\u00ab On a measure of lack of fit in time series models \u00bb<\/em>. Ljung et Box y d\u00e9montr\u00e8rent avec une rigueur math\u00e9matique exemplaire que l’approximation asymptotique standard de Box-Pierce \u00e9tait d\u00e9ficiente parce qu’elle n\u00e9gligeait la variance accrue des estimateurs d’autocorr\u00e9lation empirique aux retards temporels \u00e9lev\u00e9s.<\/p>\nLa contribution d\u00e9cisive de Ljung et Box consista \u00e0 introduire une pond\u00e9ration sp\u00e9cifique bas\u00e9e sur la taille effective de l’\u00e9chantillon et sur l’ordre du retard consid\u00e9r\u00e9. Cette modification structurelle permit d’ajuster pr\u00e9cis\u00e9ment la statistique d’\u00e9chantillonnage de fa\u00e7on \u00e0 ce que ses deux premiers moments co\u00efncident de mani\u00e8re quasi exacte avec ceux de la loi du Chi-deux, conf\u00e9rant ainsi au test de Ljung-Box une robustesse d’\u00e9chantillonnage remarquable pour les \u00e9chantillons de taille finie. Dans l’\u00e9pist\u00e9mologie de la d\u00e9marche de Box-Jenkins — qui articule s\u00e9quentiellement identification, estimation et v\u00e9rification diagnostique —, l’introduction du test de Ljung-Box a repr\u00e9sent\u00e9 la consolidation d\u00e9finitive de la phase de diagnostic, transformant une appr\u00e9ciation souvent empirique et subjective de l’ind\u00e9pendance des erreurs en une inf\u00e9rence probabiliste formellement rigoureuse.<\/p>\n
1.2 D\u00e9finition formelle et r\u00f4le dans l’analyse des s\u00e9ries temporelles<\/h3>\n
Le test de Ljung-Box se d\u00e9finit formellement comme un test d’hypoth\u00e8se statistique portemanteau multivari\u00e9 con\u00e7u pour d\u00e9terminer si un ensemble quelconque d’autocorr\u00e9lations d’une s\u00e9rie chronologique ou des r\u00e9sidus issus d’un mod\u00e8le estim\u00e9 diff\u00e8re significativement de z\u00e9ro. L’appellation m\u00e9taphorique \u00ab portemanteau \u00bb — emprunt\u00e9e au vocabulaire de la linguistique pour d\u00e9signer une entit\u00e9 condensant plusieurs \u00e9l\u00e9ments — souligne la nature conjointe et omnibus de cette proc\u00e9dure inf\u00e9rentielle : au lieu de tester de fa\u00e7on isol\u00e9e l’hypoth\u00e8se selon laquelle l’autocorr\u00e9lation \u00e0 un d\u00e9calage sp\u00e9cifique $k$<\/span> est nulle, le test \u00e9value simultan\u00e9ment la nullit\u00e9 de toutes les autocorr\u00e9lations s\u00e9rielles observ\u00e9es jusqu’\u00e0 un horizon maximal pr\u00e9d\u00e9termin\u00e9, not\u00e9 $h$<\/span>.<\/p>\nLe r\u00f4le primordial du test de Ljung-Box au sein du processus de mod\u00e9lisation r\u00e9side dans l’op\u00e9rationnalisation formelle de l’hypoth\u00e8se de bruit blanc. Dans le cadre de l’inf\u00e9rence statistique sur les s\u00e9ries chronologiques, l’hypoth\u00e8se nulle $H_0$<\/span> stipule que la s\u00e9rie sous examen est constitu\u00e9e de variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes et identiquement distribu\u00e9es (i.i.d.), ou \u00e0 tout le moins de variables mutuellement non corr\u00e9l\u00e9es pr\u00e9sentant une esp\u00e9rance nulle et une variance constante. Si la s\u00e9rie test\u00e9e repr\u00e9sente les r\u00e9sidus d’un mod\u00e8le pr\u00e9dictif (tel qu’un mod\u00e8le autor\u00e9gressif, \u00e0 moyennes mobiles, un r\u00e9seau neuronal r\u00e9current ou une r\u00e9gression dynamique), le rejet de cette hypoth\u00e8se nulle implique irr\u00e9m\u00e9diablement que le mod\u00e8le a omis d’extraire une structure d’information syst\u00e9matique pr\u00e9sente dans le signal d’origine.<\/p>\nIl importe de distinguer avec acuit\u00e9 le test conjointe de Ljung-Box des tests de corr\u00e9lation univari\u00e9s bas\u00e9s sur les intervalles de confiance asymptotiques de Bartlett. Alors qu’un coefficient d’autocorr\u00e9lation individuel peut demeurer \u00e0 l’int\u00e9rieur des bandes de confiance usuelles \u00e0 $\\pm 1{,}96 \/ \\sqrt{n}$<\/span> sans appara\u00eetre statistiquement significatif au niveau nominal de 5 %, la conjonction de plusieurs coefficients r\u00e9siduels mineurs mais de m\u00eame signe — ou manifestant une g\u00e9om\u00e9trie oscillatoire persistante — peut r\u00e9v\u00e9ler une d\u00e9pendance stochastique r\u00e9siduelle substantielle. Le test de Ljung-Box agglom\u00e8re cette information diffuse \u00e0 travers les diff\u00e9rents d\u00e9calages temporels pour fournir une m\u00e9trique globale d’ad\u00e9quation, constituant ainsi le verdict probabiliste supr\u00eame quant \u00e0 la validit\u00e9 structurelle de la sp\u00e9cification adopt\u00e9e.<\/p>\n1.3 Pertinence m\u00e9thodologique en mod\u00e9lisation psychologique et comportementale<\/h3>\n
