APA<\/a>).<\/p>\n1. Fondements th\u00e9oriques et \u00e9pist\u00e9mologiques du test du khi-deux d’ad\u00e9quation<\/h2>\n1.1 Origine et utilit\u00e9 du test du khi-deux de Pearson en sciences du comportement<\/h3>\n L’acte de naissance de la statistique inf\u00e9rentielle moderne appliqu\u00e9e aux variables cat\u00e9gorielles est indissociable de la publication historique de Karl Pearson en 1900 dans le Philosophical Magazine<\/em>. Confront\u00e9 aux limites des distributions gaussiennes pour mod\u00e9liser des ph\u00e9nom\u00e8nes biologiques et anthropom\u00e9triques asym\u00e9triques ou discontinus, Pearson \u00e9labora un crit\u00e8re universel permettant de mesurer la divergence globale entre une distribution de fr\u00e9quences observ\u00e9es dans un \u00e9chantillon fini et une distribution de probabilit\u00e9 th\u00e9orique postul\u00e9e a priori<\/em>. Cette innovation conceptuelle a profond\u00e9ment transform\u00e9 les sciences du comportement en fournissant le tout premier outil rigoureux de r\u00e9futation empirique appliqu\u00e9 aux sciences humaines naissantes.<\/p>\nDans l’arsenal contemporain de la psychom\u00e9trie et de la m\u00e9thodologie exp\u00e9rimentale, il convient d’\u00e9tablir une distinction op\u00e9rationnelle stricte entre deux d\u00e9clinaisons fondamentales de la statistique de Pearson : le test du khi-deux d’ad\u00e9quation (ou de conformit\u00e9) et le test du khi-deux d’ind\u00e9pendance (ou d’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9). Le test d’ad\u00e9quation s’applique \u00e0 une unique variable cat\u00e9gorielle discr\u00e8te articul\u00e9e en k<\/em> modalit\u00e9s mutuellement exclusives. Son objectif consiste \u00e0 \u00e9prouver l’ad\u00e9quation d’un \u00e9chantillon empirique \u00e0 un mod\u00e8le th\u00e9orique unidimensionnel (par exemple, une distribution uniforme, binomiale, g\u00e9n\u00e9tique mend\u00e9lienne ou conforme \u00e0 des pr\u00e9valences \u00e9pid\u00e9miologiques connues). \u00c0 l’inverse, le test d’ind\u00e9pendance traite simultan\u00e9ment deux variables qualitatives crois\u00e9es au sein d’un tableau de contingence bidimensionnel afin d’\u00e9valuer l’existence d’une association non al\u00e9atoire entre elles.<\/p>\nLe test d’ad\u00e9quation rel\u00e8ve du paradigme de l’inf\u00e9rence non param\u00e9trique dans la mesure o\u00f9 il ne requiert aucune hypoth\u00e8se pr\u00e9alable relative aux param\u00e8tres de position (moyenne) ou de dispersion (variance) d’une population parente continue. Il s’av\u00e8re irrempla\u00e7able pour l’\u00e9valuation des biais cognitifs, des heuristiques de jugement, des pr\u00e9f\u00e9rences des consommateurs ou des paradigmes de choix forc\u00e9 en psychophysique, o\u00f9 les r\u00e9ponses des participants se manifestent sous la forme d’occurrences nominales plut\u00f4t que de scores continus.<\/p>\n1.2 Logique math\u00e9matique sous-jacente \u00e0 la comparaison fr\u00e9quencielle<\/h3>\n La m\u00e9canique fondamentale de la statistique de Pearson repose sur l’\u00e9valuation de la distance g\u00e9om\u00e9trique et probabiliste existant entre ce qui a \u00e9t\u00e9 effectivement observ\u00e9 sur le terrain et ce qui aurait d\u00fb \u00eatre observ\u00e9 si le mod\u00e8le th\u00e9orique sous-jacent d\u00e9crivait fid\u00e8lement la r\u00e9alit\u00e9. Pour chaque modalit\u00e9 ou cat\u00e9gorie i<\/em> constitutive de la variable \u00e9tudi\u00e9e, l’exp\u00e9rimentateur rel\u00e8ve une fr\u00e9quence observ\u00e9e, conventionnellement d\u00e9sign\u00e9e par la notation $O_i$<\/span>, et d\u00e9termine par calcul probabiliste une fr\u00e9quence th\u00e9orique attendue (ou esp\u00e9r\u00e9e), not\u00e9e $E_i$<\/span>. L’\u00e9cart brut $(O_i – E_i)$<\/span> repr\u00e9sente le r\u00e9sidu d’observation.<\/p>\nN\u00e9anmoins, la simple sommation arithm\u00e9tique de ces \u00e9carts bruts est inop\u00e9rante car les d\u00e9viations positives et n\u00e9gatives s’annulent structurellement, la somme des fr\u00e9quences observ\u00e9es \u00e9tant par d\u00e9finition strictement \u00e9gale \u00e0 la somme des fr\u00e9quences attendues, toutes deux \u00e9quivalant \u00e0 la taille totale de l’\u00e9chantillon $N$<\/span>. Pour pallier cette compensation syst\u00e9matique, la m\u00e9thode de Pearson proc\u00e8de \u00e0 l’\u00e9l\u00e9vation au carr\u00e9 de ces r\u00e9sidus, transformant ainsi chaque \u00e9cart en une grandeur strictement positive $(O_i – E_i)^2$<\/span>. Cette transformation quadratique accorde en outre une p\u00e9nalit\u00e9 exponentielle aux divergences d’ampleur importante, traduisant le postulat qu’une grande d\u00e9viation ponctuelle remet plus gravement en cause le mod\u00e8le th\u00e9orique que plusieurs fluctuations mineures.