{"id":1805,"date":"2026-09-05T11:14:08","date_gmt":"2026-09-05T11:14:08","guid":{"rendered":"http:\/\/french.arabpsychology.com\/statistics\/comment-effectuer-test-t-deux-echantillons-stata\/"},"modified":"2026-09-05T11:14:19","modified_gmt":"2026-09-05T11:14:19","slug":"comment-effectuer-test-t-deux-echantillons-stata","status":"publish","type":"psych_stat","link":"https:\/\/french.arabpsychology.com\/?psych_stat=comment-effectuer-test-t-deux-echantillons-stata","title":{"rendered":"Comment effectuer un test t \u00e0 deux \u00e9chantillons dans Stata"},"content":{"rendered":"

L’inf\u00e9rence statistique bivari\u00e9e constitue le socle fondamental sur lequel repose une grande partie de l’analyse quantitative contemporaine, tant en \u00e9conomie qu’en \u00e9pid\u00e9miologie, en sociologie computationnelle ou en psychologie exp\u00e9rimentale. Lorsqu’un chercheur souhaite d\u00e9terminer si une intervention sp\u00e9cifique, une politique publique, une caract\u00e9ristique d\u00e9mographique ou un traitement m\u00e9dical induit une modification mesurable sur une variable quantitative continue, la comparaison des moyennes de deux sous-populations s’impose comme une d\u00e9marche m\u00e9thodologique inaugurale. Au sein de cet attirail analytique, le test t<\/em> de Student pour deux \u00e9chantillons ind\u00e9pendants occupe une position pr\u00e9\u00e9minente en raison de son \u00e9l\u00e9gance math\u00e9matique, de son interpr\u00e9tabilit\u00e9 intuitive et de sa robustesse th\u00e9orique \u00e9prouv\u00e9e.<\/p>\n

L’environnement logiciel Stata<\/a> s’est impos\u00e9 comme une r\u00e9f\u00e9rence mondiale pour la conduite de ces analyses empiriques, offrant aux statisticiens et aux chercheurs un cadre rigoureux alliant puissance de calcul, reproductibilit\u00e9 algorithmique et clart\u00e9 syntaxique. N\u00e9anmoins, l’ex\u00e9cution machinale d’une commande informatique sans une compr\u00e9hension intime des hypoth\u00e8ses distributionnelles, des ajustements d’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 et des m\u00e9canismes sous-jacents d’\u00e9chantillonnage expose l’analyste \u00e0 des erreurs d’inf\u00e9rence substantielles. Un \u00e9cart statistiquement significatif peut r\u00e9sulter d’un artefact li\u00e9 \u00e0 des variances dissemblables, \u00e0 la pr\u00e9sence de points aberrants ou \u00e0 une asym\u00e9trie marqu\u00e9e au sein des distributions sous-jacentes.<\/p>\n

Ce guide exhaustif a pour vocation de diss\u00e9quer, avec une minutie acad\u00e9mique et une pr\u00e9cision op\u00e9rationnelle sans faille, l’int\u00e9gralit\u00e9 du processus menant \u00e0 la r\u00e9alisation, \u00e0 l’interpr\u00e9tation et au diagnostic approfondi d’un test t<\/em> \u00e0 deux \u00e9chantillons ind\u00e9pendants sous Stata. Du rappel formel des distributions d’\u00e9chantillonnage jusqu’aux \u00e9quivalences lin\u00e9aires univari\u00e9es, en passant par l’analyse graphique exploratory, les corrections de Welch-Satterthwaite et l’estimation standardis\u00e9e des tailles d’effet selon les normes APA, chaque \u00e9tape fait l’objet d’un examen syst\u00e9matique afin de doter le praticien d’une ma\u00eetrise m\u00e9thodologique absolue.<\/p>\n

1. Introduction th\u00e9orique et fondements du test t pour deux \u00e9chantillons ind\u00e9pendants<\/h2>\n

### 1.1 D\u00e9finition et objectifs du test t de Student ind\u00e9pendant<\/p>\n

Le test t<\/em> de Student pour \u00e9chantillons ind\u00e9pendants, couramment d\u00e9sign\u00e9 sous l’appellation de test t<\/em> \u00e0 deux \u00e9chantillons, est une proc\u00e9dure d’inf\u00e9rence param\u00e9trique con\u00e7ue pour \u00e9valuer formellement si les esp\u00e9rances math\u00e9matiques d’une variable al\u00e9atoire continue diff\u00e8rent significativement entre deux populations mutuellement exclusives. Formalis\u00e9 historiquement par William Sealy Gosset<\/a> en 1908 sous le pseudonyme d’emprunt \u00ab Student \u00bb, ce test statistique r\u00e9pond \u00e0 une probl\u00e9matique r\u00e9currente : d\u00e9terminer si la disparit\u00e9 observ\u00e9e entre deux moyennes empiriques refl\u00e8te une v\u00e9ritable divergence structurelle au sein des populations m\u00e8res ou si elle rel\u00e8ve d’une simple fluctuation stochastique imputable \u00e0 l’\u00e9chantillonnage al\u00e9atoire.<\/p>\n

Sur le plan de la formalisation math\u00e9matique, la proc\u00e9dure repose sur la confrontation directe de deux hypoth\u00e8ses statistiques fondamentales :
\nL’hypoth\u00e8se nulle, not\u00e9e H<\/em>0<\/sub>, postule l’absence de diff\u00e9rence entre les deux param\u00e8tres populationnels, soit :
\nH<\/em>0<\/sub> : μ1<\/sub> – μ2<\/sub> = 0 (ou μ1<\/sub> = μ2<\/sub>)
\no\u00f9 μ1<\/sub> et μ2<\/sub> repr\u00e9sentent respectivement les moyennes th\u00e9oriques de la population 1 et de la population 2.
\n\u00c0 l’inverse, l’hypoth\u00e8se alternative non directionnelle, not\u00e9e H<\/em>1<\/sub> ou H<\/em>a<\/sub>, \u00e9nonce que cette diff\u00e9rence d’esp\u00e9rances n’est pas nulle :
\nH<\/em>1<\/sub> : μ1<\/sub> – μ2<\/sub> ≠ 0 (ou μ1<\/sub> ≠ μ2<\/sub>)<\/p>\n

\"Two
Two sample t-test in Stata example<\/figcaption><\/figure>\n

Il est imp\u00e9ratif d’\u00e9tablir une ligne de d\u00e9marcation \u00e9pist\u00e9mologique nette entre le plan exp\u00e9rimental \u00e0 \u00e9chantillons ind\u00e9pendants et le plan \u00e0 mesures r\u00e9p\u00e9t\u00e9es (\u00e9chantillons appari\u00e9s). Dans un sch\u00e9ma ind\u00e9pendant, chaque unit\u00e9 d’observation appartient strictement et exclusivement \u00e0 l’un des deux groupes compar\u00e9s. La covariance th\u00e9orique entre les observations du premier groupe et celles du second est strictement nulle : Cov(X<\/em>1i<\/em><\/sub>, X<\/em>2j<\/em><\/sub>) = 0 pour tout couple (i<\/em>, j<\/em>). Dans le cadre d’un test appari\u00e9, en revanche, les donn\u00e9es proc\u00e8dent d’un m\u00eame individu observ\u00e9 \u00e0 deux moments distincts (plans pr\u00e9-test\/post-test) ou de paires appari\u00e9es selon des covariables pr\u00e9cises, induisant une corr\u00e9lation intra-sujet non nulle qui modifie substantiellement le calcul de la variance de la diff\u00e9rence.<\/p>\n

Dans les domaines de la recherche quantitative, des sciences comportementales, des politiques \u00e9conomiques et de la m\u00e9decine factuelle, le test t<\/em> ind\u00e9pendant constitue l’\u00e9talon analytique privil\u00e9gi\u00e9 des essais contr\u00f4l\u00e9s randomis\u00e9s (ECR) et des plans quasi-exp\u00e9rimentaux. Qu’il s’agisse d’\u00e9valuer le rendement salarial diff\u00e9rentiel entre dipl\u00f4m\u00e9s de l’enseignement sup\u00e9rieur et non-dipl\u00f4m\u00e9s, de quantifier la r\u00e9duction de la pression art\u00e9rielle sous l’effet d’une nouvelle mol\u00e9cule th\u00e9rapeutique compar\u00e9e \u00e0 un placebo, ou de mesurer les \u00e9carts de productivit\u00e9 induits par l’adoption d’un nouveau syst\u00e8me d’information organisationnel, le test fournit une m\u00e9trique de d\u00e9cision standardis\u00e9e et probabiliste.<\/p>\n

### 1.2 Distribution d’\u00e9chantillonnage et statistique de test<\/p>\n

La mise en \u0153uvre du test repose sur la construction d’une variable pivotale ob\u00e9issant \u00e0 une loi de probabilit\u00e9 th\u00e9orique parfaitement document\u00e9e : la loi t de Student<\/a>. Cette distribution statistique sym\u00e9trique et leptokurtique se caract\u00e9rise par des queues plus \u00e9paisses que celles de la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite standard, traduisant l’incertitude additionnelle engendr\u00e9e par l’estimation de la variance populationnelle \u00e0 partir d’\u00e9chantillons de taille finie. La morphologie pr\u00e9cise de la densit\u00e9 de probabilit\u00e9 de cette loi est strictement d\u00e9termin\u00e9e par son param\u00e8tre de forme unique : le nombre de degr\u00e9s de libert\u00e9 (df<\/em> pour degrees of freedom<\/em>).<\/p>\n

Dans le cadre d’un test standard assumant l’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 des variances, la statistique de test empirique, not\u00e9e t<\/em>, est d\u00e9finie comme le rapport entre la diff\u00e9rence observ\u00e9e des moyennes d’\u00e9chantillon et l’erreur type de cette diff\u00e9rence :
\nt<\/em> = [(X\u0304<\/em>1<\/sub> – X\u0304<\/em>2<\/sub>) – (μ1<\/sub> – μ2<\/sub>)0<\/sub>] \/ SE<\/em>(X\u0304<\/em>1<\/sub> – X\u0304<\/em>2<\/sub>)
\nSous l’hypoth\u00e8se nulle stipulant (μ1<\/sub> – μ2<\/sub>)0<\/sub> = 0, le num\u00e9rateur se r\u00e9sume \u00e0 la simple divergence brute entre X\u0304<\/em>1<\/sub> et X\u0304<\/em>2<\/sub>.<\/p>\n

Le d\u00e9nominateur, repr\u00e9sentant l’erreur type combin\u00e9e, requiert l’estimation pr\u00e9alable de la variance r\u00e9siduelle commune (ou variance combin\u00e9e, not\u00e9e s<\/em>p<\/em><\/sub>2<\/sup> pour pooled variance<\/em>) :
\ns<\/em>p<\/em><\/sub>2<\/sup> = [ (n<\/em>1<\/sub> – 1)s<\/em>1<\/sub>2<\/sup> + (n<\/em>2<\/sub> – 1)s<\/em>2<\/sub>2<\/sup> ] \/ (n<\/em>1<\/sub> + n<\/em>2<\/sub> – 2)
\no\u00f9 n<\/em>1<\/sub> et n<\/em>2<\/sub> repr\u00e9sentent les effectifs respectifs des deux sous-\u00e9chantillons, et s<\/em>1<\/sub>2<\/sup> et s<\/em>2<\/sub>2<\/sup> leurs variances d’\u00e9chantillon non biais\u00e9es. L’erreur type de la diff\u00e9rence est alors formul\u00e9e comme suit :
\nSE<\/em>(X\u0304<\/em>1<\/sub> – X\u0304<\/em>2<\/sub>) = √[ s<\/em>p<\/em><\/sub>2<\/sup> × ( (1 \/ n<\/em>1<\/sub>) + (1 \/ n<\/em>2<\/sub>) ) ]<\/p>\n

Les degr\u00e9s de libert\u00e9 allou\u00e9s \u00e0 cette statistique s’\u00e9l\u00e8vent exactement \u00e0 ν = n<\/em>1<\/sub> + n<\/em>2<\/sub> – 2. Lorsque la taille globale de l’\u00e9chantillon (N<\/em> = n<\/em>1<\/sub> + n<\/em>2<\/sub>) cro\u00eet vers l’infini, la distribution t<\/em> converge asymptotiquement vers la distribution gaussienne standard Z<\/em> ~ N<\/em>(0, 1). Toutefois, pour des \u00e9chantillons de taille modeste, l’\u00e9paisseur des queues de la distribution t<\/em> impose des seuils critiques plus \u00e9lev\u00e9s pour rejeter l’hypoth\u00e8se nulle, immunisant ainsi l’analyste contre un optimisme inf\u00e9rentiel injustifi\u00e9. La taille des \u00e9chantillons exerce en outre une influence m\u00e9canique pr\u00e9pond\u00e9rante sur la puissance statistique du test : \u00e0 magnitude d’effet \u00e9gale, l’accroissement des effectifs r\u00e9duit la variance d’\u00e9chantillonnage de la diff\u00e9rence, minimisant le d\u00e9nominateur et amplifiant de facto la magnitude de la valeur t<\/em> observ\u00e9e.<\/p>\n

