me de la r\u00e9gression lin\u00e9aire conventionnelle, la somme des carr\u00e9s des erreurs r\u00e9siduelles (SSE, pour Sum of Squared Errors<\/em>) constitue la m\u00e9trique centrale pour appr\u00e9cier la fid\u00e9lit\u00e9 du mod\u00e8le aux donn\u00e9es exp\u00e9rimentales. Elle mesure la distance euclidienne globale s\u00e9parant les observations effectives de la surface de r\u00e9gression estim\u00e9e. Toutefois, d\u00e8s lors que l’on s’\u00e9carte de l’hypoth\u00e8se de normalit\u00e9 et que la variance d\u00e9pend structurellement de la moyenne, la somme quadratique brute perd son sens probabiliste fondamental et ses propri\u00e9t\u00e9s d’optimalit\u00e9 inf\u00e9rentielle. La d\u00e9viance statistique a \u00e9t\u00e9 express\u00e9ment con\u00e7ue pour combler ce vide conceptuel, en agissant comme l’analogue direct et universel de la somme des carr\u00e9s r\u00e9siduels dans l’univers de la th\u00e9orie de la vraisemblance.<\/p>\n Sur le plan conceptuel, la d\u00e9viance quantifie le degr\u00e9 d’inad\u00e9quation ou d’erreur globale entre la r\u00e9alit\u00e9 empirique observ\u00e9e et la structure probabiliste th\u00e9oris\u00e9e par le mod\u00e8le propos\u00e9. Plus la valeur de la d\u00e9viance est modeste, plus le mod\u00e8le parvient \u00e0 capturer avec pr\u00e9cision les nuances distributionnelles de l’\u00e9chantillon analys\u00e9. \u00c0 l’inverse, une d\u00e9viance substantielle signale une divergence syst\u00e9matique entre les donn\u00e9es empiriques et les pr\u00e9dictions g\u00e9n\u00e9r\u00e9es, r\u00e9v\u00e9lant soit une mauvaise sp\u00e9cification de la fonction de lien, soit l’omission de pr\u00e9dicteurs cruciaux, soit une inad\u00e9quation de la loi de probabilit\u00e9 choisie.<\/p>\n Au-del\u00e0 de son r\u00f4le descriptif de la dispersion non capt\u00e9e, la d\u00e9viance sert de pivot d\u00e9cisionnel probabiliste lors des proc\u00e9dures de s\u00e9lection et de validation des mod\u00e8les. Elle fournit la base empirique permettant d’\u00e9riger des tests d’hypoth\u00e8ses rigoureux, notamment le test du rapport de vraisemblance. En transformant des diff\u00e9rences logarithmiques de vraisemblance en grandeurs statistiquement distribu\u00e9es sous la loi du Chi-carr\u00e9 asymptotique, la d\u00e9viance permet d’arbitrer de mani\u00e8re objective entre la parcimonie d’un mod\u00e8le simplifi\u00e9 et la complexit\u00e9 d’un mod\u00e8le enrichi, garantissant ainsi l’int\u00e9grit\u00e9 de la d\u00e9marche de mod\u00e9lisation scientifique.<\/p>\n L’assise math\u00e9matique de la d\u00e9viance repose sur l’exploitation syst\u00e9matique de la fonction de log-vraisemblance. Soit un \u00e9chantillon de $n$<\/span> observations ind\u00e9pendantes $y = (y_1, y_2, dots, y_n)^T$<\/span>, associ\u00e9es \u00e0 des vecteurs de covariables. La fonction de vraisemblance, d\u00e9sign\u00e9e par $L(\\theta; y)$<\/span>, traduit la plausibilit\u00e9 relative d’observer pr\u00e9cis\u00e9ment cet ensemble de donn\u00e9es sous l’hypoth\u00e8se d’une configuration param\u00e9trique vectorielle $\\theta$<\/span>. Dans le cadre des processus d’optimisation num\u00e9rique, les statisticiens privil\u00e9gient quasi universellement la fonction de log-vraisemblance, not\u00e9e $ell(\\theta; y) = \\ln [L(\\theta; y)]$<\/span>, dont la manipulation alg\u00e9brique se r\u00e9v\u00e8le nettement plus commode puisqu’elle transforme les produits matriciels complexes de densit\u00e9s en sommes scalaires additives.