De la pr\u00e9paration rigoureuse des donn\u00e9es psychom\u00e9triques brutes \u00e0 l’int\u00e9gration des matrices de covariance dans des analyses multivari\u00e9es avanc\u00e9es telles que la mod\u00e9lisation par \u00e9quations structurelles ou l’analyse factorielle confirmatoire, cet ouvrage examine en d\u00e9tail chaque \u00e9tape du processus analytique. En s’appuyant sur des bases conceptuelles solides et des applications concr\u00e8tes, ce document offre une ressource de r\u00e9f\u00e9rence tant pour les \u00e9tudiants en doctorat que pour les chercheurs chevronn\u00e9s d\u00e9sireux de garantir la reproductibilit\u00e9, l’exactitude math\u00e9matique et la conformit\u00e9 aux normes scientifiques les plus exigeantes.<\/p>\n
1. Introduction th\u00e9orique \u00e0 la covariance et \u00e0 son utilit\u00e9 en psychom\u00e9trie<\/h2>\n1.1 D\u00e9finition statistique et conceptuelle de la covariance<\/h3>\n
La covariance constitue la mesure statistique fondamentale de la variabilit\u00e9 conjointe observ\u00e9e entre deux variables al\u00e9atoires quantitatives continues. D’un point de vue conceptuel, elle quantifie le degr\u00e9 auquel deux grandeurs num\u00e9riques fluctuent de concert autour de leurs esp\u00e9rances math\u00e9matiques respectives. Lorsque deux variables exhibent une covariance non nulle, cela indique que les \u00e9carts individuels par rapport \u00e0 la moyenne observ\u00e9e sur la premi\u00e8re variable ont tendance \u00e0 \u00eatre syst\u00e9matiquement associ\u00e9s \u00e0 des \u00e9carts de m\u00eame sens ou de sens oppos\u00e9 sur la seconde variable. Cette mesure r\u00e9sume ainsi l’existence d’une d\u00e9pendance lin\u00e9aire entre deux s\u00e9ries de donn\u00e9es sans toutefois restreindre son r\u00e9sultat dans un intervalle born\u00e9 pr\u00e9d\u00e9fini.<\/p>\n
La direction de cette d\u00e9pendance lin\u00e9aire est formellement traduite par le signe alg\u00e9brique de la covariance. Une valeur positive indique une relation proportionnelle directe : les individus obtenant des scores sup\u00e9rieurs \u00e0 la moyenne sur la variable initiale tendent \u00e9galement \u00e0 manifester des scores sup\u00e9rieurs \u00e0 la moyenne sur la variable d\u00e9pendante ou associ\u00e9e. \u00c0 l’inverse, une covariance n\u00e9gative t\u00e9moigne d’une covariation inverse, o\u00f9 les performances \u00e9lev\u00e9es sur une \u00e9preuve s’associent statistiquement \u00e0 des scores d\u00e9ficitaires ou inf\u00e9rieurs sur la seconde dimension. Lorsque les variables varient de mani\u00e8re totalement ind\u00e9pendante, la somme des produits crois\u00e9s tend th\u00e9oriquement vers z\u00e9ro, r\u00e9v\u00e9lant une absence d’association lin\u00e9aire syst\u00e9matique au sein de la population \u00e9tudi\u00e9e.<\/p>\n
Il est imp\u00e9ratif d’\u00e9tablir une distinction \u00e9pist\u00e9mologique stricte entre l’observation d’une association non standardis\u00e9e et l’inf\u00e9rence d’un lien causal. En psychom\u00e9trie et en sciences du comportement, une covariance \u00e9lev\u00e9e entre deux mesures empiriques ne prouve nullement l’existence d’un effet causal direct entre les construits psychologiques sous-jacents. La covariation constat\u00e9e peut \u00eatre le produit de m\u00e9canismes confondants, de r\u00e9troactions dynamiques ou de l’influence non observ\u00e9e d’un trait latent commun. L’utilit\u00e9 fondamentale de la covariance r\u00e9side plut\u00f4t dans sa capacit\u00e9 \u00e0 pr\u00e9server les \u00e9chelles de variabilit\u00e9 originales des scores observ\u00e9s, permettant ainsi aux chercheurs de mod\u00e9liser des syst\u00e8mes complexes de variables indicatrices sans en d\u00e9naturer l’h\u00e9t\u00e9rog\u00e9n\u00e9it\u00e9 m\u00e9trique initiale.<\/p>\n
1.2 Diff\u00e9rence fondamentale entre covariance et corr\u00e9lation de Pearson<\/h3>\n
La distinction majeure entre la covariance et le coefficient de corr\u00e9lation lin\u00e9aire de Pearson<\/a> r\u00e9side dans la d\u00e9pendance absolue de la premi\u00e8re aux unit\u00e9s de mesure empiriques des \u00e9chelles utilis\u00e9es. La covariance est une statistique dimensionnelle dont l’unit\u00e9 correspond exactement au produit des unit\u00e9s des deux variables analys\u00e9es (par exemple, des points au carr\u00e9, des millisecondes-points ou des centim\u00e8tres-kilogrammes). Par cons\u00e9quent, si un chercheur modifie arbitrairement l’\u00e9chelle de notation d’un test psychom\u00e9trique en multipliant les scores par une constante scalaire, la covariance entre ce test et d’autres \u00e9preuves sera m\u00e9caniquement multipli\u00e9e par cette m\u00eame constante, alt\u00e9rant drastiquement son amplitude brute sans pour autant modifier la nature statistique de la relation bivari\u00e9e.<\/p>\n \u00c0 l’oppos\u00e9, la corr\u00e9lation de Pearson constitue une version standardis\u00e9e de la covariance. Elle s’obtient en divisant la covariance bivari\u00e9e par le produit des \u00e9carts-types marginaux des deux variables consid\u00e9r\u00e9es. Ce processus de standardisation \u00e9limine purement et simplement toute dimensionnalit\u00e9, contraignant le coefficient r\u00e9sultant \u00e0 osciller rigoureusement \u00e0 l’int\u00e9rieur d’un continuum ferm\u00e9 compris entre -1 et +1. Cette propri\u00e9t\u00e9 sans dimension octroie \u00e0 la corr\u00e9lation une lisibilit\u00e9 imm\u00e9diate quant \u00e0 la force relative de l’association, ind\u00e9pendamment des syst\u00e8mes de cotation adopt\u00e9s par les concepteurs des tests psychologiques.