Dans le paysage contemporain de la recherche quantitative en sciences humaines, sociales et biom\u00e9dicales, l’analyse des donn\u00e9es cat\u00e9gorielles longitudinales occupe une place pr\u00e9pond\u00e9rante. Qu’il s’agisse d’\u00e9valuer l’efficacit\u00e9 d’une psychoth\u00e9rapie br\u00e8ve sur l’\u00e9tat anxieux, de mesurer l’\u00e9volution d’une intention de vote \u00e0 la suite d’un d\u00e9bat politique ou de quantifier le changement d’adh\u00e9sion \u00e0 une th\u00e9rapie m\u00e9dicale, les chercheurs sont fr\u00e9quemment confront\u00e9s \u00e0 des protocoles o\u00f9 la variable d’int\u00e9r\u00eat est binaire et recueillie de mani\u00e8re r\u00e9p\u00e9t\u00e9e aupr\u00e8s des m\u00eames sujets. Face \u00e0 cette configuration m\u00e9thodologique, le recours erron\u00e9 au test classique d’ind\u00e9pendance du chi-carr\u00e9 de Karl Pearson constitue l’un des \u00e9cueils statistiques les plus r\u00e9pandus de la litt\u00e9rature empirique. En ignorant la corr\u00e9lation intrasujet inh\u00e9rente aux mesures appari\u00e9es, cette pratique invalide les postulats fondamentaux d’ind\u00e9pendance et biaise gravement l’estimation du risque d’erreur de premi\u00e8re esp\u00e8ce.<\/p>\n
Le test d\u00e9velopp\u00e9 par le psychologue et statisticien Quinn McNemar en 1947 r\u00e9pond pr\u00e9cis\u00e9ment \u00e0 cette impasse \u00e9pist\u00e9mologique et m\u00e9thodologique. En d\u00e9pla\u00e7ant l’attention de l’ensemble de l’\u00e9chantillon vers les seules trajectoires de changement individuel, ce test non param\u00e9trique permet d’\u00e9valuer rigoureusement l’hypoth\u00e8se d’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 marginale au sein d’une table de contingence carr\u00e9e. Dans l’\u00e9cosyst\u00e8me du logiciel libre R, v\u00e9ritable standard de fait pour l’analyse statistique avanc\u00e9e, la mise en \u0153uvre de cette m\u00e9thode b\u00e9n\u00e9ficie d’une flexibilit\u00e9 remarquable, allant de la fonction native standard aux extensions contemporaines d\u00e9di\u00e9es aux petits \u00e9chantillons ou aux variables polytomiques. L’appropriation de ces outils informatiques exige n\u00e9anmoins une compr\u00e9hension intime des principes math\u00e9matiques sous-jacents, sans laquelle le praticien risque de m\u00e9conna\u00eetre les subtilit\u00e9s li\u00e9es aux corrections de continuit\u00e9, au calcul des tailles d’effet ou \u00e0 la gestion des cellules discordantes creuses.<\/p>\n
Ce guide exhaustif a pour vocation de fournir aux chercheurs, statisticiens et \u00e9tudiants avanc\u00e9s une r\u00e9f\u00e9rence th\u00e9orique, pratique et computationnelle compl\u00e8te pour la r\u00e9alisation du test de McNemar sous R. En abordant successivement les fondements axiomatiques du test, ses postulats d’application, sa programmation pas \u00e0 pas, la gestion des faibles effectifs par des proc\u00e9dures exactes, l’estimation rigoureuse des tailles d’effet et les extensions multivari\u00e9es comme le test de sym\u00e9trie de Bowker, ce document vise \u00e0 \u00e9lever le niveau de rigueur m\u00e9thodologique des analyses de transition d’\u00e9tat. Chaque \u00e9tape conceptuelle sera illustr\u00e9e par des protocoles d’ex\u00e9cution sous R, accompagn\u00e9s de recommandations de r\u00e9daction conformes aux exigences \u00e9ditoriales acad\u00e9miques internationales les plus strictes.<\/p>\n
