Dans le paysage contemporain de la mod\u00e9lisation statistique, de l’\u00e9conom\u00e9trie et de la psychom\u00e9trie computationnelle, le probl\u00e8me du choix de mod\u00e8le constitue l’un des d\u00e9fis m\u00e9thodologiques les plus critiques auxquels font face les chercheurs et analystes de donn\u00e9es. L’accroissement de la puissance de calcul et la disponibilit\u00e9 croissante de donn\u00e9es hautement multidimensionnelles incitent fr\u00e9quemment \u00e0 formuler des mod\u00e8les d’une complexit\u00e9 algorithmique d\u00e9mesur\u00e9e. Cependant, l’augmentation du nombre de param\u00e8tres libres dans une sp\u00e9cification statistique s’accompagne in\u00e9vitablement d’une vuln\u00e9rabilit\u00e9 accrue au surapprentissage, r\u00e9duisant dramatiquement la validit\u00e9 externe et la port\u00e9e reproductible des inf\u00e9rences scientifiques. Face \u00e0 cet \u00e9cueil, les crit\u00e8res d’information p\u00e9nalis\u00e9s se sont impos\u00e9s comme des outils d’arbitrage indispensables entre la qualit\u00e9 d’ajustement empirique et la parcimonie structurelle des mod\u00e8les concurrents.<\/p>\n
Le crit\u00e8re d’information bay\u00e9sien, d\u00e9sign\u00e9 sous l’acronyme BIC pour Bayesian Information Criterion<\/em><\/a> ou crit\u00e8re de Schwarz, occupe une place pr\u00e9pond\u00e9rante dans cette taxonomie d\u00e9cisionnelle. Ancr\u00e9 dans les fondements de la th\u00e9orie de la d\u00e9cision bay\u00e9sienne et de l’analyse asymptotique, le BIC propose une formalisation rigoureuse du c\u00e9l\u00e8bre rasoir d’Ockham en introduisant une p\u00e9nalisation explicite et proportionnelle \u00e0 la fois au nombre de coefficients estim\u00e9s et au logarithme n\u00e9p\u00e9rien de la taille de l’\u00e9chantillon. Cette caract\u00e9ristique lui conf\u00e8re une propri\u00e9t\u00e9 asymptotique singuli\u00e8re, la consistance, qui le distingue fondamentalement d’autres m\u00e9triques telles que le crit\u00e8re d’information d’Akaike (AIC).<\/p>\n L’environnement statistique R offre un \u00e9cosyst\u00e8me d’une souplesse remarquable pour estimer, analyser et comparer le BIC sur une multitude d’architectures de mod\u00e8les, allant des r\u00e9gressions lin\u00e9aires par moindres carr\u00e9s ordinaires jusqu’aux mod\u00e8les lin\u00e9aires g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9s et aux structures hi\u00e9rarchiques multiniveaux. Ce guide exhaustif explore l’ensemble des ramifications th\u00e9oriques, math\u00e9matiques et informatiques relatives au calcul du BIC dans R. En combinant d\u00e9rivation analytique des \u00e9quations sous-jacentes, d\u00e9composition manuelle d’algorithmes et manipulation approfondie des fonctions natives et sp\u00e9cialis\u00e9es du langage, cette ressource ambitionne de doter la communaut\u00e9 scientifique d’une compr\u00e9hension doctrinale et pratique sans compromis.<\/p>\n Le crit\u00e8re d’information bay\u00e9sien a \u00e9t\u00e9 formul\u00e9 par le math\u00e9maticien et statisticien Gideon Schwarz dans un article s\u00e9minal publi\u00e9 en 1978 au sein des Annals of Statistics<\/em>, intitul\u00e9 \u00ab Estimating the Dimension of a Model \u00bb. Dans ce travail fondateur, Schwarz cherchait \u00e0 r\u00e9soudre la probl\u00e9matique r\u00e9currente de la s\u00e9lection de dimension dans les mod\u00e8les lin\u00e9aires embo\u00eet\u00e9s sans d\u00e9pendre d’un seuil de signification conventionnel ou arbitraire, tel que la valeur p issue d’un test d’hypoth\u00e8se de rapport de vraisemblance.<\/p>\n Sur le plan th\u00e9orique, le BIC d\u00e9coule d’une approximation par la m\u00e9thode du point-selle (ou approximation de Laplace) de l’int\u00e9grale d\u00e9finissant la vraisemblance marginale d’un mod\u00e8le sous un a priori diffus ou faiblement informatif. Lorsque la taille d’\u00e9chantillon n tend vers l’infini, le logarithme de la probabilit\u00e9 a posteriori int\u00e9gr\u00e9e d’un mod\u00e8le statistique se d\u00e9compose en un terme principal domin\u00e9 par le maximum de la fonction de log-vraisemblance et un terme d’ordre inf\u00e9rieur refl\u00e9tant l’incertitude param\u00e9trique, formalis\u00e9 par le produit de la dimension du mod\u00e8le par le logarithme de la taille de l’\u00e9chantillon.<\/p>\n Cette approche consacre une rupture paradigmatique par rapport \u00e0 l’inf\u00e9rence statistique fr\u00e9quentiste classique. Alors que la tradition de Neyman-Pearson s’attache \u00e0 contr\u00f4ler l’erreur de type I via des tests d’hypoth\u00e8ses nulles souvent rigides, la perspective initi\u00e9e par Schwarz positionne le statisticien dans une logique de comparaison bay\u00e9sienne o\u00f9 chaque mod\u00e8le candidat se voit attribuer une probabilit\u00e9 relative d’avoir g\u00e9n\u00e9r\u00e9 les donn\u00e9es observ\u00e9es. Le principe de parcimonie ne rel\u00e8ve d\u00e8s lors plus d’une pr\u00e9f\u00e9rence philosophique subjective mais \u00e9merge naturellement de l’int\u00e9gration analytique sur l’espace des param\u00e8tres.