### 1.3 Approches bilat\u00e9rales versus unilat\u00e9rales<\/p>\n

Le choix de l’orientation du test constitue une d\u00e9cision m\u00e9thodologique majeure qui doit \u00eatre arr\u00eat\u00e9e a priori, c’est-\u00e0-dire ant\u00e9rieurement \u00e0 toute inspection visuelle ou calculatoire des donn\u00e9es empiriques. L’approche bilat\u00e9rale (ou test non directionnel) postule comme hypoth\u00e8se alternative une simple in\u00e9galit\u00e9 : H<\/em>1<\/sub> : μ1<\/sub> ≠ μ2<\/sub>. Dans ce paradigme, la zone de rejet de l’hypoth\u00e8se nulle est scind\u00e9e de mani\u00e8re \u00e9quiprobable aux deux extr\u00e9mit\u00e9s de la distribution th\u00e9orique, attribuant une probabilit\u00e9 d’erreur de premi\u00e8re esp\u00e8ce α\/2 dans la queue inf\u00e9rieure et α\/2 dans la queue sup\u00e9rieure. Cette posture \u00e9pist\u00e9mologique incarne la prudence scientifique universelle, car elle permet de d\u00e9tecter des d\u00e9viations significatives quel que soit le sens de la divergence (que le groupe 1 surpasse le groupe 2 ou inversement).<\/p>\n

\u00c0 l’oppos\u00e9, l’approche unilat\u00e9rale (ou test directionnel) engage une hypoth\u00e8se alternative orient\u00e9e d\u00e8s la conception th\u00e9orique de l’\u00e9tude :
\nH<\/em>1<\/sub> : μ1<\/sub> > μ2<\/sub> (test unilat\u00e9ral sup\u00e9rieur) ou H<\/em>1<\/sub> : μ1<\/sub> < μ2<\/sub> (test unilat\u00e9ral inf\u00e9rieur).
\nDans une telle configuration, l’int\u00e9gralit\u00e9 du risque d’erreur de premi\u00e8re esp\u00e8ce (α) est concentr\u00e9e dans une seule queue de la distribution. En cons\u00e9quence, la valeur critique requise pour rejeter l’hypoth\u00e8se nulle est inf\u00e9rieure en valeur absolue \u00e0 celle exig\u00e9e dans le cadre d’un test bilat\u00e9ral pour un seuil nominal identique (par exemple, 1,645 au lieu de 1,96 pour une loi normale \u00e0 α = 0,05). Cette concentration unilat\u00e9rale conf\u00e8re au test une puissance statistique accrue pour identifier un effet situ\u00e9 rigoureusement dans la direction anticip\u00e9e.<\/p>\n

Toutefois, la justification d’un test unilat\u00e9ral est particuli\u00e8rement contraignante sur le plan m\u00e9thodologique. L’analyste doit \u00eatre en mesure d’\u00e9tablir qu’un effet inverse \u00e0 celui attendu est soit physiquement ou logiquement impossible, soit totalement d\u00e9pourvu d’int\u00e9r\u00eat th\u00e9orique et pratique. L’usage abusif ou post-hoc d’un test unilat\u00e9ral \u2014 fr\u00e9quemment motiv\u00e9 par le d\u00e9sir de faire passer une valeur p<\/em> bilat\u00e9rale marginale situ\u00e9e entre 0,05 et 0,10 sous le seuil symbolique de 0,05 \u2014 constitue une pratique contestable d’inflation artificielle du risque de faux positifs. L’arbitrage fondamental r\u00e9side dans la r\u00e9gulation fine du risque d’erreur de type I (rejeter \u00e0 tort une hypoth\u00e8se nulle pourtant v\u00e9rifi\u00e9e) et du risque d’erreur de type II (β, \u00e9chouer \u00e0 identifier un effet r\u00e9el), sachant que le test bilat\u00e9ral demeure la norme consensuelle de rigueur au sein des revues scientifiques internationales \u00e0 comit\u00e9 de lecture.<\/p>\n

2. Hypoth\u00e8ses statistiques sous-jacentes et conditions d’application<\/h2>\n

### 2.1 \u00c9chelle de mesure et ind\u00e9pendance des observations<\/p>\n

Pour que l’inf\u00e9rence tir\u00e9e d’un test t<\/em> de Student soit formellement valide, la m\u00e9trique de la variable d\u00e9pendante (ou variable de r\u00e9ponse) doit imp\u00e9rativement correspondre \u00e0 une \u00e9chelle d’intervalle ou de rapport. Les grandeurs mesur\u00e9es doivent poss\u00e9der des intervalles constants et m\u00e9triquement signifiants entre les unit\u00e9s, rendant licite le calcul d’op\u00e9rations arithm\u00e9tiques telles que l’esp\u00e9rance et la variance. L’application directe d’un test t<\/em> sur des variables purement ordinales (comme des \u00e9chelles de Likert restreintes \u00e0 trois ou quatre ancres sans justification de m\u00e9trique continue sous-jacente) ou cat\u00e9gorielles nominales constitue une transgression m\u00e9thodologique qui d\u00e9nature la signification de la moyenne d’\u00e9chantillon.<\/p>\n

Parall\u00e8lement, la variable ind\u00e9pendante (ou variable de traitement\/exposition) doit \u00eatre un facteur binaire d\u00e9limitant sans aucune ambigu\u00eft\u00e9 deux cohortes ou cat\u00e9gories mutuellement exclusives et collectivement exhaustives pour le sous-ensemble analys\u00e9. Une entit\u00e9 d’observation ne saurait appartenir simultan\u00e9ment aux deux modalit\u00e9s d’appartenance. <\/p>\n

L’hypoth\u00e8se d’ind\u00e9pendance conditionnelle des observations constitue le postulat le plus critique et le moins n\u00e9gociable du mod\u00e8le param\u00e9trique standard. L’\u00e9chantillonnage doit proc\u00e9der d’un tirage al\u00e9atoire simple garantissant que l’inclusion ou la valeur mesur\u00e9e de n’importe quel individu n’exerce aucune d\u00e9pendance stochastique sur la valeur mesur\u00e9e d’un autre individu, que ce soit au sein d’un m\u00eame groupe (ind\u00e9pendance intra-groupe) ou entre les deux groupes (ind\u00e9pendance inter-groupes). La pr\u00e9sence de corr\u00e9lations s\u00e9rielles temporelles, d’effets de grappes (par exemple, des patients hospitalis\u00e9s au sein d’un m\u00eame service clinique, ou des \u00e9l\u00e8ves scolaris\u00e9s dans une m\u00eame classe) induit une corr\u00e9lation intra-classe (ICC) positive. Cette non-ind\u00e9pendance compresse artificiellement l’erreur type estim\u00e9e de la diff\u00e9rence, d\u00e9bouchant sur des statistiques t<\/em> gonfl\u00e9es et une explosion dramatique du taux d’erreur de premi\u00e8re esp\u00e8ce au-del\u00e0 du seuil nominal conventionnel de 5 %.<\/p>\n

### 2.2 Hypoth\u00e8se de normalit\u00e9 distributionnelle<\/p>\n

Le cadre d\u00e9ductif classique du test t<\/em> de Student requiert th\u00e9oriquement que la variable de r\u00e9ponse continue suive une loi normale au sein de chacune des deux populations sous-jacentes :
\nY<\/em>1<\/sub> ~ N<\/em>(μ1<\/sub>, σ1<\/sub>2<\/sup>) et Y<\/em>2<\/sub> ~ N<\/em>(μ2<\/sub>, σ2<\/sub>2<\/sup>).
\nCette condition assure que les moyennes \u00e9chantillonnales suivent elles-m\u00eames rigoureusement une loi normale, et que la somme pond\u00e9r\u00e9e des variances d’\u00e9chantillon normalis\u00e9es se conforme exactement \u00e0 une distribution du chi-deux (χ2<\/sup>), garantissant ainsi que le ratio d’\u00e9chantillonnage ob\u00e9it \u00e0 une distribution t<\/em> de Gosset.<\/p>\n

N\u00e9anmoins, la sensibilit\u00e9 du test t<\/em> \u00e0 cette hypoth\u00e8se de normalit\u00e9 est largement temp\u00e9r\u00e9e par les propri\u00e9t\u00e9s asymptotiques formalis\u00e9es par le th\u00e9or\u00e8me central limite<\/a> (TCL). Selon ce principe fondamental du calcul des probabilit\u00e9s, d\u00e8s lors que la taille des \u00e9chantillons au sein de chaque groupe devient suffisamment vaste (usuellement n<\/em> ≥ 30 ou n<\/em> ≥ 50 par cellule dans la litt\u00e9rature m\u00e9thodologique), la distribution d’\u00e9chantillonnage de la moyenne converge vers une loi normale, quelle que soit la morphologie fonctionnelle de la distribution sous-jacente des donn\u00e9es brutes, pourvu que la variance populationnelle demeure finie.<\/p>\n

Il convient de souligner que cette robustesse asymptotique n’est pas absolue face \u00e0 des pathologies distributionnelles s\u00e9v\u00e8res. L’existence d’une asym\u00e9trie marqu\u00e9e (skewness<\/em> prononc\u00e9e) ou d’un aplatissement anomal (kurtosis<\/em> excessif caract\u00e9ris\u00e9 par des queues lourdes), conjugu\u00e9e \u00e0 des tailles d’\u00e9chantillon r\u00e9duites (par exemple, n<\/em>1<\/sub>, n<\/em>2<\/sub> < 15), d\u00e9grade substantiellement la couverture r\u00e9elle des intervalles de confiance et la pr\u00e9cision de la valeur p<\/em>. De surcro\u00eet, la pr\u00e9sence de valeurs aberrantes univari\u00e9es (outliers<\/em>) peut fausser disproportionnellement l’estimation des moyennes empiriques tout en augmentant artificiellement la variance combin\u00e9e, annihilant le pouvoir statistique du test.<\/p>\n

### 2.3 Hypoth\u00e8se d’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 des variances (homosc\u00e9dasticit\u00e9)<\/p>\n

Le test t<\/em> classique de Student repose sur le postulat fondamental de l’\u00e9galit\u00e9 stricte des variances populationnelles, \u00e9galement d\u00e9sign\u00e9 sous le terme d’homosc\u00e9dasticit\u00e9 :
\nσ1<\/sub>2<\/sup> = σ2<\/sub>2<\/sup> = σ2<\/sup>.
\nSous cette hypoth\u00e8se, les deux groupes partagent une variance d’erreur identique, ce qui autorise le statisticien \u00e0 agr\u00e9ger alg\u00e9briquement les sommes des carr\u00e9s des \u00e9carts des deux \u00e9chantillons pour calculer la variance r\u00e9siduelle combin\u00e9e (pooled variance<\/em>) \u00e9voqu\u00e9e pr\u00e9c\u00e9demment.<\/p>\n

La violation de cette condition \u2014 l’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9, o\u00f9 σ1<\/sub>2<\/sup> ≠ σ2<\/sub>2<\/sup> \u2014 engendre des distorsions statistiques d’une gravit\u00e9 variable selon le ratio d’\u00e9quilibre des effectifs des sous-\u00e9chantillons. Lorsque le plan exp\u00e9rimental est strictement \u00e9quilibr\u00e9 (n<\/em>1<\/sub> = n<\/em>2<\/sub>), le test t<\/em> de Student standard fait preuve d’une robustesse remarquable face \u00e0 l’in\u00e9galit\u00e9 des variances ; l’erreur type combin\u00e9e demeure asymptotiquement coh\u00e9rente et le taux d’erreur de premi\u00e8re esp\u00e8ce effectif s’\u00e9carte peu du seuil α nominal.<\/p>\n

La situation s’av\u00e8re nettement plus probl\u00e9matique lorsque l’in\u00e9galit\u00e9 des variances co\u00efncide avec un d\u00e9s\u00e9quilibre marqu\u00e9 des effectifs (n<\/em>1<\/sub> ≠ n<\/em>2<\/sub>). Deux configurations sym\u00e9triquement perverses \u00e9mergent alors :
\nDans le cas d’un appariement n\u00e9gatif (l’\u00e9chantillon le plus restreint pr\u00e9sente la variance la plus \u00e9lev\u00e9e), le d\u00e9nominateur standard sous-estime l’erreur type r\u00e9elle de la diff\u00e9rence. La statistique t<\/em> se retrouve anormalement gonfl\u00e9e, provoquant une hausse incontr\u00f4l\u00e9e du risque d’erreur de type I, qui peut atteindre 10 % \u00e0 20 % pour un seuil vis\u00e9 de 5 %. L’analyste conclut ainsi \u00e0 tort \u00e0 l’existence d’un effet statistiquement significatif.
\n\u00c0 l’inverse, dans le cas d’un appariement positif (le plus grand groupe concentre la variance la plus forte), l’erreur type est surestim\u00e9e. La statistique t<\/em> est alors artificiellement comprim\u00e9e, conduisant \u00e0 une perte majeure de puissance statistique (surcro\u00eet d’erreurs de type II). C’est pr\u00e9cis\u00e9ment pour rem\u00e9dier \u00e0 ce dilemme structurel que l’adaptation m\u00e9thodologique de Welch-Satterthwaite a \u00e9t\u00e9 d\u00e9velopp\u00e9e.<\/p>\n