L’\u00e9mergence du test de McNemar s’inscrit au c\u0153ur d’une p\u00e9riode de transition m\u00e9thodologique majeure dans l’histoire de la psychom\u00e9trie et des sciences du comportement au milieu du vingti\u00e8me si\u00e8cle. En 1947, Quinn McNemar<\/a>, alors professeur de psychologie et de statistique \u00e0 l’Universit\u00e9 de Stanford, publie dans la prestigieuse revue Psychometrika<\/em> un article fondateur intitul\u00e9 \u00ab Note on the sampling error of the difference between correlated proportions or percentages<\/em> \u00bb. \u00c0 cette \u00e9poque, la recherche en psychologie sociale et exp\u00e9rimentale conna\u00eet un essor sans pr\u00e9c\u00e9dent dans l’utilisation de protocoles longitudinaux mesurant les changements d’attitude, l’impact des campagnes de propagande durant la Seconde Guerre mondiale ou encore les effets d’apprentissages \u00e9ducatifs cibl\u00e9s.<\/p>\n Face \u00e0 ces donn\u00e9es empiriques r\u00e9p\u00e9t\u00e9es, les chercheurs de l’\u00e9poque commettaient quasi syst\u00e9matiquement l’erreur de traiter les mesures avant et apr\u00e8s intervention comme si elles provenaient de deux cohortes ind\u00e9pendantes. Ils mobilisaient alors le test d’ind\u00e9pendance du chi-carr\u00e9 formul\u00e9 par Karl Pearson en 1900 ou le test z de comparaison de deux pourcentages ind\u00e9pendants. McNemar prit conscience que cette mod\u00e9lisation ignorait la d\u00e9pendance stochastique induite par le suivi des m\u00eames unit\u00e9s statistiques \u00e0 travers le temps. La contribution pionni\u00e8re de McNemar a consist\u00e9 \u00e0 d\u00e9montrer que l’\u00e9valuation du changement marginal ne requiert pas une comparaison globale des distributions, mais une focalisation exclusive sur la dynamique interne des transitions d’\u00e9tats psychologiques.<\/p>\n Dans les paradigmes contemporains en sciences comportementales, le test de McNemar demeure l’outil pivot pour les plans d’exp\u00e9rience \u00e0 mesures r\u00e9p\u00e9t\u00e9es \u00e0 deux temps de mesure (pr\u00e9-test et post-test) ainsi que pour les \u00e9tudes cas-t\u00e9moins appari\u00e9es en \u00e9pid\u00e9miologie psychiatrique. En fournissant une solution exacte \u00e0 la prise en compte de la corr\u00e9lation intra-individuelle, les travaux de McNemar ont pos\u00e9 les jalons de l’analyse moderne des trajectoires cat\u00e9gorielles, ouvrant la voie au d\u00e9veloppement ult\u00e9rieur des mod\u00e8les mixtes g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9s et des \u00e9quations d’estimation g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9es.<\/p>\n La distinction entre \u00e9chantillons ind\u00e9pendants et d\u00e9pendants constitue l’un des piliers de l’inf\u00e9rence statistique, dont la m\u00e9connaissance engendre des erreurs d’interpr\u00e9tation critiques dans la litt\u00e9rature scientifique. Deux \u00e9chantillons sont consid\u00e9r\u00e9s comme ind\u00e9pendants lorsque la s\u00e9lection et la valeur prise par une unit\u00e9 d’observation n’exercent aucune influence pr\u00e9dictive sur les unit\u00e9s du second groupe. C’est le cas embl\u00e9matique d’un essai randomis\u00e9 contr\u00f4l\u00e9 o\u00f9 des participants distincts sont affect\u00e9s de fa\u00e7on al\u00e9atoire soit \u00e0 un groupe exp\u00e9rimental recevant une psychoth\u00e9rapie, soit \u00e0 un groupe t\u00e9moin plac\u00e9 sur liste d’attente. Dans une telle situation, la variance de la diff\u00e9rence entre les deux proportions estim\u00e9es correspond strictement \u00e0 la somme de leurs variances d’\u00e9chantillonnage respectives.