Si le test de Ljung-Box trouve ses racines historiques dans l’\u00e9conom\u00e9trie et le g\u00e9nie industriel, son utilisation s’est profond\u00e9ment universalis\u00e9e, devenant un pr\u00e9requis incontournable en psychologie quantitative, en psychiatrie computationnelle et dans les sciences du comportement. Cette transition paradigmatique r\u00e9sulte de la prolif\u00e9ration des donn\u00e9es longitudinales intensives issues des protocoles d’\u00c9valuation \u00c9cologique Momentan\u00e9e (Ecological Momentary Assessment<\/em> ou ESM) et de la m\u00e9thode d’\u00e9chantillonnage des exp\u00e9riences (Experience Sampling Methodology<\/em>). Dans ces architectures de recherche contemporaines, des participants renseignent leurs \u00e9tats affectifs, leurs ruminations cognitives ou leurs comportements \u00e0 de multiples reprises chaque jour pendant plusieurs semaines, g\u00e9n\u00e9rant ainsi des s\u00e9ries chronologiques individuelles denses.<\/p>\nDans ce contexte, la mod\u00e9lisation autor\u00e9gressive des \u00e9tats psychologiques — o\u00f9 l’affect mesur\u00e9 \u00e0 l’instant $t$<\/span> est r\u00e9gress\u00e9 sur l’affect mesur\u00e9 \u00e0 l’instant $t-1$<\/span> — est devenue le mod\u00e8le pr\u00e9dominant pour quantifier des concepts cliniques cruciaux tels que l’inertie \u00e9motionnelle, l’inflexibilit\u00e9 psychologique ou la dysr\u00e9gulation affective. Cependant, la validit\u00e9 interne de ces constructions th\u00e9oriques repose imp\u00e9rativement sur l’ind\u00e9pendance statistique des erreurs du mod\u00e8le autor\u00e9gressif. La persistance d’une d\u00e9pendance s\u00e9rielle non mod\u00e9lis\u00e9e dans les r\u00e9sidus d’un mod\u00e8le affectif distord dramatiquement les param\u00e8tres estim\u00e9s de persistance, risquant d’imputer \u00e0 tort \u00e0 une vuln\u00e9rabilit\u00e9 psychopathologique ce qui ne rel\u00e8ve en r\u00e9alit\u00e9 que d’une mauvaise sp\u00e9cification de la dynamique temporelle (comme l’omission d’un cycle circadien ou d’effets de retards d’ordres sup\u00e9rieurs).<\/p>\nEn outre, l’analyse des s\u00e9ries temporelles \u00e0 cas unique (dites m\u00e9thodologies N-of-1<\/em>), de plus en plus pl\u00e9biscit\u00e9e en psychologie clinique pour \u00e9valuer l’efficacit\u00e9 diff\u00e9rentielle d’interventions th\u00e9rapeutiques personnalis\u00e9es, est particuli\u00e8rement tributaire du test de Ljung-Box. La violation de l’hypoth\u00e8se de non-autocorr\u00e9lation r\u00e9siduelle dans ces s\u00e9ries entra\u00eene une sous-estimation syst\u00e9matique des erreurs-types associ\u00e9es aux effets de traitement, engendrant une inflation massive des taux de faux positifs (erreurs de type I). D\u00e8s lors, le recours syst\u00e9matique au test de Ljung-Box ne constitue pas une simple formalit\u00e9 technique d’\u00e9conom\u00e9tricien, mais s’affirme comme un imp\u00e9ratif \u00e9thique et \u00e9pist\u00e9mologique garantissant que les inf\u00e9rences cliniques tir\u00e9es des trajectoires individuelles reposent sur des fondements statistiques d’une irr\u00e9prochable solidit\u00e9.<\/p>\n2. Le concept central d’autocorr\u00e9lation dans les r\u00e9sidus de mod\u00e8les<\/h2>\n2.1 Nature et m\u00e9canismes de la d\u00e9pendance s\u00e9rielle<\/h3>\n
L’autocorr\u00e9lation, fr\u00e9quemment d\u00e9sign\u00e9e sous le vocable de d\u00e9pendance s\u00e9rielle ou de corr\u00e9lation temporelle, traduit la propri\u00e9t\u00e9 probabiliste par laquelle les valeurs successives d’une variable al\u00e9atoire index\u00e9e dans le temps manifestent une association statistique lin\u00e9aire les unes avec les autres. Formellement, pour un processus stochastique stationnaire au sens faible ${e_t}$<\/span>, la covariance s\u00e9rielle au d\u00e9calage temporel $k$<\/span> (not\u00e9e $\\gamma_k$<\/span>) quantifie l’esp\u00e9rance math\u00e9matique du produit des \u00e9carts \u00e0 la moyenne entre des observations s\u00e9par\u00e9es par un intervalle de $k$<\/span> unit\u00e9s de temps :<\/p>\n$$\\gamma_k = \\mathrm{Cov}(e_t, e_{t-k}) = \\mathbb{E}\\left[(e_t – \\mu)(e_{t-k} – \\mu)\\right]$$<\/span><\/p>\nLe coefficient d’autocorr\u00e9lation normalis\u00e9 au retard $k$<\/span>, conventionnellement d\u00e9sign\u00e9 par la lettre grecque $\\rho_k$<\/span>, s’obtient en divisant cette autocovariance par la variance globale du processus ($\\gamma_0$<\/span>) :<\/p>\n$$\\rho_k = \\frac{\\gamma_k}{\\gamma_0} = \\frac{\\mathrm{Cov}(e_t, e_{t-k})}{\\mathrm{Var}(e_t)}$$<\/span><\/p>\nDans les sciences comportementales et psychologiques, les m\u00e9canismes g\u00e9n\u00e9rateurs de cette d\u00e9pendance s\u00e9rielle sont multiples et profond\u00e9ment ancr\u00e9s dans la biologie et l’\u00e9cologie humaine. L’inertie psychologique, par exemple, s’exprime \u00e0 travers la tendance d’un \u00e9tat affectif ou cognitif \u00e0 s’auto-entretenir au fil du temps en raison de processus de r\u00e9troaction interne, de boucles de rumination ou de la cin\u00e9tique lente des r\u00e9ponses neuroendocriniennes (telles que la lib\u00e9ration et la clairance du cortisol). Au-del\u00e0 de cette persistance intrins\u00e8que, la d\u00e9pendance s\u00e9rielle r\u00e9siduelle peut \u00e9merger de l’incapacit\u00e9 d’un mod\u00e8le lin\u00e9aire standard \u00e0 capturer des rythmes chronobiologiques fondamentaux (variations ultradiennes, circadiennes ou infradiennes du niveau d’\u00e9veil et de l’humeur) ou des \u00e9v\u00e9nements contextuels r\u00e9currents.<\/p>\n
