$lambda$<\/span>, postulant une homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 parfaite de la population cibl\u00e9e.<\/p>\nDans la recherche exp\u00e9rimentale et clinique, ces hypoth\u00e8ses doivent faire l’objet d’un examen critique rigoureux. Dans les plans exp\u00e9rimentaux longitudinaux, la mesure r\u00e9p\u00e9t\u00e9e du m\u00eame sujet \u00e0 travers diff\u00e9rentes sessions d’enregistrement viole flagornerait l’ind\u00e9pendance statistique par la pr\u00e9sence d’autocorr\u00e9lations s\u00e9rielles ou de corr\u00e9lations intra-sujets. De m\u00eame, la collecte de donn\u00e9es sur des individus regroup\u00e9s au sein d’unit\u00e9s sociales communes (par exemple des salles de classe, des unit\u00e9s d’hospitalisation ou des fratries) induit une d\u00e9pendance hi\u00e9rarchique qui impose, si elle n’est pas mod\u00e9lis\u00e9e par des effets al\u00e9atoires, une correction substantielle de la structure d’estimation.<\/p>\n
4.2 D\u00e9veloppement du produit des probabilit\u00e9s individuelles<\/h3>\n Sous le strict postulat de l’\u00e9chantillonnage i.i.d., la probabilit\u00e9 conjointe d’observer la s\u00e9quence empirique sp\u00e9cifique $\\mathbf{x} = (x_1, dots, x_n)$<\/span> conditionnellement au param\u00e8tre $lambda$<\/span> correspond au produit multiplicatif des fonctions de masse individuelles. En inversant la perspective conceptuelle pour consid\u00e9rer les donn\u00e9es $\\mathbf{x}$<\/span> comme des constantes fix\u00e9es et $lambda$<\/span> comme la seule variable libre, nous d\u00e9finissons la fonction de vraisemblance conjointe, not\u00e9e $L(\\lambda mid \\mathbf{x})$<\/span> :<\/p>\n$$L(\\lambda mid \\mathbf{x}) = \\prod_{i=1}^{n} P(X_i = x_i mid \\lambda) = \\prod_{i=1}^{n} \\frac{\\lambda^{x_i} e^{-\\lambda}}{x_i!}$$<\/span><\/p>\nLikelihood function of Poisson distribution<\/figcaption><\/figure>\nPour d\u00e9ployer ce produit continu, appliquons m\u00e9ticuleusement les propri\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques classiques associ\u00e9es aux op\u00e9rateurs de multiplication et aux r\u00e8gles exponentielles. La distributivit\u00e9 du produit sur la fraction univari\u00e9e permet d’isoler s\u00e9par\u00e9ment les composantes au num\u00e9rateur et au d\u00e9nominateur :<\/p>\n
$$L(\\lambda mid \\mathbf{x}) = \\frac{\\prod_{i=1}^{n} \\left(\\lambda^{x_i} e^{-\\lambda}\\right)}{\\prod_{i=1}^{n} x_i!}$$<\/span><\/p>\nAnalysons chaque segment de cette fraction :<\/p>\n
\nLe produit des termes exponentiels<\/strong> : puisque chaque observation individuelle contribue par un terme identique $e^{-\\lambda}$<\/span>, le produit de $n$<\/span> exponentielles de m\u00eame base \u00e9quivaut, par la r\u00e8gle d’addition des puissances, \u00e0 l’exponentielle de la somme n\u00e9gative des param\u00e8tres :$$\\prod_{i=1}^{n} e^{-\\lambda} = \\underbrace{e^{-\\lambda} \\cdot e^{-\\lambda} \\cdots e^{-\\lambda}}_{n \\text{ facteurs}} = e^{-\\sum_{i=1}^n \\lambda} = e^{-n\\lambda}$$<\/span>\n <\/li>\nLe produit des termes en puissance<\/strong> : le produit des puissances de m\u00eame base $lambda$<\/span> se r\u00e9duit \u00e0 une puissance unique dont l’exposant correspond \u00e0 la somme arithm\u00e9tique de toutes les valeurs de comptage empiriques observ\u00e9es dans l’\u00e9chantillon :$$\\prod_{i=1}^{n} \\lambda^{x_i} = \\lambda^{x_1} \\cdot \\lambda^{x_2} \\cdots \\lambda^{x_n} = \\lambda^{\\sum_{i=1}^{n} x_i}$$<\/span>\n <\/li>\nLe produit des termes factoriels au d\u00e9nominateur<\/strong> : les d\u00e9nominateurs factoriels demeurent regroup\u00e9s sous la forme d’un produit continu de factorielles individuelles, totalement ind\u00e9pendantes du param\u00e8tre $lambda$<\/span> :$$\\prod_{i=1}^{n} x_i! = x_1! \\cdot x_2! \\cdots x_n!$$<\/span>\n <\/li>\n<\/ul>\n4.3 Structure analytique globale de la fonction de vraisemblance<\/h3>\n En rassemblant les trois d\u00e9veloppements alg\u00e9briques interm\u00e9diaires \u00e9tablis ci-dessus, nous obtenons l’expression finale condens\u00e9e de la fonction de vraisemblance conjointe pour un \u00e9chantillon poissonnien i.i.d. :<\/p>\n
$$L(\\lambda mid \\mathbf{x}) = \\frac{\\lambda^{\\sum_{i=1}^{n} x_i} e^{-n\\lambda}}{\\prod_{i=1}^{n} x_i!}$$<\/span><\/p>\nCette \u00e9quation r\u00e9v\u00e8le plusieurs caract\u00e9ristiques structurales fondamentales de l’inf\u00e9rence poissonnienne. D’une part, en vertu du th\u00e9or\u00e8me de factorisation de Fisher-Neyman, la fonction de vraisemblance peut \u00eatre partitionn\u00e9e en deux facteurs multiplicatifs :<\/p>\n
$$L(\\lambda mid \\mathbf{x}) = g(T(\\mathbf{x}), \\lambda) \\cdot h(\\mathbf{x})$$<\/span><\/p>\no\u00f9 $g(T(\\mathbf{x}), \\lambda) = \\lambda^{\\sum_{i=1}^n x_i} e^{-n\\lambda}$<\/span> d\u00e9pend exclusivement des donn\u00e9es par l’interm\u00e9diaire de la statistique scalaire $T(\\mathbf{x}) = \\sum_{i=1}^n x_i$<\/span>, et o\u00f9 $h(\\mathbf{x}) = \\frac{1}{\\prod_{i=1}^n x_i!}$<\/span> est une fonction des donn\u00e9es enti\u00e8rement d\u00e9barrass\u00e9e de toute r\u00e9f\u00e9rence au param\u00e8tre inconnu $lambda$<\/span>. Cette d\u00e9composition d\u00e9montre rigoureusement que la statistique de somme $\\sum_{i=1}^n x_i$<\/span> constitue une statistique exhaustive (ou suffisante) pour estimer le param\u00e8tre $lambda$<\/span>. Aucune information suppl\u00e9mentaire concernant $lambda$<\/span> n’est contenue dans l’ordonnancement individuel ou dans d’autres caract\u00e9ristiques microscopiques de l’\u00e9chantillon empirique.<\/p>\nD’autre part, la morphologie de la surface de vraisemblance pr\u00e9sente une sensibilit\u00e9 aigu\u00eb \u00e0 la taille de l’\u00e9chantillon $n$<\/span>. D\u00e8s que $n$<\/span> atteint des grandeurs usuelles en psychologie ($n ge 50$<\/span>), la multiplication it\u00e9rative de fractions probabilistes comprises strictement entre 0 et 1 g\u00e9n\u00e8re un effondrement d’\u00e9chelle num\u00e9rique. La valeur absolue de $L(\\lambda mid \\mathbf{x})$<\/span> plonge vers des ordres de grandeur infinit\u00e9simaux (tels que $10^{-45}$<\/span> ou $10^{-200}$<\/span>), ce qui pose un probl\u00e8me imm\u00e9diat de d\u00e9passement de capacit\u00e9 vers le bas (underflow<\/em>) pour les syst\u00e8mes computationnels standards op\u00e9rant en arithm\u00e9tique \u00e0 virgule flottante standard IEEE 754.