<\/p>\n Le choix entre covariance brute et corr\u00e9lation d\u00e9pend \u00e9troitement des objectifs de mod\u00e9lisation poursuivis. Dans le cadre d’analyses exploratoires \u00e9l\u00e9mentaires ou lors de la communication de r\u00e9sultats descriptifs, la corr\u00e9lation est privil\u00e9gi\u00e9e en raison de sa comparabilit\u00e9 directe entre des \u00e9chelles psychologiques h\u00e9t\u00e9rog\u00e8nes (par exemple, la comparaison entre un score de d\u00e9pression mesur\u00e9 sur une \u00e9chelle de Likert de 0 \u00e0 60 et un temps de r\u00e9action chronom\u00e9tr\u00e9 en millisecondes). En revanche, pour les mod\u00e9lisations statistiques avanc\u00e9es, telles que l’analyse factorielle confirmatoire ou l’estimation de mod\u00e8les \u00e0 \u00e9quations structurelles, la covariance brute est obligatoire. Elle conserve l’information critique relative \u00e0 la dispersion r\u00e9elle des scores, information qui s’av\u00e8re indispensable pour comparer des groupes au moyen de tests d’invariance m\u00e9trique ou pour \u00e9valuer la validit\u00e9 incr\u00e9mentale d’un ensemble d’instruments.<\/p>\n Au sein de la recherche psychologique moderne, la matrice de variance-covariance repr\u00e9sente l’\u00e9l\u00e9ment empirique central sur lequel repose l’\u00e9valuation psychom\u00e9trique de la fid\u00e9lit\u00e9 des \u00e9preuves standardis\u00e9es. L’estimation de la coh\u00e9rence interne, traditionnellement appr\u00e9hend\u00e9e \u00e0 travers l’alpha de Cronbach ou l’om\u00e9ga de McDonald<\/a>, d\u00e9coule directement de la sommation des \u00e9l\u00e9ments diagonaux (les variances individuelles des items) et des \u00e9l\u00e9ments hors-diagonale (les covariances inter-items). Sans une matrice de covariance correctement estim\u00e9e, l’\u00e9valuation pr\u00e9cise de la part de variance attribuable au score vrai par rapport \u00e0 la variance d’erreur de mesure devient math\u00e9matiquement irr\u00e9alisable.<\/p>\n Dans le domaine de l’analyse factorielle confirmatoire (AFC), la matrice de covariance observ\u00e9e constitue la donn\u00e9e empirique brute fondamentale que le mod\u00e8le th\u00e9orique tente de reproduire. Les algorithmes d’estimation cherchent \u00e0 minimiser la divergence math\u00e9matique entre cette matrice de covariance observ\u00e9e et la matrice de covariance implicite ou th\u00e9orique g\u00e9n\u00e9r\u00e9e par les param\u00e8tres du mod\u00e8le structural. La qualit\u00e9 d’ajustement du mod\u00e8le th\u00e9orique \u00e0 la r\u00e9alit\u00e9 empirique est directement fonction de la congruence entre ces deux matrices. Si la matrice de covariance empirique est tronqu\u00e9e ou mal conditionn\u00e9e, l’ensemble du processus de validation de construit s’en trouve compromis.<\/p>\n Enfin, la matrice de covariance est le pr\u00e9alable incontournable \u00e0 la v\u00e9rification de l’invariance de mesure \u00e0 travers des populations distinctes (par exemple, entre sexes, tranches d’\u00e2ge ou groupes cliniques). Pour d\u00e9montrer qu’un test \u00e9value les m\u00eames attributs psychologiques avec une pr\u00e9cision \u00e9quivalente chez diff\u00e9rents segments de la population, il est indispensable de comparer directement les structures de covariance non standardis\u00e9es. La covariance offre ainsi une lentille analytique rigoureuse pour garantir que les diff\u00e9rences observ\u00e9es entre les groupes refl\u00e8tent de v\u00e9ritables variations dans le trait latent et non de simples artefacts de mise \u00e0 l’\u00e9chelle.<\/p>\n L’estimation empirique de la covariance entre deux variables quantitatives distinctes, conventionnellement not\u00e9es $X$<\/span> et $Y$<\/span>, repose sur une formulation alg\u00e9brique pr\u00e9cise r\u00e9gie par les principes de l’\u00e9chantillonnage statistique. Pour un ensemble d’observations appari\u00e9es comprenant $n$<\/span> individus, la covariance d’\u00e9chantillon, not\u00e9e $s_{xy}$<\/span> ou $\\text{Cov}(X, Y)$<\/span>, est formellement d\u00e9finie par l’\u00e9quation math\u00e9matique suivante :<\/p>\n $$\\text{Cov}(X, Y) = \\frac{\\sum_{i=1}^{n} (x_i – \\bar{x})(y_i – \\bar{y})}{n – 1}$$<\/span><\/p>\n Dans cette expression, $x_i$<\/span> et $y_i$<\/span> repr\u00e9sentent respectivement les scores bruts observ\u00e9s pour le $i$<\/span>-\u00e8me sujet sur chaque variable, tandis que $\\bar{x}$<\/span> et $\\bar{y}$<\/span> symbolisent les moyennes arithm\u00e9tiques correspondantes calcul\u00e9es au sein de l’\u00e9chantillon d’\u00e9tude. Le num\u00e9rateur correspond au produit crois\u00e9 des \u00e9carts \u00e0 la moyenne, cumulant ainsi les d\u00e9viations conjointes de chaque participant.<\/p>\n Une distinction conceptuelle majeure doit \u00eatre soulign\u00e9e entre la formule th\u00e9orique de la population et l’estimateur d’\u00e9chantillon. Dans le cas d’une population finie exhaustive de taille $N$<\/span>, le d\u00e9nominateur de la formule est \u00e9gal \u00e0 $N$<\/span>. Cependant, d\u00e8s lors que le statisticien travaille sur un \u00e9chantillon extrait d’une population parente, la division par $n$<\/span> engendre un biais syst\u00e9matique par sous-estimation de la variance et de la covariance r\u00e9elles. L’introduction du d\u00e9nominateur $n – 1$<\/span>, correspondant aux degr\u00e9s de libert\u00e9 r\u00e9siduels apr\u00e8s estimation des deux moyennes empiriques, constitue la correction de Bessel. Cette correction garantit que l’estimateur r\u00e9sultant est math\u00e9matiquement sans biais, convergeant asymptotiquement vers le param\u00e8tre populationnel inconnu \u00e0 mesure que la taille de l’\u00e9chantillon s’accro\u00eet.<\/p>\n Par ailleurs, la covariance jouit de propri\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques notables, au premier rang desquelles figure la sym\u00e9trie absolue : $\\text{Cov}(X, Y) = \\text{Cov}(Y, X)$<\/span>. Cette propri\u00e9t\u00e9 d\u00e9coule directement de la commutativit\u00e9 de la multiplication appliqu\u00e9e aux produits des \u00e9carts $(x_i – \\bar{x})(y_i – \\bar{y}) = (y_i – \\bar{y})(x_i – \\bar{x})$<\/span>. De plus, lorsque l’on calcule la covariance d’une variable avec elle-m\u00eame, la formule devient :<\/p>\n $$\\text{Cov}(X, X) = \\frac{\\sum_{i=1}^{n} (x_i – \\bar{x})^2}{n – 1} = s_x^2$$<\/span><\/p>\n La covariance d’une variable avec elle-m\u00eame est donc strictement \u00e9quivalente \u00e0 la variance d’\u00e9chantillon de cette variable.