<\/p>\n \u00c0 l’inverse, des \u00e9chantillons sont dits d\u00e9pendants, appari\u00e9s ou corr\u00e9l\u00e9s lorsque chaque observation d’une condition est intrins\u00e8quement li\u00e9e \u00e0 une observation sp\u00e9cifique de la seconde condition. Cette structure d’appariement d\u00e9coule soit d’un plan \u00e0 mesures r\u00e9p\u00e9t\u00e9es, o\u00f9 chaque sujet constitue son propre t\u00e9moin \u00e0 travers le temps, soit d’un jumelage m\u00e9thodologique strict, o\u00f9 des paires de sujets sont constitu\u00e9es sur la base de covariables confondantes majeures telles que l’\u00e2ge, le genre ou le score de quotient intellectuel. Dans cette configuration, l’existence d’une autocorr\u00e9lation intrasujet positive engendre une covariance non nulle entre les mesures pr\u00e9- et post-intervention, modifiant fondamentalement la structure stochastique du terme d’erreur.<\/p>\n L’application fautive du test du chi-carr\u00e9 d’ind\u00e9pendance de Pearson \u00e0 des donn\u00e9es appari\u00e9es produit des cons\u00e9quences th\u00e9oriques d\u00e9l\u00e9t\u00e8res sur la validit\u00e9 des conclusions. Lorsque la corr\u00e9lation intrasujet est positive, ce qui repr\u00e9sente la norme quasi universelle en psychologie empirique en raison de la stabilit\u00e9 des traits individuels, la variance r\u00e9elle de la diff\u00e9rence de proportions est nettement inf\u00e9rieure \u00e0 la variance pr\u00e9sum\u00e9e sous l’hypoth\u00e8se d’ind\u00e9pendance. Le test de Pearson surestime alors le terme d’erreur standard, ce qui r\u00e9duit artificiellement la valeur de la statistique de test et gonfle de mani\u00e8re inacceptable le taux d’erreur de deuxi\u00e8me esp\u00e8ce, privant l’exp\u00e9rimentateur de la puissance statistique n\u00e9cessaire pour d\u00e9tecter un changement comportemental authentique. Inversement, si une corr\u00e9lation n\u00e9gative venait \u00e0 \u00e9merger, le risque d’erreur de premi\u00e8re esp\u00e8ce serait dramatiquement gonfl\u00e9, conduisant \u00e0 des faux positifs m\u00e9thodologiques.<\/p>\n D’un point de vue formel, le test de McNemar \u00e9value l’hypoth\u00e8se nulle dite d’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 marginale au sein d’une population parente dont les observations sont cat\u00e9goris\u00e9es selon une variable binaire \u00e0 deux moments successifs. Soit une table de probabilit\u00e9s conjointes 2×2 o\u00f9 l’\u00e9l\u00e9ment th\u00e9orique $p_{ij}$<\/span> repr\u00e9sente la probabilit\u00e9 qu’un individu appartienne \u00e0 la cat\u00e9gorie $i$<\/span> lors du premier temps de mesure ($i in {1, 2}$<\/span>) et \u00e0 la cat\u00e9gorie $j$<\/span> lors du second temps ($j in {1, 2}$<\/span>). La marge relative au premier temps est d\u00e9finie par $p_{1.} = p_{11} + p_{12}$<\/span> pour la premi\u00e8re modalit\u00e9 et $p_{2.} = p_{21} + p_{22}$<\/span> pour la seconde. De mani\u00e8re analogue, les marges relatives au second temps de mesure sont formalis\u00e9es par $p_{.1} = p_{11} + p_{21}$<\/span> et $p_{.2} = p_{12} + p_{22}$<\/span>.<\/p>\n L’hypoth\u00e8se nulle d’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 marginale stipule que les distributions de probabilit\u00e9s marginales demeurent parfaitement invariantes entre les deux moments d’\u00e9valuation. Math\u00e9matiquement, cette proposition s’exprime par le syst\u00e8me d’\u00e9galit\u00e9s :<\/p>\n $$H_0 : p_{1.} = p_{.1} \\quad \\text{et} \\quad p_{2.