<\/p>\n5. \u00c9tape 3 : Lin\u00e9arisation par la fonction de log-vraisemblance<\/h2>\n5.1 Justification de la transformation logarithmique n\u00e9p\u00e9rienne<\/h3>\n Pour contourner l’instabilit\u00e9 num\u00e9rique inh\u00e9rente au produit de vraisemblance et simplifier consid\u00e9rablement les op\u00e9rations math\u00e9matiques de diff\u00e9rentiation diff\u00e9rentielle, il est universellement d’usage en statistique math\u00e9matique d’appliquer la transformation logarithmique naturelle (le logarithme n\u00e9p\u00e9rien $ln$<\/span>) \u00e0 la fonction de vraisemblance. Cette fonction transform\u00e9e est d\u00e9sign\u00e9e sous le vocable de fonction de log-vraisemblance, not\u00e9e conventionnellement $ell(\\lambda mid \\mathbf{x})$<\/span> ou $\\ln L(\\lambda mid \\mathbf{x})$<\/span> :<\/p>\n$$ell(\\lambda mid \\mathbf{x}) = \\ln\\left[ L(\\lambda mid \\mathbf{x}) \\right]$$<\/span><\/p>\nCette transformation analytique se justifie par des arguments th\u00e9oriques d’une rigueur absolue :<\/p>\n
\nLa pr\u00e9servation de la position exacte des extremums<\/strong> : la fonction logarithme n\u00e9p\u00e9rien $y mapsto ln(y)$<\/span> est une fonction strictement croissante et bijective de l’intervalle $]0, +\\infty[$<\/span> vers $\\mathbb{R}$<\/span>. Par cons\u00e9quent, elle pr\u00e9serve imp\u00e9rativement l’ordre de tous les \u00e9l\u00e9ments de son domaine. Le point d’\u00e9valuation $\\hat{\\lambda}$<\/span> qui maximise la fonction originale de vraisemblance $L(lambda)$<\/span> est strictement identique \u00e0 celui qui maximise la fonction de log-vraisemblance $ell(lambda)$<\/span> :$$arg\\max_{\\lambda in \\Theta} L(\\lambda mid \\mathbf{x}) \\equiv arg\\max_{\\lambda in \\Theta} \\ln L(\\lambda mid \\mathbf{x})$$<\/span>\n <\/li>\nLa conversion des produits en sommes conservatives<\/strong> : le logarithme transforme les op\u00e9rations multiplicatives complexes en op\u00e9rations additives lin\u00e9aires via l’identit\u00e9 $\\ln(a \\cdot b) = \\ln(a) + \\ln(b)$<\/span> et $ln(a \/ b) = ln(a) – ln(b)$<\/span>. Sur le plan algorithmique, manipuler des sommes r\u00e9duit consid\u00e9rablement les erreurs d’arrondi num\u00e9rique et pr\u00e9vient l’effondrement par sous-d\u00e9bordement.<\/li>\nLa simplification des calculs diff\u00e9rentiels<\/strong> : d\u00e9river une sommation alg\u00e9brique terme \u00e0 terme est infiniment plus ais\u00e9 et moins enclin aux erreurs formelles que de diff\u00e9rentier un produit enchev\u00eatr\u00e9 faisant intervenir les r\u00e8gles it\u00e9r\u00e9es de d\u00e9rivation de Leibniz.<\/li>\n<\/ul>\n5.2 Application syst\u00e9matique des propri\u00e9t\u00e9s des logarithmes<\/h3>\n Appliquons pas \u00e0 pas l’op\u00e9rateur logarithme n\u00e9p\u00e9rien \u00e0 la forme explicite de la fonction conjointe de vraisemblance obtenue \u00e0 la fin de l’\u00e9tape 2 :<\/p>\n