<\/p>\n Lorsqu’un protocole exp\u00e9rimental psychologique examine simultan\u00e9ment un vecteur de $p$<\/span> variables quantitatives, l’ensemble des relations bivari\u00e9es et des dispersions univari\u00e9es est synth\u00e9tis\u00e9 sous la forme d’une matrice carr\u00e9e d’ordre $p \\times p$<\/span>, d\u00e9sign\u00e9e sous le nom de matrice de variance-covariance ou matrice de dispersion, g\u00e9n\u00e9ralement not\u00e9e $\\mathbf{\\Sigma}$<\/span> (dans la population) ou $\\mathbf{S}$<\/span> (dans l’\u00e9chantillon). La structure canonique de cette matrice se pr\u00e9sente comme suit :<\/p>\n $$\\mathbf{S} = \\begin{\\bmatrix} s_1^2 &a\\mp; s_{12} &a\\mp; \\cdots &a\\mp; s_{1p} s_{21} &a\\mp; s_2^2 &a\\mp; \\cdots &a\\mp; s_{2p} \\vdots &a\\mp; \\vdots &a\\mp; \\ddots &a\\mp; \\vdots s_{p1} &a\\mp; s_{p2} &a\\mp; \\cdots &a\\mp; s_p^2 \\end{\\bmatrix}$$<\/span><\/p>\n Les \u00e9l\u00e9ments situ\u00e9s le long de la diagonale principale de la matrice ($s_j^2$<\/span> pour $j in {1, dots, p}$<\/span>) repr\u00e9sentent exclusivement les variances univari\u00e9es d’\u00e9chantillon pour chacune des variables mesur\u00e9es. Ces valeurs sont rigoureusement non n\u00e9gatives et capturent la dispersion absolue des scores autour de leurs moyennes respectives. En revanche, les \u00e9l\u00e9ments situ\u00e9s hors de la diagonale principale ($s_{jk}$<\/span> o\u00f9 $j \\neq k$<\/span>) incarnent les covariances bivari\u00e9es entre les paires de variables respectives.<\/p>\n En vertu de la propri\u00e9t\u00e9 de commutativit\u00e9 expos\u00e9e pr\u00e9c\u00e9demment, $s_{jk} = s_{kj}$<\/span> pour toute paire d’indices. Par cons\u00e9quent, la matrice $\\mathbf{S}$<\/span> est rigoureusement sym\u00e9trique par rapport \u00e0 sa diagonale principale, ce qui implique que la matrice est \u00e9gale \u00e0 sa transpos\u00e9e : $\\mathbf{S} = \\mathbf{S}’$<\/span>.<\/p>\n D’un point de vue g\u00e9om\u00e9trique et matriciel, une propri\u00e9t\u00e9 fondamentale de toute matrice de covariance empirique valide est d’\u00eatre semi-d\u00e9finie positive, et dans la pratique des \u00e9chantillons non singuliers, d\u00e9finie positive. Alg\u00e9briquement, une matrice sym\u00e9trique $\\mathbf{S}$<\/span> est dite d\u00e9finie positive si, pour tout vecteur non nul $\\mathbf{z} in \\mathbb{R}^p$<\/span>, la forme quadratique associ\u00e9e satisfait la condition :<\/p>\n $$\\mathbf{z}’ \\mathbf{S} \\mathbf{z} > 0$$<\/span><\/p>\n Cette contrainte g\u00e9om\u00e9trique garantit que la variance de toute combinaison lin\u00e9aire possible des variables d’origine demeure strictement positive. Elle implique que l’ensemble des valeurs propres de la matrice sont strictement sup\u00e9rieures \u00e0 z\u00e9ro et que le d\u00e9terminant de la matrice est strictement positif ($det(\\mathbf{S}) > 0$<\/span>). Cette propri\u00e9t\u00e9 est indispensable pour inverser la matrice dans le cadre de calculs statistiques multivari\u00e9s.<\/p>\n L’architecture algorithmique interne mise en \u0153uvre au sein d’IBM SPSS Statistics pour d\u00e9river les covariances repose sur la manipulation d’une matrice interm\u00e9diaire d\u00e9nomm\u00e9e matrice des sommes des carr\u00e9s et des produits crois\u00e9s (commun\u00e9ment abr\u00e9g\u00e9e en SPCP ou matrice SSCP pour Sum of Squares and Cross-Products<\/em>). Si l’on formalise les donn\u00e9es empiriques sous la forme d’une matrice centr\u00e9e $\\mathbf{X}_c$<\/span> d’ordre $n \\times p$<\/span>, o\u00f9 chaque colonne repr\u00e9sente une variable dont on a soustrait la moyenne d’\u00e9chantillon, la matrice SPCP se calcule par le produit matriciel suivant :<\/p>\n $$\\mathbf{SPCP} = \\mathbf{X}_c’ \\mathbf{X}_c$$<\/span><\/p>\n Le terme diagonal de cette matrice SPCP correspond \u00e0 la somme des carr\u00e9s des \u00e9carts \u00e0 la moyenne ($\\text{SCE}$<\/span>) pour une variable donn\u00e9e :<\/p>\n $$\\text{SCE}_X = \\sum_{i=1}^{n} (x_i – \\bar{x})^2$$<\/span><\/p>\n Tandis que les \u00e9l\u00e9ments hors-diagonale correspondent \u00e0 la somme des produits crois\u00e9s des \u00e9carts ($\\text{SPCE}$<\/span>) :<\/p>\n $$\\text{SPCE}_{XY} = \\sum_{i=1}^{n} (x_i – \\bar{x})(y_i – \\bar{y})$$<\/span><\/p>\n La conversion math\u00e9matique directe de la matrice SPCP vers la matrice de covariance sans biais s’effectue par l’application d’un scalaire d’ajustement repr\u00e9sentant l’inverse des degr\u00e9s de libert\u00e9 r\u00e9siduels :<\/p>\n $$\\mathbf{S} = \\frac{1}{n – 1} \\mathbf{SPCP}$$<\/span><\/p>\n Cette d\u00e9composition illustre pourquoi SPSS affiche souvent de mani\u00e8re group\u00e9e les sommes des carr\u00e9s, les produits crois\u00e9s et les covariances dans ses sorties statistiques : la covariance n’est autre que le produit crois\u00e9 standardis\u00e9 par l’effectif d’\u00e9chantillon ajust\u00e9.<\/p>\n Avant de proc\u00e9der au moindre calcul matriciel dans IBM SPSS Statistics, une configuration m\u00e9ticuleuse de la \u00ab Vue des variables \u00bb s’av\u00e8re indispensable pour \u00e9viter toute erreur de calcul ou d’assignation logique. Chaque variable psychologique destin\u00e9e \u00e0 \u00eatre int\u00e9gr\u00e9e dans la matrice de covariance doit imp\u00e9rativement \u00eatre configur\u00e9e avec le type \u00ab Num\u00e9rique \u00bb (Numeric). Les variables malencontreusement cod\u00e9es en format \u00ab Cha\u00eene \u00bb (String), m\u00eame si elles ne contiennent que des chiffres, sont purement et simplement exclues des proc\u00e9dures d’analyse bivari\u00e9e et multivari\u00e9e par les routines sous-jacentes du logiciel.