<\/p>\n Pour fonder une \u00e9chelle standardis\u00e9e de mesure de l’erreur, la statistique param\u00e9trique introduit un \u00e9talon absolu d’ad\u00e9quation : le mod\u00e8le satur\u00e9. Par d\u00e9finition, le mod\u00e8le satur\u00e9 repr\u00e9sente une configuration th\u00e9orique o\u00f9 l’on alloue un param\u00e8tre ind\u00e9pendant \u00e0 chaque point d’observation distinct. Notons $ell(\\hat{\\theta}_s; y)$<\/span> la valeur maximale de la log-vraisemblance atteinte par ce mod\u00e8le satur\u00e9 parfait, et $ell(\\hat{\\theta}_m; y)$<\/span> la log-vraisemblance maximale g\u00e9n\u00e9r\u00e9e par le mod\u00e8le sous investigation (le mod\u00e8le propos\u00e9, disposant de $p + 1$<\/span> param\u00e8tres). La statistique fondamentale de d\u00e9viance, formellement appel\u00e9e d\u00e9viance totale ou d\u00e9viance r\u00e9siduelle brute, est d\u00e9finie par le double de la diff\u00e9rence arithm\u00e9tique entre ces deux log-vraisemblances :<\/p>\n $$D(y; \\hat{\\theta}_m) = 2 \\left[ ell(\\hat{\\theta}_s; y) – ell(\\hat{\\theta}_m; y) \\right] = 2 \\ln \\left( \\frac{L(\\hat{\\theta}_s; y)}{L(\\hat{\\theta}_m; y)} \\right)$$<\/span><\/p>\n Le coefficient multiplicateur 2 ne rel\u00e8ve pas d’une convenance arbitraire ; il provient de l’expansion en s\u00e9rie de Taylor de la log-vraisemblance et assure, conform\u00e9ment au th\u00e9or\u00e8me de Wilks, que la statistique r\u00e9sultante converge asymptotiquement vers une distribution connue du Chi-carr\u00e9 sous l’hypoth\u00e8se nulle d’ad\u00e9quation parfaite. Dans les distributions appartenant \u00e0 la famille exponentielle qui int\u00e8grent un param\u00e8tre d’\u00e9chelle inconnu ou de dispersion $phi$<\/span> (telles que les lois normales ou gamma), on distingue la d\u00e9viance standard (ou non mise \u00e0 l’\u00e9chelle) de la d\u00e9viance mise \u00e0 l’\u00e9chelle (scaled deviance<\/em>), not\u00e9e $D^* = D \/ \\phi$<\/span>. Pour la r\u00e9gression logistique binaire et la r\u00e9gression de Poisson pure, le param\u00e8tre de dispersion th\u00e9orique est fix\u00e9 par d\u00e9finition \u00e0 $phi = 1$<\/span>, ce qui rend la d\u00e9viance observ\u00e9e directement \u00e9quivalente \u00e0 sa forme standardis\u00e9e.<\/p>\n La compr\u00e9hension en profondeur de la d\u00e9viance exige de d\u00e9cortiquer la m\u00e9canique conceptuelle du mod\u00e8le satur\u00e9. Dans un contexte o\u00f9 un jeu de donn\u00e9es comporte $n$<\/span> observations uniques, le mod\u00e8le satur\u00e9 est configur\u00e9 de telle mani\u00e8re qu’il int\u00e8gre exactement $n$<\/span> param\u00e8tres libres \u00e0 estimer. Sur le plan op\u00e9rationnel, cela revient \u00e0 ajuster une droite ou une hypersurface qui s’entrecroise rigoureusement avec chaque coordonn\u00e9e empirique. Pour chaque observation individuelle $i$<\/span>, la pr\u00e9diction th\u00e9orique issue du mod\u00e8le satur\u00e9 co\u00efncide parfaitement avec la valeur observ\u00e9e : $\\hat{\\mu}_i = y_i$<\/span>. Par cons\u00e9quent, au sein de ce cadre de r\u00e9f\u00e9rence, l’erreur r\u00e9siduelle apparente dans l’\u00e9chantillon d’analyse est rigoureusement nulle.