<\/p>\n Dans les sciences comportementales, cognitives et sociales, les chercheurs sont confront\u00e9s \u00e0 des syst\u00e8mes complexes caract\u00e9ris\u00e9s par une variabilit\u00e9 r\u00e9siduelle substantielle et de multiples sources potentielles de confusion. L’utilit\u00e9 m\u00e9thodologique du BIC s’av\u00e8re particuli\u00e8rement critique dans la gestion du compromis universel entre le biais d’omission de variables et la variance d’estimation param\u00e9trique. Ajouter des variables explicatives au sein d’une \u00e9quation structurelle am\u00e9liore in\u00e9luctablement le coefficient de d\u00e9termination R-carr\u00e9 au sein de l’\u00e9chantillon d’apprentissage, cr\u00e9ant l’illusion d’une explication th\u00e9orique plus robuste alors m\u00eame que le mod\u00e8le peut capturer un simple bruit stochastique.<\/p>\n La pr\u00e9vention du surapprentissage rev\u00eat une acuit\u00e9 majeure dans les devis de recherche exp\u00e9rimentaux et quasi-exp\u00e9rimentaux o\u00f9 la taille de l’\u00e9chantillon est contrainte par des limites logistiques, financi\u00e8res ou \u00e9thiques. Un mod\u00e8le satur\u00e9 qui \u00e9pouse fid\u00e8lement les singularit\u00e9s idiosynchratiques d’un \u00e9chantillon restreint \u00e9chouera in\u00e9vitablement \u00e0 reproduire ses pr\u00e9dictions sur de nouveaux participants ou dans d’autres laboratoires. Le BIC impose un co\u00fbt num\u00e9rique s\u00e9v\u00e8re pour chaque degr\u00e9 de libert\u00e9 consomm\u00e9, agissant comme un garde-fou m\u00e9thodologique contre l’inflation non contr\u00f4l\u00e9e des composantes latentes ou des termes d’interaction superflus.<\/p>\n En outre, l’application du crit\u00e8re de Schwarz s’av\u00e8re d\u00e9terminante pour la validation de th\u00e9ories psychom\u00e9triques concurrentes. Qu’il s’agisse de trancher entre une structure factorielle unidimensionnelle et un mod\u00e8le bifactoriel hi\u00e9rarchique, ou de s\u00e9lectionner le sch\u00e9ma de covariance le plus vraisemblable dans un mod\u00e8le de croissance latente, le BIC fournit une m\u00e9trique scalaire objective et standardis\u00e9e. Cette quantification rigoureuse de l’\u00e9vidence garantit une comparabilit\u00e9 transdisciplinaire indispensable \u00e0 la reproductibilit\u00e9 des inf\u00e9rences scientifiques.<\/p>\n La r\u00e8gle d\u00e9cisionnelle fondamentale pr\u00e9sidant \u00e0 l’\u00e9valuation des sp\u00e9cifications concurrentes repose sur un principe de minimisation : le mod\u00e8le statistiquement optimal, au sein de l’ensemble fini des candidats soumis \u00e0 l’\u00e9valuation, est invariablement celui qui pr\u00e9sente la valeur num\u00e9rique de BIC la plus faible. Il est essentiel de souligner que la valeur absolue brute d’un score BIC ne poss\u00e8de que peu de signification intrins\u00e8que isol\u00e9e ; seule la diff\u00e9rence arithm\u00e9tique relative entre deux scores renseigne le mod\u00e9lisateur sur l’intensit\u00e9 du soutien empirique en faveur de l’une ou l’autre architecture.<\/p>\n Une variation n\u00e9gative de score BIC lors de l’adjonction d’un pr\u00e9dicteur indique que le gain en ad\u00e9quation empirique mesur\u00e9 par la log-vraisemblance compense largement la p\u00e9nalit\u00e9 logarithmique induite par le param\u00e8tre suppl\u00e9mentaire. Inversement, une augmentation du score BIC atteste que la diminution de l’erreur r\u00e9siduelle demeure insuffisante face \u00e0 la complexit\u00e9 structurelle nouvellement conc\u00e9d\u00e9e, justifiant le rejet de cette sp\u00e9cification plus lourde.<\/p>\n Il importe enfin de distinguer conceptuellement la qualit\u00e9 d’ajustement globale de l’utilit\u00e9 pr\u00e9dictive. Le BIC ne valide pas l’exactitude ontologique d’un mod\u00e8le statistique au sens absolu, mais classe un ensemble restreint de propositions th\u00e9oriques quantitatives. Un mod\u00e8le affichant le BIC minimal peut demeurer structurellement insatisfaisant si l’espace des mod\u00e8les explor\u00e9s souffre d’une mauvaise formulation th\u00e9orique initiale. Le crit\u00e8re doit donc \u00eatre mobilis\u00e9 conjointement avec des inspections graphiques diagnostiques des r\u00e9sidus et des \u00e9valuations de pertinence th\u00e9orique de fond.<\/p>\n La formulation analytique g\u00e9n\u00e9rale du crit\u00e8re d’information bay\u00e9sien s’\u00e9nonce selon l’\u00e9quation canonique suivante :<\/p>\n BIC = -2 * ln(L) + k * ln(n)<\/p>\n Dans cette expression fondamentale, la composante L d\u00e9signe la valeur maximale atteinte par la fonction de vraisemblance conjointe des donn\u00e9es conditionnellement aux param\u00e8tres optimaux du mod\u00e8le, calcul\u00e9e selon la m\u00e9thode du maximum de vraisemblance. Le terme -2 * ln(L), souvent d\u00e9sign\u00e9 sous le vocable de d\u00e9viance non calibr\u00e9e, quantifie l’ad\u00e9quation empirique brute entre la distribution observ\u00e9e des variables d\u00e9pendantes et la distribution th\u00e9orique postul\u00e9e par la famille param\u00e9trique s\u00e9lectionn\u00e9e. Plus cette valeur est faible, plus le mod\u00e8le th\u00e9orique est capable de reproduire les r\u00e9gularit\u00e9s pr\u00e9sentes dans la matrice empirique.<\/p>\n Le second terme, formalis\u00e9 par le produit k * ln(n), constitue la p\u00e9nalit\u00e9 param\u00e9trique explicite. La variable scalaire k repr\u00e9sente la dimension dimensionnelle int\u00e9grale du mod\u00e8le, c’est-\u00e0-dire le nombre total de param\u00e8tres libres devant \u00eatre estim\u00e9s empiriquement \u00e0 partir des donn\u00e9es. Cela englobe non seulement les coefficients de r\u00e9gression associ\u00e9s aux variables explicatives, mais \u00e9galement l’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine (l’intercept) ainsi que tout param\u00e8tre d’\u00e9chelle auxiliaire, tel que la variance de l’erreur r\u00e9siduelle dans les mod\u00e8les lin\u00e9aires gaussiens. La grandeur n correspond quant \u00e0 elle au nombre total d’observations ind\u00e9pendantes constituant l’\u00e9chantillon d’analyse.