{"id":3766,"date":"2026-10-14T18:01:06","date_gmt":"2026-10-14T18:01:06","guid":{"rendered":"http:\/\/french.arabpsychology.com\/statistics\/gerer-avertissement-glm-fit-probabilites-0-ou-1\/"},"modified":"2026-10-14T18:01:06","modified_gmt":"2026-10-14T18:01:06","slug":"gerer-avertissement-glm-fit-probabilites-0-ou-1","status":"publish","type":"psych_stat","link":"https:\/\/french.arabpsychology.com\/?psych_stat=gerer-avertissement-glm-fit-probabilites-0-ou-1","title":{"rendered":"Comment g\u00e9rer : glm.fit: fitted probabilities numerically 0 or 1 occurred"},"content":{"rendered":"

L’estimation des param\u00e8tres au sein des mod\u00e8les lin\u00e9aires g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9s constitue l’un des piliers fondamentaux de la mod\u00e9lisation statistique appliqu\u00e9e contemporaine, particuli\u00e8rement dans l’analyse de crit\u00e8res de jugement dichotomiques. Cependant, tout praticien de l’environnement de calcul R se heurte in\u00e9vitablement, au cours de ses analyses de r\u00e9gression logistique, \u00e0 un message d’alerte \u00e0 la fois laconique et troublant : \u00ab glm.fit: fitted probabilities numerically 0 or 1 occurred \u00bb<\/em>. Cet avertissement signale une anomalie sous-jacente majeure dans le processus d’optimisation num\u00e9rique, bien que l’interpr\u00e9teur produise n\u00e9anmoins un objet de r\u00e9gression apparemment complet et exploitable en surface.<\/p>\n

Loin de constituer un simple art\u00e9fact technique n\u00e9gligeable, cette notification algorithmique trahit une rupture g\u00e9om\u00e9trique et analytique profonde dans l’espace des donn\u00e9es : le ph\u00e9nom\u00e8ne de s\u00e9paration compl\u00e8te ou quasi-compl\u00e8te. Lorsqu’une combinaison lin\u00e9aire de pr\u00e9dicteurs permet de discriminer sans la moindre erreur la pr\u00e9sence ou l’absence de l’\u00e9v\u00e9nement \u00e9tudi\u00e9, l’estimateur conventionnel du maximum de vraisemblance s’effondre. Les coefficients math\u00e9matiques d\u00e9rivent vers l’infini, la matrice hessienne devient singuli\u00e8re ou extr\u00eamement mal conditionn\u00e9e, et les inf\u00e9rences statistiques traditionnelles — au premier rang desquelles figure le test de Wald — perdent toute validit\u00e9 th\u00e9orique et empirique.<\/p>\n

Cet article propose un examen exhaustif, \u00e0 la fois th\u00e9orique, computationnel et m\u00e9thodologique, des m\u00e9canismes provoquant cette instabilit\u00e9 num\u00e9rique au sein de la fonction glm()<\/a> de R. \u00c0 travers l’exploration d\u00e9taill\u00e9e des fondements math\u00e9matiques de l’algorithme des moindres carr\u00e9s repond\u00e9r\u00e9s it\u00e9rativement (IRLS), la mise en lumi\u00e8re du paradoxe de Wald et la pr\u00e9sentation rigoureuse des paradigmes de correction — de la p\u00e9nalisation de Firth aux approches bay\u00e9siennes r\u00e9gularis\u00e9es —, ce guide offre aux chercheurs, biostatisticiens et psychom\u00e8tres les cl\u00e9s indispensables pour diagnostiquer, comprendre et r\u00e9soudre d\u00e9finitivement ces d\u00e9faillances d’estimation.<\/p>\n

