En psychométrie et en analyse de données quantitatives en sciences comportementales, la validité des conclusions inférentielles repose sur le strict respect des postulats sous-jacents aux modèles statistiques. La transformation de Box-Tidwell constitue une démarche méthodologique rigoureuse permettant d’évaluer et de modéliser empiriquement la non-linéarité des variables prédictives continues au sein des modèles de régression linéaire et logistique. Découverte fondamentale de l’analyse multivariée, cette approche préserve la structure explicative des construits psychologiques tout en offrant une flexibilité mathématique indispensable face aux dynamiques non linéaires des conduites humaines.
Transformation de Box-Tidwell
1. Définition concise
La transformation de Box-Tidwell est une procédure d’estimation statistique paramétrique et itérative permettant d’identifier la puissance optimale à appliquer à une ou plusieurs variables indépendantes continues afin de linéariser leur relation avec une variable dépendante continue ou avec le logarithme du rapport de cotes (logit) dans un modèle logistique. Conçue pour étendre la portée du modèle linéaire généralisé sans recourir d’emblée à des formulations non paramétriques complexes, elle estime directement un paramètre de transformation exponentiel pour chaque régresseur quantitatif.
Dans le domaine de la recherche en psychologie et en neurosciences cognitives, cette technique est fréquemment employée comme procédure diagnostique et corrective. Elle permet aux chercheurs de vérifier l’hypothèse cruciale de linéarité entre les variables prédictives (telles que le niveau d’anxiété, le temps de réaction ou l’âge chronologique) et la variable critère, assurant ainsi la justesse des inférences causales et la précision des prédictions comportementales.
2. Étymologie et origine linguistique
L’expression « transformation de Box-Tidwell » dérive directement des patronymes de ses concepteurs, les statisticiens George E. P. Box et Paul W. Tidwell, qui en ont formulé la théorie et les algorithmes opérationnels dans leur article princeps publié en 1962 dans la revue Technometrics sous le titre « Transformation of the Independent Variables ». Le mot « transformation » provient du latin classique transformatio, lui-même issu du verbe transformare (composé du préfixe trans- signifiant « au-delà, à travers » et du radical formare, « donner une forme »).
Sur le plan épistémologique et linguistique, l’incorporation de ce terme dans le lexique de la psychologie quantitative s’est opérée au cours des décennies 1970 et 1980, période caractérisée par l’informatisation des calculs statistiques et l’essor des manuels d’analyse multivariée pour les sciences du comportement. Le syntagme désigne spécifiquement la transformation appliquée aux prédicteurs, ce qui la distingue formellement de la transformation de Box-Cox, élaborée conjointement par George Box et David Cox en 1964, laquelle cible prioritairement la variable dépendante ou variable réponse.
3. Prononciation et forme grammaticale
Sur le plan grammatical, « transformation de Box-Tidwell » est un syntagme nominal féminin singulier. Son pluriel s’écrit « transformations de Box-Tidwell ». Sur le plan phonétique, le terme s’énonce en français sous la transcription approximative /tʁɑ̃s.fɔʁ.ma.sjɔ̃ də bɔks tid.wɛl/. Dans le discours académique francophone, les noms propres conservent leur accentuation tonique d’origine anglo-saxonne tout en s’intégrant dans la prosodie générale du français scientifique.
Dans la littérature méthodologique spécialisée, le terme est employé indifféremment pour qualifier l’opération mathématique générale (« procéder à la transformation de Box-Tidwell »), le test d’hypothèse diagnostique (« appliquer le test de Box-Tidwell ») ou le paramètre exponentiel estimé (« la puissance de Box-Tidwell associée au prédicteur »). Les variantes lexicales telles que « test de linéarité de Box-Tidwell » sont courantes dans les contextes de modélisation par régression logistique binaire appliquée à la psychologie clinique ou à la santé mentale.
4. Explication conceptuelle détaillée
La modélisation par régression, pilier de l’expérimentation et de l’épidémiologie en psychologie, repose sur le postulat fondamental que l’effet marginal d’une unité additionnelle sur une variable prédictive continue reste constant sur l’ensemble de son étendue d’échelle, ou qu’il varie selon une forme fonctionnelle rigoureusement spécifiée. Cependant, les processus psychologiques se caractérisent fréquemment par des phénomènes de saturation, d’accélération exponentielle, d’effets plancher ou plafond, ou encore de rendements décroissants. Lorsque l’hypothèse de linéarité est violée, les coefficients estimés deviennent biaisés, la variance résiduelle augmente artificiellement et les erreurs de type I ou II compromettent la validité scientifique des conclusions.