3. Pr\u00e9paration de l’environnement Stata et chargement des donn\u00e9es<\/h2>\n

### 3.1 Importation du jeu de donn\u00e9es exp\u00e9rimental<\/p>\n

L’initialisation rigoureuse de la session de travail constitue le pr\u00e9alable indispensable \u00e0 toute analyse reproductible dans Stata. Avant de charger les donn\u00e9es en m\u00e9moire vive, il est pr\u00e9conis\u00e9 d’ordonner l’espace d’ex\u00e9cution par des commandes de nettoyage syst\u00e8me. La commande fondamentale clear all<\/strong> permet de purger la m\u00e9moire de tout vecteur de donn\u00e9es, matrice, variable scalaire ou \u00e9tiquette r\u00e9siduelle issue de sessions ant\u00e9rieures. De fa\u00e7on compl\u00e9mentaire, la directive set more off<\/strong> d\u00e9sactive l’interruption des sorties d\u00e9filantes dans la console de r\u00e9sultats, assurant ainsi une fluidit\u00e9 continue lors de l’ex\u00e9cution s\u00e9quentielle de programmes r\u00e9dig\u00e9s dans un fichier de syntaxe (do-file<\/strong>).<\/p>\n

Pour assurer une tra\u00e7abilit\u00e9 int\u00e9grale, la d\u00e9finition explicite du r\u00e9pertoire de travail (working directory<\/em>) via l’instruction cd<\/strong> (change directory<\/em>) permet de sanctuariser l’arborescence locale dans laquelle seront archiv\u00e9s les sorties d’analyses, les graphiques vectoriels et les journaux textuels g\u00e9n\u00e9r\u00e9s au moyen de la commande log using<\/strong>.<\/p>\n

Afin de garantir une reproductibilit\u00e9 universelle sans d\u00e9pendre d’un fichier h\u00e9berg\u00e9 sur un support physique local, nous mobiliserons un jeu de donn\u00e9es exp\u00e9rimental standard accessible en ligne via les serveurs d’apprentissage de Stata : la base fuel3<\/strong>, documentant l’efficacit\u00e9 \u00e9nerg\u00e9tique compar\u00e9e de deux formules de carburant. L’importation s’op\u00e8re instantan\u00e9ment via la commande :
\nwebuse fuel3, clear<\/strong>
\nCette commande t\u00e9l\u00e9charge le fichier binaire au format propri\u00e9taire .dta et instancie l’espace matriciel de Stata avec les observations empiriques pr\u00eates au traitement analytique.<\/p>\n

### 3.2 Organisation et structure des donn\u00e9es dans Stata<\/p>\n

L’ex\u00e9cution standard du test bivari\u00e9 requiert une structuration rigoureuse des donn\u00e9es sous le format dit \u00ab long \u00bb (long format<\/em>), par opposition au format \u00ab large \u00bb (wide format<\/em>). Dans un format long canonique, chaque ligne repr\u00e9sente une unit\u00e9 exp\u00e9rimentale \u00e9l\u00e9mentaire unique, et les donn\u00e9es s’articulent autour d’au moins deux colonnes d\u00e9di\u00e9es :
\nUne variable de r\u00e9ponse quantitative, continue ou quasi-continue, stock\u00e9e sous un type de format num\u00e9rique appropri\u00e9 (float<\/em> ou double<\/em>). Dans la base fuel3<\/strong>, cette variable est d\u00e9sign\u00e9e par mpg<\/strong> (miles per gallon<\/em>), mesurant le rendement \u00e9nerg\u00e9tique kilom\u00e9trique des v\u00e9hicules soumis au protocole d’essai.
\nUne variable de traitement, d’exposition ou de classification binaire, identifiant le groupe d’appartenance de chaque unit\u00e9. Dans notre exemple canonique, la variable treated<\/strong> d\u00e9limite les deux cohortes exp\u00e9rimentales : le groupe t\u00e9moin ou non trait\u00e9 (v\u00e9hicules approvisionn\u00e9s avec un carburant classique r\u00e9gulier) et le groupe exp\u00e9rimental (v\u00e9hicules utilisant un carburant enrichi par un additif de synth\u00e8se sp\u00e9cifique).<\/p>\n

Il est indispensable de v\u00e9rifier la nature scalaire et le typage interne de cette variable de regroupement. Dans Stata, les variables qualitatives sont id\u00e9alement repr\u00e9sent\u00e9es sous la forme d’entiers num\u00e9riques (typage byte<\/em>) associ\u00e9s \u00e0 des m\u00e9tadonn\u00e9es contextuelles sous la forme d’\u00e9tiquettes de valeurs (value labels<\/em>). Si la variable de groupement avait \u00e9t\u00e9 initialement encod\u00e9e sous la forme d’une cha\u00eene de caract\u00e8res textuelle (type string<\/em>, par exemple \u00ab\u00a0T\u00e9moin\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0Trait\u00e9\u00a0\u00bb), l’ex\u00e9cution directe des routines inf\u00e9rentielles g\u00e9n\u00e9rerait une interruption du moteur d’ex\u00e9cution. Dans une telle hypoth\u00e8se, le chercheur proc\u00e9derait \u00e0 une recodification pr\u00e9alable via la commande encode<\/strong> afin de g\u00e9n\u00e9rer une variable num\u00e9rique index\u00e9e s\u00e9mantiquement.<\/p>\n

### 3.3 Nettoyage pr\u00e9liminaire et v\u00e9rification des valeurs manquantes<\/p>\n

L’int\u00e9grit\u00e9 des conclusions inf\u00e9rentielles repose sur une politique de d\u00e9tection exhaustive et de traitement rigoureux des observations manquantes (missing values<\/em>). Dans l’architecture interne de Stata, les valeurs manquantes pour les variables num\u00e9riques sont repr\u00e9sent\u00e9es par un point typographique standard (.<\/strong>), lequel est interpr\u00e9t\u00e9 au plan informatique comme un nombre infiniment grand sup\u00e9rieur \u00e0 toute valeur num\u00e9rique r\u00e9elle lors des \u00e9valuations logiques conditionnelles.<\/p>\n

L’\u00e9valuation de l’exhaustivit\u00e9 des donn\u00e9es s’effectue au moyen de deux instructions de diagnostic exploratoire :
\nL’instruction codebook mpg treated<\/strong> fournit un condens\u00e9 structurel de chaque variable s\u00e9lectionn\u00e9e, d\u00e9taillant le type de stockage, la plage de variation empirique, le nombre exact d’observations valides non manquantes, le d\u00e9nombrement des valeurs uniques ainsi que les libell\u00e9s des \u00e9tiquettes associ\u00e9es.
\nL’instruction inspect mpg<\/strong> dresse une ventilation graphique sommaire et quantifie avec exactitude le volume de valeurs nulles, n\u00e9gatives, positives et manquantes.<\/p>\n

Si des donn\u00e9es manquantes sont r\u00e9pertori\u00e9es, il est crucial d’examiner si leur r\u00e9partition d\u00e9pend ou non des variables du mod\u00e8le, afin de distinguer des donn\u00e9es manquantes compl\u00e8tement au hasard (MCAR) de processus s\u00e9lectifs (MAR ou MNAR). Dans le cadre de l’application de filtres analytiques via les clauses conditionnelles if<\/strong>, l’omission de la sp\u00e9cification explicite d’exclusion des valeurs manquantes (par exemple en \u00e9crivant h\u00e2tivement if mpg > 20<\/strong> au lieu de if mpg > 20 & !missing(mpg)<\/strong>) conduirait Stata \u00e0 inclure les points manquants dans la s\u00e9lection logique, biaisant l’\u00e9chantillon d’analyse. Enfin, la coh\u00e9rence des libell\u00e9s de modalit\u00e9s se v\u00e9rifie via label list<\/strong>, s’assurant que les valeurs num\u00e9riques 0 et 1 correspondent fid\u00e8lement aux descriptions s\u00e9mantiques cibles.<\/p>\n

4. Exploration descriptive et inspection visuelle des donn\u00e9es<\/h2>\n

### 4.1 Exploration des donn\u00e9es via l’\u00e9diteur Stata<\/p>\n

Avant de lancer le calcul d’estimateurs statistiques \u00e9labor\u00e9s, un examen visuel direct de la feuille de calcul s’impose comme une mesure d’hygi\u00e8ne analytique incontournable. Dans Stata, cet audit s’effectue en invoquant l’utilitaire d’inspection de donn\u00e9es en mode lecture seule gr\u00e2ce \u00e0 la commande :
\nbrowse<\/strong><\/p>\n

L’utilisation pr\u00e9f\u00e9rentielle de browse<\/strong> (ou de son raccourci br<\/strong>) par rapport \u00e0 l’\u00e9diteur interactif edit<\/strong> est une pr\u00e9caution m\u00e9thodologique \u00e9l\u00e9mentaire : elle interdit toute modification involontaire, effacement accidentel ou r\u00e9\u00e9criture impromptue d’une cellule par une frappe clavier inopportune.<\/p>\n

\"View
View raw data in Stata<\/figcaption><\/figure>\n

Au sein de la matrice de navigation visuelle, l’analyste valide plusieurs dimensions qualitatives :
\nLe code chromatique standard appliqu\u00e9 par Stata fournit une information imm\u00e9diate sur le formatage : les valeurs num\u00e9riques pures apparaissent en police noire standard, les variables num\u00e9riques associ\u00e9es \u00e0 des \u00e9tiquettes s\u00e9mantiques de valeur s’affichent en bleu cobalt, tandis que les variables textuelles non converties (strings<\/em>) se d\u00e9tachent en \u00e9criture bordeaux ou rouge brique.
\nL’alignement g\u00e9om\u00e9trique des colonnes permet d’attester que la distribution univari\u00e9e de la variable mpg<\/strong> est convenablement align\u00e9e en face des \u00e9tiquettes de la variable binaire treated<\/strong>, s’assurant ainsi qu’aucune troncature n’affecte la lecture et que les paires d’observations sont convenablement index\u00e9es.<\/p>\n

### 4.2 Statistiques descriptives d\u00e9sagr\u00e9g\u00e9es par groupe<\/p>\n

L’exploration num\u00e9rique repose sur la quantification diff\u00e9rentielle des param\u00e8tres de position et de dispersion pour chacun des deux sous-groupes constitutifs. Bien que l’instruction g\u00e9n\u00e9raliste summarize mpg<\/strong> restitue l’esp\u00e9rance math\u00e9matique empirique globale ainsi que l’\u00e9cart-type sur l’int\u00e9gralit\u00e9 du fichier, elle masque totalement l’h\u00e9t\u00e9rog\u00e9n\u00e9it\u00e9 sous-jacente entre les cohortes d’exposition.<\/p>\n

Pour d\u00e9sagr\u00e9ger ces m\u00e9triques par groupe, Stata propose l’articulation conditionnelle par pr\u00e9fixe ou l’exploitation d’utilitaires de tabulation synth\u00e9tique. L’instruction s\u00e9quentielle :
\nbysort treated: summarize mpg, detail<\/strong>
\npermet d’extraire, de fa\u00e7on compartiment\u00e9e pour chaque groupe, l’effectif valide, la moyenne, la variance, l’\u00e9cart-type, ainsi qu’une grille d\u00e9taill\u00e9e de percentiles incluant la m\u00e9diane (50e percentile) et les bornes interquartiles (25e et 75e percentiles), compl\u00e9t\u00e9e par les coefficients de sym\u00e9trie (skewness<\/em>) et d’aplatissement (kurtosis<\/em>).<\/p>\n

Pour synth\u00e9tiser ces indicateurs dans un tableau unique publiable, la commande sp\u00e9cialis\u00e9e tabstat<\/strong> constitue l’instrument le plus polyvalent :
\ntabstat mpg, by(treated) statistics(n mean sd median p25 p75 iqr) columns(statistics)<\/strong><\/p>\n

Cette instruction g\u00e9n\u00e8re une matrice synth\u00e9tique structur\u00e9e permettant une comparaison optique instantan\u00e9e. L’examen attentif de la proximit\u00e9 entre la moyenne arithm\u00e9tique et la m\u00e9diane offre un premier indice quant \u00e0 la sym\u00e9trie de la distribution : un \u00e9cart substantiel entre ces deux mesures de tendance centrale sugg\u00e8re la pr\u00e9sence d’une asym\u00e9trie distributionnelle ou l’influence d\u00e9stabilisatrice d’observations extr\u00eames.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

De surcro\u00eet, la comparaison directe des \u00e9carts-types empiriques (sd<\/em>) offre un premier aper\u00e7u de la plausibilit\u00e9 de l’hypoth\u00e8se d’homosc\u00e9dasticit\u00e9 : une divergence marqu\u00e9e (par exemple un ratio des \u00e9carts-types sup\u00e9rieur \u00e0 1,5 ou 2) doit imm\u00e9diatement orienter la vigilance du chercheur vers des mod\u00e8les avec ajustement d’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9.<\/p>\n