1. Introduction et contextualisation de l’avertissement glm.fit en r\u00e9gression logistique<\/h2>\n

1.1 Nature computationnelle de l’avertissement \u00e9mis par le moteur d’optimisation<\/h3>\n

L’avertissement \u00e9mis par le moteur interne glm.fit<\/code> traduit la survenue d’un \u00e9tat limite dans l’espace de calcul num\u00e9rique lors de l’ajustement d’un mod\u00e8le lin\u00e9aire g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9 binominal. Techniquement, le message \u00ab fitted probabilities numerically 0 or 1 occurred \u00bb<\/em> indique qu’au cours des it\u00e9rations d’optimisation, les probabilit\u00e9s pr\u00e9dites pour au moins une observation ont atteint un niveau indiscernable de 0 ou de 1 au regard de la pr\u00e9cision arithm\u00e9tique de la machine h\u00f4te. Dans l’architecture mat\u00e9rielle moderne r\u00e9gie par la norme IEEE 754 relative aux nombres \u00e0 virgule flottante en double pr\u00e9cision, une variable ne dispose que de 53 bits de mantisse, ce qui d\u00e9limite la plus petite diff\u00e9rence repr\u00e9sentable au voisinage de l’unit\u00e9.<\/p>\n

Lorsque le pr\u00e9dicteur lin\u00e9aire, conventionnellement not\u00e9 $\\eta_i = X_i \\beta$<\/span>, prend des valeurs absolues consid\u00e9rables (typiquement $|\\eta_i| > 36$<\/span> pour la fonction de lien logit canonique), la transformation sigmo\u00efde inverse produit un r\u00e9sultat si proche des bornes th\u00e9oriques que l’arrondi machine le tronque strictement \u00e0 z\u00e9ro ou \u00e0 un. Cet \u00e9cueil n’est pas anodin : l’\u00e9valuation de la fonction de variance binominale $V(\\mu_i) = \\mu_i(1 – \\mu_i)$<\/span> s’annule alors rigoureusement. La matrice de pond\u00e9ration diagonale intervenant dans l’algorithme d’estimation voit ainsi certains de ses termes s’effondrer \u00e0 z\u00e9ro, ce qui d\u00e9stabilise imm\u00e9diatement le calcul de la matrice d’information observ\u00e9e de Fisher.<\/p>\n

Il importe de distinguer rigoureusement un \u00e9chec banal de convergence algorithmique d’une singularit\u00e9 asymptotique structurelle. Dans le premier cas, un simple r\u00e9ajustement du nombre maximal d’it\u00e9rations ou du taux d’apprentissage permet de stabiliser le gradient. Dans le second cas — celui qui nous pr\u00e9occupe ici —, l’optimiseur s’enfonce dans une asymptote o\u00f9 la surface de log-vraisemblance ne poss\u00e8de plus aucun point stationnaire \u00e0 distance finie. L’avertissement ne sanctionne donc pas une erreur d’impl\u00e9mentation logicielle, mais traduit la d\u00e9faillance des approximations asymptotiques classiques face \u00e0 la topologie particuli\u00e8re de l’\u00e9chantillon analys\u00e9.<\/p>\n

1.2 Distinction fondamentale entre avertissement (warning) et erreur bloquante (error)<\/h3>\n

Dans l’\u00e9cosyst\u00e8me R, la distinction s\u00e9mantique entre une erreur bloquante (error<\/em>) et un simple avertissement (warning<\/em>) conditionne le comportement du compilateur et de l’utilisateur. Lorsqu’une erreur survient, l’ex\u00e9cution du script s’interrompt imm\u00e9diatement et aucun objet n’est instanci\u00e9 dans l’environnement de travail. \u00c0 l’inverse, l’\u00e9mission d’un avertissement autorise la fonction \u00e0 finaliser ses routines et \u00e0 retourner une structure de donn\u00e9es compl\u00e8te, encapsul\u00e9e sous la classe glm<\/code>. Cette tol\u00e9rance op\u00e9rationnelle engendre un p\u00e9ril m\u00e9thodologique majeur : le sentiment trompeur de s\u00e9curit\u00e9 chez le chercheur non averti.<\/p>\n

En inspectant sommairement l’objet r\u00e9sultant via les fonctions g\u00e9n\u00e9riques telles que coef()<\/code> ou predict()<\/code>, l’analyste peut constater la pr\u00e9sence de valeurs num\u00e9riques et poursuivre machinalement son protocole d’analyse. Pourtant, la structure interne de cet objet est s\u00e9v\u00e8rement compromise. Les estimations ponctuelles affich\u00e9es pour certains param\u00e8tres atteignent des ordres de grandeur d\u00e9nu\u00e9s de tout sens biologique, clinique ou comportemental (par exemple des coefficients d\u00e9passant 15 ou 20, correspondant \u00e0 des rapports de cotes sup\u00e9rieurs \u00e0 plusieurs millions). Les erreurs types associ\u00e9es, quant \u00e0 elles, s’envolent vers des valeurs stratosph\u00e9riques, souvent de l’ordre de $10^3$<\/span> ou $10^4$<\/span>.<\/p>\n