La méthode de Box-Tidwell répond à cette difficulté en introduisant une famille de transformations de puissances pour chaque variable prédictive strictement positive $X$. Plutôt que de contraindre la relation à une forme linéaire stricte où le prédicteur intervient sous la forme $X$, le modèle suppose que la relation véritable s’exprime sous la forme $X^lpha$, où $lpha$ est un exposant réel inconnu à déterminer de manière empirique à partir des données observées. Si $lpha = 1$, la relation est intrinsèquement linéaire. Si $lpha = 0,5$, la relation suit une fonction racine carrée ; si $lpha = -1$, elle est inverse ; et lorsque $lpha$ tend vers 0, la forme fonctionnelle converge vers une transformation logarithmique naturelle.
Le génie conceptuel de Box et Tidwell repose sur l’approximation de Taylor du premier ordre appliquée autour d’une valeur initiale présumée du paramètre, généralement fixée à $lpha_0 = 1$. En développant la série, le terme non linéaire s’exprime comme une combinaison linéaire du terme original et d’un terme d’interaction particulier construit par le produit de la variable et de son propre logarithme naturel, soit $X ln(X)$. En incorporant ce terme interactif dans l’équation de régression auxiliaire, le coefficient associé à cette nouvelle variable permet de tester directement si la déviation par rapport à la linéarité est statistiquement significative et de calculer par ajustement itératif la valeur optimale de l’exposant $lpha$.
Cette approche offre un cadre analytique élégant : au lieu de deviner subjectivement quelle transformation appliquer (racine, inverse, logarithme ou polynôme) à un score psychologique, le statisticien dispose d’un critère d’optimisation probabiliste convergeant vers la forme fonctionnelle la plus congruente avec la distribution réelle des données empiriques.
5. Développement historique
L’histoire de la transformation de Box-Tidwell s’inscrit dans la révolution statistique industrielle et expérimentale menée par l’école britannique et américaine au milieu du vingtième siècle. George E. P. Box, figure majeure formée à la tradition de Ronald A. Fisher, s’intéressait aux problèmes pratiques posés par les surfaces de réponse et l’optimisation des procédés chimiques et industriels, où les relations entre variables physiques obéissaient rarement à une linéarité parfaite. En collaboration avec Paul W. Tidwell, ingénieur et mathématicien chez Monsanto Chemical Company, Box formalisa en 1962 un algorithme élégant pour estimer les puissances optimales des variables d’entrée sans altérer l’échelle de la variable de réponse.
Deux ans plus tard, en 1964, Box et David Cox publièrent leur célèbre transformation portant sur la variable dépendante. Bien que la notoriété de la transformation de Box-Cox ait initialement éclipsé celle de Box et Tidwell dans l’enseignement introductif, cette dernière a connu une résurgence spectaculaire avec l’avènement des modèles linéaires généralisés formalisés par John Nelder et Robert Wedderburn en 1972, puis avec la démocratisation de la régression logistique dans les logiciels SPSS, SAS, Stata et le langage R.
Dans les sciences psychosociales, l’adoption s’est accélérée à mesure que la modélisation statistique s’est substituée aux simples analyses de variance (ANOVA). Des méthodologistes influents tels que Jacob Cohen, Barbara Tabachnick et Linda Fidell ont souligné la nécessité impérative de tester l’hypothèse de linéarité du logit dans les études épidémiologiques et comportementales. Dès les années 1990, le test de Box-Tidwell est devenu la référence méthodologique recommandée dans les manuels de référence pour valider l’adéquation des régressions logistiques multivariées appliquées aux décisions diagnostiques, aux comportements de santé et aux modèles d’apprentissage.
