$O_i$<\/span>). Il est tout \u00e0 fait recevable qu’une cellule observ\u00e9e pr\u00e9sente une valeur de 0 ou 1, pourvu que son effectif attendu sous l’hypoth\u00e8se th\u00e9orique satisfasse au crit\u00e8re num\u00e9rique. Lorsque ce postulat est transgress\u00e9, les alternatives m\u00e9thodologiques s’imposent : regroupement logique de modalit\u00e9s adjacentes, recours \u00e0 des tests exacts multinomiaux ou mod\u00e9lisation par randomisation de Monte Carlo.<\/p>\n4. Environnement de calcul Python et \u00e9cosyst\u00e8me scientifique<\/h2>\n
L’impl\u00e9mentation contemporaine de l’analyse quantitative exige un environnement de calcul stable, modulaire et hautement reproductible. L’\u00e9cosyst\u00e8me Python offre des biblioth\u00e8ques scientifiques sp\u00e9cialis\u00e9es qui interagissent harmonieusement pour g\u00e9rer l’int\u00e9gralit\u00e9 de la cha\u00eene analytique.<\/p>\n
4.1 Configuration de l’environnement de recherche<\/h3>\n
Pour garantir l’int\u00e9grit\u00e9 et la reproductibilit\u00e9 des calculs scientifiques, il est imp\u00e9ratif d’isoler l’environnement d’ex\u00e9cution \u00e0 l’aide d’outils de virtualisation d’environnement tels que venv<\/code> ou conda<\/code>. Cette approche neutralise les conflits de versions entre packages et garantit que les scripts d’analyse demeurent fonctionnels dans le temps.<\/p>\nL’installation de la pile scientifique \u00e9l\u00e9mentaire d\u00e9di\u00e9e aux calculs inf\u00e9rentiels s’effectue via le gestionnaire standard de paquets de Python :<\/p>\n
pip install numpy scipy pandas statsmodels matplotlib seaborn<\/code><\/p>\nL’int\u00e9gration de ces outils au sein de carnets num\u00e9riques interactifs tels que Jupyter Notebooks ou JupyterLab constitue le standard de la science ouverte. Les carnets permettent de lier organiquement le code ex\u00e9cutable, les sorties statistiques, les visualisations graphiques vectorielles et le texte explicatif r\u00e9dig\u00e9 en Markdown, consolidant ainsi la tra\u00e7abilit\u00e9 des d\u00e9cisions analytiques.<\/p>\n
4.2 Pr\u00e9sentation du module scipy.stats<\/h3>\n
Le module scipy.stats<\/code> constitue le c\u0153ur n\u00e9vralgique du calcul statistique en Python. Il regroupe un ensemble exhaustif de distributions probabilistes continues et discr\u00e8tes, ainsi qu’une biblioth\u00e8que de tests inf\u00e9rentiels param\u00e9triques et non param\u00e9triques. Pour le test d’ad\u00e9quation du chi-deux, la fonction centrale est scipy.stats.chisquare<\/code>.<\/p>\nIl importe de distinguer avec pr\u00e9cision scipy.stats.chisquare<\/code> de la fonction scipy.stats.chi2_contingency<\/code>. Alors que cette derni\u00e8re est strictement r\u00e9serv\u00e9e aux tableaux de contingence bidimensionnels pour les tests d’ind\u00e9pendance ou d’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 (calculant automatiquement les marges matricielles), chisquare<\/code> est d\u00e9di\u00e9e aux vecteurs unidimensionnels pour tester l’ad\u00e9quation d’un \u00e9chantillon \u00e0 une loi sp\u00e9cifi\u00e9e.<\/p>\nLa signature de base de la fonction est la suivante :<\/p>\n
scipy.stats.chisquare(f_obs, f_exp=None, ddof=0, axis=0)<\/code><\/p>\nElle retourne un objet nomm\u00e9 Power_divergenceResult<\/code> contenant deux attributs essentiels : la statistique scalaire statistic<\/code> et la probabilit\u00e9 pvalue<\/code> associ\u00e9e.<\/p>\n4.3 Optimisation des structures de donn\u00e9es avec NumPy et Pandas<\/h3>\n