<\/p>\nCes carr\u00e9s des r\u00e9sidus doivent ensuite \u00eatre pond\u00e9r\u00e9s ou normalis\u00e9s. Un \u00e9cart absolu de 10 unit\u00e9s ne poss\u00e8de pas la m\u00eame signification statistique selon qu’il s’exprime par rapport \u00e0 un effectif attendu de 12 unit\u00e9s ou de 10 000 unit\u00e9s. Dans le premier cas, la d\u00e9viation est spectaculaire ; dans le second, elle est infinit\u00e9simale. La division par l’effectif attendu $E_i$<\/span> standardise cette d\u00e9viation relative. Pearson a d\u00e9montr\u00e9 par le th\u00e9or\u00e8me central limite que lorsque la taille totale de l’\u00e9chantillon cro\u00eet vers l’infini, la distribution d’\u00e9chantillonnage de cette somme finie de variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes standardis\u00e9es et \u00e9lev\u00e9es au carr\u00e9 converge asymptotiquement vers une loi de probabilit\u00e9 continue connue sous le nom de loi du khi-deux ($\\chi^2$<\/span>).<\/p>\n1.3 Pr\u00e9sentation du cas pratique fil rouge : Le contr\u00f4le de l’\u00e9quit\u00e9 d’un d\u00e9<\/h3>\n Afin de guider notre d\u00e9veloppement d’une mani\u00e8re r\u00e9solument concr\u00e8te et op\u00e9rationnelle, nous adopterons tout au long de cet ouvrage un protocole exp\u00e9rimental classique : le contr\u00f4le de l’\u00e9quit\u00e9 d’un d\u00e9 standard \u00e0 six faces. Supposons qu’un laboratoire de psychologie cognitive s’int\u00e9resse \u00e0 la production de s\u00e9quences al\u00e9atoires par des sujets humains et d\u00e9cide, pour \u00e9talonner son protocole comparatif, de v\u00e9rifier le comportement m\u00e9canique d’un g\u00e9n\u00e9rateur physique repr\u00e9sent\u00e9 par un d\u00e9 cubique manufactur\u00e9. Le d\u00e9 est lanc\u00e9 de fa\u00e7on parfaitement m\u00e9canique et standardis\u00e9e un total de $N = 60$<\/span> fois dans des conditions environnementales contr\u00f4l\u00e9es afin d’\u00e9liminer toute influence ext\u00e9rieure li\u00e9e aux rebonds sur la piste feutr\u00e9e.<\/p>\nAu terme des 60 lancers s\u00e9quentiels, le d\u00e9nombrement rigoureux des occurrences observ\u00e9es pour chacune des faces se d\u00e9cline comme suit : la face 1 a \u00e9t\u00e9 enregistr\u00e9e 8 fois ; la face 2 a \u00e9t\u00e9 observ\u00e9e 12 fois ; la face 3 est apparue \u00e0 18 reprises ; la face 4 a \u00e9t\u00e9 relev\u00e9e 9 fois ; la face 5 s’est manifest\u00e9e 7 fois ; enfin, la face 6 a \u00e9t\u00e9 constat\u00e9e 6 fois. Ce d\u00e9compte empirique pr\u00e9sente \u00e0 premi\u00e8re vue une asym\u00e9trie apparente : la face 3 semble surrepr\u00e9sent\u00e9e avec 18 apparitions, tandis que la face 6 pr\u00e9sente une fr\u00e9quence moiti\u00e9 moindre. La question fondamentale de l’inf\u00e9rence statistique se pose alors de fa\u00e7on \u00e9clatante : ces fluctuations r\u00e9sultent-elles uniquement des al\u00e9as de l’\u00e9chantillonnage stochastique ou apportent-elles la preuve empirique suffisante que le d\u00e9 pr\u00e9sente un d\u00e9s\u00e9quilibre physique intrins\u00e8que le rendant non \u00e9quitable ?<\/p>\n
Ce cas pratique d’\u00e9cole constitue une m\u00e9taphore directe et parfaite des dispositifs exp\u00e9rimentaux \u00e0 choix forc\u00e9 \u00e0 6 modalit\u00e9s (tels que les tests d’identification visuelle s\u00e9lective, les protocoles de cat\u00e9gorisation lexicale ou les mesures d’affects \u00e9motionnels diff\u00e9rentiels selon l’hexagone de Paul Ekman). La m\u00e9thode arithm\u00e9tique que nous d\u00e9ploierons sur ces donn\u00e9es physiques s’applique sans la moindre modification \u00e0 ces paradigmes m\u00e9thodologiques humains.<\/p>\n
2. Conditions d’application et postulats m\u00e9thodologiques pr\u00e9alables<\/h2>\n2.1 Nature de l’\u00e9chantillonnage et ind\u00e9pendance des observations<\/h3>\n Avant d’engager la moindre op\u00e9ration arithm\u00e9tique, le chercheur doit imp\u00e9rativement s’assurer que le protocole de recueil des donn\u00e9es respecte les postulats stochastiques qui garantissent la validit\u00e9 inf\u00e9rentielle du test de Pearson. Le premier postulat, fondamental et non n\u00e9gociable, exige que les observations soient strictement ind\u00e9pendantes les unes des autres. Sur le plan de la conception exp\u00e9rimentale, cela signifie que le classement d’une observation sp\u00e9cifique dans une cat\u00e9gorie d\u00e9termin\u00e9e ne doit en aucun cas d\u00e9pendre, influencer ou conditionner le classement des autres observations du corpus.<\/p>\n
Cette condition implique le principe de non-redondance ou d’assignation mutuellement exclusive : chaque sujet exp\u00e9rimental, \u00e9v\u00e9nement ou mesure \u00e9l\u00e9mentaire ne peut \u00eatre comptabilis\u00e9 qu’une seule et unique fois dans l’ensemble de la table cat\u00e9gorielle. En psychologie, une erreur m\u00e9thodologique gravissime consisterait \u00e0 administrer un questionnaire \u00e0 un m\u00eame groupe de participants \u00e0 plusieurs moments longitudinaux diff\u00e9rents (mesures r\u00e9p\u00e9t\u00e9es) et \u00e0 agr\u00e9ger na\u00efvement l’ensemble des r\u00e9ponses dans les cellules d’un test du khi-deux d’ad\u00e9quation standard. Une telle violation introduirait une corr\u00e9lation intra-classe substantielle qui r\u00e9duirait artificiellement la variance d’\u00e9chantillonnage r\u00e9siduelle, provoquant une inflation incontr\u00f4lable du risque d’erreur de premi\u00e8re esp\u00e8ce (rejet intempestif de l’hypoth\u00e8se nulle alors qu’elle est vraie).<\/p>\n