Cette divergence silencieuse des param\u00e8tres d’inf\u00e9rence invalide radicalement les r\u00e9sultats fournis. Le calcul des statistiques de test fond\u00e9 sur la normalit\u00e9 asymptotique devient illusoire, car l’approximation locale de la surface de log-vraisemblance par une parabole s’effondre totalement. Ainsi, traiter cet avertissement comme une simple remarque sans cons\u00e9quence revient \u00e0 publier des inf\u00e9rences fauss\u00e9es, exposant l’\u00e9tude \u00e0 un risque massif d’erreurs d’interpr\u00e9tation. Une investigation diagnostique approfondie s’av\u00e8re non pas optionnelle, mais imp\u00e9rative d\u00e8s la premi\u00e8re apparition de cette notification dans la console.<\/p>\n

1.3 Pr\u00e9valence du ph\u00e9nom\u00e8ne dans les recherches psychologiques et comportementales<\/h3>\n

Les sciences psychologiques, cognitives et psychiatriques constituent un terrain particuli\u00e8rement fertile pour l’\u00e9mergence de ces probabilit\u00e9s pr\u00e9dites extr\u00eames. Cette vuln\u00e9rabilit\u00e9 structurelle d\u00e9coule directement des caract\u00e9ristiques distributionnelles propres aux variables comportementales et cliniques. En psychopathologie exp\u00e9rimentale, l’investigation porte fr\u00e9quemment sur des ph\u00e9notypes d’une raret\u00e9 marqu\u00e9e au sein de la population g\u00e9n\u00e9rale, tels que les comportements d’auto-mutilation non suicidaires, les \u00e9pisodes dissociatifs aigus ou les manifestations psychotiques transitoires. L’asym\u00e9trie extr\u00eame de la variable r\u00e9ponse binaire cr\u00e9e d’embl\u00e9e des conditions propices \u00e0 des sous-effectifs cellulaires dramatiques.<\/p>\n

Parall\u00e8lement, l’usage ubiquitaire de questionnaires standardis\u00e9s introduisant des scores seuils stricts (cut-off scores) exacerbe ce ph\u00e9nom\u00e8ne. Lorsqu’un instrument diagnostique cat\u00e9gorise des individus en \u00ab s\u00e9v\u00e8re \u00bb versus \u00ab non s\u00e9v\u00e8re \u00bb sur la base d’un seuil clinique rigide, il n’est pas rare qu’un item sp\u00e9cifique ou qu’un pr\u00e9dicteur cat\u00e9goriel — par exemple, l’ant\u00e9c\u00e9dent d’hospitalisation psychiatrique sans consentement — s\u00e9pare parfaitement les groupes. Si la totalit\u00e9 des sujets ayant v\u00e9cu cette modalit\u00e9 se retrouve dans le groupe clinique s\u00e9v\u00e8re, la configuration de s\u00e9paration est instantan\u00e9ment r\u00e9alis\u00e9e.<\/p>\n

\u00c0 cela s’ajoutent les effets de plancher et de plafond omnipr\u00e9sents dans les batteries d’\u00e9valuations neuropsychologiques informatis\u00e9es. Lors de t\u00e2ches de d\u00e9tection de signaux ou de reconnaissance d’affects faciaux, les groupes de contr\u00f4le sains affichent fr\u00e9quemment des taux de pr\u00e9cision de 100 %, tandis que les sous-groupes cliniques pr\u00e9sentent une dispersion stochastique variable. Enfin, les contraintes \u00e9thiques, logistiques et financi\u00e8res inh\u00e9rentes aux protocoles cliniques exp\u00e9rimentaux limitent r\u00e9guli\u00e8rement la taille des \u00e9chantillons \u00e0 quelques dizaines de participants par bras d’\u00e9tude. Ce manque chronique de puissance statistique statistique et combinatoire maximise le risque g\u00e9om\u00e9trique que les donn\u00e9es ne se chevauchent plus, for\u00e7ant l’optimiseur dans ses derniers retranchements num\u00e9riques.<\/p>\n