Dans un flux d’analyse de donn\u00e9es classique, les observations brutes sont charg\u00e9es et manipul\u00e9es via la biblioth\u00e8que Pandas sous forme de DataFrame<\/code>. Pandas facilite l’ingestion de fichiers structur\u00e9s (CSV, Parquet, bases SQL) et fournit des m\u00e9thodes d’agr\u00e9gation d’une efficacit\u00e9 redoutable, notamment value_counts()<\/code> et groupby()<\/code>.<\/p>\nToutefois, pour les op\u00e9rations d’alg\u00e8bre lin\u00e9aire sous-jacentes et le passage de param\u00e8tres aux fonctions de SciPy, les structures ndarray<\/code> de NumPy sont privil\u00e9gi\u00e9es. La vectorisation native de NumPy permet d’ex\u00e9cuter des transformations arithm\u00e9tiques complexes sur des millions d’observations sans recourir \u00e0 des boucles it\u00e9ratives lentes en Python pur.<\/p>\nLa d\u00e9tection et le traitement des donn\u00e9es manquantes (NaN<\/code>, None<\/code>) doivent \u00eatre op\u00e9r\u00e9s rigoureusement en amont : la pr\u00e9sence d’une seule valeur manquante non filtr\u00e9e dans une colonne cat\u00e9gorielle peut corrompre la taille totale d’\u00e9chantillon $N$<\/span> et invalider l’exhaustivit\u00e9 requise des cat\u00e9gories.<\/p>\n5. Structuration et pr\u00e9paration des vecteurs de donn\u00e9es<\/h2>\n
L’exactitude des calculs inf\u00e9rentiels d\u00e9pend de la conformit\u00e9 structurelle des vecteurs transmis au moteur statistique. Cette phase de pr\u00e9paration impose des r\u00e8gles d’alignement dimensionnel et de contr\u00f4le de coh\u00e9rence rigoureuses.<\/p>\n
5.1 Constitution du vecteur des fr\u00e9quences observ\u00e9es (f_obs)<\/h3>\n
Le vecteur des effectifs observ\u00e9s, d\u00e9sign\u00e9 conventionnellement par l’argument f_obs<\/code> dans SciPy, doit contenir les fr\u00e9quences absolues issues du d\u00e9nombrement des modalit\u00e9s de la variable d’\u00e9tude. Ce vecteur peut \u00eatre instanci\u00e9 sous la forme d’une liste Python standard ou d’un tableau unidimensionnel numpy.ndarray<\/code>.<\/p>\nLorsqu’on extrait ce vecteur depuis un DataFrame<\/code> Pandas, il est crucial d’ordonner explicitement les cat\u00e9gories. Par exemple, si l’on \u00e9tudie une variable ordinale \u00e0 cinq niveaux, la m\u00e9thode value_counts()<\/code> doit \u00eatre compl\u00e9t\u00e9e par un tri sur l’index ou par l’application pr\u00e9alable d’un type de donn\u00e9es cat\u00e9goriel ordonn\u00e9 (CategoricalDtype<\/code>) pour \u00e9viter tout m\u00e9lange d’indices lors des comparaisons ult\u00e9rieures :<\/p>\nf_obs = df['modalite'].value_counts().sort_index().to_numpy()<\/code><\/p>\nIl est imp\u00e9ratif de s’assurer que les valeurs contenues sont des entiers positifs ou nuls. L’injection d’un effectif n\u00e9gatif d\u00e9clenche une violation fondamentale des axiomes de Kolmogorov r\u00e9gissant les probabilit\u00e9s.<\/p>\n
5.2 D\u00e9finition et calcul du vecteur des fr\u00e9quences attendues (f_exp)<\/h3>\n
Le vecteur des fr\u00e9quences attendues, transmis via l’argument f_exp<\/code>, sp\u00e9cifie le mod\u00e8le th\u00e9orique sous $H_0$<\/span>. Si le param\u00e8tre f_exp<\/code> est omis lors de l’appel \u00e0 scipy.stats.chisquare<\/code>, la fonction assume par d\u00e9faut une hypoth\u00e8se d’\u00e9quiprobabilit\u00e9 stricte (distribution uniforme), attribuant automatiquement \u00e0 chaque cellule la moyenne arithm\u00e9tique globale :<\/p>\n$$E_i = \\frac{1}{k} \\sum_{j=1}^k O_j = \\frac{N}{k}$$<\/span><\/p>\nEn revanche, d\u00e8s lors que l’hypoth\u00e8se de recherche postule une distribution asym\u00e9trique personnalis\u00e9e, le chercheur doit construire explicitement ce vecteur. Les proportions th\u00e9oriques $p_{0i}$<\/span> doivent imp\u00e9rativement \u00eatre converties en effectifs absolus en les multipliant par la taille totale de l’\u00e9chantillon $N$<\/span> :<\/p>\nproportions_theoriques = np.array([0.10, 0.20, 0.40, 0.30])<\/code>