<\/p>\n Dans la colonne \u00ab Mesure \u00bb (Measure), l’analyste doit express\u00e9ment assigner le statut \u00ab \u00c9chelle \u00bb (Scale) \u00e0 toutes les dimensions continues (scores de tests, indices psychom\u00e9triques, temps de r\u00e9ponse, \u00e9chelles d’attitudes de type Likert trait\u00e9es comme quasi-intervallaires). L’attribution ad\u00e9quate de ce niveau de mesure permet \u00e0 SPSS d’activer sans restriction l’ensemble des modules d’analyse param\u00e9trique.<\/p>\n Il est recommand\u00e9 d’attribuer des \u00e9tiquettes de variables claires et explicites dans la colonne \u00ab Libell\u00e9 \u00bb (Label). En l’absence d’\u00e9tiquettes, SPSS utilise les identifiants techniques courts (colonne \u00ab Nom \u00bb), ce qui peut introduire des confusions lors de la manipulation de batteries de tests comprenant des dizaines d’\u00e9preuves aux intitul\u00e9s abr\u00e9g\u00e9s. Enfin, la gestion des \u00ab Valeurs manquantes \u00bb (Missing Values) requiert une rigueur absolue : l’analyste doit d\u00e9clarer explicitement les codes num\u00e9riques affect\u00e9s aux donn\u00e9es non recueillies (par exemple, L’estimation exacte et l’interpr\u00e9tation pertinente d’une matrice de variance-covariance reposent sur plusieurs postulats distributionnels que le chercheur se doit d’auditer avec minutie. Le premier postulat concerne la normalit\u00e9 univari\u00e9e et multivari\u00e9e des distributions observ\u00e9es. Bien que le calcul de la covariance d’\u00e9chantillon soit techniquement faisable sur des donn\u00e9es asym\u00e9triques ou kurtotiques, la pr\u00e9sence de distorsions s\u00e9v\u00e8res compromet l’efficacit\u00e9 des estimateurs sans biais et invalide les inf\u00e9rences fond\u00e9es sur la loi normale multidimensionnelle.<\/p>\n Pour \u00e9valuer la normalit\u00e9 univari\u00e9e, les coefficients d’asym\u00e9trie (skewness) et d’aplatissement (kurtosis) doivent \u00eatre examin\u00e9s au moyen de la proc\u00e9dure Analyse > Statistiques descriptives > Explorer<\/em>. Des valeurs standardis\u00e9es oscillant au-del\u00e0 de l’intervalle $[-2, +2]$<\/span> signalent des \u00e9carts marqu\u00e9s \u00e0 la normalit\u00e9 n\u00e9cessitant une vigilance particuli\u00e8re.<\/p>\n Le second postulat indispensable concerne la lin\u00e9arit\u00e9 des associations bivari\u00e9es. La covariance quantifie uniquement la composante lin\u00e9aire de la variabilit\u00e9 conjointe. Si la relation fonctionnelle unissant deux construits psychologiques s’av\u00e8re non lin\u00e9aire (comme une courbe en U invers\u00e9 d\u00e9crivant la loi de Yerkes-Dodson reliant l’anxi\u00e9t\u00e9 \u00e0 la performance motrice), la covariance d’\u00e9chantillon sous-estimera dramatiquement l’intensit\u00e9 r\u00e9elle de l’association statistique, pouvant m\u00eame afficher une valeur proche de z\u00e9ro en pr\u00e9sence d’une interd\u00e9pendance parfaite mais curvilin\u00e9aire. L’inspection pr\u00e9alable de diagrammes de dispersion matriciels (Graphes > G\u00e9n\u00e9rateur de graphiques<\/em> ou Anciennes bo\u00eetes de dialogue > Dispersion\/Points > Matrice de dispersion<\/em>) offre un moyen visuel efficace pour s’assurer de l’ad\u00e9quation de l’hypoth\u00e8se de lin\u00e9arit\u00e9 avant d’ex\u00e9cuter les routines matricielles.<\/p>\n Enfin, le d\u00e9pistage des valeurs aberrantes univari\u00e9es et multivari\u00e9es s’av\u00e8re crucial. En raison de la pr\u00e9sence du terme quadratique $(x_i – \\bar{x})(y_i – \\bar{y})$<\/span> dans le num\u00e9rateur de la covariance, une seule observation aberrante situ\u00e9e aux extr\u00e9mit\u00e9s conjointes de l’espace multivari\u00e9 peut distordre de mani\u00e8re disproportionn\u00e9e le signe et l’amplitude de la covariance estim\u00e9e. Le recours \u00e0 la distance de Mahalanobis, calculable via la proc\u00e9dure de r\u00e9gression lin\u00e9aire, permet d’identifier et d’isoler les profils multivari\u00e9s atypiques dont l’influence indue menace la stabilit\u00e9 de la matrice.<\/p>\n Les protocoles de recherche en sciences sociales sont fr\u00e9quemment confront\u00e9s au probl\u00e8me des observations incompl\u00e8tes, qu’il s’agisse d’omissions involontaires de participants ou de d\u00e9fections en cours d’\u00e9valuation longitudinale. Face \u00e0 des donn\u00e9es manquantes, le choix de la m\u00e9thode d’exclusion au sein d’IBM SPSS influe directement sur les propri\u00e9t\u00e9s structurelles de la matrice de covariance r\u00e9sultante. Les deux approches classiques int\u00e9gr\u00e9es dans les bo\u00eetes de dialogue sont la suppression par liste (listwise<\/em>) et la suppression par paire (pairwise<\/em>).<\/p>\n L’exclusion par liste (listwise deletion<\/em>) restreint le calcul de l’ensemble des variances et covariances au seul sous-\u00e9chantillon d’individus pr\u00e9sentant des r\u00e9ponses compl\u00e8tes sur la totalit\u00e9 des variables int\u00e9gr\u00e9es dans l’analyse. Cette m\u00e9thode garantit formellement que tous les \u00e9l\u00e9ments matriciels sont calcul\u00e9s sur une base d’observation rigoureusement identique ($n$<\/span> constant), assurant ainsi que la matrice de covariance r\u00e9sultante est math\u00e9matiquement consistante et d\u00e9finie semi-positive. Toutefois, elle pr\u00e9sente l’inconv\u00e9nient d’une perte substantielle de puissance statistique si les omissions sont dispers\u00e9es \u00e0 travers de nombreux participants.