### 4.3 Analyse de la r\u00e9partition des effectifs<\/p>\n

L’\u00e9valuation des fr\u00e9quences marginales associ\u00e9es \u00e0 la variable binaire s’effectue formellement au moyen de la commande de tabulation univari\u00e9e :
\ntabulate treated<\/strong>
\nCette instruction calcule la distribution d’effectifs absolus au sein de chaque groupe ainsi que les proportions et pourcentages relatifs rapport\u00e9s \u00e0 la population totale de l’\u00e9chantillon.<\/p>\n

Le diagnostic de l’\u00e9quilibre des effectifs rev\u00eat une port\u00e9e m\u00e9thodologique d\u00e9terminante. Si la distribution pr\u00e9sente un ratio \u00e9quilibr\u00e9 proche d’une r\u00e9partition paritaire (50 % \/ 50 %), le protocole exp\u00e9rimental maximise sa puissance statistique pour un effectif global N<\/em> donn\u00e9. Lorsque le plan d’\u00e9chantillonnage subit une asym\u00e9trie importante (par exemple une r\u00e9partition 85 % \/ 15 % ou 90 % \/ 10 %), l’erreur type de la diff\u00e9rence des moyennes augmente de mani\u00e8re disproportionn\u00e9e. En effet, l’erreur type combin\u00e9e est tributaire de la somme harmonique des tailles d’\u00e9chantillon, c’est-\u00e0-dire :
\n(1 \/ n<\/em>1<\/sub>) + (1 \/ n<\/em>2<\/sub>)
\nCe facteur est principalement contraint par l’effectif du groupe le plus restreint.<\/p>\n

En outre, comme explicit\u00e9 au paragraphe 2.3, l’existence conjointe d’un d\u00e9s\u00e9quilibre majeur des effectifs et d’une h\u00e9t\u00e9rog\u00e9n\u00e9it\u00e9 des variances constitue la situation de vuln\u00e9rabilit\u00e9 maximale pour le test t<\/em> classique de Student. La prise de connaissance pr\u00e9cise du ratio n<\/em>1<\/sub> \/ n<\/em>2<\/sub> guide ainsi l’analyste vers le choix de la proc\u00e9dure inf\u00e9rentielle appropri\u00e9e lors des \u00e9tapes suivantes de son travail.<\/p>\n

5. Visualisation graphique des distributions de groupe sous Stata<\/h2>\n

### 5.1 Construction et interpr\u00e9tation des diagrammes en bo\u00eete (boxplots)<\/p>\n

La mod\u00e9lisation graphique des distributions univari\u00e9es constitue une \u00e9tape exploratoire essentielle pour appr\u00e9cier la forme des distributions et identifier d’\u00e9ventuels points aberrants. Dans Stata, le diagramme en bo\u00eete de Tukey (boxplot<\/em>) s’obtient via la commande standard :
\ngraph box mpg, over(treated)<\/strong><\/p>\n

\"Side
Side by side boxplots in Stata<\/figcaption><\/figure>\n

Cette instruction g\u00e9n\u00e8re deux bo\u00eetes \u00e0 moustaches juxtapos\u00e9es sur un m\u00eame axe d’ordonn\u00e9es, facilitant une lecture comparative directe :
\nLa ligne horizontale mat\u00e9rialis\u00e9e au centre de chaque rectangle repr\u00e9sente la m\u00e9diane empirique du groupe concern\u00e9.
\nLes bordures inf\u00e9rieure et sup\u00e9rieure de la bo\u00eete correspondent respectivement au premier quartile (Q<\/em>1<\/sub> ou 25e percentile) et au troisi\u00e8me quartile (Q<\/em>3<\/sub> ou 75e percentile). La hauteur totale de la bo\u00eete circonscrit ainsi l’\u00e9cart interquartile (IQR<\/em> = Q<\/em>3<\/sub> – Q<\/em>1<\/sub>), concentrant les 50 % centraux des donn\u00e9es observ\u00e9es.
\nLes moustaches s’\u00e9tendent depuis les charni\u00e8res de la bo\u00eete jusqu’aux valeurs observ\u00e9es les plus \u00e9loign\u00e9es contenues \u00e0 l’int\u00e9rieur d’une limite de tol\u00e9rance fix\u00e9e conventionnellement par John Tukey \u00e0 1,5 fois l’\u00e9cart interquartile :
\n[Q<\/em>1<\/sub> – 1,5 × IQR<\/em> ; Q<\/em>3<\/sub> + 1,5 × IQR<\/em>].
\nToute observation empirique se positionnant au-del\u00e0 de ces fronti\u00e8res th\u00e9oriques est d\u00e9sign\u00e9e sous le vocable de point aberrant ou atypique (outlier<\/em>) et repr\u00e9sent\u00e9e sous la forme d’un point g\u00e9om\u00e9trique isol\u00e9 ou d’un cercle non reli\u00e9.<\/p>\n

L’interpr\u00e9tation conjointe de ces deux trac\u00e9s permet d’\u00e9valuer la dispersion relative des groupes (largeur compar\u00e9e des bo\u00eetes et d\u00e9ploiement des moustaches) et de v\u00e9rifier l’absence d’observations extr\u00eames susceptibles de biaiser le calcul de la moyenne arithm\u00e9tique et de gonfler ind\u00fbment la variance de l’\u00e9chantillon.<\/p>\n

### 5.2 Superposition des histogrammes et courbes de densit\u00e9 de noyau<\/p>\n

Si les bo\u00eetes \u00e0 moustaches offrent une synth\u00e8se efficace des indicateurs de position et de dispersion, elles masquent parfois la morphologie fine de la distribution, notamment l’existence d’une \u00e9ventuelle multimodalit\u00e9. La superposition d’histogrammes et d’estimateurs de densit\u00e9 par noyau<\/a> (kernel density<\/em>) fournit une repr\u00e9sentation graphique d\u00e9taill\u00e9e de la distribution continue des donn\u00e9es.<\/p>\n

Stata permet de combiner ces repr\u00e9sentations via le moteur syntaxique twoway<\/strong>, en exploitant l’estimateur de densit\u00e9 non param\u00e9trique de Rosenblatt-Parzen au moyen de l’op\u00e9rateur kdensity<\/strong>. La commande structur\u00e9e s’\u00e9nonce comme suit :
\ntwoway (kdensity mpg if treated == 0, lcolor(navy) lwidth(medthick)) (kdensity mpg if treated == 1, lcolor(cranberry) lwidth(medthick)), legend(order(1 \u00ab\u00a0Carburant R\u00e9gulier\u00a0\u00bb 2 \u00ab\u00a0Carburant Enrichi\u00a0\u00bb)) xtitle(\u00ab\u00a0Miles per gallon (mpg)\u00a0\u00bb) ytitle(\u00ab\u00a0Densit\u00e9 de probabilit\u00e9\u00a0\u00bb)<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Cette mod\u00e9lisation visuelle permet d’appr\u00e9cier la superposition ou le d\u00e9calage horizontal des deux densit\u00e9s de distribution :
\nUn d\u00e9calage lat\u00e9ral prononc\u00e9 entre les deux sommets de courbe illustre de mani\u00e8re concr\u00e8te une diff\u00e9rence empirique substantielle entre les moyennes des deux groupes.
\nLe degr\u00e9 de recouvrement g\u00e9om\u00e9trique des deux surfaces sous la courbe donne une intuition directe de la taille de l’effet : un recouvrement quasi-int\u00e9gral pr\u00e9sage une diff\u00e9rence d’esp\u00e9rance n\u00e9gligeable au regard du bruit de fond de la variance intra-groupe.
\nLa morphologie globale des courbes renseigne sur le respect de la sym\u00e9trie gaussienne : des distributions unimodales en cloche valident empiriquement l’hypoth\u00e8se de normalit\u00e9, tandis que la pr\u00e9sence de renflements secondaires ou d’\u00e9tirements dissym\u00e9triques asym\u00e9triques signale une d\u00e9viation par rapport au mod\u00e8le th\u00e9orique classique.<\/p>\n

### 5.3 Graphiques de quantile-quantile (Q-Q plots)<\/p>\n

L’\u00e9valuation graphique de la normalit\u00e9 requiert une confrontation plus rigoureuse que le simple examen d’un histogramme, dont l’interpr\u00e9tation d\u00e9pend en partie du choix arbitraire de la largeur des classes (bins<\/em>). Le diagramme quantile-quantile normal, impl\u00e9ment\u00e9 sous Stata au moyen de la commande qnorm<\/strong>, confronte les quantiles empiriques observ\u00e9s aux quantiles th\u00e9oriques issus d’une loi normale de m\u00eame moyenne et de m\u00eame variance.<\/p>\n

L’ex\u00e9cution s’op\u00e8re de fa\u00e7on individualis\u00e9e au sein de chaque strate d’\u00e9chantillonnage, gr\u00e2ce \u00e0 la syntaxe conditionnelle suivante :
\nqnorm mpg if treated == 0, title(\u00ab\u00a0Q-Q Plot Normal – Carburant R\u00e9gulier\u00a0\u00bb)<\/strong>
\nqnorm mpg if treated == 1, title(\u00ab\u00a0Q-Q Plot Normal – Carburant Enrichi\u00a0\u00bb)<\/strong><\/p>\n

L’interpr\u00e9tation d’un diagramme qnorm<\/strong> repose sur la conformit\u00e9 de l’alignement des points empiriques le long de la bissectrice droite diagonale th\u00e9orique \u00e0 45 degr\u00e9s :
\nDans l’hypoth\u00e8se o\u00f9 les points convergent et s’agr\u00e8gent de mani\u00e8re rectiligne et continue sur la droite de r\u00e9f\u00e9rence, l’ad\u00e9quation distributionnelle \u00e0 la loi normale est empiriquement corrobor\u00e9e.
\nUne incurvation syst\u00e9matique adoptant la forme d’un arc de cercle convexe ou concave trahit une asym\u00e9trie distributionnelle prononc\u00e9e (positive ou n\u00e9gative).
\nUn infl\u00e9chissement en \u00ab S \u00bb ou en \u00ab Z \u00bb traduit une anomalie de l’aplatissement de la distribution : des points d\u00e9crochant vers le bas \u00e0 l’extr\u00e9mit\u00e9 gauche et vers le haut \u00e0 l’extr\u00e9mit\u00e9 droite indiquent des queues de distribution \u00e9paisses (heavy tails<\/em>, leptokurticit\u00e9), caract\u00e9ristiques d’une dispersion extr\u00eame plus fr\u00e9quente que sous l’hypoth\u00e8se d’une loi de Gauss pure.<\/p>\n

6. V\u00e9rification empirique des hypoth\u00e8ses de normalit\u00e9 et d’homosc\u00e9dasticit\u00e9<\/h2>\n

### 6.1 Tests formels de normalit\u00e9 dans Stata<\/p>\n

Si l’analyse graphique permet de rep\u00e9rer d’\u00e9ventuelles anomalies majeures, la confirmation statistique des conditions d’application requiert la mise en \u0153uvre de tests d’hypoth\u00e8ses formels. Au sein de l’environnement Stata, plusieurs proc\u00e9dures d’\u00e9valuation de la normalit\u00e9 sont disponibles :
\nLe test de Shapiro-Wilk<\/a>, impl\u00e9ment\u00e9 via la commande swilk<\/strong>, constitue l’\u00e9talon de r\u00e9f\u00e9rence pour les \u00e9chantillons de taille petite \u00e0 mod\u00e9r\u00e9e (N<\/em> ≤ 2 000). Il \u00e9value la r\u00e9gression lin\u00e9aire des quantiles d’\u00e9chantillon ordonn\u00e9s sur les esp\u00e9rances des statistiques d’ordre d’une loi normale. La commande conditionnelle s’\u00e9crit :
\nbysort treated: swilk mpg<\/strong><\/p>\n

Le test de Shapiro-Francia, accessible au moyen de l’instruction sfrancia<\/strong>, constitue une variante optimis\u00e9e de l’algorithme pr\u00e9c\u00e9dent, particuli\u00e8rement pertinente pour les \u00e9chantillons de dimension interm\u00e9diaire \u00e0 vaste.
\nLe test d’asym\u00e9trie et d’aplatissement de D’Agostino-Pearson, mobilisable sous Stata via la directive :
\nbysort treated: sktest mpg<\/strong>
\npr\u00e9sente l’int\u00e9r\u00eat m\u00e9thodologique de d\u00e9composer analytiquement la d\u00e9viation par rapport \u00e0 la normalit\u00e9 en estimant isol\u00e9ment un test de skewness<\/em> puis un test de kurtosis<\/em>, avant de les agr\u00e9ger dans une statistique omnibus conjointe distribu\u00e9e asymptotiquement selon une loi du chi-deux \u00e0 deux degr\u00e9s de libert\u00e9 (χ2<\/sup>(2)).<\/p>\n

L’interpr\u00e9tation de ces diff\u00e9rents tests repose sur la lecture de la probabilit\u00e9 critique (p-value<\/em>) associ\u00e9e \u00e0 l’hypoth\u00e8se nulle d’ad\u00e9quation \u00e0 une distribution normale. Une valeur p<\/em> sup\u00e9rieure au seuil usuel α = 0,05 conduit \u00e0 ne pas rejeter l’hypoth\u00e8se nulle, validant ainsi la plausibilit\u00e9 empirique du postulat de normalit\u00e9 pour le groupe consid\u00e9r\u00e9. \u00c0 l’inverse, une valeur p<\/em> < 0,05 indique une d\u00e9viation statistiquement significative par rapport \u00e0 la loi normale.<\/p>\n