<\/p>\n La validit\u00e9 math\u00e9matique de cette approximation asymptotique repose sur des hypoth\u00e8ses de r\u00e9gularit\u00e9 statistique strictes issues de la th\u00e9orie du maximum de vraisemblance : l’espace des param\u00e8tres doit \u00eatre compact, le v\u00e9ritable vecteur de param\u00e8tres ne doit pas se situer sur la fronti\u00e8re de cet espace, et la fonction de log-vraisemblance doit \u00eatre deux fois contin\u00fbment diff\u00e9rentiable au voisinage du point d’estimation maximale, admettant une matrice d’information de Fisher d\u00e9finie positive.<\/p>\n Dans le cadre particulier et largement r\u00e9pandu de la r\u00e9gression lin\u00e9aire multiple univari\u00e9e, o\u00f9 l’on formule l’hypoth\u00e8se canonique selon laquelle les r\u00e9sidus sont ind\u00e9pendants et identiquement distribu\u00e9s selon une loi normale d’esp\u00e9rance nulle et de variance homosc\u00e9dastique constante, la fonction de log-vraisemblance s’exprime directement en fonction de la somme des carr\u00e9s des r\u00e9sidus (RSS, pour Residual Sum of Squares<\/em>). En substituant l’estimateur du maximum de vraisemblance de la variance r\u00e9siduelle au sein de l’\u00e9quation de vraisemblance gaussienne multivari\u00e9e, on obtient une d\u00e9rivation analytique sp\u00e9cifique du BIC :<\/p>\n BIC = n * ln(RSS \/ n) + k * ln(n) + C<\/p>\n Dans cette \u00e9quation, la constante additive C est une fonction exclusive de la taille de l’\u00e9chantillon n et de constantes universelles telles que pi (C = n * (ln(2 * pi) + 1)). \u00c9tant donn\u00e9 que cette constante demeure rigoureusement invariante d’un mod\u00e8le \u00e0 l’autre d\u00e8s lors que la base de donn\u00e9es analys\u00e9e est strictement constante, elle est fr\u00e9quemment omise ou neutralis\u00e9e dans les comparaisons algorithmiques, conduisant \u00e0 la formule op\u00e9rationnelle suivante :<\/p>\n BIC = n * ln(RSS \/ n) + k * ln(n)<\/p>\n Il existe \u00e9galement dans la litt\u00e9rature \u00e9conom\u00e9trique une formulation normalis\u00e9e par l’\u00e9chantillon d’observation : BIC = (RSS + ln(n) * d * sigma_chapeau^2) \/ n, o\u00f9 d repr\u00e9sente le nombre de r\u00e9gresseurs et sigma_chapeau^2 un estimateur sans biais de la variance r\u00e9siduelle issue d’un mod\u00e8le complet de r\u00e9f\u00e9rence. N\u00e9anmoins, l’\u00e9quivalence formelle avec la formulation bas\u00e9e sur la log-vraisemblance maximale est pr\u00e9serv\u00e9e \u00e0 une transformation lin\u00e9aire pr\u00e8s, garantissant une coh\u00e9rence absolue dans l’ordonnancement final des sp\u00e9cifications concurrentes.<\/p>\n La singularit\u00e9 th\u00e9orique majeure du BIC r\u00e9side dans sa propri\u00e9t\u00e9 de consistance de s\u00e9lection (model selection consistency<\/em>). Un crit\u00e8re de s\u00e9lection est qualifi\u00e9 de consistant si la probabilit\u00e9 qu’il s\u00e9lectionne le v\u00e9ritable mod\u00e8le g\u00e9n\u00e9rateur des donn\u00e9es tend asymptotiquement vers 1 lorsque la taille de l’\u00e9chantillon n cro\u00eet vers l’infini, sous r\u00e9serve formelle que ce mod\u00e8le g\u00e9n\u00e9rateur fasse effectivement partie de l’ensemble ferm\u00e9 des sp\u00e9cifications concurrentes \u00e9valu\u00e9es par le chercheur.<\/p>\n Cette consistance d\u00e9coule directement de la vitesse de croissance logarithmique de la p\u00e9nalit\u00e9 param\u00e9trique k * ln(n). Alors que la p\u00e9nalit\u00e9 d’Akaike demeure fix\u00e9e \u00e0 2k quelle que soit la masse de donn\u00e9es accumul\u00e9e, la p\u00e9nalit\u00e9 du crit\u00e8re de Schwarz cro\u00eet de mani\u00e8re monotone et non born\u00e9e avec n. Par cons\u00e9quent, pour de tr\u00e8s grands volumes d’\u00e9chantillonnage, la p\u00e9nalit\u00e9 par param\u00e8tre devient suffisamment dominante pour \u00e9liminer impitoyablement toute variable auxiliaire pr\u00e9sentant un apport marginal insignifiant, \u00e9crasant ainsi la probabilit\u00e9 asymptotique de surparam\u00e9trisation.<\/p>\n Cependant, cette propri\u00e9t\u00e9 remarquable pr\u00e9sente un corollaire th\u00e9orique qu’il convient de ne jamais occulter : si le \u00ab vrai \u00bb mod\u00e8le sous-jacent est d’une dimensionnalit\u00e9 infinie ou s’il n’appartient pas \u00e0 la famille des sp\u00e9cifications postul\u00e9es (ce qui repr\u00e9sente la quasi-totalit\u00e9 des contextes empiriques r\u00e9els en psychologie et en sociologie), la s\u00e9v\u00e9rit\u00e9 de la p\u00e9nalisation logarithmique peut contraindre le chercheur \u00e0 s\u00e9lectionner une approximation excessivement simpliste au d\u00e9triment de l’efficacit\u00e9 pr\u00e9dictive globale.<\/p>\n Avant d’entreprendre l’impl\u00e9mentation algorithmique ou le calcul automatis\u00e9 du BIC, il est imp\u00e9ratif de configurer l’environnement de calcul R selon les pr\u00e9ceptes de la science ouverte et de la recherche computationnelle reproductible. Une session d’analyse doit \u00eatre initialis\u00e9e en r\u00e9initialisant si n\u00e9cessaire l’environnement global et en configurant des options globales d’affichage num\u00e9rique claires afin de pr\u00e9venir les troncatures scientifiques pr\u00e9matur\u00e9es qui pourraient masquer de faibles deltas d’information.