} = p_{.2}$$<\/span><\/p>\n En substituant les probabilit\u00e9s conjointes dans la premi\u00e8re \u00e9galit\u00e9, nous obtenons $p_{11} + p_{12} = p_{11} + p_{21}$<\/span>. En retranchant le terme diagonal $p_{11}$<\/span> des deux membres de l’\u00e9quation, l’hypoth\u00e8se nulle se r\u00e9duit \u00e0 une condition d’une remarquable simplicit\u00e9 et d’une puissance analytique singuli\u00e8re :<\/p>\n $$H_0 : p_{12} = p_{21}$$<\/span><\/p>\n Cette simplification fondamentale d\u00e9montre que tester l’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 marginale \u00e9quivaut rigoureusement \u00e0 tester la sym\u00e9trie des seules cellules discordantes de la table de contingence. L’hypoth\u00e8se alternative bilat\u00e9rale postule quant \u00e0 elle l’existence d’une asym\u00e9trie syst\u00e9matique entre les trajectoires de passage :<\/p>\n $$H_1 : p_{12} \\neq p_{21}$$<\/span><\/p>\n Dans des contextes exp\u00e9rimentaux directionnels pr\u00e9cis, par exemple lorsqu’une intervention clinique vise exclusivement \u00e0 faire r\u00e9gresser un sympt\u00f4me sans pouvoir th\u00e9oriquement l’induire chez des sujets sains, une hypoth\u00e8se alternative unilat\u00e9rale peut \u00eatre formul\u00e9e sous la forme $H_1 : p_{12} > p_{21}$<\/span> ou $H_1 : p_{12} < p_{21}$. L’\u00e9l\u00e9ment cardinal \u00e0 retenir r\u00e9side dans l’exclusion totale des cellules concordantes ($<\/span>p_{11}$ et $p_{22}$<\/span>) de la formulation de la statistique d\u00e9cisionnelle, ces derni\u00e8res n’apportant aucune information diff\u00e9rentielle quant \u00e0 la direction du changement temporel.<\/p>\n La validit\u00e9 des inf\u00e9rences tir\u00e9es du test de McNemar d\u00e9pend du respect de postulats m\u00e9thodologiques relatifs au niveau de mesure des indicateurs psychom\u00e9triques. Le test requiert imp\u00e9rativement une variable d\u00e9pendante de nature cat\u00e9gorielle binaire, c’est-\u00e0-dire une variable qualitative ne comportant que deux modalit\u00e9s mutuellement exclusives et conjointement exhaustives. En psychom\u00e9trie et en psychopathologie quantitative, ces \u00e9tats binaires peuvent correspondre \u00e0 la pr\u00e9sence ou l’absence d’un trouble selon les crit\u00e8res nosographiques du DSM-5<\/a> (par exemple, R\u00e9mission versus Rechute), au succ\u00e8s ou \u00e0 l’\u00e9chec \u00e0 un item d’\u00e9valuation cognitive, ou encore \u00e0 l’adh\u00e9sion ou au refus face \u00e0 une proposition d’attitude sociale (Favorable versus D\u00e9favorable).<\/p>\n Lorsqu’une variable continue sous-jacente est dichotomis\u00e9e arbitrairement \u00e0 des fins d’analyse cat\u00e9gorielle, le chercheur doit faire preuve d’une prudence \u00e9pist\u00e9mologique accrue. Le recours \u00e0 un seuil de coupure clinique standardis\u00e9 b\u00e9n\u00e9ficie d’une validit\u00e9 de contenu reconnue dans les bilans diagnostiques, mais la dichotomisation artificielle d’\u00e9chelles d’intervalles psychologiques (comme le fractionnement selon la m\u00e9diane d’un score d’anxi\u00e9t\u00e9) engendre une perte de sensibilit\u00e9 statistique et peut masquer des variations dimensionnelles subtiles. Le postulat fondamental r\u00e9side ici dans la pertinence \u00e9cologique de la classification binaire retenue pour d\u00e9crire le fonctionnement psychologique de l’individu.<\/p>\n Par ailleurs, l’appariement des unit\u00e9s d’observation doit r\u00e9pondre \u00e0 une rigueur d’assignation irr\u00e9prochable. Dans un plan intra-individuel \u00e0 mesures r\u00e9p\u00e9t\u00e9es, l’int\u00e9grit\u00e9 de l’appariement repose sur l’identification non ambigu\u00eb de chaque sujet \u00e0 travers les vagues d’\u00e9valuation successives. Dans un plan de jumelage inter-individuel (appariement cas-t\u00e9moins), l’\u00e9quivalence des paires sur les facteurs d’ajustement doit \u00eatre totale. Toute rupture dans le suivi d’un membre de la paire compromet la structure dyadique et exige des proc\u00e9dures de traitement sp\u00e9cifiques afin d’\u00e9viter d’introduire des biais d’attrition diff\u00e9rentielle au sein de l’\u00e9chantillon analys\u00e9.