\nf_exp = proportions_theoriques * np.sum(f_obs)<\/code><\/p>\nSciPy accepte que le vecteur f_exp<\/code> contienne des nombres r\u00e9els \u00e0 virgule flottante (les effectifs th\u00e9oriques n’\u00e9tant que tr\u00e8s rarement des entiers parfaits). Cependant, la pr\u00e9servation de la pr\u00e9cision num\u00e9rique en virgule flottante (standard IEEE 754) est primordiale pour \u00e9viter l’introduction d’artefacts d’arrondi lors du calcul de la statistique de test.<\/p>\n5.3 Contr\u00f4les pr\u00e9alables de coh\u00e9rence des donn\u00e9es<\/h3>\n
Avant d’initier le traitement inf\u00e9rentiel, une routine d’assertions pr\u00e9-analytiques doit \u00eatre impl\u00e9ment\u00e9e sous Python afin de s\u00e9curiser l’int\u00e9grit\u00e9 des op\u00e9rations. Trois v\u00e9rifications \u00e9l\u00e9mentaires s’imposent :<\/p>\n
En premier lieu, l’\u00e9galit\u00e9 des masses totales : la somme des effectifs observ\u00e9s doit \u00eatre strictement \u00e9gale \u00e0 la somme des effectifs attendus, \u00e0 une tol\u00e9rance num\u00e9rique pr\u00e8s ($\\approx 10^{-7}$<\/span>). Dans les versions r\u00e9centes de SciPy, si $\\sum f_obs \\neq \\sum f_\\exp$<\/span>, la fonction ajuste proportionnellement les valeurs de f_exp<\/code>, mais une telle divergence signale le plus souvent une erreur de sp\u00e9cification de la part du chercheur qu’il convient d’intercepter imm\u00e9diatement.<\/p>\nEn deuxi\u00e8me lieu, la v\u00e9rification dimensionnelle : la longueur du vecteur f_obs<\/code> doit co\u00efncider rigoureusement avec celle de f_exp<\/code>, sous peine de d\u00e9clencher une exception de non-conformit\u00e9 dimensionnelle (ValueError<\/code>).<\/p>\nEn troisi\u00e8me lieu, l’\u00e9valuation automatique de la r\u00e8gle de Cochran : un simple filtre bool\u00e9en NumPy permet de quantifier la part des cellules th\u00e9oriques ne satisfaisant pas au seuil critique de 5 unit\u00e9s :<\/p>\n
cellules_invalides = np.sum(f_exp < 5)<\/code>
\npourcentage_invalide = (cellules_invalides \/ len(f_exp)) * 100<\/code><\/p>\nSi ce pourcentage exc\u00e8de 20 %, une notification d'alerte m\u00e9thodologique doit \u00eatre \u00e9mise par le pipeline d'analyse.<\/p>\n
6. Impl\u00e9mentation pas \u00e0 pas avec scipy.stats.chisquare<\/h2>\n
La concr\u00e9tisation logicielle du test sous Python offre une ergonomie remarquable, mais requiert une ma\u00eetrise rigoureuse de ses options de param\u00e9trage, notamment la gestion des correctifs de degr\u00e9s de libert\u00e9.<\/p>\n
6.1 Syntaxe fondamentale et ex\u00e9cution sous hypoth\u00e8se d'\u00e9quiprobabilit\u00e9<\/h3>\n
L'ex\u00e9cution du test sous l'hypoth\u00e8se nulle d'uniformit\u00e9 probabiliste repr\u00e9sente la configuration la plus directe. Consid\u00e9rons un cas o\u00f9 un d\u00e9 \u00e0 6 faces est lanc\u00e9 120 fois. Le chercheur d\u00e9sire tester si le d\u00e9 est \u00e9quilibr\u00e9. Les effectifs observ\u00e9s pour chaque face de 1 \u00e0 6 sont regroup\u00e9s dans un tableau :<\/p>\n
import numpy as np<\/code>