<\/p>\n \u00c0 l’inverse, l’exclusion par paire (pairwise deletion<\/em>) calcule chaque variance et chaque covariance s\u00e9par\u00e9ment en exploitant toutes les observations disponibles pour la paire de variables concern\u00e9e. L’effectif effectif $n_{jk}$<\/span> varie alors d’une cellule \u00e0 l’autre de la matrice. Si cette approche permet d’optimiser le volume d’informations exploit\u00e9es, elle introduit un danger m\u00e9thodologique majeur : la disparit\u00e9 des bases d’\u00e9chantillonnage entre cellules peut briser la coh\u00e9rence math\u00e9matique interne de la matrice. Il en r\u00e9sulte fr\u00e9quemment des matrices dites \u00ab non d\u00e9finies positives \u00bb, caract\u00e9ris\u00e9es par des d\u00e9terminants n\u00e9gatifs ou nuls, qui provoquent l’\u00e9chec imm\u00e9diat des proc\u00e9dures d’analyse factorielle ou d’\u00e9quations structurelles ult\u00e9rieures.<\/p>\n Pour pr\u00e9venir ces \u00e9cueils, le recours aux techniques modernes d’imputation multiple, disponibles via le module d\u00e9di\u00e9 Analyse > Imputation multiple<\/em> de SPSS, constitue la recommandation m\u00e9thodologique pr\u00e9f\u00e9rentielle. En g\u00e9n\u00e9rant plusieurs jeux de donn\u00e9es complets fond\u00e9s sur des mod\u00e8les d’imputation stochastique, cette m\u00e9thode pr\u00e9serve l’int\u00e9grit\u00e9 matricielle tout en mod\u00e9lisant fid\u00e8lement l’incertitude li\u00e9e aux valeurs absentes.<\/p>\n L’approche la plus accessible et directe pour g\u00e9n\u00e9rer une matrice de variance-covariance dans IBM SPSS Statistics repose sur le d\u00e9tournement ma\u00eetris\u00e9 de la proc\u00e9dure conventionnelle d’analyse des corr\u00e9lations. En d\u00e9pit de son appellation orient\u00e9e vers les coefficients sans dimension, ce module dissimule sous ses param\u00e8tres avanc\u00e9s un algorithme complet de calcul des produits crois\u00e9s et des covariances brutes non standardis\u00e9es.<\/p>\n L’acc\u00e8s \u00e0 cette fonctionnalit\u00e9 s’effectue via le ruban sup\u00e9rieur de l’application en suivant le cheminement hi\u00e9rarchique suivant : Analyse > Corr\u00e9lation > Bivari\u00e9e…<\/em> (dans la version anglaise : Analyze > Correlate > Bivariate…<\/em>). L’activation de cette commande ouvre la bo\u00eete de dialogue principale d\u00e9di\u00e9e aux corr\u00e9lations bivari\u00e9es.<\/p>\n Au sein de cette interface, le panneau de gauche liste l’int\u00e9gralit\u00e9 des variables d\u00e9clar\u00e9es dans le fichier actif. L’utilisateur doit identifier et s\u00e9lectionner les variables quantitatives continues qu’il d\u00e9sire inclure dans l’analyse matricielle, puis les transf\u00e9rer vers le panneau de droite intitul\u00e9 \u00ab Variables \u00bb au moyen du bouton de transfert central fl\u00e9ch\u00e9. Par d\u00e9faut, SPSS coche la case correspondant au coefficient de \u00ab Pearson \u00bb dans la section relative aux coefficients de corr\u00e9lation, ainsi que le test de significativit\u00e9 \u00ab Bilat\u00e9ral \u00bb (Two-tailed). Pour extraire les covariances, l’utilisateur ne doit pas valider imm\u00e9diatement la bo\u00eete de dialogue, mais se diriger vers les options de param\u00e9trage secondaire.<\/p>\n L’\u00e9tape charni\u00e8re permettant d’ordonner \u00e0 SPSS d’afficher la matrice de covariance r\u00e9side dans l’activation du bouton \u00ab Options… \u00bb, positionn\u00e9 sur le flanc droit de la bo\u00eete de dialogue principale. Un clic sur ce bouton provoque l’ouverture d’une fen\u00eatre de configuration subsidiaire intitul\u00e9e \u00ab Corr\u00e9lations bivari\u00e9es : Options \u00bb.<\/p>\n \u00c0 l’int\u00e9rieur de cette sous-fen\u00eatre, la section sup\u00e9rieure nomm\u00e9e \u00ab Statistiques \u00bb propose plusieurs cases \u00e0 cocher. L’analyste doit imp\u00e9rativement activer la seconde case, libell\u00e9e \u00ab \u00c9carts et covariances des produits crois\u00e9s \u00bb (dans l’\u00e9dition anglaise du logiciel : Cross-product deviations and covariances<\/em>). Cette option donne l’instruction au moteur de calcul statistique d’extraire la somme des produits crois\u00e9s des \u00e9carts \u00e0 la moyenne ainsi que les covariances sans biais associ\u00e9es pour chaque cellule bivari\u00e9e.<\/p>\n Dans la section inf\u00e9rieure de cette m\u00eame fen\u00eatre, intitul\u00e9e \u00ab Valeurs manquantes \u00bb, l’utilisateur doit arbitrer scrupuleusement entre les deux modes de traitement d\u00e9crits pr\u00e9c\u00e9demment : \u00ab Exclure les observations par liste \u00bb (Exclude cases listwise<\/em>) ou \u00ab Exclure les observations par analyse \u00bb (Exclude cases pairwise<\/em>). Comme stipul\u00e9 ant\u00e9rieurement, afin de garantir la coh\u00e9rence math\u00e9matique de la matrice globale et d’assurer sa stricte d\u00e9finition positive, il est vivement recommand\u00e9 de cocher l’option par liste, particuli\u00e8rement si la matrice est destin\u00e9e \u00e0 alimenter ult\u00e9rieurement des calculs d’analyse multivari\u00e9e.<\/p>\n Une fois ces param\u00e8tres m\u00e9thodologiques rigoureusement assign\u00e9s, l’utilisateur valide la configuration en cliquant sur le bouton \u00ab Poursuivre \u00bb (Continue). \u00c0 ce stade, plut\u00f4t que de presser le bouton \u00ab OK \u00bb pour une ex\u00e9cution imm\u00e9diate, il est m\u00e9thodologiquement recommand\u00e9 d’appuyer sur le bouton \u00ab Coller \u00bb (Paste) afin de g\u00e9n\u00e9rer la trace \u00e9crite de l’op\u00e9ration au sein d’une fen\u00eatre de syntaxe SPSS.