<\/p>\n \u00c0 l’instar de l’ensemble des proc\u00e9dures d’inf\u00e9rence fond\u00e9es sur des approximations asymptotiques vers la loi du chi-carr\u00e9, le test standard de McNemar repose sur le th\u00e9or\u00e8me central limite et exige un volume d’observations suffisant. Toutefois, une confusion fr\u00e9quente dans la pratique de recherche consiste \u00e0 juger de la validit\u00e9 du test sur la base de la taille totale de l’\u00e9chantillon $N$<\/span>. En r\u00e9alit\u00e9, la puissance du test et la conformit\u00e9 de l’approximation distributionnelle ne d\u00e9pendent aucunement de $N$<\/span>, mais uniquement de la somme des effectifs observ\u00e9s dans les cases discordantes du tableau crois\u00e9, commun\u00e9ment d\u00e9sign\u00e9es par les lettres $b$<\/span> et $c$<\/span>.<\/p>\n Une r\u00e8gle empirique robuste, pr\u00e9conis\u00e9e dans les manuels de r\u00e9f\u00e9rence en statistique non param\u00e9trique, stipule que l’approximation asymptotique par la loi du chi-carr\u00e9 \u00e0 un degr\u00e9 de libert\u00e9 n’est statistiquement acceptable que si la somme des effectifs discordants satisfait la condition minimale suivante :<\/p>\n $$b + c ge 25$$<\/span><\/p>\n Lorsque cette somme est inf\u00e9rieure \u00e0 25, la distribution d’\u00e9chantillonnage de la statistique de McNemar s’\u00e9carte substantiellement de la distribution th\u00e9orique continue du chi-carr\u00e9. La discr\u00e9tion intrins\u00e8que de l’espace d’\u00e9chantillonnage engendre alors des fluctuations majeures de la probabilit\u00e9 critique calcul\u00e9e, augmentant le risque d’erreurs d’inf\u00e9rence. Si cette somme chute en de\u00e7\u00e0 de 10, l’approximation devient erratique et peut induire des distorsions massives des seuils de significativit\u00e9 r\u00e9els.<\/p>\n Face \u00e0 des cellules discordantes de faible effectif, le chercheur doit renoncer au test asymptotique classique au profit du test exact de McNemar, lequel repose directement sur la loi binomiale cumulative. Ce choix m\u00e9thodologique garantit le contr\u00f4le strict du risque de premi\u00e8re esp\u00e8ce quel que soit l’effectif disponible. L’arbitrage entre l’approche asymptotique standard, l’application d’une correction de continuit\u00e9 et la mod\u00e9lisation binomiale exacte constitue un enjeu m\u00e9thodologique qui sera examin\u00e9 de mani\u00e8re approfondie dans les sections ult\u00e9rieures de ce manuel.<\/p>\n L’analyse d’un protocole appari\u00e9 binaire n\u00e9cessite la structuration des donn\u00e9es au sein d’une table de contingence carr\u00e9e de dimension 2×2. Cette matrice croise les modalit\u00e9s de la variable d’int\u00e9r\u00eat observ\u00e9es au premier temps de mesure (en lignes) avec celles observ\u00e9es au second temps de mesure (en colonnes). La formalisation standard des effectifs conjoints observ\u00e9s s’\u00e9tablit selon la typologie canonique suivante :<\/p>\n1.2 Distinction fondamentale entre \u00e9chantillons ind\u00e9pendants et d\u00e9pendants<\/h3>\n
1.3 Formulation formelle des hypoth\u00e8ses statistiques<\/h3>\n
2. Conditions d’application et postulats m\u00e9thodologiques<\/h2>\n
2.1 Nature et \u00e9chelle des variables psychologiques<\/h3>\n
2.2 Exigences relatives aux effectifs et cellules discordantes<\/h3>\n
2.3 Structure matricielle d’une table de contingence 2×2<\/h3>\n