De surcro\u00eet, le mode d’\u00e9chantillonnage doit r\u00e9pondre aux crit\u00e8res de l’\u00e9chantillonnage al\u00e9atoire simple au sein de la population parente cible. Chaque unit\u00e9 exp\u00e9rimentale doit disposer d’une probabilit\u00e9 d’inclusion strictement non nulle et \u00e9quivalente. Dans notre cas pratique du d\u00e9 \u00e0 six faces, l’ind\u00e9pendance stochastique est garantie par le protocole de lancer : le r\u00e9sultat d’un jet de d\u00e9 \u00e0 l’instant t<\/em> n’exerce absolument aucun effet causal ni physique sur le r\u00e9sultat du jet subs\u00e9quent \u00e0 l’instant $t+1$<\/span>, excluant tout ph\u00e9nom\u00e8ne d’hyst\u00e9r\u00e9sis ou de m\u00e9moire du support exp\u00e9rimental.<\/p>\n2.2 R\u00e8gle de Cochran et effectifs th\u00e9oriques minimaux<\/h3>\n Le second ensemble de conditions pr\u00e9alables d\u00e9coule de la nature asymptotique de la distribution du khi-deux. Rappelons que la variable statistique calcul\u00e9e $\\chi^2$<\/span> est issue de l’agr\u00e9gation de variables multinomiales discr\u00e8tes. Sa conformit\u00e9 math\u00e9matique avec la fonction de densit\u00e9 continue du khi-deux th\u00e9orique repose sur une approximation probabiliste qui n’est valide que si la taille de l’\u00e9chantillon est suffisante au sein de chaque classe envisag\u00e9e. Lorsque les effectifs sont excessivement clairsem\u00e9s, la distribution discr\u00e8te empirique diverge brutalement de la courbe lisse du mod\u00e8le de Pearson, rendant les tables de probabilit\u00e9 critiques caduques.<\/p>\nPour pr\u00e9venir ces distorsions inf\u00e9rentielles, le statisticien William Gemmell Cochran a formalis\u00e9 dans les ann\u00e9es 1950 une s\u00e9rie de r\u00e8gles empiriques unanimement adopt\u00e9es par la communaut\u00e9 scientifique internationale, connues sous le nom de r\u00e8gles de Cochran :<\/p>\n
\nR\u00e8gle g\u00e9n\u00e9rale pour les petits tableaux :<\/strong> Aucun effectif th\u00e9orique attendu ($E_i$<\/span>) ne doit \u00eatre inf\u00e9rieur \u00e0 5. Si une seule cellule th\u00e9orique descend sous le seuil strict de 5, l’approximation asymptotique continue est compromise.<\/li>\nTol\u00e9rance pour les grands tableaux :<\/strong> Dans les configurations pr\u00e9sentant un nombre substantiel de degr\u00e9s de libert\u00e9 (g\u00e9n\u00e9ralement lorsque le nombre de cat\u00e9gories k<\/em> exc\u00e8de 4 ou 5), la r\u00e8gle s’assouplit : il est admissible qu’au maximum 20 % des cat\u00e9gories pr\u00e9sentent un effectif attendu compris entre 1 et 5, \u00e0 la condition imp\u00e9rative qu’absolument aucun effectif attendu ne soit inf\u00e9rieur \u00e0 1.<\/li>\n<\/ul>\nLorsque ces crit\u00e8res ne sont pas remplis, l’analyste se trouve contraint d’appliquer des solutions de rem\u00e9diation m\u00e9thodologique. La premi\u00e8re consiste \u00e0 fusionner logiquement et conceptuellement des cat\u00e9gories contigu\u00ebs ou s\u00e9mantiquement proches afin d’accro\u00eetre m\u00e9caniquement l’effectif esp\u00e9r\u00e9 par cellule combin\u00e9e. La seconde solution, privil\u00e9gi\u00e9e dans les analyses biom\u00e9dicales contemporaines, consiste \u00e0 abandonner l’approximation de Pearson au profit de m\u00e9thodes de r\u00e9\u00e9chantillonnage computationnelles ou du test exact multinomial (g\u00e9n\u00e9ralisation du test exact de Fisher), qui calcule de mani\u00e8re combinatoire la probabilit\u00e9 exacte d’apparition de la matrice observ\u00e9e sans recourir \u00e0 une loi asymptotique continue.<\/p>\n
2.3 V\u00e9rification des conditions de validit\u00e9 pour notre exemple num\u00e9rique<\/h3>\n Appliquons rigoureusement cette grille d’audit m\u00e9thodologique \u00e0 notre cas d’\u00e9tude du d\u00e9 \u00e0 six faces afin d’\u00e9tablir la l\u00e9gitimit\u00e9 de la poursuite des calculs manuels. Notre \u00e9chantillon comprend un effectif total de $N = 60$<\/span> observations r\u00e9parties sur $k = 6$<\/span> modalit\u00e9s nominales distinctes (les faces 1 \u00e0 6). Chaque r\u00e9sultat de lancer correspond \u00e0 une observation discr\u00e8te, autonome, mutuellement exclusive des cinq autres et non r\u00e9p\u00e9t\u00e9e sur le plan des interactions physiques.<\/p>\nSous l’hypoth\u00e8se de r\u00e9f\u00e9rence stipulant que le d\u00e9 est parfaitement r\u00e9gulier, la probabilit\u00e9 th\u00e9orique d’apparition de chaque face individuelle est rigoureusement identique et s’\u00e9tablit \u00e0 $p_i = \\frac{1}{6}$<\/span> pour tout $i$<\/span> appartenant \u00e0 l’ensemble ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$<\/span>. Par cons\u00e9quent, l’effectif th\u00e9orique attendu pour chacune des faces se calcule sans ambigu\u00eft\u00e9 par l’application du produit de la taille totale de l’\u00e9chantillon par la probabilit\u00e9 marginale de la classe :<\/p>\n$$E_i = N \\times p_i = 60 \\times \\frac{1}{6} = 10$$<\/span><\/p>\nChacune des 6 modalit\u00e9s pr\u00e9sente un effectif th\u00e9orique rigoureusement \u00e9gal \u00e0 10 observations. Nous constatons de mani\u00e8re indiscutable que :<\/p>\n