Il est imp\u00e9ratif d’op\u00e9rer une distinction ontologique entre une tendance d\u00e9terministe — qui repr\u00e9sente une d\u00e9rive directionnelle syst\u00e9matique de la moyenne \u00e0 long terme — et une d\u00e9pendance stochastique r\u00e9siduelle. Tandis que la premi\u00e8re peut \u00eatre ais\u00e9e \u00e0 \u00e9liminer par diff\u00e9rentiation ou ajustement polynomial, la seconde implique une propagation r\u00e9cursive des chocs al\u00e9atoires \u00e0 travers le syst\u00e8me. L’autocorr\u00e9lation r\u00e9siduelle indique que l’erreur commise par le mod\u00e8le \u00e0 l’instant pr\u00e9sent transporte avec elle une partie de l’erreur commise \u00e0 l’instant ant\u00e9rieur, constituant ainsi une violation flagrante de l’id\u00e9al de pr\u00e9dictibilit\u00e9 totale de la composante structurelle du ph\u00e9nom\u00e8ne.<\/p>\n
2.2 Cons\u00e9quences statistiques de l’autocorr\u00e9lation non mod\u00e9lis\u00e9e<\/h3>\n
L’ignorance ou la tol\u00e9rance d’une autocorr\u00e9lation s\u00e9rielle substantielle au sein des r\u00e9sidus d’un mod\u00e8le d’ajustement entra\u00eene des distorsions statistiques majeures dont la gravit\u00e9 ne saurait \u00eatre sous-estim\u00e9e. Dans le cadre de l’estimation par les moindres carr\u00e9s ordinaires (MCO), le th\u00e9or\u00e8me de Gauss-Markov stipule que les estimateurs des coefficients ne sont les meilleurs estimateurs lin\u00e9aires non biais\u00e9s (propri\u00e9t\u00e9 BLUE) que sous la condition expresse que la matrice de variance-covariance des perturbations stochastiques soit scalaire, c’est-\u00e0-dire que les r\u00e9sidus soient homosc\u00e9dastiques et mutuellement non corr\u00e9l\u00e9s.<\/p>\n
Lorsque cette hypoth\u00e8se est viol\u00e9e par la pr\u00e9sence d’une autocorr\u00e9lation r\u00e9siduelle positive — situation empirique la plus courante —, les cons\u00e9quences inf\u00e9rentielles se d\u00e9ploient selon trois axes pr\u00e9judiciables :<\/p>\n
\n- Biais majeur dans l’estimation de la variance des param\u00e8tres :<\/strong> Bien que les estimateurs ponctuels des coefficients de r\u00e9gression demeurent math\u00e9matiquement sans biais et convergents, les formules conventionnelles de calcul de leurs erreurs-types sous-estiment drastiquement la v\u00e9ritable dispersion d’\u00e9chantillonnage. En effet, la corr\u00e9lation s\u00e9rielle positive induit une redondance de l’information temporelle, de sorte que le nombre effectif d’observations ind\u00e9pendantes est substantiellement inf\u00e9rieur \u00e0 la taille nominale $n$<\/span> de l’\u00e9chantillon.<\/li>\n
- Inflation dramatique du taux d’erreur de type I :<\/strong> La sous-estimation des erreurs-types conduit in\u00e9vitablement \u00e0 une sur\u00e9valuation artificielle des statistiques de test conventionnelles (telles que le test $t$<\/span> de Student ou le test $F$<\/span> de Fisher). Des coefficients en r\u00e9alit\u00e9 purement al\u00e9atoires ou non significatifs affichent des valeurs de p artificiellement infimes, incitant le chercheur \u00e0 rejeter \u00e0 tort l’hypoth\u00e8se nulle d’absence d’effet et \u00e0 proclamer des d\u00e9couvertes illusoires.<\/li>\n
- Perte d’efficacit\u00e9 et invalidation des intervalles de pr\u00e9diction :<\/strong> Les estimateurs perdent leur propri\u00e9t\u00e9 d’efficacit\u00e9 asymptotique, ce qui signifie qu’ils ne poss\u00e8dent plus la variance minimale au sein de la classe des estimateurs lin\u00e9aires. Corr\u00e9lativement, les intervalles de confiance et les bandes de pr\u00e9diction calcul\u00e9s pour des horizons temporels futurs deviennent erron\u00e9s et trompeusement \u00e9troits, conf\u00e9rant un faux sentiment de pr\u00e9cision \u00e0 des pr\u00e9visions fondamentalement vuln\u00e9rables.<\/li>\n<\/ul>\n
2.3 Autocorr\u00e9lation simple versus autocorr\u00e9lation partielle<\/h3>\n
L’investigation de la structure s\u00e9rielle d’une s\u00e9rie temporelle ou de ses r\u00e9sidus n\u00e9cessite une ma\u00eetrise approfondie de deux outils math\u00e9matiques compl\u00e9mentaires : la fonction d’autocorr\u00e9lation simple (ACF, pour Autocorrelation Function<\/em>) et la fonction d’autocorr\u00e9lation partielle (PACF, pour Partial Autocorrelation Function<\/em>). Comprendre leur distinction conceptuelle est indispensable pour saisir la port\u00e9e et les limites du test de Ljung-Box.<\/p>\nLa fonction d’autocorr\u00e9lation simple mesure la corr\u00e9lation globale brute existant entre $e_t$<\/span> et $e_{t-k}$<\/span>, sans contr\u00f4ler ni ajuster l’effet indirect qui transite par l’ensemble des observations interm\u00e9diaires situ\u00e9es entre ces deux points temporels ($e_{t-1}, e_{t-2}, dots, e_{t-k+1}$<\/span>). Par cons\u00e9quent, si un processus g\u00e9n\u00e8re une forte d\u00e9pendance d’ordre 1 ($\\rho_1 \\neq 0$<\/span>), cette corr\u00e9lation se propagera m\u00e9caniquement aux retards ult\u00e9rieurs, induisant une autocorr\u00e9lation simple d’ordre 2 non nulle ($\\rho_2 \\approx \\rho_1^2$<\/span>), quand bien m\u00eame il n’existerait aucune connexion directe entre $t$<\/span> et $t-2$<\/span>. C’est pr\u00e9cis\u00e9ment cette fonction d’autocorr\u00e9lation simple cumul\u00e9e que le test de Ljung-Box int\u00e8gre dans sa statistique globale.