<\/p>\n Sur le plan de la th\u00e9orie de la vraisemblance, le mod\u00e8le satur\u00e9 procure la borne sup\u00e9rieure absolue de probabilit\u00e9 conjointe : il est rigoureusement impossible d’extraire des donn\u00e9es observ\u00e9es une log-vraisemblance sup\u00e9rieure \u00e0 $ell(\\hat{\\theta}_s; y)$<\/span>. Le mod\u00e8le satur\u00e9 joue donc un r\u00f4le \u00e9pist\u00e9mologique pr\u00e9cis : celui de thermom\u00e8tre d’\u00e9talonnage. Il fixe le plafond d’ajustement th\u00e9orique que l’on pourrait r\u00eaver d’atteindre si la r\u00e9alit\u00e9 n’\u00e9tait pollu\u00e9e par aucun bruit stochastique ou si l’on consentait \u00e0 une complexit\u00e9 param\u00e9trique sans limite.<\/p>\n Toutefois, sur le plan de la pratique scientifique et de la mod\u00e9lisation inf\u00e9rentielle, le mod\u00e8le satur\u00e9 s’av\u00e8re parfaitement st\u00e9rile et m\u00e9thodologiquement n\u00e9faste. En attribuant un param\u00e8tre sp\u00e9cifique \u00e0 chaque fluctuation contingente de l’\u00e9chantillon, il se rend coupable d’un surapprentissage (overfitting<\/em>) absolu. Il capture indiff\u00e9remment le signal statistique structurel et le bruit al\u00e9atoire propre \u00e0 l’\u00e9chantillonnage, an\u00e9antissant ainsi tout pouvoir de pr\u00e9diction sur de nouvelles donn\u00e9es ind\u00e9pendantes. La finalit\u00e9 d’un GLM n’est donc jamais d’\u00e9galer le mod\u00e8le satur\u00e9, mais d’approcher sa vraisemblance d’aussi pr\u00e8s que possible tout en conservant une parcimonie param\u00e9trique maximale ($p ll n$<\/span>). La d\u00e9viance mesure pr\u00e9cis\u00e9ment le tribut statistique \u2014 la p\u00e9nalit\u00e9 d’inad\u00e9quation \u2014 conc\u00e9d\u00e9 par l’analyste lorsqu’il substitue un mod\u00e8le th\u00e9orique simplifi\u00e9 et g\u00e9n\u00e9ralisable au mod\u00e8le satur\u00e9 trivial.<\/p>\n L’\u00e9chelle m\u00e9trique sur laquelle s’exprime la d\u00e9viance poss\u00e8de une signification g\u00e9om\u00e9trique et probabiliste pr\u00e9cise. Une d\u00e9viance th\u00e9orique \u00e9gale \u00e0 z\u00e9ro attesterait d’un ajustement absolu, caract\u00e9ris\u00e9 par une identit\u00e9 totale entre les pr\u00e9dictions du mod\u00e8le propos\u00e9 et les r\u00e9alisations du mod\u00e8le satur\u00e9 : $ell(\\hat{\\theta}_m; y) = ell(\\hat{\\theta}_s; y)$<\/span>. Dans un tel sc\u00e9nario, l’ensemble des variations observ\u00e9es au sein de l’\u00e9chantillon serait int\u00e9gralement rendu intelligible par les composantes syst\u00e9matiques de la r\u00e9gression, ne laissant subsister aucune trace de d\u00e9viation non mod\u00e9lis\u00e9e.<\/p>\n Il d\u00e9coule de cette d\u00e9finition math\u00e9matique une relation monotone inverse ind\u00e9fectible : plus la valeur num\u00e9rique scalaire de la d\u00e9viance r\u00e9siduelle est faible, plus la proximit\u00e9 entre la structure du mod\u00e8le et la configuration empirique des donn\u00e9es est intime, et par extension, meilleure est la qualit\u00e9 intrins\u00e8que de l’ajustement global. \u00c0 mesure que le mod\u00e8le s’\u00e9carte de la trajectoire id\u00e9ale incarn\u00e9e par le mod\u00e8le satur\u00e9, la log-vraisemblance $ell(\\hat{\\theta}_m; y)$<\/span> d\u00e9cro\u00eet (devenant un nombre n\u00e9gatif de plus en plus \u00e9loign\u00e9 de z\u00e9ro), ce qui a pour effet direct de gonfler la valeur positive de la d\u00e9viance.