\n100 % des effectifs th\u00e9oriques sont strictement sup\u00e9rieurs \u00e0 5 ($10 ge 5$<\/span>).<\/li>\nAucun effectif th\u00e9orique n’est nul ou inf\u00e9rieur \u00e0 1.<\/li>\n L’ind\u00e9pendance probabiliste inter-observations est assur\u00e9e par le dispositif de tirage al\u00e9atoire physique standardis\u00e9.<\/li>\n<\/ul>\nToutes les exigences probabilistes et m\u00e9thodologiques formul\u00e9es par Cochran et Pearson \u00e9tant scrupuleusement satisfaites, le mod\u00e8le asymptotique du khi-deux s’av\u00e8re parfaitement l\u00e9gitime pour traiter notre ensemble de donn\u00e9es num\u00e9riques.<\/p>\n
3. \u00c9tape 1 \u2013 Formulation rigoureuse des hypoth\u00e8ses statistiques<\/h2>\n3.1 D\u00e9finition formelle de l’hypoth\u00e8se nulle ($H_0$<\/span>)<\/h3>\nToute d\u00e9marche d’inf\u00e9rence statistique n\u00e9oclassique s’enracine dans le cadre \u00e9pist\u00e9mologique du falsificationnisme popp\u00e9rien : le chercheur ne cherche jamais \u00e0 \u00ab prouver \u00bb directement la v\u00e9racit\u00e9 de sa conjecture de recherche, mais s’efforce de rejeter, avec un risque d’erreur quantifiable, une hypoth\u00e8se par d\u00e9faut d\u00e9sign\u00e9e sous le vocable d’hypoth\u00e8se nulle et symbolis\u00e9e par $H_0$<\/span>. Dans le p\u00e9rim\u00e8tre sp\u00e9cifique du test d’ad\u00e9quation, l’hypoth\u00e8se nulle postule formellement une identit\u00e9 parfaite entre la distribution de probabilit\u00e9 th\u00e9orique sp\u00e9cifi\u00e9e par le mod\u00e8le et la distribution r\u00e9elle des probabilit\u00e9s au sein de la population parente d’o\u00f9 provient l’\u00e9chantillon.<\/p>\nSur le plan conceptuel, $H_0$<\/span> affirme que les divergences observ\u00e9es sur le terrain entre les fr\u00e9quences constat\u00e9es et les fr\u00e9quences th\u00e9oriques ne constituent rien d’autre que des fluctuations stochastiques al\u00e9atoires attribuables \u00e0 l’\u00e9chantillonnage. Dans le cadre de notre contr\u00f4le m\u00e9trologique de l’\u00e9quit\u00e9 du d\u00e9, l’hypoth\u00e8se nulle postule que le d\u00e9 physique est exempt de biais de masse, d’irr\u00e9gularit\u00e9 g\u00e9om\u00e9trique ou d’asym\u00e9trie de densit\u00e9 sur ses faces. Elle s’\u00e9nonce math\u00e9matiquement sous la forme d’un syst\u00e8me d’\u00e9galit\u00e9s strictes liant l’ensemble des probabilit\u00e9s \u00e9l\u00e9mentaires d’occurrence :<\/p>\n$$H_0 : P_1 = P_2 = P_3 = P_4 = P_5 = P_6 = \\frac{1}{6}$$<\/span><\/p>\no\u00f9 $P_i$<\/span> repr\u00e9sente la probabilit\u00e9 d’apparition de la face $i$<\/span> dans la population infinie des lancers possibles du d\u00e9 test\u00e9. D’un point de vue \u00e9pist\u00e9mique, tant que l’ampleur de la d\u00e9viation empirique n’atteint pas un seuil critique d’invraisemblance statistique, l’hypoth\u00e8se $H_0$<\/span> doit \u00eatre provisoirement conserv\u00e9e en tant que mod\u00e8le explicatif le plus parcimonieux de l’exp\u00e9rience.<\/p>\n3.2 D\u00e9finition formelle de l’hypoth\u00e8se alternative ($H_1$<\/span>)<\/h3>\nL’hypoth\u00e8se alternative, conventionnellement d\u00e9sign\u00e9e par $H_1$<\/span>, formalise la rupture avec le mod\u00e8le th\u00e9orique postul\u00e9e en amont de l’exp\u00e9rience. Une caract\u00e9ristique fondamentale et souvent mal comprise du test du khi-deux d’ad\u00e9quation r\u00e9side dans sa nature d’\u00e9preuve statistique non directionnelle et omnibus. L’hypoth\u00e8se alternative ne cible pas une modalit\u00e9 particuli\u00e8re de mani\u00e8re privil\u00e9gi\u00e9e et n’indique pas le sens des d\u00e9viations (surrepr\u00e9sentation ou sous-repr\u00e9sentation) ; elle postule simplement l’h\u00e9t\u00e9rog\u00e9n\u00e9it\u00e9 de la distribution globale par rapport aux canons du mod\u00e8le de r\u00e9f\u00e9rence.<\/p>\nSur le plan math\u00e9matique, $H_1$<\/span> est formul\u00e9e comme la n\u00e9gation logique rigoureuse de la conjonction d’\u00e9galit\u00e9s sous-tendant $H_0$<\/span>. Elle stipule qu’au moins l’une des \u00e9galit\u00e9s probabilistes n’est pas v\u00e9rifi\u00e9e :<\/p>\n$$H_1 : \\exists , i in {1, 2, 3, 4, 5, 6} \\quad \\text{tel que} \\quad P_i ne \\frac{1}{6}$$<\/span><\/p>\nSur le plan m\u00e9thodologique, cette formulation omnibus signifie que le rejet de l’hypoth\u00e8se nulle autorisera \u00e0 conclure que le d\u00e9 n’est pas \u00e9quitable dans son ensemble, mais ne permettra pas, \u00e0 lui seul, d’affirmer de mani\u00e8re formelle que la face 3 est structurellement favoris\u00e9e au d\u00e9triment des autres. La localisation pr\u00e9cise des foyers de non-conformit\u00e9 n\u00e9cessite le d\u00e9ploiement d’analyses post-hoc<\/em> compl\u00e9mentaires ou l’inspection d\u00e9taill\u00e9e des r\u00e9sidus standardis\u00e9s ajust\u00e9s.