<\/p>\n L’utilisation de la commande Bien que les fonctions fondamentales de calcul du BIC soient int\u00e9gr\u00e9es de mani\u00e8re native au sein de la distribution standard de R via le package Pour illustrer les calculs et proc\u00e9dures d\u00e9crits tout au long de cet article, nous mobilisons le jeu de donn\u00e9es classique L’inspection structurelle pr\u00e9alable d\u00e9bute par l’interrogation syst\u00e9matique des dimensions globales de l’objet \u00e0 l’aide des primitives L’application de la fonction L’une des fautes m\u00e9thodologiques les plus communes et les plus d\u00e9vastatrices dans l’application des crit\u00e8res d’information r\u00e9side dans la comparaison de mod\u00e8les ajust\u00e9s sur des \u00e9chantillons de tailles diff\u00e9rentes. Si un mod\u00e8le A inclut des covariables d\u00e9pourvues de valeurs manquantes tandis qu’un mod\u00e8le B incorpore un pr\u00e9dicteur additionnel pr\u00e9sentant des observations non renseign\u00e9es, l’interpr\u00e9teur R proc\u00e8dera par d\u00e9faut \u00e0 une suppression par liste (listwise deletion<\/em>) lors de l’estimation du mod\u00e8le B. La taille d’\u00e9chantillon effective n diminuera alors substantiellement pour cette seconde \u00e9quation.<\/p>\n Une telle disparit\u00e9 rend la comparaison directe des valeurs de BIC strictement ill\u00e9gitime sur le plan math\u00e9matique. La fonction de vraisemblance d’un \u00e9chantillon de taille n = 100 n’est en aucun cas comparable \u00e0 la fonction de vraisemblance calcul\u00e9e sur n = 85, car la distribution de probabilit\u00e9 conjointe sous-jacente ne porte pas sur le m\u00eame espace d’\u00e9chantillonnage. En cons\u00e9quence, les m\u00e9triques d’information deviennent totalement incommensurables.<\/p>\n Pour immuniser l’analyse contre cet \u00e9cueil, il est imp\u00e9ratif d’\u00e9tablir un sous-ensemble d’apprentissage parfaitement complet en amont de toute mod\u00e9lisation en utilisant des instructions de filtrage explicites telles que Afin de d\u00e9mystifier le fonctionnement interne des fonctions de s\u00e9lection de mod\u00e8les sous R, il convient de programmer manuellement le calcul du BIC \u00e0 partir de ses composantes scalaires fondamentales. Ajustons \u00e0 cette fin un mod\u00e8le de r\u00e9gression lin\u00e9aire multiple de base cherchant \u00e0 mod\u00e9liser la consommation ( Le mod\u00e8le est estim\u00e9 via l’instruction Simultan\u00e9ment, la taille effective de l’\u00e9chantillon d’analyse est isol\u00e9e de mani\u00e8re fiable \u00e0 l’aide de la fonction Nous pouvons d\u00e9sormais formaliser cette logique au sein d’une fonction R personnalis\u00e9e, d\u00e9montrant la traduction directe des \u00e9quations math\u00e9matiques en langage de programmation statistique :<\/p>\n L’\u00e9criture d’une telle routine prend la forme suivante :<\/p>\n Il importe de noter que cette fonction calcule la variante op\u00e9rationnelle sans les constantes universelles d’int\u00e9gration. Dans la litt\u00e9rature acad\u00e9mique, certains auteurs omettent d\u00e9lib\u00e9r\u00e9ment le terme additionnel correspondant au param\u00e8tre d’\u00e9chelle de variance r\u00e9siduelle dans le d\u00e9compte de k, en consid\u00e9rant k uniquement comme le nombre de colonnes de la matrice du plan d’exp\u00e9rience. Bien que cette convention n’alt\u00e8re en rien les deltas comparatifs entre mod\u00e8les partageant la m\u00eame distribution d’erreur, elle introduit un d\u00e9calage d’ordonn\u00e9e dans la valeur absolue finale qu’il est capital de documenter scrupuleusement pour assurer la tra\u00e7abilit\u00e9 des scripts d’analyse.<\/p>\n L’approche la plus universelle et rigoureuse sur le plan computationnel consiste \u00e0 extraire la log-vraisemblance maximale maximis\u00e9e de l’objet de mod\u00e8le via la m\u00e9thode g\u00e9n\u00e9rique L’impl\u00e9mentation script\u00e9e proc\u00e8de selon la logique suivante :<\/p>\n La confrontation syst\u00e9matique de la valeur obtenue par cette derni\u00e8re \u00e9quation avec celle retourn\u00e9e par l’\u00e9quation bas\u00e9e sur la somme des carr\u00e9s des r\u00e9sidus met en lumi\u00e8re l’impact exact des constantes d’int\u00e9gration normalis\u00e9es. La m\u00e9thode reposant sur Dans la pratique courante de l’analyse de donn\u00e9es, il n’est heureusement pas n\u00e9cessaire de reprogrammer syst\u00e9matiquement les \u00e9quations fondamentales. Le package de base L’ex\u00e9cution de la syntaxe unitaire est d’une concision exemplaire : L’analyse comparative de la sortie produite par L’un des atouts op\u00e9rationnels majeurs de la primitive Un mod\u00e8le univari\u00e9 simple : L’appel simultan\u00e9 Il existe au sein du package Pour \u00e9muler rigoureusement le comportement du BIC \u00e0 travers cette interface, il convient de modifier explicitement l’argument optionnel \u00c0 l’ex\u00e9cution, le mod\u00e9lisateur observera une divergence num\u00e9rique apparente entre le score retourn\u00e9 par Pour illustrer la mise en \u0153uvre pratique de la s\u00e9lection de mod\u00e8les guid\u00e9e par le BIC, d\u00e9ployons un protocole exp\u00e9rimental complet visant \u00e0 mod\u00e9liser la consommation \u00e9nerg\u00e9tique des v\u00e9hicules au sein