### 6.2 \u00c9valuation formelle de l'\u00e9galit\u00e9 des variances<\/p>\n

La validation de l'hypoth\u00e8se d'homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 des variances populationnelles (σ1<\/sub>2<\/sup> = σ2<\/sub>2<\/sup>) requiert l’ex\u00e9cution de proc\u00e9dures de test robustes face \u00e0 d’\u00e9ventuelles d\u00e9viations mineures par rapport \u00e0 la loi normale. Dans Stata, la commande int\u00e9gr\u00e9e de r\u00e9f\u00e9rence pour l’\u00e9valuation de cette propri\u00e9t\u00e9 est robvar<\/strong> (robust tests for equality of variances<\/em>) :
\nrobvar mpg, by(treated)<\/strong><\/p>\n

L’ex\u00e9cution de cette commande fournit simultan\u00e9ment trois m\u00e9triques d’\u00e9valuation diff\u00e9rentes de l’homosc\u00e9dasticit\u00e9 :
\nLe test de Levene classique, articul\u00e9 autour de l’\u00e9cart absolu des observations individuelles par rapport \u00e0 la moyenne arithm\u00e9tique de leur groupe :
\nd<\/em>ij<\/em><\/sub> = | Y<\/em>ij<\/em><\/sub> – Y\u0304<\/em>i<\/em><\/sub> |. Ce test se r\u00e9v\u00e8le particuli\u00e8rement pertinent lorsque la normalit\u00e9 intra-groupe est rigoureusement av\u00e9r\u00e9e.
\nLe test de Brown-Forsythe, qui substitue la m\u00e9diane empirique du groupe \u00e0 la moyenne arithm\u00e9tique lors du calcul des \u00e9carts absolus :
\nd<\/em>ij<\/em><\/sub> = | Y<\/em>ij<\/em><\/sub> – M<\/em>i<\/em><\/sub> |. Ce test pr\u00e9sente une grande robustesse face aux distributions asym\u00e9triques ou enrichies en valeurs atypiques, et constitue la r\u00e9f\u00e9rence privil\u00e9gi\u00e9e pour de nombreux biostatisticiens.
\nLe test bas\u00e9 sur la moyenne tronqu\u00e9e (10% trimmed mean<\/em>), qui \u00e9limine un pourcentage fix\u00e9 d’observations extr\u00eames aux deux extr\u00e9mit\u00e9s de chaque groupe avant de calculer les d\u00e9viations absolues, assurant un compromis pertinent en pr\u00e9sence de queues de distribution mod\u00e9r\u00e9ment lourdes.<\/p>\n

Le tableau d’affichage de Stata restitue pour chacune de ces trois approches une statistique de Fisher-Snedecor W<\/em> associ\u00e9e \u00e0 ses degr\u00e9s de libert\u00e9 et \u00e0 sa valeur p<\/em> exacte (Pr > F<\/strong>). L’obtention d’une valeur p<\/em> > 0,05 conduit \u00e0 conserver l’hypoth\u00e8se nulle d’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 des variances, autorisant l’usage du test t<\/em> de Student classique. Une valeur p<\/em> ≤ 0,05 confirme la pr\u00e9sence d’une h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 statistiquement \u00e9tablie.<\/p>\n

### 6.3 Prise de d\u00e9cision m\u00e9thodologique<\/p>\n

Face aux r\u00e9sultats combin\u00e9s de ces diagnostics exploratoires, l’analyste se trouve \u00e0 la crois\u00e9e d’un arbre d\u00e9cisionnel m\u00e9thodologique pr\u00e9cis :
\nSi la normalit\u00e9 des distributions est raisonnablement confirm\u00e9e (ou que les effectifs par sous-\u00e9chantillon sont suffisants pour invoquer le th\u00e9or\u00e8me central limite, g\u00e9n\u00e9ralement n<\/em>1<\/sub>, n<\/em>2<\/sub> ≥ 30) et que l’homosc\u00e9dasticit\u00e9 est attest\u00e9e par le test de Levene\/Brown-Forsythe (p<\/em> ≥ 0,05), l’ex\u00e9cution du test t<\/em> de Student param\u00e9trique standard avec variance combin\u00e9e est pleinement licite.
\nSi la condition de normalit\u00e9 est respect\u00e9e mais que l’\u00e9galit\u00e9 des variances est invalid\u00e9e empiriquement (p<\/em> < 0,05 pour robvar<\/strong>), le recours au test t<\/em> de Welch-Satterthwaite avec correction pour variances in\u00e9gales s’impose formellement.
\nSi les distributions souffrent d’une asym\u00e9trie prononc\u00e9e ou d’une contamination par des valeurs aberrantes irr\u00e9ductibles, et que les effectifs s’av\u00e8rent de surcro\u00eet modestes (interdisant tout recours \u00e0 l’approximation du th\u00e9or\u00e8me central limite), l’analyste doit renoncer \u00e0 l’inf\u00e9rence param\u00e9trique sur les moyennes au profit du test non param\u00e9trique de Wilcoxon-Mann-Whitney (impl\u00e9ment\u00e9 sous Stata via la commande ranksum<\/strong>), ou se tourner vers des techniques computationnelles de r\u00e9\u00e9chantillonnage (bootstrap<\/em>).<\/p>\n

Il convient d’adopter une posture critique quant \u00e0 l’interpr\u00e9tation des tests de normalit\u00e9 formels. Au sein de larges bases de donn\u00e9es (N<\/em> > 500), des tests comme Shapiro-Wilk acqui\u00e8rent une puissance statistique tr\u00e8s \u00e9lev\u00e9e et tendent \u00e0 rejeter l’hypoth\u00e8se nulle pour des \u00e9carts minimes et sans cons\u00e9quence pratique sur le plan inf\u00e9rentiel. Inversement, sur de tr\u00e8s petits effectifs (n<\/em> < 15), ces m\u00eames tests souffrent d'un manque de puissance structurel et peuvent \u00e9chouer \u00e0 d\u00e9tecter une non-normalit\u00e9 substantielle. L'arbitrage final doit ainsi combiner l'\u00e9valuation des tests formels avec l'inspection visuelle d\u00e9taill\u00e9e des graphiques de distribution.<\/p>\n

7. Syntaxe fondamentale et ex\u00e9cution du test t \u00e0 deux \u00e9chantillons<\/h2>\n

### 7.1 Syntaxe de base de la commande ttest avec l’option by()<\/p>\n

L’ex\u00e9cution standard du test t<\/em> de Student ind\u00e9pendant sous Stata s’op\u00e8re au moyen de la commande native ttest<\/strong>, articul\u00e9e autour de sa clause de segmentation by()<\/strong>. La structure canonique de l’instruction s’\u00e9nonce selon le sch\u00e9ma formel suivant :
\nttest varname_continue<\/em>, by(varname_groupe<\/em>)<\/strong><\/p>\n

Pour que le parseur syntaxique de Stata valide l’ex\u00e9cution sans g\u00e9n\u00e9rer de message d’erreur, deux conditions d’int\u00e9grit\u00e9 doivent \u00eatre imp\u00e9rativement satisfaites :
\nLa variable positionn\u00e9e avant la virgule doit \u00eatre une variable quantitative de stockage num\u00e9rique continu.
\nLa variable encapsul\u00e9e au sein des parenth\u00e8ses de l’option by()<\/strong> doit obligatoirement pr\u00e9senter exactement deux niveaux ou valeurs distinctes au sein du sous-\u00e9chantillon consid\u00e9r\u00e9. Si la variable de groupement comporte un niveau unique ou plus de deux modalit\u00e9s, l’ex\u00e9cution s’interrompt imm\u00e9diatement avec un code d’erreur syst\u00e8me.<\/p>\n

\"Two-sample
Two-sample t-test example in Stata<\/figcaption><\/figure>\n

Dans le cadre empirique de notre jeu de donn\u00e9es exp\u00e9rimental fuel3<\/strong>, l’instruction op\u00e9rationnelle s’\u00e9crit donc :
\nttest mpg, by(treated)<\/strong><\/p>\n

L’ex\u00e9cution de cette commande mobilise en m\u00e9moire vive l’ensemble des observations compl\u00e8tes de la base, effectue l’agr\u00e9gation des sommes de carr\u00e9s, calibre les degr\u00e9s de libert\u00e9 th\u00e9oriques et renvoie instantan\u00e9ment dans la console de r\u00e9sultats de Stata une table d’inf\u00e9rence compl\u00e8te, comprenant les statistiques descriptives univari\u00e9es par groupe, l’estimation ponctuelle de la divergence des moyennes, ainsi que les trois tests d’hypoth\u00e8ses directionnels et non directionnels associ\u00e9s.<\/p>\n

### 7.2 Syntaxe alternative non appari\u00e9e (variables distinctes)<\/p>\n

Bien que l’agencement des bases de donn\u00e9es sous format \u00ab long \u00bb constitue le standard m\u00e9thodologique contemporain, certains protocoles exp\u00e9rimentaux ou fichiers historiques se pr\u00e9sentent sous la forme d’un tableau \u00e0 format \u00ab large \u00bb. Dans une telle configuration, les observations quantitatives des deux groupes d’exposition ne sont pas regroup\u00e9es au sein d’une colonne vectorielle unique avec indicatrice binaire, mais sont consign\u00e9es dans deux colonnes num\u00e9riques distinctes, par exemple mpg_regulier<\/strong> et mpg_enrichi<\/strong>.<\/p>\n

Dans cette situation sp\u00e9cifique, Stata permet d’ex\u00e9cuter le test \u00e0 deux \u00e9chantillons sans n\u00e9cessiter de restructuration pr\u00e9alable de la base (via la commande reshape<\/strong>), en recourant \u00e0 la formulation syntaxique alternative suivante :
\nttest mpg_regulier == mpg_enrichi, unpaired<\/strong><\/p>\n

L’op\u00e9rateur relationnel de comparaison logique de double \u00e9galit\u00e9 (==<\/strong>) est ici utilis\u00e9 pour juxtaposer les deux variables d’int\u00e9r\u00eat. L’option unpaired<\/strong> joue un r\u00f4le d\u00e9terminant : elle signale explicitement au compilateur statistique de Stata que, bien que les deux variables se trouvent align\u00e9es sur les m\u00eames lignes de la feuille de calcul, les mesures proviennent d’entit\u00e9s d’observation ind\u00e9pendantes et ne sauraient en aucun cas \u00eatre trait\u00e9es comme des mesures r\u00e9p\u00e9t\u00e9es appari\u00e9es sur un m\u00eame sujet. <\/p>\n

Sur le plan strictement math\u00e9matique et algorithmique, l’instruction ttest var1 == var2, unpaired<\/strong> applique les \u00e9quations de variance combin\u00e9e et de distribution t<\/em> identiques en tout point \u00e0 celles mobilis\u00e9es par la syntaxe ttest var, by(group)<\/strong>, garantissant une stricte \u00e9quivalence num\u00e9rique des r\u00e9sultats obtenus.<\/p>\n

### 7.3 Options de niveau de confiance et filtres logiques<\/p>\n

La flexibilit\u00e9 de la commande ttest<\/strong> permet d’ajuster le param\u00e9trage inf\u00e9rentiel aux objectifs de recherche sp\u00e9cifiques et d’appliquer des filtres de s\u00e9lection d’\u00e9chantillon.<\/p>\n

Par d\u00e9faut, Stata calibre les bornes de l’intervalle de confiance de la diff\u00e9rence des moyennes sur un niveau nominal bilat\u00e9ral de 95 % (α = 0,05). L’analyste peut modifier ce niveau de confiance au moyen de l’option standardis\u00e9e level(#)<\/strong>, o\u00f9 l’argument num\u00e9rique s’inscrit g\u00e9n\u00e9ralement entre 10 et 99,99. Par exemple, pour un cadre d’inf\u00e9rence plus conservateur \u00e0 99 % (α = 0,01), la commande s’articule comme suit :
\nttest mpg, by(treated) level(99)<\/strong>
\nCette formulation \u00e9largit la largeur de l’intervalle de confiance pour refl\u00e9ter une tol\u00e9rance r\u00e9duite au risque d’erreur de type I.<\/p>\n

Parall\u00e8lement, la commande int\u00e8gre des clauses logiques de conditionnement (if<\/strong>) et d’indexation s\u00e9quentielle (in<\/strong>) permettant d’isoler des sous-populations sans alt\u00e9rer l’int\u00e9grit\u00e9 de la base de donn\u00e9es globale :
\nL’utilisation d’une restriction conditionnelle permet de focaliser l’analyse sur un segment d\u00e9mographique ou technologique particulier, par exemple :
\nttest mpg if cylindree == 4, by(treated)<\/strong>
\nL’utilisation conjointe d’op\u00e9rateurs bool\u00e9ens permet d’exclure les cas aberrants ou les valeurs manquantes r\u00e9pertori\u00e9es, garantissant que l’inf\u00e9rence repose exclusivement sur le sous-ensemble analytique d’int\u00e9r\u00eat :
\nttest mpg if !missing(mpg) & treated != ., by(treated)<\/strong><\/p>\n