<\/p>\n3.3 Fixation a priori du seuil de signification alpha<\/h3>\n Le seuil de signification, universellement d\u00e9sign\u00e9 par la lettre grecque $\\alpha$<\/span>, quantifie la tol\u00e9rance maximale admise par l’exp\u00e9rimentateur \u00e0 l’\u00e9gard de l’erreur de premi\u00e8re esp\u00e8ce (ou risque de faux positif). Commettre une erreur de premi\u00e8re esp\u00e8ce consiste \u00e0 rejeter l’hypoth\u00e8se nulle $H_0$<\/span> et \u00e0 conclure \u00e0 l’existence d’une anomalie ou d’un effet exp\u00e9rimental r\u00e9el, alors que les d\u00e9viations observ\u00e9es n’\u00e9taient en r\u00e9alit\u00e9 produites que par le pur hasard de l’\u00e9chantillonnage.<\/p>\nEn conformit\u00e9 avec les conventions m\u00e9thodologiques dominantes introduites par Ronald Aylmer Fisher dans les sciences biologiques et humaines, le seuil de signification est fix\u00e9 de mani\u00e8re stricte et immuable avant l’amorce de tout calcul num\u00e9rique \u00e0 :<\/p>\n
$$\\alpha = 0{,}05$$<\/span><\/p>\nCe niveau de risque implique que nous acceptons de d\u00e9clarer le d\u00e9 biais\u00e9 par erreur statistique au maximum dans 5 % des r\u00e9plications potentielles de notre exp\u00e9rience de 60 lancers sous l’hypoth\u00e8se d’une parfaite \u00e9quit\u00e9 du mat\u00e9riel. Dans les contextes de haute s\u00e9curit\u00e9 m\u00e9trologique, d’essais cliniques pharmacologiques ou de recherche g\u00e9nomique \u00e0 tr\u00e8s haut d\u00e9bit, ce seuil est couramment resserr\u00e9 \u00e0 $\\alpha = 0{,}01$<\/span> voire $\\alpha = 0{,}001$<\/span> afin de conjurer le risque de faux positifs r\u00e9sultant de comparaisons multiples. Dans notre cas d’esp\u00e8ce, la norme conventionnelle acad\u00e9mique de 5 % constitue le compromis optimal entre le contr\u00f4le rigoureux du risque alpha et la pr\u00e9servation de la puissance de d\u00e9tection du test face \u00e0 un \u00e9chantillon de taille mod\u00e9r\u00e9e ($N = 60$<\/span>).<\/p>\n4. \u00c9tape 2 \u2013 Structuration des donn\u00e9es et inventaire des fr\u00e9quences observ\u00e9es<\/h2>\n4.1 Recueil et classification des donn\u00e9es brutes en psychom\u00e9trie<\/h3>\n L’\u00e9tape de structuration constitue la passerelle critique entre le protocole exp\u00e9rimental empirique et le formalisme arithm\u00e9tique. Dans tout protocole de recherche en psychom\u00e9trie ou en sciences sociales, les donn\u00e9es brutes se pr\u00e9sentent sous la forme d’un vecteur ou d’une liste d\u00e9sordonn\u00e9e de r\u00e9alisations individuelles (par exemple, la s\u00e9quence temporelle brute : face 3, puis face 2, puis face 3, puis face 6…). L’op\u00e9ration pr\u00e9liminaire indispensable consiste \u00e0 r\u00e9duire ces donn\u00e9es brutes par une op\u00e9ration de tri et de pointage afin de consolider la distribution empirique en fr\u00e9quences observ\u00e9es absolues.<\/p>\n
Pour notre exp\u00e9rimentation portant sur 60 lancers de d\u00e9, le d\u00e9pouillement minutieux de la feuille de relev\u00e9 produit la distribution empirique des effectifs observ\u00e9s, conventionnellement not\u00e9s $O_i$<\/span>, r\u00e9pertori\u00e9s dans le tableau synth\u00e9tique suivant :<\/p>\n\n\n\nFace du d\u00e9 ($i$<\/span>)<\/th>\n D\u00e9signation de la modalit\u00e9<\/th>\n Fr\u00e9quence empirique observ\u00e9e ($O_i$<\/span>)<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n\n\n1<\/td>\n Modalit\u00e9 $C_1$<\/span><\/td>\n 8<\/td>\n<\/tr>\n \n2<\/td>\n Modalit\u00e9 $C_2$<\/span><\/td>\n 12<\/td>\n<\/tr>\n \n3<\/td>\n Modalit\u00e9 $C_3$<\/span><\/td>\n 18<\/td>\n<\/tr>\n \n4<\/td>\n Modalit\u00e9 $C_4$<\/span><\/td>\n 9<\/td>\n<\/tr>\n \n5<\/td>\n Modalit\u00e9 $C_5$<\/span><\/td>\n 7<\/td>\n<\/tr>\n \n6<\/td>\n Modalit\u00e9 $C_6$<\/span><\/td>\n 6<\/td>\n<\/tr>\n \nSomme totale des observations ($\\sum O_i$<\/span>)<\/td>\n 60<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nLa r\u00e8gle d’or arithm\u00e9tique de cette \u00e9tape d’inventaire r\u00e9side dans le contr\u00f4le de compl\u00e9tude de la s\u00e9rie : l’analyste doit imp\u00e9rativement valider l’\u00e9galit\u00e9 formelle $\\sum_{i=1}^{k} O_i = N$<\/span>. Dans notre cas :<\/p>\n$$\\sum_{i=1}^{6} O_i = 8 + 12 + 18 + 9 + 7 + 6 = 60$$<\/span><\/p>\nToute discordance num\u00e9rique \u00e0 ce stade traduirait l’omission d’une donn\u00e9e brute ou une double comptabilisation, ce qui invaliderait l’ensemble de la cha\u00eene inf\u00e9rentielle ult\u00e9rieure.<\/p>\n