<\/p>\n\u00c0 l’inverse, la fonction d’autocorr\u00e9lation partielle isole et quantifie la corr\u00e9lation r\u00e9siduelle pure existant entre $e_t$<\/span> et $e_{t-k}$<\/span>, apr\u00e8s avoir \u00e9limin\u00e9 par projection lin\u00e9aire l’influence exerc\u00e9e par l’ensemble des variables interm\u00e9diaires. Math\u00e9matiquement, le coefficient d’autocorr\u00e9lation partielle d’ordre $k$<\/span>, not\u00e9 $\\alpha_k$<\/span> ou $\\phi_{kk}$<\/span>, correspond au dernier coefficient du mod\u00e8le autor\u00e9gressif lin\u00e9aire d’ordre $k$<\/span> ajust\u00e9 sur la s\u00e9rie :<\/p>\n$$e_t = \\phi_{k,1} e_{t-1} + \\phi_{k,2} e_{t-2} + dots + \\phi_{k,k} e_{t-k} + u_t$$<\/span><\/p>\nAlors que la combinaison analytique de l’ACF et de la PACF est primordiale lors de la phase d’identification initiale des mod\u00e8les de Box-Jenkins — l’extinction exponentielle de l’ACF combin\u00e9e \u00e0 la coupure nette de la PACF signalant un processus autor\u00e9gressif (AR), tandis que la configuration sym\u00e9trique d\u00e9note un processus \u00e0 moyennes mobiles (MA) —, la seule inspection visuelle de ces corr\u00e9logrammes s’av\u00e8re hautement pr\u00e9caire lors de la phase de validation diagnostique. Les fluctuations d’\u00e9chantillonnage induisent fr\u00e9quemment des d\u00e9passements marginaux des limites de Bartlett qui ne rel\u00e8vent que du bruit stochastique, tandis que de multiples d\u00e9viations sub-critiques peuvent dissimuler une d\u00e9pendance globale critique. Le test de Ljung-Box transcende cette subjectivit\u00e9 perceptive en apportant une quantification probabiliste unifi\u00e9e et rigoureuse de l’ACF globale.<\/p>\n
3. Cadre formel des hypoth\u00e8ses statistiques du test<\/h2>\n3.1 \u00c9nonciation rigoureuse de l’hypoth\u00e8se nulle (H0)<\/h3>\n
L’assise \u00e9pist\u00e9mologique de tout test d’ad\u00e9quation diagnostique r\u00e9side dans la d\u00e9finition formalis\u00e9e de l’hypoth\u00e8se nulle soumise \u00e0 l’\u00e9preuve empirique. Dans le cadre du test de Ljung-Box, l’hypoth\u00e8se nulle, conventionnellement not\u00e9e $H_0$<\/span>, s’\u00e9nonce comme l’absence absolue de d\u00e9pendance s\u00e9rielle lin\u00e9aire au sein de la population g\u00e9n\u00e9ratrice pour l’int\u00e9gralit\u00e9 des d\u00e9calages temporels discrets allant du premier ordre jusqu’\u00e0 l’ordre maximal sp\u00e9cifi\u00e9 $h$<\/span>.<\/p>\nSur le plan alg\u00e9brique, cette hypoth\u00e8se prend la forme d’un syst\u00e8me vectoriel d’\u00e9galit\u00e9s strictes :<\/p>\n
$$H_0 : \\rho_1 = \\rho_2 = \\rho_3 = dots = \\rho_h = 0$$<\/span><\/p>\nO\u00f9 $\\rho_k$<\/span> d\u00e9signe le v\u00e9ritable coefficient d’autocorr\u00e9lation de la population au retard $k$<\/span>. Sous cette hypoth\u00e8se, le processus stochastique g\u00e9n\u00e9rateur ${e_t}$<\/span> est postul\u00e9 comme \u00e9tant non corr\u00e9l\u00e9 \u00e0 travers le temps. Si l’on adjoint \u00e0 ce cadre une hypoth\u00e8se de normalit\u00e9 gaussienne — ce qui est standard dans la majorit\u00e9 des mod\u00e8les d’inf\u00e9rence en s\u00e9ries temporelles —, l’absence de corr\u00e9lation lin\u00e9aire implique l’ind\u00e9pendance stochastique mutuelle compl\u00e8te des perturbations stochastiques :<\/p>\n$$e_t \\stackrel{\\text{i.i.d.}}{\\sim} \\mathcal{N}(0, \\sigma^2)$$<\/span><\/p>\nL’interpr\u00e9tation op\u00e9rationnelle du non-rejet de l’hypoth\u00e8se nulle est fondamentale pour le chercheur : elle atteste que la s\u00e9rie de r\u00e9sidus soumise au test ne se distingue pas, d’un point de vue probabiliste, d’une r\u00e9alisation pure d’un processus de bruit blanc. D\u00e8s lors, le mod\u00e8le dont sont issus ces r\u00e9sidus est d\u00e9clar\u00e9 structurellement ad\u00e9quat en ce qui concerne la capture de la d\u00e9pendance lin\u00e9aire du signal, autorisant ainsi l’utilisateur \u00e0 exploiter ses pr\u00e9dictions et ses inf\u00e9rences de param\u00e8tres sans craindre de distorsions dues \u00e0 la m\u00e9moire temporelle r\u00e9siduelle.<\/p>\n
3.2 Formulation de l’hypoth\u00e8se alternative (HA)<\/h3>\n
\u00c0 l’oppos\u00e9 de cette condition d’orthogonalit\u00e9 temporelle, l’hypoth\u00e8se alternative, not\u00e9e $H_1$<\/span> ou $H_A$<\/span>, postule la fausset\u00e9 du postulat d’ind\u00e9pendance conjointe. En termes logiques et ensemblistes, $H_A$<\/span> ne requiert aucunement que l’int\u00e9gralit\u00e9 des coefficients d’autocorr\u00e9lation jusqu’au d\u00e9calage $h$<\/span> soit diff\u00e9rente de z\u00e9ro. Elle s’\u00e9nonce rigoureusement comme l’existence d’au moins un d\u00e9calage temporel $k in {1, 2, dots, h}$<\/span> pour lequel le coefficient d’autocorr\u00e9lation de la population diverge de z\u00e9ro :<\/p>\n$$H_A : \\exists , k in {1, 2, dots, h} \\quad \\text{tel que} \\quad \\rho_k \\neq 0$$<\/span><\/p>\nCette formulation probabiliste conf\u00e8re au test de Ljung-Box sa nature profond\u00e9ment non directionnelle et omnibus. L’hypoth\u00e8se alternative englobe un spectre extr\u00eamement vaste de dynamiques stochastiques r\u00e9siduelles, allant d’une structure autor\u00e9gressive simple d’ordre 1 r\u00e9siduelle ($AR(1)$<\/span> non capt\u00e9) \u00e0 des oscillations saisonni\u00e8res lointaines (telles qu’une corr\u00e9lation subsistant uniquement au retard $k=7$<\/span> pour des donn\u00e9es journali\u00e8res ou $k=12$<\/span> pour des donn\u00e9es mensuelles), en passant par des combinaisons complexes d’effets moyennes mobiles distribu\u00e9s.