8. D\u00e9cryptage approfondi et interpr\u00e9tation des r\u00e9sultats de Stata<\/h2>\n

### 8.1 Analyse du tableau descriptif sup\u00e9rieur<\/p>\n

L’ex\u00e9cution de la commande ttest<\/strong> dans Stata g\u00e9n\u00e8re une sortie structur\u00e9e en deux blocs distincts. Le premier bloc, positionn\u00e9 dans la partie sup\u00e9rieure de l’affichage, prend la forme d’un tableau synth\u00e9tique exhaustif ventilant les param\u00e8tres statistiques fondamentaux pour chaque sous-groupe :<\/p>\n

\"Two
Two sample t-test in Stata interpretation<\/figcaption><\/figure>\n

La premi\u00e8re colonne mat\u00e9rialise les deux modalit\u00e9s de la variable d’exposition (d\u00e9sign\u00e9es par leurs libell\u00e9s textuels respectifs, par exemple Regular<\/em> et Treated<\/em>), compl\u00e9t\u00e9es par deux lignes de synth\u00e8se analytique : la ligne d\u00e9sign\u00e9e sous l’\u00e9tiquette combined<\/strong> et la ligne terminale identifi\u00e9e par diff<\/strong>.
\nLa colonne Obs<\/strong> d\u00e9nombre l’effectif effectif non manquant associ\u00e9 \u00e0 chaque strate (n<\/em>1<\/sub> et n<\/em>2<\/sub>), leur somme totale d\u00e9finissant la taille globale de l’\u00e9chantillon N<\/em>.
\nLa colonne Mean<\/strong> affiche la moyenne arithm\u00e9tique empirique ponctuelle estim\u00e9e pour chaque cohorte (X\u0304<\/em>1<\/sub> et X\u0304<\/em>2<\/sub>). La ligne diff<\/strong> indique l’estimation ponctuelle de la diff\u00e9rence brute des moyennes :
\nD\u0304<\/em> = X\u0304<\/em>1<\/sub> – X\u0304<\/em>2<\/sub>.
\nLa colonne Std. Err.<\/strong> restitue l’erreur type de l’estimation de la moyenne pour chaque groupe :
\nSE<\/em>(X\u0304<\/em>i<\/em><\/sub>) = s<\/em>i<\/em><\/sub> \/ √(n<\/em>i<\/em><\/sub>).
\nSur la ligne diff<\/strong>, cette cellule consigne l’erreur type combin\u00e9e de la diff\u00e9rence :
\nSE<\/em>(X\u0304<\/em>1<\/sub> – X\u0304<\/em>2<\/sub>) = s<\/em>p<\/em><\/sub> × √((1\/n<\/em>1<\/sub>) + (1\/n<\/em>2<\/sub>)).
\nLa colonne Std. Dev.<\/strong> consigne l’\u00e9cart-type d’\u00e9chantillon corrig\u00e9 (s<\/em>1<\/sub> et s<\/em>2<\/sub>).
\nLes deux colonnes terminales, intitul\u00e9es [95% Conf. Interval]<\/strong>, d\u00e9limitent les bornes inf\u00e9rieure et sup\u00e9rieure de l’intervalle de confiance calcul\u00e9 au seuil s\u00e9lectionn\u00e9. La ligne diff<\/strong> renseigne l’intervalle de confiance de la diff\u00e9rence moyenne. Si cet intervalle de confiance n’englobe pas la valeur z\u00e9ro (par exemple s’il est strictement positif ou strictement n\u00e9gatif), l’analyste peut d\u00e9duire que la divergence des moyennes est statistiquement significative au seuil bilat\u00e9ral α de 5 %.<\/p>\n

### 8.2 \u00c9valuation de la statistique t et des degr\u00e9s de libert\u00e9<\/p>\n

Sous le tableau descriptif principal, Stata affiche les param\u00e8tres math\u00e9matiques qui fondent la d\u00e9cision statistique formelle :
\nLa formalisation de la diff\u00e9rence moyenne test\u00e9e :
\ndiff = mean(0) – mean(1)<\/strong>
\nsuivie de l’indication de la statistique de test standardis\u00e9e :
\nt = -3.7299<\/strong>
\nCette valeur empirique t<\/em> quantifie l’\u00e9loignement de la diff\u00e9rence observ\u00e9e par rapport \u00e0 l’esp\u00e9rance th\u00e9orique nulle, exprim\u00e9 en unit\u00e9s d’erreur type. Une valeur t<\/em> n\u00e9gative indique que la moyenne du second groupe d\u00e9passe arithm\u00e9tiquement celle du premier groupe.<\/p>\n

Directement en regard de cette statistique de test, Stata explicite le nombre de degr\u00e9s de libert\u00e9 associ\u00e9 au d\u00e9nominateur :
\ndegrees of freedom = 22<\/strong>
\nPour un test t<\/em> param\u00e9trique standard assumant l’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 des variances avec des groupes d’effectifs respectifs n<\/em>1<\/sub> = 12 et n<\/em>2<\/sub> = 12, ce nombre s’obtient par le calcul :
\ndf<\/em> = n<\/em>1<\/sub> + n<\/em>2<\/sub> – 2 = 12 + 12 – 2 = 22.<\/p>\n

L’analyste peut confronter mentalement ou par consultation de tables la valeur de la statistique |t<\/em>| observ\u00e9e \u00e0 la valeur critique th\u00e9orique issue de la loi de Gosset pour 22 degr\u00e9s de libert\u00e9 au seuil de signification α = 0,05 (laquelle s’\u00e9tablit \u00e0 2,074). \u00c9tant donn\u00e9 que la valeur empirique observ\u00e9e (|t<\/em>| = 3,73) exc\u00e8de tr\u00e8s largement la valeur critique seuil, la probabilit\u00e9 d’obtenir une telle divergence d’\u00e9chantillonnage sous l’hypoth\u00e8se nulle d’\u00e9galit\u00e9 des esp\u00e9rances est extr\u00eamement faible, ce qui conduit au rejet de H<\/em>0<\/sub>.<\/p>\n

### 8.3 Interpr\u00e9tation des trois valeurs p fournies par Stata<\/p>\n

Dans la section terminale inf\u00e9rieure de l’affichage, Stata d\u00e9taille simultan\u00e9ment les r\u00e9sultats des trois hypoth\u00e8ses alternatives envisageables, structur\u00e9s en trois colonnes distinctes :<\/p>\n

La colonne de gauche correspond au test unilat\u00e9ral inf\u00e9rieur :
\nHa: diff < 0<\/strong>
\nassoci\u00e9 \u00e0 la probabilit\u00e9 critique calcul\u00e9e :
\nPr(T < t) = 0.0006<\/strong>
\nCette valeur repr\u00e9sente l’int\u00e9grale de la fonction de densit\u00e9 de Student comprise entre -∞ et la valeur de la statistique observ\u00e9e t<\/em>. Elle permet de tester l’hypoth\u00e8se alternative selon laquelle la moyenne du groupe 1 est significativement inf\u00e9rieure \u00e0 celle du groupe 2.<\/p>\n

La colonne centrale mat\u00e9rialise le test bilat\u00e9ral non directionnel standard :
\nHa: diff != 0<\/strong>
\nassoci\u00e9 \u00e0 la probabilit\u00e9 critique bilat\u00e9rale :
\nPr(|T| > |t|) = 0.0012<\/strong>
\nCette grandeur statistique cl\u00e9 cumule les probabilit\u00e9s des deux queues de distribution situ\u00e9es au-del\u00e0 de |t<\/em>| = 3,7299 :
\nPr(T<\/em> < -3,7299) + Pr(T<\/em> > 3,7299).
\nDans l’immense majorit\u00e9 des publications acad\u00e9miques, c’est cette valeur p<\/em> bilat\u00e9rale qui constitue l’\u00e9l\u00e9ment d\u00e9cisionnel de r\u00e9f\u00e9rence. \u00c9tant donn\u00e9 que 0,0012 est largement inf\u00e9rieur au seuil conventionnel de 0,05, l’hypoth\u00e8se nulle d’\u00e9galit\u00e9 des esp\u00e9rances est rejet\u00e9e avec un degr\u00e9 de confiance \u00e9lev\u00e9.<\/p>\n

La colonne de droite correspond au test unilat\u00e9ral sup\u00e9rieur :
\nHa: diff > 0<\/strong>
\nassoci\u00e9 \u00e0 la probabilit\u00e9 critique calcul\u00e9e :
\nPr(T > t) = 0.9994<\/strong>
\nCette valeur mesure la probabilit\u00e9 d’observer par simple fluctuation d’\u00e9chantillonnage une statistique de test sup\u00e9rieure \u00e0 celle obtenue sous H<\/em>0<\/sub>. Sa valeur tr\u00e8s \u00e9lev\u00e9e illustre le fait que les donn\u00e9es empiriques ne soutiennent aucunement l’hypoth\u00e8se d’une sup\u00e9riorit\u00e9 de la moyenne du groupe 1 sur celle du groupe 2.<\/p>\n

9. Gestion de l’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 : Test de Welch et approximation de Satterthwaite<\/h2>\n

### 9.1 Fondements du probl\u00e8me de Behrens-Fisher<\/p>\n

L’inad\u00e9quation de l’erreur type combin\u00e9e du test de Student standard en pr\u00e9sence de variances h\u00e9t\u00e9rog\u00e8nes constitue une probl\u00e9matique statistique fondamentale, connue dans la litt\u00e9rature sous le nom de probl\u00e8me de Behrens-Fisher<\/a>. Lorsque σ1<\/sub>2<\/sup> ≠ σ2<\/sub>2<\/sup>, il n’existe pas d’estimateur analytique exact et universel de la distribution d’\u00e9chantillonnage de la statistique de test qui soit strictement ind\u00e9pendant des param\u00e8tres populationnels inconnus.<\/p>\n

La mutualisation des variances au sein de l’estimateur combin\u00e9 s<\/em>p<\/em><\/sub>2<\/sup> repose sur le postulat d’une dispersion commune. Si cette condition fait d\u00e9faut, l’estimateur de l’erreur type s<\/em>p<\/em><\/sub> × √((1\/n<\/em>1<\/sub>) + (1\/n<\/em>2<\/sub>)) devient biais\u00e9 pour repr\u00e9senter la dispersion r\u00e9elle de la variable al\u00e9atoire (X\u0304<\/em>1<\/sub> – X\u0304<\/em>2<\/sub>). L’erreur type non biais\u00e9e de la diff\u00e9rence des moyennes en situation d’h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 s’\u00e9crit formellement :
\nSE<\/em>non-pool<\/sub> = √[ (s<\/em>1<\/sub>2<\/sup> \/ n<\/em>1<\/sub>) + (s<\/em>2<\/sub>2<\/sup> \/ n<\/em>2<\/sub>) ]<\/p>\n

N\u00e9anmoins, le quotient :
\nt<\/em>* = (X\u0304<\/em>1<\/sub> – X\u0304<\/em>2<\/sub>) \/ √[ (s<\/em>1<\/sub>2<\/sup> \/ n<\/em>1<\/sub>) + (s<\/em>2<\/sub>2<\/sup> \/ n<\/em>2<\/sub>) ]
\nn’ob\u00e9it plus exactement \u00e0 une distribution t<\/em> de Student \u00e0 (n<\/em>1<\/sub> + n<\/em>2<\/sub> – 2) degr\u00e9s de libert\u00e9, car son d\u00e9nominateur n’est pas distribu\u00e9 comme la racine carr\u00e9e d’une variable du chi-deux divis\u00e9e par ses degr\u00e9s de libert\u00e9. Pour corriger cette distorsion et pr\u00e9server l’int\u00e9grit\u00e9 du taux d’erreur de premi\u00e8re esp\u00e8ce nominal, un ajustement des degr\u00e9s de libert\u00e9 s’av\u00e8re indispensable.<\/p>\n

### 9.2 Ex\u00e9cution de l’option unequal dans Stata<\/p>\n

Pour pallier ce probl\u00e8me sans quitter le cadre de l’inf\u00e9rence param\u00e9trique, Stata int\u00e8gre l’algorithme d’ajustement d\u00e9velopp\u00e9 par Franklin E. Satterthwaite (1946). L’instruction s’obtient en adjoignant l’option unequal<\/strong> \u00e0 la commande de base :
\nttest mpg, by(treated) unequal<\/strong><\/p>\n