4.2 Conception d’une matrice de calcul manuel standardis\u00e9e<\/h3>\n Pour ex\u00e9cuter un test du khi-deux \u00e0 la main sans s’exposer au risque end\u00e9mique d’erreur arithm\u00e9tique ou d’inattention, il est hautement recommand\u00e9 d’abandonner les calculs \u00e9pars et d’adopter une organisation tabulaire rigoureuse. La matrice de calcul manuel standardis\u00e9e organise les op\u00e9rations alg\u00e9briques en colonnes s\u00e9quentielles qui \u00e9pousent fid\u00e8lement l’architecture de la formule math\u00e9matique du khi-deux.<\/p>\n
Cette matrice se compose de six colonnes canoniques :<\/p>\n
\nColonne 1 – Modalit\u00e9 ($i$<\/span>) :<\/strong> Indexation formelle de chacune des $k$<\/span> cat\u00e9gories exclusives constituant la variable cat\u00e9gorielle analys\u00e9e.<\/li>\nColonne 2 – Fr\u00e9quence observ\u00e9e ($O_i$<\/span>) :<\/strong> Effectifs empiriques bruts d\u00e9nombr\u00e9s lors de l’exp\u00e9rimentation.<\/li>\nColonne 3 – Fr\u00e9quence th\u00e9orique attendue ($E_i$<\/span>) :<\/strong> Effectifs esp\u00e9r\u00e9s calcul\u00e9s sous l’\u00e9gide stricte du mod\u00e8le th\u00e9orique de $H_0$<\/span>.<\/li>\nColonne 4 – D\u00e9viation brute r\u00e9siduelle ($O_i – E_i$<\/span>) :<\/strong> Mesure de l’\u00e9cart direct lin\u00e9aire entre l’observation et la pr\u00e9diction th\u00e9orique.<\/li>\nColonne 5 – D\u00e9viation quadratique r\u00e9solue ($(O_i – E_i)^2$<\/span>) :<\/strong> Carr\u00e9 de l’\u00e9cart brut destin\u00e9 \u00e0 \u00e9liminer la contrainte de signe n\u00e9gatif.<\/li>\nColonne 6 – Ratio standardis\u00e9 normalis\u00e9 ($\\frac{(O_i – E_i)^2}{E_i}$<\/span>) :<\/strong> Contribution individuelle unitaire de la modalit\u00e9 $i$<\/span> \u00e0 la statistique globale du test.<\/li>\n<\/ol>\nCette m\u00e9thode tabulaire standardis\u00e9e permet une v\u00e9rification crois\u00e9e \u00e0 chaque \u00e9tape interm\u00e9diaire et pr\u00e9vient la majorit\u00e9 des confusions arithm\u00e9tiques lors des calculs \u00e0 la pointe du crayon.<\/p>\n
5. \u00c9tape 3 \u2013 Calcul math\u00e9matique rigoureux des fr\u00e9quences th\u00e9oriques attendues<\/h2>\n5.1 Application de la formule canonique des fr\u00e9quences attendues<\/h3>\n Le calcul des fr\u00e9quences attendues incarne l’op\u00e9ration par laquelle le mod\u00e8le probabiliste abstrait prend corps dans les unit\u00e9s concr\u00e8tes de l’\u00e9chantillon. La formule canonique g\u00e9n\u00e9rale permettant de d\u00e9terminer la fr\u00e9quence th\u00e9orique attendue $E_i$<\/span> pour toute modalit\u00e9 $i$<\/span> s’exprime par le produit universel :<\/p>\n$$E_i = N \\times p_i$$<\/span><\/p>\no\u00f9 $N$<\/span> correspond \u00e0 la taille de l’\u00e9chantillon total empiriquement collect\u00e9 et $p_i$<\/span> repr\u00e9sente la probabilit\u00e9 math\u00e9matique unitaire d’apparition de la modalit\u00e9 consid\u00e9r\u00e9e, strictement d\u00e9riv\u00e9e du cadre d’hypoth\u00e8se nulle $H_0$<\/span>.<\/p>\nDans notre cas fil rouge, l’hypoth\u00e8se de pure \u00e9quit\u00e9 m\u00e9canique implique une distribution th\u00e9orique parfaitement uniforme sur l’ensemble des faces. Chacune des six faces poss\u00e8de une probabilit\u00e9 intrins\u00e8que th\u00e9orique d’apparition \u00e9quivalente \u00e0 :<\/p>\n
$$p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \\frac{1}{6} \\approx 0{,}166667$$<\/span><\/p>\nEn injectant la taille globale de notre \u00e9chantillon ($N = 60$<\/span>) dans cette \u00e9quation, nous d\u00e9terminons l’effectif th\u00e9orique associ\u00e9 \u00e0 chaque modalit\u00e9 :<\/p>\n$$E_1 = 60 \\times \\frac{1}{6} = 10$$<\/span><\/p>\n$$E_2 = 60 \\times \\frac{1}{6} = 10$$<\/span><\/p>\n$$E_3 = 60 \\times \\frac{1}{6} = 10$$<\/span><\/p>\n$$E_4 = 60 \\times \\frac{1}{6} = 10$$<\/span><\/p>\n$$E_5 = 60 \\times \\frac{1}{6} = 10$$<\/span><\/p>\n$$E_6 = 60 \\times \\frac{1}{6} = 10$$<\/span><\/p>\nL’analyste doit imp\u00e9rativement proc\u00e9der \u00e0 la v\u00e9rification de la propri\u00e9t\u00e9 fondamentale de conservation des masses fr\u00e9quentielles : la sommation des effectifs attendus sur l’ensemble des modalit\u00e9s doit restituer exactement l’effectif global $N$<\/span> :<\/p>\n$$\\sum_{i=1}^{k} E_i = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 = N$$<\/span><\/p>\nCette \u00e9galit\u00e9 stricte $\\sum E_i = \\sum O_i = N$<\/span> constitue un th\u00e9or\u00e8me d’invariance arithm\u00e9tique qui ne tol\u00e8re aucune exception th\u00e9orique.<\/p>\n5.2 Cas particuliers : distributions th\u00e9oriques non uniformes<\/h3>\n Bien que notre exemple d’application s’appuie sur une distribution \u00e9quiprobable, le test du khi-deux d’ad\u00e9quation ne se cantonne aucunement \u00e0 ce cas d’\u00e9cole. Dans un large \u00e9ventail de recherches psychologiques et sociologiques, la distribution th\u00e9orique de r\u00e9f\u00e9rence $H_0$<\/span> n’est pas uniforme mais refl\u00e8te des proportions diff\u00e9rentielles pr\u00e9d\u00e9termin\u00e9es. Ces proportions th\u00e9oriques peuvent d\u00e9couler de donn\u00e9es d\u00e9mographiques issues de recensements nationaux (par exemple, la distribution de la population par tranches d’\u00e2ge ou par cat\u00e9gories socio-professionnelles), de pr\u00e9valences \u00e9pid\u00e9miologiques \u00e9tablies par l’Organisation Mondiale de la Sant\u00e9, ou encore de th\u00e9ories morphog\u00e9n\u00e9tiques et g\u00e9n\u00e9tiques (telles que les fameux ratios mend\u00e9liens 9:3:3:1 de la s\u00e9gr\u00e9gation des all\u00e8les dihybrides).