2. Fondements math\u00e9matiques : L’algorithme IRLS et la convergence num\u00e9rique<\/h2>\n

2.1 Fonctionnement des moindres carr\u00e9s repond\u00e9r\u00e9s it\u00e9rativement (IRLS)<\/h3>\n

L’estimation des param\u00e8tres du mod\u00e8le lin\u00e9aire g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9 repose traditionnellement sur la m\u00e9thode des moindres carr\u00e9s repond\u00e9r\u00e9s it\u00e9rativement, connue sous l’acronyme anglais IRLS (Iteratively Reweighted Least Squares)<\/a>. Cet algorithme constitue une transposition computationnellement \u00e9l\u00e9gante de la m\u00e9thode de Newton-Raphson pour la maximisation de la log-vraisemblance dans la famille exponentielle. Soit un vecteur de r\u00e9ponses binaires $Y = (y_1, dots, y_n)^T$<\/span> o\u00f9 $y_i in {0, 1}$<\/span>, et une matrice d’exp\u00e9rience $X$<\/span> de dimensions $n \\times p$<\/span>. La log-vraisemblance s’exprime comme suit :<\/p>\n

$$ell(\\beta) = \\sum_{i=1}^n \\left[ y_i \\ln(\\mu_i) + (1 – y_i) \\ln(1 – \\mu_i) \\right]$$<\/span><\/p>\n

avec la probabilit\u00e9 pr\u00e9dite $\\mu_i = \\mathbb{E}(Y_i|X_i) = \\text{logit}^{-1}(X_i \\beta) = \\frac{1}{1 + e^{-X_i \\beta}}$<\/span>. L’algorithme IRLS actualise le vecteur des param\u00e8tres $\\beta$<\/span> \u00e0 chaque it\u00e9ration $t$<\/span> en r\u00e9solvant le syst\u00e8me matriciel normal pond\u00e9r\u00e9 :<\/p>\n

$$\\beta^{(t+1)} = (X^T W^{(t)} X)^{-1} X^T W^{(t)} Z^{(t)}$$<\/span><\/p>\n

Dans cette formulation, $W^{(t)}$<\/span> repr\u00e9sente une matrice diagonale de poids d’ordre $n \\times n$<\/span> dont le $i$<\/span>-i\u00e8me \u00e9l\u00e9ment diagonal est d\u00e9fini par $w_{ii}^{(t)} = \\mu_i^{(t)}(1 – \\mu_i^{(t)})$<\/span>. Le terme $Z^{(t)}$<\/span> correspond quant \u00e0 lui au vecteur des variables d\u00e9pendantes ajust\u00e9es ou r\u00e9sidus de travail, d\u00e9fini composante par composante par :<\/p>\n

$$z_i^{(t)} = X_i \\beta^{(t)} + \\frac{y_i – \\mu_i^{(t)}}{\\mu_i^{(t)}(1 – \\mu_i^{(t)})}$$<\/span><\/p>\n

Le comportement pathologique de l’algorithme se cristallise pr\u00e9cis\u00e9ment autour de cette dynamique it\u00e9rative. Lorsque la probabilit\u00e9 pr\u00e9dite $\\mu_i$<\/span> s’approche asymptotiquement de 1 (dans le cas o\u00f9 $y_i = 1$<\/span>) ou de 0 (dans le cas o\u00f9 $y_i = 0$<\/span>), le poids $w_{ii} = \\mu_i(1 – \\mu_i)$<\/span> d\u00e9cro\u00eet exponentiellement vers z\u00e9ro. En cons\u00e9quence, les observations parfaitement pr\u00e9dites perdent toute influence gravitationnelle dans le produit matriciel $X^T W X$<\/span>. Simultan\u00e9ment, le terme correctif r\u00e9siduel pr\u00e9sent dans la variable de travail $z_i$<\/span> implique une division par un infiniment petit d’ordre $\\mu_i(1 – \\mu_i)$<\/span>, g\u00e9n\u00e9rant des grandeurs virtuelles colossales. Lorsque plusieurs points subissent cette translation simultan\u00e9ment, la matrice d’information de Fisher $X^T W X$<\/span> devient mal conditionn\u00e9e, son d\u00e9terminant s’effondre et son inversion num\u00e9rique requiert la manipulation de valeurs quasi-singuli\u00e8res, d\u00e9clenchant l’alerte d’instabilit\u00e9.<\/p>\n