du jeu de donn\u00e9es L’hypoth\u00e8se 1 postule un d\u00e9terminisme purement m\u00e9canique li\u00e9 \u00e0 la masse du v\u00e9hicule (Mod\u00e8le M1 : Afin de garantir une programmation modulaire et \u00e9l\u00e9gante, les mod\u00e8les statistiques concurrents sont ajust\u00e9s s\u00e9quentiellement et archiv\u00e9s au sein d’une structure de liste nomm\u00e9e en langage R. Cette approche facilite l’application d’it\u00e9rateurs fonctionnels et standardise les traitements ult\u00e9rieurs :<\/p>\n L’ajustement proc\u00e8de selon les commandes suivantes :<\/p>\n L’extraction comparative des m\u00e9triques d’ajustement conventionnelles met imm\u00e9diatement en relief le pi\u00e8ge classique des m\u00e9triques non p\u00e9nalis\u00e9es :<\/p>\n Le coefficient de d\u00e9termination R-carr\u00e9 cro\u00eet de mani\u00e8re monotone au fil de la complexit\u00e9 des mod\u00e8les, atteignant son z\u00e9nith absolu avec le mod\u00e8le M4. Si un analyste non averti se fiait exclusivement \u00e0 cette mesure, il opterait pour la sp\u00e9cification la plus lourde sans mesurer le risque de surparam\u00e9trisation encouru.<\/p>\n Proc\u00e9dons \u00e0 pr\u00e9sent \u00e0 l’extraction ordonn\u00e9e des scores de BIC et \u00e0 la d\u00e9rivation des \u00e9carts d’information relatifs. L’application d’un script structur\u00e9 permet de g\u00e9n\u00e9rer une table d’aide \u00e0 la d\u00e9cision m\u00e9thodologique :<\/p>\n Pour affiner l’analyse, calculons le diff\u00e9rentiel par rapport au mod\u00e8le le plus performant, d\u00e9fini formellement par Delta BIC = BIC_i – BIC_min, et ordonnons la structure tabulaire selon cette grandeur :<\/p>\n L’examen des r\u00e9sultats r\u00e9v\u00e8le un enseignement capital : le mod\u00e8le M2 (additif, poids et puissance) affiche le score de BIC le plus faible, s’imposant comme la sp\u00e9cification optimale. Bien que les mod\u00e8les M3 et M4 affichent un R-carr\u00e9 brut sup\u00e9rieur, l’adjonction de variables suppl\u00e9mentaires ou de termes non lin\u00e9aires complexes entra\u00eene une p\u00e9nalisation logarithmique k * ln(n) qui exc\u00e8de largement le gain modeste de r\u00e9duction de l’erreur r\u00e9siduelle. Le crit\u00e8re de Schwarz prot\u00e8ge ainsi l’analyste contre l’illusion de complexit\u00e9.<\/p>\n L’extension du calcul du crit\u00e8re d’information bay\u00e9sien aux mod\u00e8les lin\u00e9aires g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9s (GLM)<\/a> requiert la prise en compte des sp\u00e9cificit\u00e9s fonctionnelles de la famille exponentielle et de l’estimation par r\u00e9estimation pond\u00e9r\u00e9e des moindres carr\u00e9s (IRLS). Dans le cas d’une r\u00e9gression logistique binaire visant \u00e0 mod\u00e9liser la probabilit\u00e9 d’occurrence d’un \u00e9v\u00e9nement dichotomique (tel que le type de transmission m\u00e9canique ou la r\u00e9ussite \u00e0 un item psychom\u00e9trique), l’\u00e9quation d’ajustement est sp\u00e9cifi\u00e9e via la primitive Dans cette architecture, la m\u00e9trique fondamentale d’\u00e9cart n’est plus la somme des carr\u00e9s des r\u00e9sidus, mais la d\u00e9viance r\u00e9siduelle, d\u00e9finie formellement comme le double de la diff\u00e9rence de log-vraisemblance entre le mod\u00e8le satur\u00e9 et le mod\u00e8le estim\u00e9 : D\u00e9viance = 2 * (ln(L_sature) – ln(L_modele)). La log-vraisemblance du mod\u00e8le maximis\u00e9 L_modele est directement exploit\u00e9e par la fonction Lors de l’appel La mod\u00e9lisation de donn\u00e9es discr\u00e8tes de comptage, r\u00e9currentes dans l’\u00e9tude des fr\u00e9quences comportementales ou des r\u00e9cidives cliniques, repose conventionnellement sur la r\u00e9gression de Poisson ( Face \u00e0 ce ph\u00e9nom\u00e8ne, l’analyste peut h\u00e9siter entre une sp\u00e9cification de quasi-Poisson ou une r\u00e9gression binomiale n\u00e9gative. Il convient de souligner que les mod\u00e8les de quasi-Poisson ne d\u00e9finissant pas une v\u00e9ritable fonction de vraisemblance conjointe (ils reposent sur une quasi-vraisemblance sans int\u00e9gration de densit\u00e9), la m\u00e9thode Pour arbitrer rigoureusement entre une structure \u00e9quidispers\u00e9e et une distribution prenant en charge la surdispersion, il est n\u00e9cessaire d’ajuster un mod\u00e8le binomial n\u00e9gatif via la fonction Une complexit\u00e9 subtile mais majeure relative \u00e0 l’application du crit\u00e8re de Schwarz aux mod\u00e8les lin\u00e9aires g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9s r\u00e9side dans la d\u00e9finition pr\u00e9cise de la grandeur n intervenant dans le terme de p\u00e9nalit\u00e9 logarithmique k * ln(n). Lorsque les donn\u00e9es binomiales sont structur\u00e9es sous un format agr\u00e9g\u00e9 (c’est-\u00e0-dire sous la forme d’un tableau synth\u00e9tisant le nombre de succ\u00e8s et le nombre d’\u00e9checs pour des covariables group\u00e9es, manipul\u00e9 via une variable r\u00e9ponse \u00e0 deux colonnes Une telle disparit\u00e9 induit une sous-estimation syst\u00e9matique et s\u00e9v\u00e8re de la taille r\u00e9elle de l’\u00e9chantillon, conduisant \u00e0 une p\u00e9nalisation param\u00e9trique anormalement cl\u00e9mente. Pour garantir une rigueur m\u00e9thodologique absolue lors du traitement de formats group\u00e9s, il est imp\u00e9ratif d’ajuster manuellement la valeur de n en extrayant la somme totale des effectifs observ\u00e9s.<\/p>\n Dans un tel sc\u00e9nario, le calcul du BIC rectifi\u00e9 doit \u00eatre ex\u00e9cut\u00e9 par une formulation personnalis\u00e9e :<\/p>\n1. Introduction conceptuelle au crit\u00e8re d’information bay\u00e9sien (BIC)<\/h2>\n