<\/p>\nConsid\u00e9rons \u00e0 titre d’illustration m\u00e9thodologique une \u00e9tude en psychologie sociale s’int\u00e9ressant \u00e0 la r\u00e9partition des types de personnalit\u00e9 dans un \u00e9chantillon de 200 individus recrut\u00e9s dans un environnement clinique sp\u00e9cifique. Si les donn\u00e9es \u00e9pid\u00e9miologiques nationales \u00e9tablissent que la population g\u00e9n\u00e9rale se compose de 50 % de profils de Type A ($p_1 = 0{,}50$<\/span>), 30 % de profils de Type B ($p_2 = 0{,}30$<\/span>) et 20 % de profils de Type C ($p_3 = 0{,}20$<\/span>), les effectifs attendus sous $H_0$<\/span> ne seraient plus identiques mais proportionnels aux poids respectifs :<\/p>\n\n$E_1 = 200 \\times 0{,}50 = 100$<\/span><\/li>\n$E_2 = 200 \\times 0{,}30 = 60$<\/span><\/li>\n$E_3 = 200 \\times 0{,}20 = 40$<\/span><\/li>\n<\/ul>\nLa sommation v\u00e9rifie de nouveau le crit\u00e8re : $100 + 60 + 40 = 200 = N$<\/span>. Lors de calculs manuels impliquant des proportions asym\u00e9triques ou des fractions rationnelles non enti\u00e8res, les effectifs th\u00e9oriques attendus comportent couramment des d\u00e9cimales. Il convient d’observer une rigueur absolue : il ne faut jamais arrondir les $E_i$<\/span> \u00e0 des nombres entiers<\/strong>. L’arrondi pr\u00e9matur\u00e9 d\u00e9grade l’estimation math\u00e9matique et vicie la statistique finale du test. Les calculs manuels doivent conserver un minimum de deux \u00e0 quatre d\u00e9cimales significatives tout au long du tableau analytique.<\/p>\n6. \u00c9tape 4 \u2013 Calcul des \u00e9carts bruts et de leur \u00e9l\u00e9vation au carr\u00e9<\/h2>\n6.1 Quantification des d\u00e9viations brutes individuelles ($O_i – E_i$<\/span>)<\/h3>\nLa quatri\u00e8me colonne de notre matrice analytique a pour objet l’isolement alg\u00e9brique des r\u00e9sidus bruts d’observation, formalis\u00e9s par l’expression $(O_i – E_i)$<\/span>. Cette op\u00e9ration \u00e9l\u00e9mentaire consiste \u00e0 soustraire syst\u00e9matiquement l’effectif th\u00e9orique attendu de l’effectif empirique observ\u00e9, en conservant avec une vigilance totale le signe arithm\u00e9tique r\u00e9siduel (positif ou n\u00e9gatif).<\/p>\nAppliquons cette soustraction face par face \u00e0 nos donn\u00e9es exp\u00e9rimentales :<\/p>\n
\nPour la face 1 : $O_1 – E_1 = 8 – 10 = -2$<\/span><\/li>\nPour la face 2 : $O_2 – E_2 = 12 – 10 = +2$<\/span><\/li>\nPour la face 3 : $O_3 – E_3 = 18 – 10 = +8$<\/span><\/li>\nPour la face 4 : $O_4 – E_4 = 9 – 10 = -1$<\/span><\/li>\nPour la face 5 : $O_5 – E_5 = 7 – 10 = -3$<\/span><\/li>\nPour la face 6 : $O_6 – E_6 = 6 – 10 = -4$<\/span><\/li>\n<\/ul>\nL’observation du signe permet une interpr\u00e9tation ph\u00e9nom\u00e9nologique imm\u00e9diate : les valeurs n\u00e9gatives signalent un d\u00e9ficit de r\u00e9alisations empiriques par rapport aux esp\u00e9rances th\u00e9oriques (la face 1 est sous-repr\u00e9sent\u00e9e de 2 lancers, la face 6 de 4 lancers), tandis que les valeurs positives mettent en \u00e9vidence un exc\u00e9dent de r\u00e9alisations (la face 3 affiche un surplus substantiel de 8 lancers).<\/p>\n
\u00c0 cette \u00e9tape, l’analyste dispose d’un moyen de contr\u00f4le arithm\u00e9tique absolu. En vertu du postulat de conservation des effectifs totaux d\u00e9montr\u00e9 pr\u00e9c\u00e9demment, la sommation alg\u00e9brique des \u00e9carts bruts simples sur l’ensemble des modalit\u00e9s doit obligatoirement \u00eatre \u00e9gale \u00e0 z\u00e9ro :<\/p>\n
$$\\sum_{i=1}^{k} (O_i – E_i) = \\sum_{i=1}^{k} O_i – \\sum_{i=1}^{k} E_i = N – N = 0$$<\/span><\/p>\nV\u00e9rifions sur nos donn\u00e9es :<\/p>\n
$$\\sum_{i=1}^{6} (O_i – E_i) = (-2) + (+2) + (+8) + (-1) + (-3) + (-4) = 0$$<\/span><\/p>\nCe pointage rigoureux garantit qu’aucune erreur de soustraction ne s’est gliss\u00e9e dans le dispositif avant d’entamer la phase de transformation quadratique.<\/p>\n
6.2 Neutralisation des signes par l’\u00e9l\u00e9vation au carr\u00e9 ($(O_i – E_i)^2$<\/span>)<\/h3>\nComme \u00e9voqu\u00e9 lors de l’examen des fondements th\u00e9oriques, l’information contenue dans les r\u00e9sidus bruts ne peut \u00eatre exploit\u00e9e directement sous sa forme lin\u00e9aire sous peine d’auto-annulation math\u00e9matique universelle. Pour neutraliser l’obstacle des signes oppos\u00e9s, la m\u00e9thodologie de Pearson impose l’\u00e9l\u00e9vation de chaque \u00e9cart brut individuel \u00e0 la puissance 2. Cette op\u00e9ration conf\u00e8re une nature strictement positive ou nulle \u00e0 l’ensemble des termes r\u00e9sultants.<\/p>\n