<\/p>\nD’un point de vue th\u00e9orique ou clinique, le rejet de l’hypoth\u00e8se nulle au profit de l’hypoth\u00e8se alternative porte une signification sans \u00e9quivoque : les r\u00e9sidus contiennent encore un signal structur\u00e9 que le mod\u00e8le n’a pas r\u00e9ussi \u00e0 formaliser. Ce rejet d\u00e9nonce formellement une sous-sp\u00e9cification du mod\u00e8le math\u00e9matique. En mod\u00e9lisation psychologique, par exemple, cela peut indiquer qu’un mod\u00e8le autor\u00e9gressif na\u00eff n’a pas tenu compte de la non-lin\u00e9arit\u00e9 des dynamiques d’\u00e9vitement ou de l’impact diff\u00e9r\u00e9 de stresseurs environnementaux r\u00e9currents, invalidant ainsi les conclusions relatives aux constantes de temps d’adaptation psychologique de l’individu.<\/p>\n
3.3 L’objectif m\u00e9thodologique : \u00e9chouer \u00e0 rejeter l’hypoth\u00e8se nulle<\/h3>\n
L’application du test de Ljung-Box dans la d\u00e9marche d’ing\u00e9nierie statistique et d’\u00e9valuation des mod\u00e8les temporels impose un renversement philosophique complet de la posture usuelle de l’exp\u00e9rimentateur vis-\u00e0-vis du test de significativit\u00e9 de l’hypoth\u00e8se nulle (NHST). Alors que dans la majorit\u00e9 des protocoles exp\u00e9rimentaux conventionnels en sciences sociales, le chercheur aspire avec ferveur \u00e0 rejeter l’hypoth\u00e8se nulle — esp\u00e9rant exhiber une valeur de p inf\u00e9rieure \u00e0 0,05 afin d’attester l’existence d’une diff\u00e9rence de moyennes ou d’une corr\u00e9lation substantielle —, la phase de v\u00e9rification diagnostique impose une t\u00e9l\u00e9ologie m\u00e9thodologique rigoureusement inverse.<\/p>\n
Dans la validation d’un mod\u00e8le ARIMA ou autor\u00e9gressif, le succ\u00e8s m\u00e9thodologique se traduit par l’\u00e9chec du rejet de l’hypoth\u00e8se nulle<\/strong>. Le chercheur cherche activement \u00e0 observer une p-valeur tr\u00e8s nettement sup\u00e9rieure au seuil de significativit\u00e9 nominal ($\\alpha = 0{,}05$<\/span>, et id\u00e9alement sup\u00e9rieure \u00e0 $0{,}10$<\/span> ou $0{,}20$<\/span>), car ce r\u00e9sultat indique la conformit\u00e9 des r\u00e9sidus avec les propri\u00e9t\u00e9s d’un bruit blanc id\u00e9al. Cette inversion impose une vigilance \u00e9pist\u00e9mologique accrue quant au danger de confondre \u00ab l’absence de preuve \u00bb avec \u00ab la preuve de l’absence \u00bb.<\/p>\nEn effet, un \u00e9chec du rejet de $H_0$<\/span> ne garantit pas de fa\u00e7on absolue que les r\u00e9sidus sont parfaitement ind\u00e9pendants ; il indique simplement que les donn\u00e9es observ\u00e9es ne fournissent pas une \u00e9vidence statistique suffisante pour discr\u00e9diter le postulat de non-corr\u00e9lation sur l’horizon temporel $h$<\/span> consid\u00e9r\u00e9. Ce risque de fausse r\u00e9assurance est d’autant plus pr\u00e9gnant lorsque la puissance statistique du test est brid\u00e9e par un \u00e9chantillon d’observations de taille r\u00e9duite ($n < 50$), situation fr\u00e9quente dans les protocoles cliniques individualis\u00e9s. Il appartient d\u00e8s lors au praticien d'\u00e9valuer conjointement cette p-valeur avec la taille des effets d'autocorr\u00e9lation empiriques et les crit\u00e8res de robustesse statistique aff\u00e9rents.<\/p>\n4. Formulation math\u00e9matique et d\u00e9rivation de la statistique de test<\/h2>\n4.1 L’\u00e9quation formelle de la statistique Q de Ljung-Box<\/h3>\n
Pour d\u00e9passer les limitations analytiques de la statistique primitive de Box-Pierce et corriger l’\u00e9cart distributionnel observ\u00e9 en petits \u00e9chantillons, Greta Ljung et George Box ont d\u00e9velopp\u00e9 une m\u00e9trique pond\u00e9r\u00e9e remarquable. La statistique de test de Ljung-Box, conventionnellement d\u00e9sign\u00e9e par la lettre $Q$<\/span> ou $Q_{LB}$<\/span>, s’exprime au moyen de l’\u00e9quation math\u00e9matique explicite suivante :<\/p>\n$$Q = n(n + 2) \\sum_{k=1}^{h} \\frac{\\hat{\\rho}_k^2}{n – k}$$<\/span><\/p>\nUne d\u00e9composition rigoureuse de l’architecture de cette formule r\u00e9v\u00e8le l’ing\u00e9nierie math\u00e9matique mise en \u0153uvre pour pr\u00e9server l’ad\u00e9quation distributionnelle :<\/p>\n
\n- Le facteur multiplicatif externe $n(n + 2)$<\/span> :<\/strong> Ce terme d’amplification global compense la r\u00e9duction syst\u00e9matique de l’esp\u00e9rance de la statistique d’\u00e9chantillonnage lorsque la taille $n$<\/span> d\u00e9cro\u00eet, agissant conjointement avec les d\u00e9nominateurs individuels pour recalibrer les deux premiers moments de la loi empirique sur ceux de la loi du Chi-deux th\u00e9orique.<\/li>\n