$$ell(\\lambda mid \\mathbf{x}) = \\ln \\left( \\frac{\\lambda^{\\sum_{i=1}^{n} x_i} e^{-n\\lambda}}{\\prod_{i=1}^{n} x_i!} \\right)$$<\/span><\/p>\nPar l’application de la propri\u00e9t\u00e9 du logarithme d’un quotient, $ln(A\/B) = ln(A) – ln(B)$<\/span>, nous dissocions le num\u00e9rateur du d\u00e9nominateur factoriel :<\/p>\n$$ell(\\lambda mid \\mathbf{x}) = \\ln \\left( \\lambda^{\\sum_{i=1}^{n} x_i} e^{-n\\lambda} \\right) – \\ln \\left( \\prod_{i=1}^{n} x_i! \\right)$$<\/span><\/p>\nD\u00e9composons le premier bloc de cette soustraction en mobilisant la propri\u00e9t\u00e9 du logarithme d’un produit, $\\ln(u \\cdot v) = \\ln(u) + \\ln(v)$<\/span> :<\/p>\n$$\\ln \\left( \\lambda^{\\sum_{i=1}^{n} x_i} e^{-n\\lambda} \\right) = \\ln \\left( \\lambda^{\\sum_{i=1}^{n} x_i} \\right) + \\ln \\left( e^{-n\\lambda} \\right)$$<\/span><\/p>\nAppliquons d\u00e9sormais les propri\u00e9t\u00e9s relatives aux puissances et aux exponentielles :<\/p>\n
\nEn exploitant la r\u00e8gle $\\ln(u^k) = k \\ln(u)$<\/span>, l’exposant compos\u00e9 de la somme des observations est projet\u00e9 en facteur multiplicatif devant le logarithme du param\u00e8tre :$$\\ln \\left( \\lambda^{\\sum_{i=1}^{n} x_i} \\right) = \\left( \\sum_{i=1}^{n} x_i \\right) \\ln(\\lambda)$$<\/span>\n <\/li>\nEn appliquant la relation de r\u00e9ciprocit\u00e9 fondamentale entre la fonction logarithme n\u00e9p\u00e9rien et l’exponentielle n\u00e9p\u00e9rienne, $\\ln(e^w) = w$<\/span> :$$\\ln \\left( e^{-n\\lambda} \\right) = -n\\lambda$$<\/span>\n <\/li>\nEnfin, en d\u00e9veloppant le logarithme du produit continu des factorielles situ\u00e9 dans le second bloc :$$\\ln \\left( \\prod_{i=1}^{n} x_i! \\right) = \\sum_{i=1}^{n} \\ln(x_i!)$$<\/span>\n <\/li>\n<\/ul>\n5.3 Formulation compl\u00e8te de la fonction ln L(lambda)<\/h3>\n En regroupant l’ensemble des segments d\u00e9compos\u00e9s, nous parvenons \u00e0 la formulation finale, explicite et rigoureuse de la fonction de log-vraisemblance univari\u00e9e pour le param\u00e8tre d’intensit\u00e9 de Poisson :<\/p>\n
$$ell(\\lambda mid \\mathbf{x}) = -n\\lambda + \\left( \\sum_{i=1}^{n} x_i \\right) \\ln(\\lambda) – \\sum_{i=1}^{n} \\ln(x_i!)$$<\/span><\/p>\nCette expression s’analyse avec une clart\u00e9 remarquable en isolant ses composantes structurelles en fonction de leur d\u00e9pendance vis-\u00e0-vis du param\u00e8tre $lambda$<\/span> :<\/p>\n\nLe terme lin\u00e9aire n\u00e9gatif ($-nlambda$<\/span>)<\/strong> : ce terme d\u00e9cro\u00eet contin\u00fbment avec $lambda$<\/span> \u00e0 une vitesse constante proportionnelle \u00e0 la taille d’\u00e9chantillon $n$<\/span>. Il p\u00e9nalise les valeurs excessivement \u00e9lev\u00e9es de $lambda$<\/span>, refl\u00e9tant le fait qu’un taux d’intensit\u00e9 infini rendrait improbable l’observation de comptes finis d’\u00e9v\u00e9nements.<\/li>\nLe terme logarithmique pond\u00e9r\u00e9 ($\\left(\\sum_{i=1}^n x_i\\right) \\ln(\\lambda)$<\/span>)<\/strong> : ce terme cro\u00eet rapidement pour de petites valeurs de $lambda$<\/span> avant de ralentir sa progression sous l’effet de la courbure logarithmique. Il p\u00e9nalise s\u00e9v\u00e8rement les valeurs infinit\u00e9simales de $lambda$<\/span> approchant de z\u00e9ro (puisque $\\lim_{\\lambda to 0^+} \\ln(\\lambda) = -\\infty$<\/span>), traduisant l’impossibilit\u00e9 probabiliste d’observer une somme de comptages strictement positive si l’intensit\u00e9 du processus \u00e9tait nulle.<\/li>\nLe terme r\u00e9siduel constant ($-\\sum_{i=1}^n \\ln(x_i!)