Ex\u00e9cutons les calculs quadratiques pour chaque cat\u00e9gorie :<\/p>\n
\nPour la face 1 : $(-2)^2 = -2 \\times (-2) = 4$<\/span><\/li>\nPour la face 2 : $(+2)^2 = 2 \\times 2 = 4$<\/span><\/li>\nPour la face 3 : $(+8)^2 = 8 \\times 8 = 64$<\/span><\/li>\nPour la face 4 : $(-1)^2 = -1 \\times (-1) = 1$<\/span><\/li>\nPour la face 5 : $(-3)^2 = -3 \\times (-3) = 9$<\/span><\/li>\nPour la face 6 : $(-4)^2 = -4 \\times (-4) = 16$<\/span><\/li>\n<\/ul>\nL’inspection des grandeurs quadratiques ainsi obtenues met en relief la morphologie interne de la d\u00e9viation exp\u00e9rimentale. Nous identifions instantan\u00e9ment que la modalit\u00e9 relative \u00e0 la face 3 g\u00e9n\u00e8re un terme quadratique majeur ($64$), \u00e9clipsant l’ensemble des autres d\u00e9viations. \u00c0 ce stade, nous poss\u00e9dons la num\u00e9risation brute de la distance au carr\u00e9 s\u00e9parant nos observations empiriques de la trajectoire id\u00e9ale formul\u00e9e par l’hypoth\u00e8se nulle.<\/p>\n
7. \u00c9tape 5 \u2013 Pond\u00e9ration des \u00e9carts quadratiques et sommation de la statistique Khi-deux<\/h2>\n7.1 Normalisation des d\u00e9viations quadratiques par cat\u00e9gorie : $\\frac{(O_i – E_i)^2}{E_i}$<\/span><\/h3>\nL’avant-derni\u00e8re op\u00e9ration arithm\u00e9tique consiste \u00e0 standardiser chaque \u00e9cart quadratique en le divisant par sa fr\u00e9quence th\u00e9orique attendue respective. Cette normalisation transforme l’\u00e9cart absolu au carr\u00e9 en une m\u00e9trique d’\u00e9cart relatif proportionnel. Cette pond\u00e9ration est requise pour assurer la comparabilit\u00e9 des contributions lorsque les cellules du tableau reposent sur des probabilit\u00e9s th\u00e9oriques divergentes.<\/p>\n
Dans notre cas pratique, l’op\u00e9ration s’av\u00e8re particuli\u00e8rement fluide puisque tous les effectifs th\u00e9oriques sont uniform\u00e9ment \u00e9gaux \u00e0 $E_i = 10$<\/span>. La division par 10 s’op\u00e8re par un simple d\u00e9calage de la virgule d\u00e9cimale :<\/p>\n\nPour la face 1 : $\\frac{(O_1 – E_1)^2}{E_1} = \\frac{4}{10} = 0{,}4$<\/span><\/li>\nPour la face 2 : $\\frac{(O_2 – E_2)^2}{E_2} = \\frac{4}{10} = 0{,}4$<\/span><\/li>\nPour la face 3 : $\\frac{(O_3 – E_3)^2}{E_3} = \\frac{64}{10} = 6{,}4$<\/span><\/li>\nPour la face 4 : $\\frac{(O_4 – E_4)^2}{E_4} = \\frac{1}{10} = 0{,}1$<\/span><\/li>\nPour la face 5 : $\\frac{(O_5 – E_5)^2}{E_5} = \\frac{9}{10} = 0{,}9$<\/span><\/li>\nPour la face 6 : $\\frac{(O_6 – E_6)^2}{E_6} = \\frac{16}{10} = 1{,}6$<\/span><\/li>\n<\/ul>\nCes quotients unitaires repr\u00e9sentent les valeurs individuelles de khi-deux partiel associ\u00e9es \u00e0 chaque cellule exp\u00e9rimentale. Nous pouvons dor\u00e9navant agr\u00e9ger l’ensemble de notre tableau d’analyse dans une synth\u00e8se matricielle d\u00e9finitive parfaitement exhaustive :<\/p>\n
\n\n\nFace ($i$<\/span>)<\/th>\n $O_i$<\/span><\/th>\n $E_i$<\/span><\/th>\n $O_i – E_i$<\/span><\/th>\n $(O_i – E_i)^2$<\/span><\/th>\n $\\frac{(O_i – E_i)^2}{E_i}$<\/span><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n\n\nFace 1<\/td>\n 8<\/td>\n 10<\/td>\n -2<\/td>\n 4<\/td>\n 0,4<\/td>\n<\/tr>\n \nFace 2<\/td>\n 12<\/td>\n 10<\/td>\n +2<\/td>\n 4<\/td>\n 0,4<\/td>\n<\/tr>\n \nFace 3<\/td>\n 18<\/td>\n 10<\/td>\n +8<\/td>\n 64<\/td>\n 6,4<\/td>\n<\/tr>\n \nFace 4<\/td>\n 9<\/td>\n 10<\/td>\n -1<\/td>\n 1<\/td>\n 0,1<\/td>\n<\/tr>\n \nFace 5<\/td>\n 7<\/td>\n 10<\/td>\n -3<\/td>\n 9<\/td>\n 0,9<\/td>\n<\/tr>\n \nFace 6<\/td>\n 6<\/td>\n 10<\/td>\n -4<\/td>\n 16<\/td>\n 1,6<\/td>\n<\/tr>\n \nTotal<\/td>\n 60<\/td>\n 60<\/td>\n 0<\/td>\n \u2014<\/td>\n $\\chi^2 = 9{,}8$<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n7.2 Agr\u00e9gation finale de la valeur empirique $\\chi^2$<\/span> calcul\u00e9e<\/h3>\nL’agr\u00e9gation finale de la statistique empirique du test du khi-deux (souvent not\u00e9e $\\chi^2_{\\text{obs}}$<\/span> ou $\\chi^2_{\\text{calc}}$<\/span>) s’op\u00e8re par l’addition s\u00e9quentielle des ratios standardis\u00e9s calcul\u00e9s dans la derni\u00e8re colonne de notre matrice. La formule sommative canonique de Karl Pearson s’exprime dans toute sa pl\u00e9nitude :<\/p>\n$$\\chi^2_{\\text{calc}} = \\sum_{i=1}^{k} \\frac{(O_i – E_i)^2}{E_i}$$<\/span><\/p>\nR\u00e9alisons la sommation manuelle de nos six termes partiels :<\/p>\n
$$\\chi^2_{\\text{calc}} = 0{,}4 + 0{,}4 + 6{,}4 + 0{,}1 + 0{,}9 + 1{,}6$$<\/span><\/p>\nProc\u00e9dons par regroupements arithm\u00e9tiques pour garantir une pr\u00e9cision absolue :<\/p>\n
\n$(0{,}4 + 0{,}4) = 0{,}8$<\/span><\/li>\n$0{,}8 + 6{,}4 = 7{,}2$<\/span><\/li>\n$7{,}2 + 0{,}1 = 7{,}3$<\/span><\/li>\n$7{,}3 + 0{,}9 = 8{,}2$<\/span><\/li>\n$8{,}2 + 1{,}6 = 9{,}8$<\/span><\/li>\n<\/ul>\n
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