L’impl\u00e9mentation de l’option unequal<\/strong> modifie l’architecture interne des calculs de Stata selon deux modalit\u00e9s :
\nLe calcul de l’erreur type de la diff\u00e9rence d\u00e9laisse l’estimateur combin\u00e9 s<\/em>p<\/em><\/sub>2<\/sup> au profit de l’addition directe des variances d’\u00e9chantillonnage individuelles :
\nSE<\/em>(diff) = √[ (s<\/em>1<\/sub>2<\/sup> \/ n<\/em>1<\/sub>) + (s<\/em>2<\/sub>2<\/sup> \/ n<\/em>2<\/sub>) ].
\nLes degr\u00e9s de libert\u00e9 associ\u00e9s \u00e0 la distribution de r\u00e9f\u00e9rence sont corrig\u00e9s selon la formule d’approximation de Satterthwaite :
\ndf<\/em>Satterthwaite<\/sub> = [ (s<\/em>1<\/sub>2<\/sup> \/ n<\/em>1<\/sub>) + (s<\/em>2<\/sub>2<\/sup> \/ n<\/em>2<\/sub>) ]2<\/sup> \/ [ ( (s<\/em>1<\/sub>2<\/sup> \/ n<\/em>1<\/sub>)2<\/sup> \/ (n<\/em>1<\/sub> – 1) ) + ( (s<\/em>2<\/sub>2<\/sup> \/ n<\/em>2<\/sub>)2<\/sup> \/ (n<\/em>2<\/sub> – 1) ) ]<\/p>\n

Dans la console de r\u00e9sultats de Stata, la ligne des degr\u00e9s de libert\u00e9 affiche d\u00e9sormais un nombre non entier (fractionnaire ou d\u00e9cimal, par exemple degrees of freedom = 17.3468<\/strong>). Cette r\u00e9duction des degr\u00e9s de libert\u00e9 \u00e9largit les queues de la distribution t<\/em> de r\u00e9f\u00e9rence et ajuste les valeurs critiques, garantissant ainsi un contr\u00f4le ad\u00e9quat du taux d’erreur de type I, m\u00eame en pr\u00e9sence d’un d\u00e9s\u00e9quilibre conjoint des effectifs et des variances.<\/p>\n

### 9.3 Utilisation de l’option de Welch directe<\/p>\n

Stata propose une variante syntaxique suppl\u00e9mentaire via l’option d\u00e9di\u00e9e welch<\/strong> :
\nttest mpg, by(treated) welch<\/strong><\/p>\n

Bien que les d\u00e9nominations de test de Welch et d’approximation de Satterthwaite soient fr\u00e9quemment employ\u00e9es de mani\u00e8re interchangeable dans la litt\u00e9rature appliqu\u00e9e, la solution de B. L. Welch (1947) proc\u00e8de d’une approche asymptotique plus g\u00e9n\u00e9rale. Elle int\u00e8gre des termes d’ordre sup\u00e9rieur dans le d\u00e9veloppement en s\u00e9rie de la distribution de la statistique de test.<\/p>\n

Dans l’environnement de calcul de Stata, l’option welch<\/strong> mobilise formellement l’approximation des degr\u00e9s de libert\u00e9 de Welch, qui conduit \u00e0 des r\u00e9sultats tr\u00e8s proches de l’option unequal<\/strong>. Les \u00e9carts num\u00e9riques entre ces deux variantes algorithmiques sont le plus souvent minimes et ne modifient que rarement la valeur des degr\u00e9s de libert\u00e9 au-del\u00e0 de la deuxi\u00e8me ou troisi\u00e8me d\u00e9cimale.<\/p>\n

De nombreux m\u00e9thodologistes et statisticiens contemporains pr\u00e9conisent d’utiliser syst\u00e9matiquement le test de Welch par d\u00e9faut pour la comparaison de deux moyennes ind\u00e9pendantes. Cette recommandation repose sur des \u00e9tudes de simulation approfondies (notamment Delacre, Lakens et Leys, 2017) d\u00e9montrant que le test de Welch offre un contr\u00f4le optimal du risque d’erreur de premi\u00e8re esp\u00e8ce en pr\u00e9sence de variances h\u00e9t\u00e9rog\u00e8nes, tout en conservant une puissance statistique quasiment identique \u00e0 celle du test de Student classique lorsque les variances sont en r\u00e9alit\u00e9 homog\u00e8nes.<\/p>\n

10. Mesure de la taille de l’effet et puissance a posteriori<\/h2>\n

### 10.1 Calcul du d de Cohen et du g de Hedges sous Stata<\/p>\n

La valeur p<\/em> issue d’un test d’hypoth\u00e8se renseigne sur la significativit\u00e9 statistique d’une diff\u00e9rence observ\u00e9e, mais ne fournit aucune indication sur l’ampleur empirique de cette divergence. Dans le cadre d’\u00e9chantillons de tr\u00e8s grande taille, une diff\u00e9rence mineure et d\u00e9nu\u00e9e d’int\u00e9r\u00eat pratique peut afficher une valeur p<\/em> hautement significative (p<\/em> < 0,001). Inversement, un effet substantiel mesur\u00e9 sur un \u00e9chantillon r\u00e9duit peut ne pas atteindre le seuil de significativit\u00e9 conventionnel.<\/p>\n

L'estimation d'une mesure standardis\u00e9e de la taille de l'effet (effect size<\/em>) permet de quantifier la magnitude de la diff\u00e9rence ind\u00e9pendamment des unit\u00e9s de mesure de la variable d\u00e9pendante. La m\u00e9trique la plus r\u00e9pandue est le d<\/em> de Cohen (1988), d\u00e9fini comme le rapport entre la diff\u00e9rence brute des moyennes et l’\u00e9cart-type combin\u00e9 :
\nd<\/em> = (X\u0304<\/em>1<\/sub> – X\u0304<\/em>2<\/sub>) \/ s<\/em>p<\/em><\/sub><\/p>\n

Toutefois, sur de petits \u00e9chantillons (N<\/em> < 30), le d<\/em> de Cohen tend \u00e0 surestimer la taille de l’effet au niveau populationnel. Larry Hedges (1981) a d\u00e9velopp\u00e9 une correction de biais analytique produisant une m\u00e9trique non biais\u00e9e, le g<\/em> de Hedges :
\ng<\/em> ≈ d<\/em> × [ 1 – ( 3 \/ (4(n<\/em>1<\/sub> + n<\/em>2<\/sub>) – 9) ) ]<\/p>\n

Sous Stata, le calcul de ces indicateurs s’effectue au moyen de la commande d\u00e9di\u00e9e :
\nesize twosample mpg, by(treated)<\/strong><\/p>\n

L’ex\u00e9cution de cette commande renvoie les estimations ponctuelles du d<\/em> de Cohen et du g<\/em> de Hedges, accompagn\u00e9es de leurs intervalles de confiance respectifs calcul\u00e9s par transformation non centrale de la distribution t<\/em>.<\/p>\n

### 10.2 Interpr\u00e9tation substantive de la magnitude de l’effet<\/p>\n

L’interpr\u00e9tation de la taille de l’effet repose historiquement sur les rep\u00e8res empiriques conventionnels propos\u00e9s par Jacob Cohen :
\n|d<\/em>| ≈ 0,20 identifie un effet de faible magnitude (small effect size<\/em>), traduisant un recouvrement important des distributions des deux groupes.
\n|d<\/em>| ≈ 0,50 caract\u00e9rise un effet de magnitude moyenne (medium effect size<\/em>), perceptible \u00e0 l’\u0153il nu lors d’un examen graphique rigoureux.
\n|d<\/em>| ≈ 0,80 correspond \u00e0 un effet de forte magnitude (large effect size<\/em>), signalant une divergence substantielle des deux distributions.<\/p>\n

Ces conventions d’interpr\u00e9tation doivent toutefois \u00eatre replac\u00e9es dans le contexte disciplinaire et m\u00e9thodologique de l’\u00e9tude. En \u00e9pid\u00e9miologie ou en sant\u00e9 publique, par exemple, un effet d’apparence modeste (|d<\/em>| = 0,15) peut repr\u00e9senter un enjeu sanitaire majeur s’il s’applique \u00e0 une \u00e9chelle populationnelle \u00e9tendue. Inversement, dans un protocole de laboratoire en ing\u00e9nierie o\u00f9 les facteurs de confusion sont \u00e9troitement contr\u00f4l\u00e9s, un effet de magnitude sup\u00e9rieure (|d<\/em>| > 1,00) peut \u00eatre attendu pour valider une innovation technologique.<\/p>\n

L’analyse ne saurait se limiter \u00e0 l’examen de l’estimation ponctuelle de la taille de l’effet. L’inspection de l’intervalle de confiance \u00e0 95 % associ\u00e9 \u00e0 cette m\u00e9trique fournit une information essentielle quant \u00e0 la pr\u00e9cision de l’estimation : un intervalle particuli\u00e8rement large refl\u00e8te une impr\u00e9cision li\u00e9e \u00e0 des effectifs d’\u00e9chantillonnage limit\u00e9s, appelant \u00e0 la prudence dans la g\u00e9n\u00e9ralisation des conclusions.<\/p>\n

### 10.3 Analyse de puissance statistique r\u00e9trospective et prospective<\/p>\n

La gestion rigoureuse de la puissance statistique \u2014 c’est-\u00e0-dire la probabilit\u00e9 (1 – β) de rejeter l’hypoth\u00e8se nulle lorsque celle-ci est effectivement fausse \u2014 s’op\u00e8re dans Stata via la commande native power<\/strong>.<\/p>\n

Il convient de distinguer l’analyse de puissance prospective de l’analyse r\u00e9trospective :
\nL’analyse de puissance dite r\u00e9trospective ou observ\u00e9e (post-hoc power<\/em>), qui consiste \u00e0 estimer la puissance a posteriori sur la base de la valeur p<\/em> et de l’effet observ\u00e9s sur l’\u00e9chantillon, est aujourd’hui d\u00e9conseill\u00e9e par les m\u00e9thodologistes (Hoenig & Heisey, 2001). En effet, cette d\u00e9marche constitue une simple reformulation de la valeur p<\/em> obtenue et n’apporte aucun \u00e9clairage empirique additionnel quant \u00e0 la fiabilit\u00e9 de l’\u00e9tude.
\nEn revanche, l’analyse de puissance prospective (ou planifi\u00e9e) est indispensable lors de la phase de conception d’un protocole exp\u00e9rimental. Elle permet de calibrer les effectifs n\u00e9cessaires pour d\u00e9tecter une taille d’effet minimale d’int\u00e9r\u00eat substantiel sous un niveau de risque α donn\u00e9.<\/p>\n

Sous Stata, le calibrage d’un \u00e9chantillonnage prospectif s’ex\u00e9cute au moyen de la syntaxe :
\npower twomeans m1<\/em> m2<\/em>, sd(#<\/em>) alpha(0.05) power(0.80)<\/strong>
\no\u00f9 m<\/em>1<\/sub> et m<\/em>2<\/sub> d\u00e9signent les moyennes cibles anticip\u00e9es, et sd<\/em> l’\u00e9cart-type attendu au sein des populations. Stata calcule alors le dimensionnement d’\u00e9chantillon minimal requis au sein de chaque groupe pour atteindre la puissance statistique d\u00e9sir\u00e9e (conventionnellement 80 % ou 90 %).<\/p>\n

11. R\u00e9daction et communication acad\u00e9mique des r\u00e9sultats selon les normes APA<\/h2>\n

### 11.1 Structure standard de rapportage statistique<\/p>\n

La communication scientifique des r\u00e9sultats d’un test t<\/em> de Student doit satisfaire aux standards internationaux de publication formalis\u00e9s par l’American Psychological Association<\/em> (normes APA<\/a>, 7e \u00e9dition). Une description m\u00e9thodologique rigoureuse doit int\u00e9grer les \u00e9l\u00e9ments suivants :
\nL’\u00e9nonc\u00e9 clair des statistiques descriptives \u00e9l\u00e9mentaires associ\u00e9es \u00e0 chaque groupe : la moyenne arithm\u00e9tique (symbolis\u00e9e par la lettre M<\/em> en italique) et l’\u00e9cart-type (symbolis\u00e9 par SD<\/em> en italique), syst\u00e9matiquement accompagn\u00e9s de leurs unit\u00e9s de mesure.
\nLa d\u00e9signation explicite du type de test mobilis\u00e9 (par exemple : test t<\/em> de Student standard avec variance combin\u00e9e, ou test t<\/em> de Welch avec correction de Satterthwaite en cas de variances in\u00e9gales).
\nL’indication de la statistique de test avec la lettre t<\/em> en italique, index\u00e9e par son nombre de degr\u00e9s de libert\u00e9 consign\u00e9 entre parenth\u00e8ses, suivie de la valeur num\u00e9rique arrondie au centi\u00e8me.
\nLa valeur p<\/em> exacte arrondie au milli\u00e8me (ex. : p<\/em> = 0,028), en \u00e9vitant les formulations impr\u00e9cises telles que p<\/em> < 0,05, hormis lorsque la probabilit\u00e9 calcul\u00e9e par le logiciel s'affiche sous la forme 0.000, auquel cas la notation normalis\u00e9e devient p<\/em> < ,001.
\nL'estimation standardis\u00e9e de la magnitude de l'effet (le d<\/em> de Cohen ou le g<\/em> de Hedges en italique) assortie de son intervalle de confiance \u00e0 95 % (IC<\/em> \u00e0 95 %).<\/p>\n

### 11.2 Exemples concrets de paragraphes de r\u00e9sultats<\/p>\n

Pour illustrer ces exigences de communication, voici trois canevas de r\u00e9daction repr\u00e9sentatifs des configurations empiriques courantes :<\/p>\n