\nfrom scipy import stats<\/code><\/p>\nf_obs = np.array([22, 17, 18, 25, 12, 26])<\/code>
\nresultat = stats.chisquare(f_obs=f_obs)<\/code>
\nprint(f\"Statistique chi2 : {resultat.statistic:.4f}\")<\/code>
\nprint(f\"P-valeur : {resultat.pvalue:.4f}\")<\/code><\/p>\nDans ce sc\u00e9nario, chisquare<\/code> d\u00e9rive automatiquement $N = 120$<\/span>, g\u00e9n\u00e8re $f_\\exp = [20., 20., 20., 20., 20., 20.]$<\/span>, attribue $\\nu = 6 - 1 = 5$<\/span> degr\u00e9s de libert\u00e9, et r\u00e9sout l'int\u00e9grale de la loi continue. La sortie renvoie un objet typ\u00e9 contenant la valeur de la statistique de test et la probabilit\u00e9 critique bilat\u00e9rale.<\/p>\n6.2 Impl\u00e9mentation avec une distribution th\u00e9orique asym\u00e9trique personnalis\u00e9e<\/h3>\n
Lorsque le mod\u00e8le sous-jacent postule une h\u00e9t\u00e9rog\u00e9n\u00e9it\u00e9 des proportions, le vecteur f_exp<\/code> doit \u00eatre explicitement aliment\u00e9. Supposons une \u00e9tude en g\u00e9n\u00e9tique comportementale o\u00f9 les ph\u00e9notypes d'une descendance animale doivent suivre les ratios de s\u00e9gr\u00e9gation th\u00e9oriques 9:3:3:1 issus d'un croisement dih\u00e9t\u00e9rozygote classique.<\/p>\nPour un \u00e9chantillon total de 320 sujets observ\u00e9s, la mod\u00e9lisation sous Python s'articule comme suit :<\/p>\n
f_obs = np.array([185, 55, 62, 18])<\/code>
\nratios = np.array([9, 3, 3, 1])<\/code>
\nproportions = ratios \/ np.sum(ratios)<\/code>
\nf_exp = proportions * np.sum(f_obs)<\/code><\/p>\nres = stats.chisquare(f_obs=f_obs, f_exp=f_exp)<\/code>
\nprint(f\"Chi2 = {res.statistic:.4f}, p = {res.pvalue:.4f}\")<\/code><\/p>\nLe calcul v\u00e9rifie si la structure empirique d\u00e9vie de la distribution mend\u00e9lienne [180, 60, 60, 20]. L'affectation d'un vecteur flottant permet de conserver une pr\u00e9cision absolue lors des divisions matricielles, pr\u00e9venant ainsi toute distorsion de la p-valeur finale.<\/p>\n
6.3 Ajustement des degr\u00e9s de libert\u00e9 via le param\u00e8tre ddof<\/h3>\n
L'un des \u00e9cueils techniques les plus fr\u00e9quents r\u00e9side dans l'omission du param\u00e8tre ddof<\/code> (delta degrees of freedom<\/em>). Par d\u00e9faut, scipy.stats.chisquare<\/code> applique la formule $\\nu = k - 1$<\/span>, ce qui correspond \u00e0 ddof=0<\/code>. Or, si le mod\u00e8le th\u00e9orique d\u00e9pend de param\u00e8tres de population inconnus qui ont d\u00fb \u00eatre pr\u00e9alablement estim\u00e9s \u00e0 partir des donn\u00e9es empiriques de l'\u00e9chantillon, chaque estimation consomme un degr\u00e9 de libert\u00e9 suppl\u00e9mentaire.<\/p>\nPar exemple, si l'on souhaite tester si une variable discr\u00e8te suit une loi de Poisson de param\u00e8tre $lambda$<\/span>, et que ce param\u00e8tre $lambda$<\/span> est estim\u00e9 par la moyenne arithm\u00e9tique de l'\u00e9chantillon ($\\hat{\\lambda} = \\bar{X}$<\/span>), alors un param\u00e8tre ($m = 1$<\/span>) a \u00e9t\u00e9 estim\u00e9. Les degr\u00e9s de libert\u00e9 th\u00e9oriques effectifs deviennent :<\/p>\n$$\\nu = k - 1 - 1 = k - 2$$<\/span><\/p>\nPour informer SciPy de cette r\u00e9duction, il est indispensable de renseigner ddof=1<\/code> :<\/p>\nresultat_ajuste = stats.chisquare(f_obs=f_obs, f_exp=f_exp, ddof=1)<\/code><\/p>\nUne mauvaise configuration de ce param\u00e8tre modifie directement l'abscisse de la fonction de r\u00e9partition cumulative et fausse int\u00e9gralement la p-valeur g\u00e9n\u00e9r\u00e9e, conduisant potentiellement \u00e0 des erreurs de d\u00e9cision statistique dramatiques dans un cadre exp\u00e9rimental contr\u00f4l\u00e9.<\/p>\n