<\/p>\n L’utilisation de la syntaxe de commande SPSS repr\u00e9sente le standard m\u00e9thodologique d’excellence en recherche quantitative, assurant la transparence int\u00e9grale, l’auditabilit\u00e9 et la reproductibilit\u00e9 computationnelle parfaite des traitements appliqu\u00e9s aux donn\u00e9es. La proc\u00e9dure de corr\u00e9lation bivari\u00e9e configur\u00e9e pour l’extraction de covariance se formalise au travers de l’instruction canonique suivante :<\/p>\n CORRELATIONS<\/strong> L’examen minutieux des sous-ordres qui composent cette syntaxe \u00e9claire le fonctionnement du moteur statistique d’IBM SPSS :<\/p>\n L’ex\u00e9cution de cette syntaxe s’op\u00e8re en s\u00e9lectionnant le bloc de texte au sein de l’\u00e9diteur de syntaxe et en cliquant sur l’ic\u00f4ne de fl\u00e8che verte (\u00ab Ex\u00e9cuter la s\u00e9lection \u00bb) ou via le raccourci clavier standard Au-del\u00e0 du module standard des corr\u00e9lations, IBM SPSS Statistics offre une voie alternative particuli\u00e8rement \u00e9l\u00e9gante pour g\u00e9n\u00e9rer et manipuler des matrices de covariance au travers de son module de r\u00e9duction dimensionnelle. Cette m\u00e9thode s’av\u00e8re particuli\u00e8rement f\u00e9conde lorsqu’un chercheur souhaite comparer de mani\u00e8re synoptique les propri\u00e9t\u00e9s statistiques de la matrice de corr\u00e9lation et celles de la matrice de covariance sur un m\u00eame corpus de variables psychom\u00e9triques.<\/p>\n Le protocole de navigation pour acc\u00e9der \u00e0 cette interface s’\u00e9tablit via Analyse > R\u00e9duction des dimensions > Analyse factorielle…<\/em> (Analyze > Dimension Reduction > Factor…<\/em>). Apr\u00e8s avoir transf\u00e9r\u00e9 les variables quantitatives continues d’int\u00e9r\u00eat dans le volet \u00ab Variables \u00bb, l’utilisateur clique sur le bouton \u00ab Descriptifs… \u00bb (Descriptives). Au sein de la bo\u00eete de dialogue secondaire qui s’affiche, dans la section intitul\u00e9e \u00ab Matrice de corr\u00e9lation \u00bb, il convient de cocher l’option \u00ab Coefficients \u00bb ainsi que l’option \u00ab Significativit\u00e9 \u00bb.<\/p>\n Toutefois, la sp\u00e9cification d\u00e9terminante se situe au niveau du bouton \u00ab Extraction… \u00bb. Dans la sous-fen\u00eatre d’extraction, l’interface propose une option intitul\u00e9e \u00ab Analyser \u00bb comprenant deux boutons radio distincts : \u00ab Matrice de corr\u00e9lation \u00bb et \u00ab Matrice de covariance \u00bb. En s\u00e9lectionnant express\u00e9ment le bouton radio \u00ab Matrice de covariance \u00bb, le chercheur force l’ensemble de l’algorithme d’extraction (qu’il s’agisse de l’analyse en composantes principales ou du maximum de vraisemblance) \u00e0 op\u00e9rer directement sur les donn\u00e9es non standardis\u00e9es. Bien que l’objectif premier soit la r\u00e9duction factorielle, le tableau interm\u00e9diaire g\u00e9n\u00e9r\u00e9 dans la visionneuse de r\u00e9sultats pr\u00e9sente la matrice de covariance initiale compl\u00e8te utilis\u00e9e pour amorcer les factorisations, fournissant ainsi une table de r\u00e9f\u00e9rence rigoureusement format\u00e9e.<\/p>\n Pour les m\u00e9thodologistes et analystes de donn\u00e9es avanc\u00e9s requ\u00e9rant un contr\u00f4le absolu sur les op\u00e9rations alg\u00e9briques, IBM SPSS Statistics int\u00e8gre un sous-syst\u00e8me de calcul matriciel programmable complet d\u00e9nomm\u00e9 processeur L’extraction d’une matrice de variance-covariance via cet environnement programmable s’effectue en ouvrant un document de syntaxe vierge et en saisissant un bloc d’instructions encadr\u00e9 par les commandes ma\u00eetresses MATRIX.<\/strong> Dans ce programme, la fonction Une confusion conceptuelle r\u00e9currente en analyse multivari\u00e9e doit \u00eatre imp\u00e9rativement lev\u00e9e concernant l’extraction de matrices de covariance par le truchement de la mod\u00e9lisation de r\u00e9gression lin\u00e9aire. Lorsque l’analyste explore le menu Analyse > R\u00e9gression > Lin\u00e9aire…<\/em>, la bo\u00eete de dialogue secondaire \u00ab Statistiques… \u00bb pr\u00e9sente une case \u00e0 cocher intitul\u00e9e \u00ab Matrice de covariance \u00bb (Covariance matrix).<\/p>\n Il est capital de comprendre que cette option ne g\u00e9n\u00e8re pas la matrice de covariance des variables observ\u00e9es ($X$<\/span> et $Y$<\/span>), mais produit la matrice de variance-covariance asymptotique des coefficients de r\u00e9gression estim\u00e9s (les coefficients $\\hat{\\beta}_j$<\/span>). Dans cette matrice de dimension $(k + 1) \\times (k + 1)$<\/span> (o\u00f9 $k$<\/span> est le nombre de r\u00e9gresseurs plus la constante), la diagonale principale contient les variances d’\u00e9chantillonnage de chaque coefficient de r\u00e9gression, c’est-\u00e0-dire les carr\u00e9s de leurs erreurs types respectives ($\\text{SE}_{\\hat{\\beta}}^2$<\/span>). Les \u00e9l\u00e9ments hors-diagonale quantifient les covariances d’\u00e9chantillonnage entre les estimateurs, traduisant le degr\u00e9 auquel la sur\u00e9valuation stochastique d’un param\u00e8tre $\\beta_j$<\/span> s’associe \u00e0 la sous-\u00e9valuation ou sur\u00e9valuation d’un autre coefficient $\\beta_m$<\/span>.<\/p>\n Bien que cette matrice soit hautement pr\u00e9cieuse pour diagnostiquer la multicolin\u00e9arit\u00e9 s\u00e9v\u00e8re ou pour conduire des tests de Wald sur des restrictions lin\u00e9aires complexes, elle ne saurait en aucun cas \u00eatre substitu\u00e9e \u00e0 la matrice de covariance des donn\u00e9es psychom\u00e9triques brutes. Les chercheurs doivent donc veiller \u00e0 ne pas confondre la dispersion des donn\u00e9es empiriques et la dispersion d’\u00e9chantillonnage des param\u00e8tres de r\u00e9gression.<\/p>\n L’ex\u00e9cution de la proc\u00e9dure bivari\u00e9e configur\u00e9e avec le sous-ordre La premi\u00e8re strate renseigne le classique coefficient de \u00ab Corr\u00e9lation de Pearson \u00bb ($r$<\/span>), qui mesure la d\u00e9pendance lin\u00e9aire standardis\u00e9e born\u00e9e entre -1 et +1. Juste en dessous figure la ligne \u00ab Sig. (bilat\u00e9rale) \u00bb, qui indique la probabilit\u00e9 asymptotique critique ($p$<\/span>-value) associ\u00e9e au test de nullit\u00e9 de la corr\u00e9lation dans la population parentale. Lorsque les options de produits crois\u00e9s ont \u00e9t\u00e9 sollicit\u00e9es, deux lignes fondamentales s’intercalent au sein de cette d\u00e9composition :<\/p>\n Afin de valider rigoureusement les calculs op\u00e9r\u00e9s par la routine computationnelle de SPSS et d’en ma\u00eetriser l’architecture num\u00e9rique, il est formateur de proc\u00e9der \u00e0 la v\u00e9rification arithm\u00e9tique manuelle des \u00e9l\u00e9ments imprim\u00e9s dans la table de sortie. Consid\u00e9rons, \u00e0 titre d’illustration m\u00e9thodologique, une cellule de corr\u00e9lation bivari\u00e9e liant un test de m\u00e9moire de travail ($X$<\/span>) et un test de raisonnement fluide ($Y$<\/span>), administr\u00e9s \u00e0 une cohorte de $n = 150$<\/span> participants sans aucune donn\u00e9e manquante.