<\/p>\n Il convient n\u00e9anmoins d’attirer l’attention sur un facteur d’influence critique : la magnitude absolue de la d\u00e9viance d\u00e9pend directement de la taille de l’\u00e9chantillon analys\u00e9 ($n$<\/span>). Puisque la log-vraisemblance globale correspond \u00e0 l’addition s\u00e9quentielle des contributions individuelles de chaque sujet, l’agr\u00e9gation progressive d’un nombre croissant d’observations ind\u00e9pendantes engendre m\u00e9caniquement une augmentation de la valeur arithm\u00e9tique globale de la d\u00e9viance, m\u00eame si le degr\u00e9 moyen de divergence locale demeure rigoureusement invariant. Par cons\u00e9quent, \u00e9valuer l’ad\u00e9quation d’un mod\u00e8le en isolant sa d\u00e9viance dans l’absolu, sans rapporter cette derni\u00e8re \u00e0 la taille de l’\u00e9chantillon ou \u00e0 ses degr\u00e9s de libert\u00e9 r\u00e9siduels, constitue un non-sens m\u00e9thodologique. La d\u00e9viance ne doit jamais \u00eatre con\u00e7ue comme un indice standardis\u00e9 universel variant entre 0 et 1, mais comme une statistique diff\u00e9rentielle comparative.<\/p>\n Pour mesurer rationnellement le gain explicatif procur\u00e9 par un agencement d\u00e9termin\u00e9 de pr\u00e9dicteurs, l’analyse inf\u00e9rentielle a besoin d’\u00e9tablir une condition t\u00e9moin de r\u00e9f\u00e9rence minimale. Dans l’univers des mod\u00e8les lin\u00e9aires g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9s, ce r\u00f4le d’\u00e9talonnage de base est d\u00e9volu au mod\u00e8le nul, couramment d\u00e9sign\u00e9 sous l’appellation de mod\u00e8le \u00e0 ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine seule (intercept-only model<\/em>). Ce mod\u00e8le postule d\u00e9lib\u00e9r\u00e9ment l’absence totale d’association fonctionnelle entre la variable de r\u00e9ponse et les divers attributs ou covariables mesur\u00e9s au sein de la population \u00e9tudi\u00e9e : tous les coefficients de pente sont fix\u00e9s \u00e0 z\u00e9ro ($\\beta_1 = \\beta_2 = dots = \\beta_p = 0$<\/span>).<\/p>\n Sous cette contrainte drastique, le mod\u00e8le nul g\u00e9n\u00e8re une pr\u00e9diction math\u00e9matique uniforme pour l’ensemble des individus constituant l’\u00e9chantillon empirique, ind\u00e9pendamment de leurs caract\u00e9ristiques individuelles. Cette pr\u00e9diction unique correspond tout simplement \u00e0 la tendance centrale non conditionnelle de la variable d\u00e9pendante, projet\u00e9e \u00e0 travers la fonction de lien inverse : $\\hat{\\mu}_i = g^{-1}(\\beta_0)$<\/span>. Dans le cas d’une r\u00e9gression logistique, cette pr\u00e9diction unique \u00e9quivaut \u00e0 la fr\u00e9quence relative marginale des succ\u00e8s observ\u00e9e sur l’\u00e9chantillon global ; dans le cadre d’un mod\u00e8le de Poisson, elle se confond avec la moyenne empirique arithm\u00e9tique globale de comptage.<\/p>\n1. Introduction aux mod\u00e8les lin\u00e9aires g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9s et au concept d’ajustement statistique<\/h2>\n
1.1 Limites du mod\u00e8le lin\u00e9aire classique en sciences du comportement<\/h3>\n
1.2 Architecture th\u00e9orique des mod\u00e8les lin\u00e9aires g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9s (GLM)<\/h3>\n
1.3 Place de la d\u00e9viance dans l’\u00e9valuation de la qualit\u00e9 globale d’ajustement<\/h3>\n
2. Fondements math\u00e9matiques et conceptuels de la d\u00e9viance statistique<\/h2>\n
2.1 D\u00e9finition de la d\u00e9viance \u00e0 partir de la fonction de vraisemblance<\/h3>\n
2.2 Le mod\u00e8le satur\u00e9 : id\u00e9al d’ajustement et propri\u00e9t\u00e9s<\/h3>\n
2.3 Interpr\u00e9tation de l’\u00e9chelle de la d\u00e9viance<\/h3>\n
3. Analyse approfondie de la d\u00e9viance nulle (Null Deviance)<\/h2>\n
3.1 D\u00e9finition et r\u00f4le du mod\u00e8le nul<\/h3>\n