$<\/span>)<\/strong> : ce bloc est totalement ind\u00e9pendant de $lambda$<\/span>. Bien qu’il influe sur l’ordonn\u00e9e exacte de la surface de log-vraisemblance, il se comporte comme une simple constante additive d’int\u00e9gration au regard de tout op\u00e9rateur diff\u00e9rentiel agissant sur le param\u00e8tre $lambda$<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n6. \u00c9tape 4 : D\u00e9rivation premi\u00e8re de la fonction de log-vraisemblance<\/h2>\n6.1 Calcul du gradient par rapport au param\u00e8tre lambda<\/h3>\n Pour localiser la valeur sp\u00e9cifique du param\u00e8tre d’intensit\u00e9 qui maximise la plausibilit\u00e9 globale de l’\u00e9chantillon observ\u00e9, il convient de mobiliser les outils fondamentaux de l’analyse math\u00e9matique diff\u00e9rentielle. La condition n\u00e9cessaire de premier ordre pour l’existence d’un extremum sur un ensemble ouvert impose que la d\u00e9riv\u00e9e premi\u00e8re de la fonction par rapport au param\u00e8tre cible s’annule en ce point stationnaire.<\/p>\n
Calculons donc la d\u00e9riv\u00e9e premi\u00e8re de la fonction de log-vraisemblance $ell(\\lambda mid \\mathbf{x})$<\/span> par rapport \u00e0 l’unique variable scalaire $lambda$<\/span> :<\/p>\n$$\\frac{\\partial ell(\\lambda mid \\mathbf{x})}{\\partial \\lambda} = \\frac{d}{d\\lambda} \\left[ -n\\lambda + \\left( \\sum_{i=1}^{n} x_i \\right) \\ln(\\lambda) – \\sum_{i=1}^{n} \\ln(x_i!) \\right]$$<\/span><\/p>\nLa lin\u00e9arit\u00e9 de l’op\u00e9rateur de d\u00e9rivation autorise une diff\u00e9rentiation terme par terme de l’expression :<\/p>\n
\nLa d\u00e9riv\u00e9e du terme lin\u00e9aire par rapport \u00e0 $lambda$<\/span> s’ex\u00e9cute directement :$$\\frac{d}{d\\lambda}(-n\\lambda) = -n$$<\/span>\n <\/li>\nLa d\u00e9riv\u00e9e du terme logarithmique pond\u00e9r\u00e9 s’obtient en mobilisant la d\u00e9riv\u00e9e fondamentale du logarithme n\u00e9p\u00e9rien, \u00e0 savoir $\\frac{d}{d\\lambda}\\ln(\\lambda) = \\frac{1}{\\lambda}$<\/span> :$$\\frac{d}{d\\lambda}\\left( \\left(\\sum_{i=1}^{n} x_i\\right) \\ln(\\lambda) \\right) = \\left( \\sum_{i=1}^{n} x_i \\right) \\frac{d}{d\\lambda}\\ln(\\lambda) = \\frac{\\sum_{i=1}^{n} x_i}{\\lambda}$$<\/span>\n <\/li>\nLe terme constant factoriel, ne contenant aucune occurrence du param\u00e8tre $lambda$<\/span>, dispara\u00eet purement et simplement lors de la diff\u00e9rentiation :$$\\frac{d}{d\\lambda}\\left( -\\sum_{i=1}^{n} \\ln(x_i!) \\right) = 0$$<\/span>\n <\/li>\n<\/ul>\nEn recombinant ces composantes \u00e9l\u00e9mentaires, nous aboutissons \u00e0 l’expression \u00e9pur\u00e9e de la d\u00e9riv\u00e9e premi\u00e8re de la log-vraisemblance :<\/p>\n
$$\\frac{\\partial ell(\\lambda mid \\mathbf{x})}{\\partial \\lambda} = -n + \\frac{\\sum_{i=1}^{n} x_i}{\\lambda}$$<\/span><\/p>\n6.2 D\u00e9finition formelle de la fonction de score<\/h3>\n Dans la litt\u00e9rature sp\u00e9cialis\u00e9e en inf\u00e9rence statistique, cette d\u00e9riv\u00e9e premi\u00e8re de la log-vraisemblance porte le nom formel de fonction de score<\/strong> (ou simplement score de Fisher), not\u00e9e conventionnellement $S(lambda)$<\/span> ou $U(lambda)$<\/span> :<\/p>\n
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