1.1 D\u00e9finition et origines du crit\u00e8re de Schwarz<\/h3>\n
1.2 Utilit\u00e9 m\u00e9thodologique en mod\u00e9lisation psychologique et statistique<\/h3>\n
1.3 Crit\u00e8res de d\u00e9cision pour le meilleur mod\u00e8le selon le BIC<\/h3>\n
2. Fondements math\u00e9matiques et d\u00e9rivation analytique du BIC<\/h2>\n
2.1 Formulation g\u00e9n\u00e9rale bas\u00e9e sur la log-vraisemblance<\/h3>\n
2.2 Formulation alternative bas\u00e9e sur la somme des carr\u00e9s des r\u00e9sidus (RSS)<\/h3>\n
2.3 Comportement asymptotique et consistance du crit\u00e8re<\/h3>\n
3. Configuration de l’environnement R et pr\u00e9paration des donn\u00e9es<\/h2>\n
3.1 Initialisation de la session et gestion des d\u00e9pendances<\/h3>\n
options(scipen = 999, digits = 8)<\/code> force l’interpr\u00e9teur R \u00e0 afficher les r\u00e9sultats sous forme d\u00e9cimale standard plut\u00f4t qu’en notation exponentielle, facilitant ainsi la d\u00e9tection des \u00e9carts subtils de vraisemblance entre mod\u00e8les \u00e0 fortes dimensions. Par ailleurs, la fixation explicite d’une graine de reproductibilit\u00e9 pseudo-al\u00e9atoire \u00e0 l’aide de l’instruction set.seed(42)<\/code> assure que toute proc\u00e9dure stochastique ult\u00e9rieure, telle qu’une validation crois\u00e9e ou une r\u00e9\u00e9chantillonnage par bootstrap, produira des m\u00e9triques strictement identiques lors des ex\u00e9cutions subs\u00e9quentes.<\/p>\nstats<\/code>, l’importation de biblioth\u00e8ques sp\u00e9cialis\u00e9es s’av\u00e8re indispensable pour manipuler des structures complexes. L’environnement d’analyse s’articulera avantageusement autour des packages tidyverse<\/code> pour l’ing\u00e9nierie des donn\u00e9es, MASS<\/code> pour les distributions avanc\u00e9es, lme4<\/code> pour les architectures hi\u00e9rarchiques, ainsi que MuMIn<\/code> et modelsummary<\/code> pour l’automatisation tabulaire des diagnostics de s\u00e9lection.<\/p>\n3.2 Importation et inspection structurelle du jeu de donn\u00e9es<\/h3>\n
mtcars<\/code>, disponible nativement dans R, tout en l’adaptant conceptuellement aux probl\u00e9matiques d’\u00e9valuation comportementale et de mod\u00e9lisation multivari\u00e9e. Ce corpus compile des m\u00e9triques de performance et de conception m\u00e9canique pour 32 v\u00e9hicules automobiles, incluant des variables telles que la consommation de carburant (mpg<\/code>, miles per gallon), la puissance du moteur (hp<\/code>, horsepower), le poids du v\u00e9hicule (wt<\/code>, weight) et le type de transmission (am<\/code>).<\/p>\ndim(mtcars)<\/code> et nrow(mtcars)<\/code>. La confirmation rigoureuse du nombre de lignes observ\u00e9es s’av\u00e8re n\u00e9vralgique, car le scalaire n conditionne directement la magnitude de la p\u00e9nalit\u00e9 logarithmique du BIC. Une alt\u00e9ration involontaire de cette grandeur invaliderait irr\u00e9m\u00e9diablement l’ensemble des d\u00e9rivations th\u00e9oriques subs\u00e9quentes.<\/p>\nstr(mtcars)<\/code> et des utilitaires de diagnostic de compl\u00e9tude permet de v\u00e9rifier l’absence de discordances dans le typage des pr\u00e9dicteurs (variables continues, discr\u00e8tes ou cat\u00e9gorielles cod\u00e9es sous forme de facteurs) et d’identifier la pr\u00e9sence \u00e9ventuelle de donn\u00e9es manquantes (NA<\/code>). Dans les jeux de donn\u00e9es observationnels ou psychom\u00e9triques plus volumineux, ces v\u00e9rifications initiales constituent la premi\u00e8re ligne de d\u00e9fense contre les distorsions computationnelles de vraisemblance.<\/p>\n3.3 Nettoyage pr\u00e9alable et respect des pr\u00e9requis d’\u00e9chantillonnage<\/h3>\n
na.omit()<\/code> ou tidyr::drop_na()<\/code> sur l’ensemble des variables participant \u00e0 l’espace global des mod\u00e8les candidats. Dans des contextes de recherche fondamentale o\u00f9 l’attrition des donn\u00e9es est substantielle, des strat\u00e9gies d’imputation multiple par \u00e9quations cha\u00een\u00e9es doivent \u00eatre privil\u00e9gi\u00e9es, le calcul du BIC devant alors \u00eatre adapt\u00e9 pour agr\u00e9ger l’incertitude entre les multiples jeux de donn\u00e9es imput\u00e9s.<\/p>\n4. Calcul algorithmique et manuel du BIC \u00e0 partir de la formule statistique<\/h2>\n
4.1 Extraction programmatique des composantes de la r\u00e9gression lin\u00e9aire<\/h3>\n
mpg<\/code>) \u00e0 partir du poids (wt<\/code>) et de la puissance (hp<\/code>) au sein du jeu de donn\u00e9es mtcars<\/code> :<\/p>\nmodele_base <- lm(mpg ~ wt + hp, data = mtcars)<\/code>. \u00c0 partir de cet objet ajust\u00e9 de classe lm<\/code>, nous pouvons extraire la somme des carr\u00e9s des r\u00e9sidus (RSS) par le biais de la primitive residuals()<\/code> combin\u00e9e \u00e0 l’op\u00e9rateur de sommation : rss_manuel <- sum(residuals(modele_base)^2)<\/code>.<\/p>\nnobs(modele_base)<\/code>, qui extrait directement l’attribut du nombre d’observations mobilis\u00e9es dans l’estimation sans d\u00e9pendre des dimensions de l’objet de donn\u00e9es parent. Enfin, le d\u00e9nombrement scrupuleux des param\u00e8tres k requiert une vigilance absolue : dans une r\u00e9gression lin\u00e9aire classique, k comprend les coefficients associ\u00e9s aux pr\u00e9dicteurs, l’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine (intercept), ainsi que le param\u00e8tre d’\u00e9chelle r\u00e9siduel correspondant \u00e0 la variance de l’erreur (sigma carr\u00e9). Pour un mod\u00e8le \u00e0 deux pr\u00e9dicteurs, k s’\u00e9tablit ainsi \u00e0 2 + 1 + 1 = 4 param\u00e8tres libres.<\/p>\n4.2 Impl\u00e9mentation script\u00e9e de la formule bas\u00e9e sur les r\u00e9sidus<\/h3>\n