<\/p>\n Dans la sortie SPSS relative \u00e0 cette cellule bivari\u00e9e sp\u00e9cifique, le logiciel imprime \u00e0 la ligne \u00ab Somme des carr\u00e9s et des produits crois\u00e9s \u00bb une valeur num\u00e9rique de $1432{,}850$<\/span>, accompagn\u00e9e d’un effectif $N = 150$<\/span>. Conform\u00e9ment aux principes de l’estimation d’\u00e9chantillon sans biais, les degr\u00e9s de libert\u00e9 associ\u00e9s \u00e0 cette estimation bivari\u00e9e sont d\u00e9finis par $df = n – 1 = 150 – 1 = 149$<\/span>. Pour d\u00e9river manuellement la covariance empirique, il suffit d’effectuer la division du produit crois\u00e9 par les degr\u00e9s de libert\u00e9 r\u00e9siduels :<\/p>\n $$\\text{Cov}(X, Y) = \\frac{1432{,}850}{149} \\approx 9{,}61644$$<\/span><\/p>\n En inspectant la ligne imm\u00e9diatement inf\u00e9rieure intitul\u00e9e \u00ab Covariance \u00bb dans la cellule de l’output SPSS, on constate que le logiciel affiche pr\u00e9cis\u00e9ment la valeur arrondie de $9{,}616$<\/span>. De m\u00eame, si l’on examine la cellule situ\u00e9e sur la diagonale principale pour la seule variable $X$<\/span>, affichant une somme des carr\u00e9s de $2150{,}400$<\/span>, le rapport $2150{,}400 \/ 149$<\/span> g\u00e9n\u00e8re une covariance d’une variable avec elle-m\u00eame \u00e9gale \u00e0 $14{,}432$<\/span>, ce qui correspond math\u00e9matiquement \u00e0 la variance d’\u00e9chantillon $s_x^2$<\/span>.<\/p>\n Les l\u00e9g\u00e8res divergences perceptibles entre un recalcul manuel externe et l’output final r\u00e9sultent exclusivement des troncatures d’affichage \u00e0 trois d\u00e9cimales configur\u00e9es par d\u00e9faut dans le tableau pivot de SPSS. Le moteur interne r\u00e9alise quant \u00e0 lui ses calculs en double pr\u00e9cision (norme IEEE 754 \u00e0 64 bits), garantissant une rigueur arithm\u00e9tique totale.<\/p>\n L’observation attentive du tableau global des corr\u00e9lations met en exergue la sym\u00e9trie axiale inh\u00e9rente \u00e0 la structure math\u00e9matique de la covariance. Le tableau g\u00e9n\u00e9r\u00e9 par SPSS prend la forme d’une matrice carr\u00e9e o\u00f9 chaque variable appara\u00eet simultan\u00e9ment en t\u00eate de colonne et en en-t\u00eate de ligne. Si l’analyste trace mentalement une ligne oblique reliant le coin sup\u00e9rieur gauche au coin inf\u00e9rieur droit \u2014 mat\u00e9rialisant la diagonale principale des variances univari\u00e9es \u2014, il observe une identit\u00e9 parfaite entre les cellules sym\u00e9triques.<\/p>\n Ainsi, la cellule croisant la variable 1 en ligne avec la variable 2 en colonne pr\u00e9sente des valeurs de produits crois\u00e9s, de covariance, de corr\u00e9lation et de significativit\u00e9 rigoureusement identiques \u00e0 la cellule croisant la variable 2 en ligne avec la variable 1 en colonne. Cette redondance est une cons\u00e9quence directe de la commutativit\u00e9 du produit scalaire des vecteurs centr\u00e9s :<\/p>\n $$\\text{Cov}(X_j, X_k) = \\text{Cov}(X_k, X_j)$$<\/span><\/p>\n Pour la r\u00e9daction des rapports de recherche scientifique, cette dualit\u00e9 sym\u00e9trique rend superflue la publication int\u00e9grale des deux triangles matriciels. La convention m\u00e9thodologique pr\u00e9conise quasi-syst\u00e9matiquement de ne retranscrire que le triangle inf\u00e9rieur de la matrice (c’est-\u00e0-dire l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments situ\u00e9s strictement sous la diagonale principale), all\u00e9geant substantiellement la charge cognitive de lecture tout en pr\u00e9servant l’exhaustivit\u00e9 des informations statistiques collect\u00e9es.<\/p>\n L’analyse substantielle d’une matrice de variance-covariance d\u00e9bute invariablement par l’examen minutieux de la polarit\u00e9 alg\u00e9brique des coefficients non diagonaux. Le signe de la covariance informe directement sur la trajectoire synchronis\u00e9e des variations interindividuelles au sein de la population \u00e9chantillonn\u00e9e. Une covariance positive entre deux dimensions psychologiques r\u00e9v\u00e8le une congruence d\u00e9veloppementale ou fonctionnelle : les participants manifestant un niveau sup\u00e9rieur sur le premier attribut tendent de mani\u00e8re consistante \u00e0 ext\u00e9rioriser des scores \u00e9lev\u00e9s sur le second construit.<\/p>\n Dans le domaine de la neuropsychologie, une covariance positive syst\u00e9matique entre des scores obtenus \u00e0 des tests de flexibilit\u00e9 cognitive, de fluence verbale et d’inhibition comportementale illustre l’action d’un facteur g\u00e9n\u00e9ral d’efficacit\u00e9 ex\u00e9cutive. \u00c0 l’inverse, l’\u00e9mergence d’une covariance n\u00e9gative traduit une opposition fonctionnelle ou un compromis comportemental (trade-off<\/em>). Par exemple, dans une \u00e9preuve d’attention soutenue chronom\u00e9tr\u00e9e, une covariance n\u00e9gative prononc\u00e9e entre la rapidit\u00e9 moyenne d’ex\u00e9cution motrice et le taux global d’erreurs commises mat\u00e9rialise le classique compromis vitesse-pr\u00e9cision.<\/p>\n Lorsque la covariance bivari\u00e9e oscille dans des valeurs infinit\u00e9simales proches de z\u00e9ro, elle traduit une orthogonalit\u00e9 statistique, signifiant que la connaissance des d\u00e9viations individuelles sur le premier domaine n’offre aucun pouvoir pr\u00e9dictif lin\u00e9aire sur le comportement manifest\u00e9 lors du second test. Cependant, l’analyste clinique doit demeurer particuli\u00e8rement prudent : une covariance nulle signale l’absence de relation lin\u00e9aire, mais ne permet pas de conclure \u00e0 l’ind\u00e9pendance stochastique totale si des relations complexes d’ordre sup\u00e9rieur ou non lin\u00e9aires existent entre les variables.<\/p>\n1.3 Importance de la matrice de covariance dans la recherche psychologique<\/h3>\n