- Le d\u00e9nominateur de pond\u00e9ration $(n – k)$<\/span> :<\/strong> Ce terme repr\u00e9sente le nombre r\u00e9el de paires d’observations disponibles pour estimer la corr\u00e9lation s\u00e9rielle au d\u00e9calage temporel $k$<\/span>. Lorsque le retard $k$<\/span> cro\u00eet, le nombre de donn\u00e9es chevauchantes d\u00e9cro\u00eet inexorablement selon la formule $n – k$<\/span>. Par cons\u00e9quent, la variance d’\u00e9chantillonnage de l’autocorr\u00e9lation empirique $\\hat{\\rho}_k$<\/span> n’est pas simplement \u00e9gale \u00e0 $1\/n$<\/span> — comme le postulait l’approximation asymptotique na\u00efve de Box-Pierce —, mais s’accro\u00eet selon un facteur proportionnel \u00e0 $(n – k)^{-1}$<\/span>. En divisant $\\hat{\\rho}_k^2$<\/span> par $(n – k)$<\/span>, Ljung et Box normalisent pr\u00e9cis\u00e9ment chaque carr\u00e9 par sa variance asymptotique exacte sous l’hypoth\u00e8se nulle.<\/li>\n
- La sensibilit\u00e9 diff\u00e9rentielle accord\u00e9e aux retards :<\/strong> La fraction $(n+2)\/(n-k)$<\/span> conf\u00e8re un poids sup\u00e9rieur aux retards temporels les plus \u00e9lev\u00e9s comparativement aux d\u00e9calages initiaux. Cette propri\u00e9t\u00e9 est essentielle pour contrer le biais d’att\u00e9nuation qui touche naturellement l’estimation des corr\u00e9lations \u00e9loign\u00e9es dans les \u00e9chantillons finis.<\/li>\n<\/ul>\n
4.2 D\u00e9composition analytique des param\u00e8tres de la formule<\/h3>\n
Pour impl\u00e9menter manuellement ou programmer informatiquement le calcul de cette statistique, il convient de d\u00e9finir avec une pr\u00e9cision math\u00e9matique totale chacun des symboles intervenant dans son expression :<\/p>\n
La grandeur $n$<\/span> symbolise le nombre d’observations effectives<\/strong> de la s\u00e9rie chronologique soumise \u00e0 analyse. S’il s’agit d’une s\u00e9rie temporelle brute exempte de transformations pr\u00e9alables, $n$<\/span> repr\u00e9sente la longueur totale de l’\u00e9chantillon. Toutefois, si la s\u00e9rie a subi des diff\u00e9rentiations successives pour \u00e9liminer des tendances (comme dans un mod\u00e8le $ARIMA(p, d, q)$<\/span> o\u00f9 $d \\geq 1$<\/span>), la taille $n$<\/span> d\u00e9signe strictement le nombre de donn\u00e9es diff\u00e9renti\u00e9es disponibles pour l’ajustement, soit $n = N – d$<\/span>, o\u00f9 $N$<\/span> est la taille de la s\u00e9rie brute initiale.<\/p>\nLe param\u00e8tre $\\hat{\\rho}_k$<\/span> repr\u00e9sente le coefficient d’autocorr\u00e9lation empirique<\/strong> au d\u00e9calage $k$<\/span>, estim\u00e9 \u00e0 partir des r\u00e9sidus centr\u00e9s ${e_t}_{t=1}^n$<\/span> du mod\u00e8le, conform\u00e9ment \u00e0 la formule standard de Box-Jenkins :<\/p>\n$$\\hat{\\rho}_k = \\frac{\\sum_{t=k+1}^{n} (e_t – \\bar{e})(e_{t-k} – \\bar{e})}{\\sum_{t=1}^{n} (e_t – \\bar{e})^2}$$<\/span><\/p>\nO\u00f9 $\\bar{e}$<\/span> d\u00e9signe la moyenne arithm\u00e9tique empirique des r\u00e9sidus. Dans la tr\u00e8s grande majorit\u00e9 des mod\u00e8les de s\u00e9ries temporelles comportant une constante d’interception correctement sp\u00e9cifi\u00e9e, la moyenne des r\u00e9sidus est rigoureusement nulle ($\\bar{e} = 0$<\/span>), simplifiant ainsi le calcul des sommes de produits crois\u00e9s.<\/p>\nL’indice de sommation $k$<\/span> s’\u00e9gr\u00e8ne de 1 jusqu’\u00e0 la borne sup\u00e9rieure $h$<\/span>, d\u00e9sign\u00e9e comme l’horizon de retards maximal<\/strong>. Ce param\u00e8tre d\u00e9limite la profondeur temporelle sur laquelle l’investigateur statistique souhaite interroger la structure d’ind\u00e9pendance de son mod\u00e8le. Sous l’hypoth\u00e8se nulle et lorsque la taille de l’\u00e9chantillon tend vers l’infini ($n to \\infty$<\/span>), le terme pond\u00e9rateur $\\frac{n(n+2)}{n-k}$<\/span> converge vers la quantit\u00e9 asymptotique $n$<\/span>, garantissant que la statistique de Ljung-Box poss\u00e8de rigoureusement la m\u00eame limite asymptotique que celle originellement conjectur\u00e9e par Box et Pierce, tout en b\u00e9n\u00e9ficiant de propri\u00e9t\u00e9s d’approximation d’une sup\u00e9riorit\u00e9 \u00e9clatante pour tout $n$<\/span> fini.<\/p>\n4.3 Comparaison structurelle avec la statistique de Box-Pierce<\/h3>\n
Pour mesurer pleinement la valeur ajout\u00e9e apport\u00e9e par la correction de Ljung-Box, il est indispensable de confronter sa structure \u00e0 celle de la statistique originale de Box-Pierce, traditionnellement not\u00e9e $Q_{BP}$<\/span> :<\/p>\n$$Q_{BP} = n \\sum_{k=1}^{h} \\hat{\\rho}_k^2$$<\/span><\/p>\nDans l’architecture de Box-Pierce, chaque carr\u00e9 du coefficient d’autocorr\u00e9lation empirique est invariablement multipli\u00e9 par la seule taille totale de l’\u00e9chantillon $n$<\/span>. Cette formulation repose sur l’hypoth\u00e8se hautement simplificatrice formul\u00e9e par Bartlett, selon laquelle pour un bruit blanc gaussien :<\/p>\n$$\\mathrm{Var}(\\hat{\\rho}_k) \\approx \\frac{1}{n} \\quad \\forall , k$$<\/span><\/p>\nCependant, comme l’ont formellement d\u00e9montr\u00e9 Ljung et Box \u00e0 l’aide de d\u00e9veloppements asymptotiques d’Edgeworth, cette approximation n’est valide qu’\u00e0 la limite $n to \\infty$<\/span> pour des retards fixes. Pour un \u00e9chantillon de taille mod\u00e9r\u00e9e ou m\u00eame moyenne (par exemple $n = 50$<\/span> ou $n = 100$<\/span>) et pour des d\u00e9calages temporels croissants ($k = 10, 15, 20$<\/span>), la variance exacte est notablement sous-\u00e9valu\u00e9e par $1\/n$<\/span> :<\/p>\n$$\\mathrm{Var}(\\hat{\\rho}_k) \\approx \\frac{n – k}{n(n + 2)} < \\frac{1}{n}$$<\/span><\/p>\nEn n\u00e9gligeant le terme correctif $(n-k)^{-1}$<\/span>, la formule de Box-Pierce produit une statistique empirique $Q_{BP}$<\/span> dont l’esp\u00e9rance math\u00e9matique empirique sous l’hypoth\u00e8se nulle est substantiellement inf\u00e9rieure \u00e0 son esp\u00e9rance th\u00e9orique sous la loi du Chi-deux ($E[X] = h$<\/span>). Il en r\u00e9sulte une statistique trop faible et, corr\u00e9lativement, une p-valeur syst\u00e9matiquement sur\u00e9valu\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n| Crit\u00e8re d’\u00e9valuation<\/th>\n | Statistique de Box-Pierce ($Q_{BP}$<\/span>)<\/th>\n | Statistique de Ljung-Box ($Q_{LB}$<\/span>)<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n\n\n| Formule alg\u00e9brique<\/td>\n | $n \\sum_{k=1}^h \\hat{\\rho}_k^2$<\/span><\/td>\n | $n(n+2) \\sum_{k=1}^h \\frac{\\hat{\\rho}_k^2}{n-k}$<\/span><\/td>\n<\/tr>\n\n| Pond\u00e9ration selon le retard $k$<\/span><\/td>\n | Uniforme pour tout $k$<\/span><\/td>\n | Croissante avec $k$<\/span> (terme $1\/(n-k)$<\/span>)<\/td>\n<\/tr>\n\n| Performance sur petits \u00e9chantillons<\/td>\n | D\u00e9ficiente (sous-estimation de la statistique)<\/td>\n | Optimale (moments ajust\u00e9s au Chi-deux)<\/td>\n<\/tr>\n | \n| Taux r\u00e9el d’erreur de type I ($\\alpha = 0{,}05$<\/span>)<\/td>\n | Sous-dimensionn\u00e9 ($\\approx 0{,}01$<\/span> \u00e0 $0{,}02$<\/span>)<\/td>\n | Proche de la valeur nominale ($\\approx 0{,}048$<\/span> \u00e0 $0{,}052$<\/span>)<\/td>\n<\/tr>\n\n| Recommandation d’usage contemporain<\/td>\n | Obsol\u00e8te, usage d\u00e9conseill\u00e9<\/td>\n | Standard de r\u00e9f\u00e9rence acad\u00e9mique et industriel<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n Les \u00e9tudes intensives de Monte Carlo r\u00e9alis\u00e9es au fil des d\u00e9cennies — notamment par Davies, Triggs et Newbold (1977) puis par Ljung (1986) — ont sans exception mis en exergue la sup\u00e9riorit\u00e9 \u00e9clatante de la correction de Ljung-Box. La statistique de Box-Pierce fait preuve d’un conservatisme pernicieux, \u00e9chouant fr\u00e9quemment \u00e0 d\u00e9tecter une r\u00e9elle corr\u00e9lation r\u00e9siduelle en raison d’une statistique artificiellement rabot\u00e9e. Le test de Ljung-Box restaure fid\u00e8lement la puissance du test statistique, garantissant la pr\u00e9servation du taux nominal d’erreur $\\alpha$<\/span> quel que soit l’\u00e9chantillon consid\u00e9r\u00e9.<\/p>\n5. Distribution asymptotique et d\u00e9termination de la r\u00e9gion de rejet<\/h2>\n5.1 La loi du Chi-deux et ses degr\u00e9s de libert\u00e9<\/h3>\nL’assise inf\u00e9rentielle du test de Ljung-Box s’appuie sur la convergence de la statistique d’\u00e9chantillonnage vers une loi de probabilit\u00e9 continue canonique : la distribution du Chi-deux ($\\chi^2$<\/span>). Sous l’hypoth\u00e8se nulle selon laquelle la s\u00e9rie observ\u00e9e d\u00e9coule d’un processus de bruit blanc stationnaire lin\u00e9aire, la statistique $Q$<\/span> converge en loi, lorsque la taille d’\u00e9chantillon $n$<\/span> cro\u00eet vers l’infini, vers une variable al\u00e9atoire suivant une loi du Chi-deux \u00e0 $h$<\/span> degr\u00e9s de libert\u00e9 :<\/p>\n$$Q x\\rightarrow{\\mathcal{D}} \\chi^2(h) \\quad \\text{(pour une s\u00e9rie brute)}$$<\/span><\/p>\nCette propri\u00e9t\u00e9 asymptotique d\u00e9rive directement de la th\u00e9orie centrale limite multivari\u00e9e. Sous l’hypoth\u00e8se d’ind\u00e9pendance, les coefficients d’autocorr\u00e9lation empiriques individuels convenablement mis \u00e0 l’\u00e9chelle, $\\sqrt{n}\\hat{\\rho}_k$<\/span>, sont mutuellement ind\u00e9pendants et suivent chacun asymptotiquement une loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite $\\mathcal{N}(0, 1)$<\/span>. En vertu de la d\u00e9finition de la loi du Chi-deux — qui repr\u00e9sente la somme des carr\u00e9s de variables al\u00e9atoires normales standard ind\u00e9pendantes —, la somme normalis\u00e9e des carr\u00e9s d’autocorr\u00e9lations converge naturellement vers la distribution $\\chi^2$<\/span> dont le nombre de degr\u00e9s de libert\u00e9 est rigoureusement \u00e9quivalent au nombre de composantes orthogonales somm\u00e9es, soit l’horizon $h$<\/span>.<\/p>\nLa distribution du Chi-deux se caract\u00e9rise par un support strictement positif ($[0, +\\infty[$<\/span>) et une asym\u00e9trie positive marqu\u00e9e, particuli\u00e8rement prononc\u00e9e lorsque le nombre de degr\u00e9s de libert\u00e9 est mod\u00e9r\u00e9. \u00c0 mesure que les degr\u00e9s de libert\u00e9 augmentent, sa densit\u00e9 s’\u00e9largit et gagne en sym\u00e9trie sous l’effet du th\u00e9or\u00e8me central limite. Cependant, il convient de souligner que si l’approximation de Ljung-Box am\u00e9liore consid\u00e9rablement les deux premiers moments de la distribution sur des \u00e9chantillons finis, des distorsions r\u00e9siduelles sur les queues de distribution peuvent persister si $n$<\/span> est particuli\u00e8rement r\u00e9duit comparativement \u00e0 un horizon $h$<\/span> inconsid\u00e9r\u00e9ment grand.