7. \u00c9tude de cas empirique : Analyse de fr\u00e9quences comportementales<\/h2>\n
Afin d'ancrer ces d\u00e9veloppements th\u00e9oriques dans la r\u00e9alit\u00e9 pratique de la recherche, d\u00e9veloppons une \u00e9tude de cas appliqu\u00e9e et d\u00e9taillons l'ensemble du cycle de traitement quantitatif.<\/p>\n
7.1 Contexte m\u00e9thodologique et description du jeu de donn\u00e9es<\/h3>\n
Imaginons une recherche en \u00e9pid\u00e9miologie psychiatrique portant sur l'occurrence temporelle des admissions d'urgence au sein d'un p\u00f4le hospitalier r\u00e9gional. Une controverse th\u00e9orique subsiste dans la litt\u00e9rature clinique : certains auteurs postulent une homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 stricte de la charge d'admissions tout au long de la semaine ouvr\u00e9e (du lundi au vendredi), tandis que d'autres d\u00e9fendent l'existence d'un pic d'admissions le lundi cons\u00e9cutif \u00e0 l'effet de rebond de la d\u00e9compensation durant le week-end.<\/p>\n
Un \u00e9chantillon al\u00e9atoire repr\u00e9sentatif de $N = 1,250$<\/span> admissions collig\u00e9es au cours d'une ann\u00e9e sur les jours ouvr\u00e9s a \u00e9t\u00e9 extrait du registre informatis\u00e9 de l'\u00e9tablissement. Les donn\u00e9es observ\u00e9es sont les suivantes :<\/p>\n\n- Lundi : 295 admissions<\/li>\n
- Mardi : 240 admissions<\/li>\n
- Mercredi : 225 admissions<\/li>\n
- Jeudi : 230 admissions<\/li>\n
- Vendredi : 260 admissions<\/li>\n<\/ul>\n
La question scientifique se formalise ainsi : la r\u00e9partition journali\u00e8re des admissions pr\u00e9sente-t-elle une d\u00e9viation statistiquement significative par rapport \u00e0 une hypoth\u00e8se d'\u00e9quiprobabilit\u00e9 parfaite ($p_{0i} = 0{,}20 \\quad \\forall i in {1, dots, 5}$<\/span>) ? Le niveau de significativit\u00e9 est fix\u00e9 de mani\u00e8re standard \u00e0 $\\alpha = 0{,}05$<\/span>.<\/p>\n7.2 Script Python complet et reproductible<\/h3>\n
Le traitement programmatique complet de cette \u00e9tude s'orchestre au moyen du script Python document\u00e9 ci-apr\u00e8s :<\/p>\n
import numpy as np<\/code>
\nimport pandas as pd<\/code>
\nfrom scipy import stats<\/code><\/p>\njours = ['Lundi', 'Mardi', 'Mercredi', 'Jeudi', 'Vendredi']<\/code>
\nf_obs = np.array([295, 240, 225, 230, 260])<\/code>
\nN = np.sum(f_obs)<\/code>
\nk = len(f_obs)<\/code><\/p>\n# Calcul des effectifs attendus sous H0 uniforme<\/code>
\np_theorique = 1.0 \/ k<\/code>
\nf_exp = np.full(shape=k, fill_value=N * p_theorique)<\/code><\/p>\n# Ex\u00e9cution du test d'ad\u00e9quation<\/code>
\ntest_res = stats.chisquare(f_obs=f_obs, f_exp=f_exp)<\/code><\/p>\n# Restitution structur\u00e9e<\/code>
\nprint(f\"Nombre total d'observations (N) : {N}\")<\/code>
\nprint(f\"Degr\u00e9s de libert\u00e9 (ddl) : {k - 1}\")<\/code>
\nprint(f\"Statistique du Chi-deux (Chi2) : {test_res.statistic:.4f}\")<\/code>
\nprint(f\"P-valeur associ\u00e9e : {test_res.pvalue:.6e}\")<\/code><\/p>\nL'ex\u00e9cution de ce code produit une statistique $\\chi^2 \\approx 12{,}36$<\/span> et une p-valeur de $p \\approx 0{,}0149$<\/span>. \u00c9tant donn\u00e9 que $p < 0{,}05$, nous rejetons l'hypoth\u00e8se nulle d'uniformit\u00e9 des admissions au seuil de confiance de 95 %. Il appara\u00eet avec certitude que la charge d'admissions n'est pas \u00e9quitablement r\u00e9partie sur l'ensemble des cinq jours ouvr\u00e9s.<\/p>\n