2. Fondements math\u00e9matiques de la matrice de covariance<\/h2>\n
2.1 Formulation alg\u00e9brique de la covariance d’\u00e9chantillon<\/h3>\n
2.2 Structure g\u00e9om\u00e9trique et propri\u00e9t\u00e9s de la matrice de variance-covariance<\/h3>\n
2.3 Lien formel avec la somme des carr\u00e9s et des produits crois\u00e9s (SPCP)<\/h3>\n
3. Pr\u00e9paration et structuration des donn\u00e9es psychologiques dans SPSS<\/h2>\n
3.1 Configuration des variables dans la Vue des variables<\/h3>\n
-99<\/code>, 999<\/code> ou 99<\/code>) afin qu’ils ne soient pas incorpor\u00e9s par erreur en tant que scores r\u00e9els lors du calcul des \u00e9carts \u00e0 la moyenne.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/french.arabpsychology.com\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/covarianceSPSS1.png\")
<\/figure>\n3.2 V\u00e9rification des postulats statistiques pr\u00e9alables<\/h3>\n
3.3 Gestion des donn\u00e9es manquantes en psychologie exp\u00e9rimentale<\/h3>\n
4. Proc\u00e9dure standard sous SPSS : Analyse des corr\u00e9lations bivari\u00e9es<\/h2>\n
4.1 Navigation au sein de l’interface utilisateur de SPSS<\/h3>\n
![\"\"](\"http:\/\/french.arabpsychology.com\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/covarianceSPSS2.png\")
<\/figure>\n4.2 Configuration des options pour l’extraction de la covariance<\/h3>\n
4.3 Automatisation via la syntaxe de commande SPSS (Command Syntax)<\/h3>\n
\n\/VARIABLES=Item1 Item2 Item3 Item4
\n\/PRINT=TWOTAIL NOSIG
\n\/STATISTICS=XPROD
\n\/MISSING=LISTWISE.<\/p>\n\n
Item1 TO Item4<\/code> lorsque les colonnes sont cons\u00e9cutives dans le fichier.<\/li>\n\/MISSING=PAIRWISE<\/code>.<\/li>\nNOSIG<\/code> adjoint \u00e0 la ligne \/PRINT<\/code> permet d’all\u00e9ger la table de sortie en occultant les niveaux de significativit\u00e9 statistique ($p$<\/span>-values) associ\u00e9s aux corr\u00e9lations, \u00e9vitant ainsi de surcharger visuellement la matrice de r\u00e9sultats.<\/li>\n<\/ul>\nCtrl+R<\/code> (sur Windows) ou Cmd+R<\/code> (sur macOS).<\/p>\n5. M\u00e9thodes alternatives pour extraire la matrice de covariance dans SPSS<\/h2>\n
5.1 Extraction par la proc\u00e9dure de r\u00e9duction des dimensions (Analyse factorielle)<\/h3>\n
![\"\"](\"http:\/\/french.arabpsychology.com\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/covarianceSPSS3.png\")
<\/figure>\n5.2 Utilisation de la syntaxe matricielle SPSS (MATRIX \/ END MATRIX)<\/h3>\n
MATRIX<\/code>. Ce langage matriciel permet d’ex\u00e9cuter des calculs en alg\u00e8bre lin\u00e9aire directement sur les matrices de donn\u00e9es, s’affranchissant totalement des contraintes des bo\u00eetes de dialogue classiques et des tableaux pr\u00e9format\u00e9s de la visionneuse.<\/p>\nMATRIX<\/code> et END MATRIX<\/code> :<\/p>\n
\nGET X \/VARIABLES=Item1 Item2 Item3 Item4 \/MISSING=OMIT.
\nCOMPUTE N = NROW(X).
\nCOMPUTE ONE = MAKE(N, 1, 1).
\nCOMPUTE XC = X – (ONE * CSUM(X)) \/ N.
\nCOMPUTE COV = (T(XC) * XC) \/ (N – 1).
\nPRINT COV \/TITLE=\u00a0\u00bbMatrice de Variance-Covariance d’Echantillon Sans Biais\u00a0\u00bb.
\nEND MATRIX.<\/strong><\/p>\nGET<\/code> lit les donn\u00e9es brutes des variables sp\u00e9cifi\u00e9es et les charge sous forme d’une matrice math\u00e9matique $\\mathbf{X}$<\/span> en omettant les observations incompl\u00e8tes. La routine calcule l’effectif effectif $n$<\/span> via NROW(X)<\/code>, puis g\u00e9n\u00e8re une matrice centr\u00e9e $\\mathbf{X}_c$<\/span> (not\u00e9e XC<\/code>) en soustrayant de chaque score brut la moyenne de sa colonne respective. L’op\u00e9ration matricielle (T(XC) * XC) \/ (N - 1)<\/code> calcule le produit de la matrice transpos\u00e9e $\\mathbf{X}_c’$<\/span> par $\\mathbf{X}_c$<\/span>, divis\u00e9 par $n – 1$<\/span>. L’instruction PRINT COV<\/code> affiche imm\u00e9diatement dans la console de sortie la matrice carr\u00e9e r\u00e9sultante avec une pr\u00e9cision d\u00e9cimale maximale, exempte de tout artifice de mise en page encombrant.<\/p>\n5.3 G\u00e9n\u00e9ration via la r\u00e9gression lin\u00e9aire multiple<\/h3>\n
6. Anatomie et d\u00e9composition du tableau de sortie SPSS<\/h2>\n
6.1 Comprendre les sections du tableau ‘Corr\u00e9lations’<\/h3>\n
\/STATISTICS=XPROD<\/code> produit dans la visionneuse de r\u00e9sultats d’IBM SPSS Statistics un tableau unique intitul\u00e9 \u00ab Corr\u00e9lations \u00bb (Correlations). Malgr\u00e9 son intitul\u00e9 standard, ce tableau multidimensionnel condense une quantit\u00e9 substantielle d’informations statistiques au sein de chaque intersection de ligne et de colonne. Pour chaque paire de variables analys\u00e9e, SPSS segmente la cellule en plusieurs strates distinctes empil\u00e9es verticalement.<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/french.arabpsychology.com\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/covarianceSPSS4.png\")
<\/figure>\n6.2 V\u00e9rification manuelle des calculs fournis par SPSS<\/h3>\n
6.3 Reconnaissance de la sym\u00e9trie matricielle dans l’output<\/h3>\n
7. Interpr\u00e9tation statistique et psychom\u00e9trique des covariances<\/h2>\n
7.1 Interpr\u00e9tation du signe et du sens de la relation<\/h3>\n
7.2 D\u00e9pendance d’\u00e9chelle et d\u00e9fi de l’ampleur absolue<\/h3>\n
![\"Covariance](\"http:\/\/french.arabpsychology.com\/wp-content\/uploads\/2026\/09\/covarianceSPSS5.png\")