<\/p>\n5.2 Ajustement obligatoire des degr\u00e9s de libert\u00e9 pour les r\u00e9sidus de mod\u00e8les ARMA\/ARIMA<\/h3>\nL’une des m\u00e9connaissances m\u00e9thodologiques les plus destructrices et fr\u00e9quemment constat\u00e9es dans la litt\u00e9rature scientifique r\u00e9side dans l’application na\u00efve des degr\u00e9s de libert\u00e9 sans tenir compte du statut de la s\u00e9rie \u00e9valu\u00e9e. La distribution asymptotique $Q \\sim \\chi^2(h)$<\/span> n’est rigoureusement exacte que si le test est appliqu\u00e9 \u00e0 une s\u00e9rie temporelle brute<\/strong>, directement observ\u00e9e et n’ayant subi aucun ajustement param\u00e9trique pr\u00e9alable.<\/p>\nLorsque le test de Ljung-Box est mobilis\u00e9 — conform\u00e9ment \u00e0 sa vocation principale — comme un diagnostic d’ad\u00e9quation appliqu\u00e9 sur les r\u00e9sidus d’un mod\u00e8le autor\u00e9gressif et moyenne mobile ajust\u00e9<\/strong> de type $ARMA(p, q)$<\/span> ou $ARIMA(p, d, q)$<\/span>, une correction drastique des degr\u00e9s de libert\u00e9 s’impose math\u00e9matiquement. En estimant les $p$<\/span> param\u00e8tres autor\u00e9gressifs ($\\phi_1, dots, \\phi_p$<\/span>) et les $q$<\/span> param\u00e8tres de moyenne mobile ($\\theta_1, dots, \\theta_q$<\/span>) par le maximum de vraisemblance ou les moindres carr\u00e9s non lin\u00e9aires, le chercheur impose de facto des contraintes lin\u00e9aires internes aux r\u00e9sidus. Ces contraintes privent les r\u00e9sidus de leur pleine ind\u00e9pendance stochastique, absorbant une fraction de leur variabilit\u00e9 s\u00e9rielle.<\/p>\nDans leur d\u00e9rivation math\u00e9matique historique, Box et Pierce (1970) ont formellement d\u00e9montr\u00e9 que la distribution asymptotique de la statistique de test calcul\u00e9e sur les r\u00e9sidus d’un processus ARMA n’est plus un $\\chi^2(h)$<\/span>, mais un $\\chi^2$<\/span> dont le nombre de degr\u00e9s de libert\u00e9 est amput\u00e9 du nombre total de param\u00e8tres structurels estim\u00e9s :<\/p>\n$$df = h – p – q$$<\/span><\/p>\nO\u00f9 $p$<\/span> est l’ordre autor\u00e9gressif et $q$<\/span> l’ordre de la composante moyenne mobile (les param\u00e8tres de diff\u00e9rentiation $d$<\/span> ou la constante ne sont g\u00e9n\u00e9ralement pas d\u00e9duits dans cette formule standard). Cette correction analytique sous-tend deux imp\u00e9ratifs m\u00e9thodologiques absolus :<\/p>\n\n- Interdiction des horizons de test inf\u00e9rieurs ou \u00e9gaux au nombre de param\u00e8tres :<\/strong> Il est strictement impossible d’\u00e9valuer la statistique de Ljung-Box pour un horizon de retards $h \\leq p + q$<\/span>. Une telle op\u00e9ration m\u00e8nerait \u00e0 des degr\u00e9s de libert\u00e9 nuls ou n\u00e9gatifs, d\u00e9nu\u00e9s de toute existence math\u00e9matique au sein de la famille du Chi-deux.<\/li>\n
- Distorsion majeure en cas d’omission du param\u00e8tre de correction :<\/strong> Plusieurs logiciels ou scripts statistiques rudimentaires \u00e9valuent par d\u00e9faut la p-valeur en retenant $df = h$<\/span>, ignorant l’ajustement aux param\u00e8tres du mod\u00e8le. Cette n\u00e9gligence entra\u00eene une sur\u00e9valuation critique des degr\u00e9s de libert\u00e9, qui d\u00e9place artificiellement le seuil critique vers la droite et conduit \u00e0 gonfler ind\u00fbment la p-valeur, validant faussement des mod\u00e8les porteurs d’autocorr\u00e9lation r\u00e9siduelle.<\/li>\n<\/ul>\n
5.3 D\u00e9finition du seuil critique et interpr\u00e9tation de la p-valeur<\/h3>\nL’inf\u00e9rence statistique formelle d\u00e9coule de la confrontation de la statistique empirique calcul\u00e9e $Q_{obs}$<\/span> \u00e0 la r\u00e9gion critique d\u00e9finie sur la distribution de r\u00e9f\u00e9rence. Puisque toute d\u00e9pendance s\u00e9rielle — qu’elle se manifeste sous forme de corr\u00e9lations positives ou n\u00e9gatives — \u00e9l\u00e8ve syst\u00e9matiquement la valeur des coefficients au carr\u00e9 ($\\hat{\\rho}_k^2 > 0$<\/span>), le test de Ljung-Box est par essence un test unilat\u00e9ral \u00e0 droite<\/strong> (test \u00e0 queue sup\u00e9rieure).<\/p>\nPour un seuil de significativit\u00e9 pr\u00e9d\u00e9termin\u00e9 $\\alpha$<\/span> (conventionnellement fix\u00e9 \u00e0 $0{,}05$<\/span>), la valeur critique $\\chi^2_{crit}(df, \\alpha)$<\/span> correspond au quantile d’ordre $1 – \\alpha$<\/span> de la loi du Chi-deux \u00e0 $df = h – p – q$<\/span> degr\u00e9s de libert\u00e9, v\u00e9rifiant la condition probabiliste :<\/p>\n$$P\\left(X > \\chi^2_{crit}(df, \\alpha)\\right) = \\alpha$$<\/span><\/p>\nLa r\u00e8gle de d\u00e9cision binaire s’\u00e9nonce comme suit :<\/p>\n \n- Si $Q_{obs} > \\chi^2_{crit}(df, \\alpha)$<\/span>, la statistique se situe dans la r\u00e9gion de rejet : l’hypoth\u00e8se nulle $H_0$<\/span> est rejet\u00e9e<\/strong> au seuil de risque $\\alpha$<\/span>. On conclut \u00e0 l’existence d’une d\u00e9pendance s\u00e9rielle significative au sein des r\u00e9sidus.<\/li>\n
- Si $Q_{obs} \\leq \\chi^2_{crit}(df, \\alpha)$<\/span>, la statistique r\u00e9side dans la r\u00e9gion d’acceptation : l’exp\u00e9rimentateur \u00e9choue \u00e0 rejeter<\/strong> l’hypoth\u00e8se nulle $H_0$<\/span>. L’ad\u00e9quation du mod\u00e8le est provisoirement valid\u00e9e.<\/li>\n<\/ul>\n
| | | | |