calcul_bic_rss <- function(modele) {<\/code>
\n rss <- sum(residuals(modele)^2)<\/code>
\n n <- nobs(modele)<\/code>
\n k <- length(coef(modele)) + 1<\/code>
\n bic_val <- n * log(rss \/ n) + k * log(n)<\/code>
\n return(bic_val)<\/code>
\n}<\/code><\/p>\n4.3 Impl\u00e9mentation script\u00e9e bas\u00e9e sur la fonction logLik()<\/h3>\n
logLik()<\/code>. Cette primitive renvoie un objet scalaire enrichi d’un attribut pr\u00e9cieux nomm\u00e9 df<\/code> (degr\u00e9s de libert\u00e9), lequel correspond exactement au nombre total k de param\u00e8tres libres estim\u00e9s par la m\u00e9thode du maximum de vraisemblance :<\/p>\nll_obj <- logLik(modele_base)<\/code>
\nvaleur_ll <- as.numeric(ll_obj)<\/code>
\nk_parametres <- attr(ll_obj, \"df\")<\/code>
\ntaille_n <- nobs(modele_base)<\/code>
\nbic_loglik_manuel <- -2 * valeur_ll + k_parametres * log(taille_n)<\/code><\/p>\nlogLik()<\/code> incorpore le terme complet comprenant le facteur logarithmique de 2 * pi. Cette d\u00e9rivation exacte constitue la r\u00e9f\u00e9rence canonique align\u00e9e sur la d\u00e9finition originale de Schwarz, garantissant une coh\u00e9rence transversale absolue lorsque l’on compare des r\u00e9gressions lin\u00e9aires avec des familles de mod\u00e8les non lin\u00e9aires.<\/p>\n5. Utilisation des fonctions natives de R pour le calcul du BIC<\/h2>\n
5.1 Calcul unitaire avec la fonction g\u00e9n\u00e9rique BIC() du package stats<\/h3>\n
stats<\/code> fournit une fonction g\u00e9n\u00e9rique polymorphe extr\u00eamement puissante baptis\u00e9e BIC()<\/code>. Cette m\u00e9thode prend en charge nativement un large \u00e9ventail de classes d’objets statistiques produits par l’environnement R, allant des objets lm<\/code> et glm<\/code> jusqu’aux mod\u00e8les de s\u00e9ries temporelles arima<\/code>.<\/p>\nBIC(modele_base)<\/code>. D\u00e8s son appel, R proc\u00e8de \u00e0 l’interrogation de la m\u00e9thode logLik()<\/code> appropri\u00e9e pour la classe de l’objet pass\u00e9 en argument, d\u00e9termine automatiquement le nombre total de param\u00e8tres via les attributs de degr\u00e9s de libert\u00e9, interroge la taille de l’\u00e9chantillon par la m\u00e9thode nobs()<\/code> correspondante, et restitue un scalaire num\u00e9rique rigoureusement exact.<\/p>\nBIC(modele_base)<\/code> face \u00e0 notre impl\u00e9mentation manuelle bas\u00e9e sur logLik()<\/code> d\u00e9montre une identit\u00e9 arithm\u00e9tique absolue jusqu’\u00e0 la huiti\u00e8me d\u00e9cimale. Cette concordance totale valide le fait que la fonction native int\u00e8gre scrupuleusement l’ensemble des constantes de normalisation de la vraisemblance gaussienne, y compris le terme de variance d’erreur.<\/p>\n5.2 Calcul simultan\u00e9 pour une collection de mod\u00e8les embo\u00eet\u00e9s<\/h3>\n
BIC()<\/code> r\u00e9side dans sa capacit\u00e9 \u00e0 recevoir simultan\u00e9ment une pluralit\u00e9 d’objets de mod\u00e8les au sein d’une instruction unique, g\u00e9n\u00e9rant instantan\u00e9ment une matrice r\u00e9capitulative indispensable \u00e0 l’analyse comparative. Supposons la d\u00e9finition de trois sp\u00e9cifications distinctes :<\/p>\nmod1 <- lm(mpg ~ wt, data = mtcars)<\/code>
\nUn mod\u00e8le additif \u00e0 deux pr\u00e9dicteurs : mod2 <- lm(mpg ~ wt + hp, data = mtcars)<\/code>
\nUn mod\u00e8le \u00e9tendu avec interaction : mod3 <- lm(mpg ~ wt * hp, data = mtcars)<\/code><\/p>\ntableau_comparatif <- BIC(mod1, mod2, mod3)<\/code> produit un tableau structur\u00e9 sous forme de data.frame<\/code> comportant deux colonnes indispensables : df<\/code>, explicitant le nombre de param\u00e8tres k associ\u00e9s \u00e0 chaque sp\u00e9cification (ici 3 pour mod1<\/code>, 4 pour mod2<\/code>, et 5 pour mod3<\/code>), et BIC<\/code>, consignant les scores calcul\u00e9s respectifs. Cette structure tabulaire native permet un rep\u00e9rage imm\u00e9diat de la dynamique d’\u00e9volution du crit\u00e8re face \u00e0 l’accroissement des degr\u00e9s de libert\u00e9 consomm\u00e9s.<\/p>\n5.3 Alternative avec la fonction extractAIC() param\u00e9tr\u00e9e<\/h3>\n
stats<\/code> une fonction alternative fr\u00e9quemment mobilis\u00e9e par les algorithmes de s\u00e9lection automatique internes de R : la fonction extractAIC()<\/code>. Contrairement \u00e0 la fonction g\u00e9n\u00e9rique BIC()<\/code>, extractAIC()<\/code> a \u00e9t\u00e9 con\u00e7ue pour retourner le crit\u00e8re d’Akaike g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9 d\u00e9fini par la formule -2 * ln(L) + k * p, o\u00f9 p repr\u00e9sente la p\u00e9nalit\u00e9 param\u00e9trique assign\u00e9e.<\/p>\nk<\/code> en lui affectant la valeur du logarithme n\u00e9p\u00e9rien de la taille d’\u00e9chantillon, selon la syntaxe suivante :<\/p>\ntaille_n <- nobs(mod1)<\/code>