2.2 La fonction de lien logit et l’espace des param\u00e8tres infinis<\/h3>\n

Pour appr\u00e9hender la gen\u00e8se de l’avertissement, il est n\u00e9cessaire d’examiner attentivement la transformation impos\u00e9e par la fonction de lien canonique logit. Le mod\u00e8le postule que le logarithme du rapport de cotes (log-odds<\/em>) est une combinaison lin\u00e9aire stricte des variables ind\u00e9pendantes :<\/p>\n

$$\\eta_i = \\ln\\left( \\frac{\\mu_i}{1 – \\mu_i} \\right) = X_i \\beta$$<\/span><\/p>\n

La fonction logit r\u00e9alise un diff\u00e9omorphisme entre l’intervalle ouvert des probabilit\u00e9s $]0, 1[$<\/span> et l’ensemble de la droite r\u00e9elle \u00e9tendue $[-\\infty, +\\infty]$<\/span>. De ce fait, pour qu’une probabilit\u00e9 th\u00e9orique $\\mu_i$<\/span> atteigne exactement la valeur 1, il est structurellement obligatoire que le pr\u00e9dicteur lin\u00e9aire $\\eta_i$<\/span> tende vers $+\\infty$<\/span>. R\u00e9ciproquement, pour que $\\mu_i$<\/span> soit rigoureusement \u00e9gal \u00e0 0, $\\eta_i$<\/span> doit tendre vers $-\\infty$<\/span>.<\/p>\n

En pr\u00e9sence d’une configuration d’\u00e9chantillonnage o\u00f9 un sous-ensemble de pr\u00e9dicteurs isole impeccablement les succ\u00e8s des \u00e9checs, l’algorithme du maximum de vraisemblance cherche \u00e0 maximiser $ell(\\beta)$<\/span> en poussant les probabilit\u00e9s vers leurs limites absolues ($1$ pour les \u00e9v\u00e9nements r\u00e9els, $0$ pour les non-\u00e9v\u00e9nements). En tentant d’\u00e9pouser parfaitement cette r\u00e9alit\u00e9 d’\u00e9chantillonnage, le vecteur de coefficients $\\beta$<\/span> est entra\u00een\u00e9 dans une trajectoire divergente : $|beta| to \\infty$<\/span>.<\/p>\n

Or, dans l’espace euclidien r\u00e9el, l’infini ne constitue pas un point d’accumulation atteignable pour un algorithme d’optimisation classique. Le gradient de la log-vraisemblance, bien qu’extr\u00eamement plat, ne s’annule jamais rigoureusement \u00e0 distance finie. L’optimiseur continue d’avancer pas \u00e0 pas le long de cette rampe asymptotique, augmentant l’amplitude des coefficients \u00e0 chaque cycle de Newton-Raphson, jusqu’\u00e0 ce que la courbure locale devienne imperceptible au regard des capacit\u00e9s d’arrondi num\u00e9rique du processeur.<\/p>\n

2.3 Seuils d’arrondi machine et tol\u00e9rance de l’interpr\u00e9teur R<\/h3>\n

L’impl\u00e9mentation de la fonction glm.fit<\/code> dans le code source de base de R recourt \u00e0 des crit\u00e8res de convergence calibr\u00e9s \u00e0 l’aide de constantes internes de l’environnement, notamment la variable syst\u00e8me .Machine$double.eps<\/code>. Cette grandeur repr\u00e9sente le plus petit nombre \u00e0 virgule flottante positif $x$<\/span> tel que $1 + x \\neq 1$<\/span>. Sur les architectures 64 bits standard ex\u00e9cutant R, sa valeur est fix\u00e9e approximativement \u00e0 :<\/p>\n

$$\\epsilon_{\\text{machine}} \\approx 2.220446 \\times 10^{-16}$$<\/span><\/p>\n