Cas n\u00b0 1 : Test t classique statistiquement significatif (variances homog\u00e8nes)<\/strong>
\n\u00ab Un test t<\/em> de Student pour \u00e9chantillons ind\u00e9pendants a \u00e9t\u00e9 conduit afin de d\u00e9terminer l’impact de l’enrichissement du carburant sur l’efficacit\u00e9 \u00e9nerg\u00e9tique des v\u00e9hicules. La condition d’homosc\u00e9dasticit\u00e9 a \u00e9t\u00e9 pr\u00e9alablement valid\u00e9e par le test de Brown-Forsythe, W<\/em> = 0,42, p<\/em> = ,524. Les analyses mettent en \u00e9vidence une diff\u00e9rence statistiquement significative en faveur du carburant enrichi, t<\/em>(22) = -3,73, p<\/em> = ,001, d<\/em> = 1,52, IC<\/em> \u00e0 95 % [0,58, 2,43]. La consommation moyenne des v\u00e9hicules approvisionn\u00e9s en carburant r\u00e9gulier (M<\/em> = 20,42 mpg, SD<\/em> = 1,44) s’av\u00e8re significativement inf\u00e9rieure \u00e0 celle observ\u00e9e au sein de la flotte exploitant le carburant enrichi (M<\/em> = 22,75 mpg, SD<\/em> = 1,60). Cette divergence traduit une am\u00e9lioration substantielle de l’autonomie kilom\u00e9trique attribuable \u00e0 l’additif. \u00bb<\/p>\n

Cas n\u00b0 2 : Test t de Welch significatif (variances h\u00e9t\u00e9rog\u00e8nes)<\/strong>
\n\u00ab L’\u00e9valuation comparative des scores de performance cognitive r\u00e9v\u00e8le une h\u00e9t\u00e9rosc\u00e9dasticit\u00e9 notable entre les deux sous-cohortes exp\u00e9rimentales (test de Levene, F<\/em>(1, 48) = 8,94, p<\/em> = ,004). Par cons\u00e9quent, le test t<\/em> de Welch avec approximation de Satterthwaite pour les degr\u00e9s de libert\u00e9 a \u00e9t\u00e9 appliqu\u00e9. Les r\u00e9sultats attestent d’un \u00e9cart statistiquement significatif entre les conditions, t<\/em>(31,45) = 2,48, p<\/em> = ,019, g<\/em> de Hedges = 0,71, IC<\/em> \u00e0 95 % [0,12, 1,28]. Le groupe ayant b\u00e9n\u00e9fici\u00e9 du programme d’entra\u00eenement intensif pr\u00e9sente des performances cognitives moyennes sup\u00e9rieures (M<\/em> = 78,34, SD<\/em> = 12,65) \u00e0 celles relev\u00e9es dans le groupe t\u00e9moin (M<\/em> = 69,12, SD<\/em> = 6,18). \u00bb<\/p>\n

Cas n\u00b0 3 : R\u00e9sultat non significatif<\/strong>
\n\u00ab L’analyse comparative des niveaux de stress physiologique mesur\u00e9s par le taux de cortisol salivaire ne r\u00e9v\u00e8le aucune divergence statistiquement significative entre le groupe soumis au bruit r\u00e9siduel et le groupe expos\u00e9 au silence absolu, t<\/em>(58) = 0,86, p<\/em> = ,393, d<\/em> = 0,22, IC<\/em> \u00e0 95 % [-0,29, 0,73]. Le niveau moyen de cortisol relev\u00e9 chez les sujets en condition sonore (M<\/em> = 14,21 nmol\/L, SD<\/em> = 3,45) ne se distingue pas de mani\u00e8re statistiquement \u00e9tablie de celui mesur\u00e9 chez les sujets en condition de silence (M<\/em> = 13,48 nmol\/L, SD<\/em> = 3,12). Les donn\u00e9es empiriques actuelles ne permettent pas de rejeter l’hypoth\u00e8se nulle d’\u00e9quivalence des conditions. \u00bb<\/p>\n

### 11.3 Exportation des tableaux vers des logiciels de traitement de texte<\/p>\n

Pour faciliter l’int\u00e9gration des r\u00e9sultats au sein d’articles scientifiques ou de rapports de recherche, Stata dispose d’outils d’automatisation de l’exportation des tableaux vers des formats standards (.docx, .pdf ou LaTeX).<\/p>\n

Le recours \u00e0 des paquets communautaires accessibles via le d\u00e9p\u00f4t SSC (Statistical Software Components<\/em>) constitue une approche tr\u00e8s r\u00e9pandue :
\nL’utilitaire asdoc<\/strong> permet d’exporter directement les r\u00e9sultats d’une commande Stata dans un document Microsoft Word format\u00e9 :
\nssc install asdoc<\/strong>
\nasdoc ttest mpg, by(treated), replace<\/strong>
\nLe paquet outreg2<\/strong> permet de consolider et de mettre en forme plusieurs tableaux comparatifs successifs au format texte enrichi ou tableur.<\/p>\n

De mani\u00e8re native, Stata propose les utilitaires putdocx<\/strong> et putpdf<\/strong>, int\u00e9gr\u00e9s au c\u0153ur de son moteur d’ex\u00e9cution. Ces commandes permettent de construire des scripts de publication reproductibles assemblant paragraphes textuels, graphiques vectoriels et tableaux de r\u00e9sultats :
\nputdocx begin<\/strong>
\nputdocx paragraph, style(\u00ab\u00a0Heading1\u00a0\u00bb)<\/strong>
\nputdocx text (\u00ab\u00a0R\u00e9sultats de l’analyse comparative\u00a0\u00bb)<\/strong>
\nputdocx table matable = etable<\/strong>
\nputdocx save \u00ab\u00a0Rapport_Inference.docx\u00a0\u00bb, replace<\/strong>
\nCette approche garantit une tra\u00e7abilit\u00e9 totale entre le traitement des donn\u00e9es et la restitution documentaire finale.<\/p>\n

12. Diagnostic des anomalies, erreurs courantes et solutions alternatives<\/h2>\n

### 12.1 R\u00e9solution des messages d’erreur fr\u00e9quents dans Stata<\/p>\n

Lors de la mise en \u0153uvre de la commande ttest<\/strong>, l’analyste peut se heurter \u00e0 certains messages d’erreur courants renvoy\u00e9s par le parseur de Stata :<\/p>\n

Le message d’erreur le plus r\u00e9current s’intitule :
\nmore than 2 groups found, only 2 allowed (r(450))<\/strong>
\nCette exception signale que la variable sp\u00e9cifi\u00e9e dans l’option by()<\/strong> comporte au moins trois modalit\u00e9s distinctes au sein du domaine de donn\u00e9es actif. La r\u00e9solution n\u00e9cessite de restreindre l’\u00e9chantillon d’analyse \u00e0 deux groupes \u00e0 l’aide d’une clause conditionnelle :
\nttest mpg if treated == 0 | treated == 1, by(treated)<\/strong>
\nou d’op\u00e9rer un recodage pr\u00e9alable via la commande recode<\/strong> pour agr\u00e9ger les cat\u00e9gories surnum\u00e9raires.<\/p>\n

Une autre erreur fr\u00e9quente se manifeste sous la forme :
\nvariable not found (r(111))<\/strong> ou type mismatch (r(109))<\/strong>
\nCes erreurs traduisent soit une coquille typographique dans l’orthographe du nom de la variable, soit une incompatibilit\u00e9 de format de stockage (par exemple lorsqu’une variable num\u00e9rique a \u00e9t\u00e9 import\u00e9e sous format cha\u00eene de caract\u00e8res). La commande destring varname<\/em>, replace<\/strong> ou l’utilisation de encode<\/strong> permet d’assurer la conversion vers un format num\u00e9rique adapt\u00e9.<\/p>\n

Enfin, une s\u00e9lection conditionnelle erron\u00e9e via un filtre if<\/strong> peut aboutir \u00e0 l’exclusion de la totalit\u00e9 des observations, provoquant le message :
\nno observations (r(2000))<\/strong>
\nCe diagnostic invite \u00e0 v\u00e9rifier attentivement les conditions de filtrage et la pr\u00e9sence \u00e9ventuelle de valeurs manquantes sur les variables d’int\u00e9r\u00eat.<\/p>\n

### 12.2 Alternative non param\u00e9trique : le test de Wilcoxon-Mann-Whitney<\/p>\n

Ce test ne compare pas directement les moyennes arithm\u00e9tiques des populations, mais \u00e9value si la distribution stochastique d’un groupe domine celle de l’autre, \u00e0 partir du calcul des sommes de rangs attribu\u00e9s \u00e0 l’ensemble des observations pr\u00e9alablement ordonn\u00e9es. Sous Stata, l’instruction s’ex\u00e9cute via la commande standard :
\nranksum mpg, by(treated)<\/strong><\/p>\n

La console de r\u00e9sultats renvoie la somme observ\u00e9e des rangs pour chaque modalit\u00e9, son esp\u00e9rance math\u00e9matique th\u00e9orique sous l’hypoth\u00e8se nulle d’\u00e9quivalence stochastique, ainsi que la variance associ\u00e9e. Stata restitue une statistique de test standardis\u00e9e z<\/em> distribu\u00e9e asymptotiquement selon une loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite N<\/em>(0, 1), assortie de sa probabilit\u00e9 critique bilat\u00e9rale (Pr > |z|<\/strong>). Si cette valeur p<\/em> est inf\u00e9rieure au seuil de 0,05, l’analyste conclut \u00e0 l’existence d’une divergence statistiquement significative entre les rangs des deux distributions.<\/p>\n

### 12.3 Techniques de r\u00e9\u00e9chantillonnage et mod\u00e8les lin\u00e9aires \u00e9quivalents<\/p>\n

Pour s’affranchir des hypoth\u00e8ses distributionnelles strictes tout en conservant comme param\u00e8tre d’int\u00e9r\u00eat direct la moyenne arithm\u00e9tique, le chercheur peut recourir aux m\u00e9thodes de r\u00e9\u00e9chantillonnage computationnel par bootstrap<\/a>. Le bootstrapping consiste \u00e0 r\u00e9\u00e9chantillonner avec remise les observations empiriques un grand nombre de fois (par exemple 1 000 ou 5 000 r\u00e9plications) afin de reconstruire de mani\u00e8re empirique la distribution d’\u00e9chantillonnage de la diff\u00e9rence des moyennes, sans postuler de forme fonctionnelle a priori.<\/p>\n

Sous Stata, l’estimation d’un test t<\/em> avec erreurs types bootstrapp\u00e9es s’articule ais\u00e9ment via le pr\u00e9fixe bootstrap<\/strong> combin\u00e9 \u00e0 la commande de r\u00e9gression lin\u00e9aire simple :
\nbootstrap diff=( _b[treated] ), reps(2000) seed(12345): regress mpg treated<\/strong><\/p>\n

Cette formulation met en lumi\u00e8re une \u00e9quivalence formelle fondamentale de la statistique lin\u00e9aire : le test t<\/em> de Student standard pour deux \u00e9chantillons ind\u00e9pendants correspond exactement au mod\u00e8le de r\u00e9gression lin\u00e9aire par les moindres carr\u00e9s ordinaires (MCO) :
\nY<\/em>i<\/em><\/sub> = β0<\/sub> + β1<\/sub> Treated<\/em>i<\/em><\/sub> + εi<\/em><\/sub>
\nDans cette sp\u00e9cification univari\u00e9e, la constante β0<\/sub> capture l’esp\u00e9rance math\u00e9matique du groupe de r\u00e9f\u00e9rence (treated<\/em> = 0), tandis que le coefficient de r\u00e9gression β1<\/sub> correspond rigoureusement \u00e0 la diff\u00e9rence des moyennes (μ1<\/sub> – μ0<\/sub>). La statistique t<\/em> associ\u00e9e \u00e0 β1<\/sub> par la commande regress mpg treated<\/strong> est strictement identique \u00e0 la statistique t<\/em> fournie par ttest mpg, by(treated)<\/strong>.<\/p>\n

Cette \u00e9quivalence conceptuelle offre une perspective m\u00e9thodologique pr\u00e9cieuse : l’approche lin\u00e9aire permet d’\u00e9tendre naturellement le cadre bivari\u00e9 du test t<\/em> vers des mod\u00e8les multivari\u00e9s ou des analyses de covariance (ANCOVA), rendant possible le contr\u00f4le statistique d’\u00e9ventuelles covariables et facteurs de confusion susceptibles d’alt\u00e9rer l’estimation de l’effet d’int\u00e9r\u00eat.<\/p>\n

R\u00e9f\u00e9rences<\/h2>\n

Lorsque les distributions de donn\u00e9es d\u00e9rogent fortement \u00e0 l’hypoth\u00e8se de normalit\u00e9 (forte asym\u00e9trie, bimodalit\u00e9, pr\u00e9sence d’observations extr\u00eames irr\u00e9ductibles) et que la taille des \u00e9chantillons est trop restreinte pour s’appuyer sur le th\u00e9or\u00e8me central limite, l’utilisation du test param\u00e9trique sur les moyennes doit \u00eatre reconsid\u00e9r\u00e9e au profit du test non param\u00e9trique de Wilcoxon-Mann-Whitney<\/a>.<\/p>\n