\nextractAIC(mod1, k = log(taille_n))<\/code><\/p>\nextractAIC()<\/code> et celui fourni par BIC()<\/code>. Cette divergence ne d\u00e9coule aucunement d’une erreur math\u00e9matique, mais d’un choix algorithmique historique : extractAIC.lm()<\/code> \u00e9limine l’ensemble des constantes r\u00e9siduelles universelles ind\u00e9pendantes des param\u00e8tres de r\u00e9gression et ne comptabilise pas la variance de l’erreur dans la dimension k affich\u00e9e. Les \u00e9carts relatifs (deltas) entre mod\u00e8les concurrents \u00e9valu\u00e9s via extractAIC(..., k = log(n))<\/code> demeurent rigoureusement identiques \u00e0 ceux calcul\u00e9s via BIC()<\/code>, pr\u00e9servant int\u00e9gralement l’ordre de pr\u00e9f\u00e9rence des mod\u00e8les.<\/p>\n6. Application empirique : comparaison de mod\u00e8les de r\u00e9gression lin\u00e9aire multiple<\/h2>\n
6.1 D\u00e9finition th\u00e9orique des mod\u00e8les concurrents<\/h3>\n
mtcars<\/code>. Consid\u00e9rons la formulation de quatre hypoth\u00e8ses de recherche formalis\u00e9es par des mod\u00e8les \u00e9conom\u00e9triques concurrents :<\/p>\nmpg ~ wt<\/code>). L’hypoth\u00e8se 2 propose un mod\u00e8le bivari\u00e9 additif associant le poids et le rendement thermique du moteur exprim\u00e9 par sa puissance brute (Mod\u00e8le M2 : mpg ~ wt + hp<\/code>). L’hypoth\u00e8se 3 enrichit cette structure par l’ajout de la cylindr\u00e9e du moteur (disp<\/code>) et du rapport de pont arri\u00e8re (drat<\/code>), traduisant une architecture plus d\u00e9taill\u00e9e de la cha\u00eene cin\u00e9matique (Mod\u00e8le M3 : mpg ~ wt + hp + disp + drat<\/code>). Enfin, l’hypoth\u00e8se 4 postule l’existence d’une dynamique non lin\u00e9aire complexe en int\u00e9grant un terme quadratique sur le poids ainsi qu’une interaction de second ordre entre le poids et la puissance (Mod\u00e8le M4 : mpg ~ wt + I(wt^2) + hp + wt:hp<\/code>).<\/p>\n6.2 Ex\u00e9cution s\u00e9quentielle et stockage des mod\u00e8les<\/h3>\n
liste_modeles <- list(<\/code>
\n M1_Simple = lm(mpg ~ wt, data = mtcars),<\/code>
\n M2_Additif = lm(mpg ~ wt + hp, data = mtcars),<\/code>
\n M3_Etendu = lm(mpg ~ wt + hp + disp + drat, data = mtcars),<\/code>
\n M4_Complexe = lm(mpg ~ wt + I(wt^2) + hp + wt:hp, data = mtcars)<\/code>
\n)<\/code><\/p>\nsapply(liste_modeles, function(m) summary(m)$r.squared)<\/code>
\nsapply(liste_modeles, function(m) summary(m)$adj.r.squared)<\/code><\/p>\n6.3 Calcul et mise en tableau des valeurs de BIC comparatives<\/h3>\n
tableau_bic <- data.frame(<\/code>
\n Modele = names(liste_modeles),<\/code>
\n k = sapply(liste_modeles, function(m) attr(logLik(m), \"df\")),<\/code>
\n R2_Ajuste = sapply(liste_modeles, function(m) summary(m)$adj.r.squared),<\/code>
\n BIC = sapply(liste_modeles, BIC)<\/code>
\n)<\/code><\/p>\ntableau_bic$\\Delta_BIC <- tableau_bic$<\/span>BIC - min(tableau_bic$BIC)<\/code>
\ntableau_bic <- tableau_bic[order(tableau_bic$Delta_BIC), ]<\/code><\/p>\n7. Calcul du BIC pour les mod\u00e8les lin\u00e9aires g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9s (GLM)<\/h2>\n
7.1 Particularit\u00e9s du calcul dans les mod\u00e8les de r\u00e9gression logistique binaire<\/h3>\n
glm()<\/code> combin\u00e9e \u00e0 l’argument family = binomial(link = \"logit\")<\/code>.<\/p>\nlogLik.glm()<\/code>.<\/p>\nBIC(modele_glm)<\/code>, R applique avec exactitude la formule fondamentale -2 * ln(L) + k * ln(n). La composante k correspond ici au nombre de coefficients de r\u00e9gression logistique estim\u00e9s (incluant l’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine). Contrairement \u00e0 la r\u00e9gression lin\u00e9aire sous hypoth\u00e8se gaussienne, aucun param\u00e8tre additionnel de variance r\u00e9siduelle n’est estim\u00e9, car la variance d’une loi de Bernoulli est intrins\u00e8quement li\u00e9e \u00e0 son esp\u00e9rance math\u00e9matique p * (1 – p), ce dont la primitive native tient rigoureusement compte dans son d\u00e9compte des degr\u00e9s de libert\u00e9.<\/p>\n7.2 R\u00e9gression de Poisson et distribution binomiale n\u00e9gative pour donn\u00e9es de comptage<\/h3>\n
family = poisson(link = \"log\")<\/code>). Une contrainte restrictive de la distribution de Poisson r\u00e9side dans l’\u00e9quidispersion, stipulant l’\u00e9galit\u00e9 th\u00e9orique entre la moyenne conditionnelle et la variance. Dans les contextes empiriques r\u00e9els, les donn\u00e9es pr\u00e9sentent fr\u00e9quemment une surdispersion substantielle (la variance exc\u00e9dant la moyenne), ce qui biaise l’estimation des erreurs-types et fausse les tests de vraisemblance.<\/p>\nlogLik()<\/code> renvoie une valeur ind\u00e9termin\u00e9e (NA<\/code>), rendant le calcul formel du BIC impossible dans ce cadre strict.<\/p>\nglm.nb()<\/code> du package MASS<\/code>. La distribution binomiale n\u00e9gative int\u00e9grant un param\u00e8tre de dispersion additionnel (th\u00eata), ce param\u00e8tre libre suppl\u00e9mentaire est automatiquement comptabilis\u00e9 dans k par logLik()<\/code>. D\u00e8s lors, la comparaison directe BIC(modele_poisson, modele_binomial_negatif)<\/code> permet de d\u00e9terminer objectivement si la prise en compte de la surdispersion compense la perte d’un degr\u00e9 de libert\u00e9 additionnel.<\/p>\n7.3 D\u00e9termination rigoureuse de n dans les mod\u00e8les GLM<\/h3>\n
cbind(succes, echecs)<\/code>), l’interpr\u00e9teur R attribue par d\u00e9faut \u00e0 n le nombre de lignes du tableau agr\u00e9g\u00e9, et non le nombre total d’essais individuels de Bernoulli sous-jacents.<\/p>\n