Au c\u0153ur de la boucle de calcul de glm.fit<\/code>, un test logique rigide v\u00e9rifie apr\u00e8s chaque mise \u00e0 jour si les probabilit\u00e9s ajust\u00e9es sortent de l’intervalle de stabilit\u00e9 computationnelle. Les seuils effectifs cod\u00e9s en dur comparent $\\mu_i$<\/span> \u00e0 une marge critique $epsilon$<\/span> ou $1 – epsilon$<\/span>, o\u00f9 $epsilon$<\/span> est souvent fix\u00e9 \u00e0 $10 \\times \\epsilon_{\\text{machine}}$<\/span> ou directement \u00e0 la racine carr\u00e9e de cette constante selon les segments d’\u00e9valuation de la d\u00e9viance.<\/p>\n

D\u00e8s lors qu’une seule valeur calcul\u00e9e de $\\mu_i$<\/span> descend en dessous de ce seuil microscopique (par exemple $mu_i < 2.22 times 10^{-15}$) ou franchit la borne sup\u00e9rieure correspondante ($<\/span>mu_i > 1 – 2.22 times 10^{-15}$), R bascule le drapeau interne d’avertissement. Cet \u00e9cr\u00eatement est indispensable pour pr\u00e9munir le processeur contre l’exception mat\u00e9rielle NaN<\/code> (Not a Number<\/em>) qui r\u00e9sulterait imm\u00e9diatement de l’\u00e9valuation de $\\ln(1 – \\mu_i)$<\/span> lorsque $\\mu_i = 1$<\/span>, ou de $\\ln(\\mu_i)$<\/span> lorsque $\\mu_i = 0$<\/span>.<\/p>\n

Bien que cette protection arithm\u00e9tique \u00e9vite le crash du noyau R, elle alt\u00e8re significativement l’estimation de la d\u00e9viance r\u00e9siduelle $D(y; \\hat{\\mu}) = -2 \\left[ ell(\\hat{\\mu}) – ell(y) \\right]$<\/span>. Dans les cas de s\u00e9paration extr\u00eame, la d\u00e9viance th\u00e9orique devrait approcher z\u00e9ro. Cependant, l’arrondi contraint introduit une discordance artificielle dans l’\u00e9valuation des degr\u00e9s de libert\u00e9 r\u00e9siduels et corrompt les tests d’ad\u00e9quation globale (goodness-of-fit<\/em>) fond\u00e9s sur la distribution du chi-deux.<\/p>\n

3. La cause principale : S\u00e9paration compl\u00e8te et quasi-compl\u00e8te des donn\u00e9es<\/h2>\n

3.1 D\u00e9finition formelle de la s\u00e9paration compl\u00e8te<\/h3>\n

La th\u00e9orie math\u00e9matique expliquant l’effondrement de l’estimateur du maximum de vraisemblance en r\u00e9gression logistique a \u00e9t\u00e9 formalis\u00e9e de mani\u00e8re s\u00e9minale par Albert et Anderson en 1984, puis enrichie par les travaux de Santner et Duffy (1986). Le postulat g\u00e9om\u00e9trique de la s\u00e9paration compl\u00e8te<\/a> d\u00e9crit une situation o\u00f9 les observations appartenant aux deux classes de la variable binaire peuvent \u00eatre isol\u00e9es sans aucune ambigu\u00eft\u00e9 par un hyperplan dans l’espace des pr\u00e9dicteurs $\\mathbb{R}^p$<\/span>.<\/p>\n

Formellement, consid\u00e9rons un \u00e9chantillon de donn\u00e9es ${(x_i, y_i)}_{i=1}^n$<\/span> avec $x_i in \\mathbb{R}^p$<\/span> et $y_i in {0, 1}$<\/span>. Il y a s\u00e9paration compl\u00e8te s’il existe un vecteur de coefficients $\\alpha in \\mathbb{R}^p$<\/span> non nul tel que, pour tout individu $i in {1, dots, n}$<\/span> :<\/p>\n