6. Fondements théoriques
Sur le plan mathématique, la transformation de Box-Tidwell repose sur la théorie de l’estimation du maximum de vraisemblance et sur les approximations par séries de puissances. Considérons un modèle de régression univarié classique où la variable critère $Y$ est modélisée par :
$$Y = \eta_0 + \eta_1 X^lpha + ar\epsilon$$
Sous l’hypothèse standard où les résidus $ arepsilon$ suivent une loi normale indépendante et identiquement distribuée avec une variance constante $\sigma^2$, l’estimation conjointe de $\eta_0$, $\eta_1$ et $lpha$ relève d’un problème d’optimisation non linéaire. Box et Tidwell ont démontré que pour une valeur d’essai de $lpha$, notée $lpha_0$, on peut approcher $X^lpha$ par un développement en série de Taylor :
$$X^lpha pprox X^{lpha_0} + (lpha – lpha_0) X^{lpha_0} \ln(X)$$
En substituant cette approximation dans l’équation de régression, on obtient le modèle de régression auxiliaire suivant :
$$Y pprox \eta_0 + \eta_1 X^{lpha_0} + \gamma \left[ X^{lpha_0} \ln(X)
ight] + ar\epsilon$$
où le paramètre auxiliaire $\gamma$ est défini par l’égalité $\gamma = \eta_1 (lpha – lpha_0)$. Cette formulation présente un avantage considérable : elle permet d’estimer $\gamma$ par la méthode des moindres carrés ordinaires standard. Une fois $\gamma$ et $\eta_1$ estimés, l’ajustement du paramètre de puissance s’effectue par la formule de mise à jour itérative :
$$lpha_1 = lpha_0 + rac{\hat{\gamma}}{\hat{\eta}_1}$$
Le processus est réitéré en remplaçant $lpha_0$ par $lpha_1$, jusqu’à ce que la différence entre deux itérations successives devienne inférieure à un seuil de convergence prédéterminé (par exemple $10^{-4}$). Dans le contexte de la régression logistique, la même logique s’applique au prédicteur linéaire liant les covariables au log-odds $ln(p / (1 – p))$, où l’inclusion du terme $X ln(X)$ permet de tester par le test de Wald ou par le rapport de vraisemblance si le coefficient $\gamma$ s’écarte significativement de zéro.
7. Composantes clés, types et dimensions
L’utilisation et la compréhension de la procédure de Box-Tidwell s’articulent autour de plusieurs dimensions méthodologiques et opérationnelles complémentaires :
- Le paramètre de puissance ($lpha$ ou $lambda$) : Valeur numérique continue représentant la transformation géométrique optimale du prédicteur. Des valeurs caractéristiques incluent $lpha = 1$ (absence de transformation, linéarité), $lpha = 0$ (transformation logarithmique limite), $lpha = 0,5$ (stabilisation de type racine carrée), $lpha = 2$ (composante quadratique accélératrice) et $lpha = -1$ (relation hyperbolique inverse).
- Le terme interactif diagnostique ($X ln(X)$) : Variable dérivée introduite dans le modèle auxiliaire pour évaluer la violation de l’hypothèse de linéarité. Si le test d’inférence associé à ce terme est statistiquement significatif ($p < 0,05$), l’hypothèse de linéarité de l’effet marginal est rejetée.
- L’algorithme d’estimation itérative : Procédure numérique alternant l’ajustement des coefficients de régression par les moindres carrés ou le maximum de vraisemblance et la réévaluation incrémentale de la puissance jusqu’à convergence stationnaire.
- L’ajustement pour prédicteurs multiples : Extension multivariée permettant d’estimer simultanément un vecteur de puissances $(lpha_1, lpha_2, dots, lpha_k)$ pour $k$ variables prédictives continues, en tenant compte de leurs corrélations et colinéarités mutuelles.
- La contrainte de positivité stricte : Exigence formelle imposant que l’ensemble des valeurs de la variable transformée soit strictement supérieur à zéro ($X > 0$), en raison de l’indéfini mathématique de la fonction logarithme pour les valeurs nulles ou négatives.
8. Exemples et cas illustratifs
Pour illustrer concrètement l’intérêt de la transformation de Box-Tidwell en recherche psychologique, considérons une étude portant sur l’impact de l’activation émotionnelle (mesurée par la conductance cutanée ou une échelle d’anxiété situationnelle) sur la performance à une tâche de mémoire de travail complexe chez de jeunes adultes.
La théorie classique de l’hypothèse du U inversé (loi de Yerkes-Dodson) postule que la performance optimale survient pour un niveau d’activation intermédiaire, tandis qu’une activation trop faible ou excessive entraîne une détérioration des fonctions exécutives. Si un chercheur tente de prédire la réussite cognitive par un modèle de régression linéaire standard ignorant cette dynamique, le coefficient associé à l’anxiété peut sembler nul ou non significatif en raison de l’annulation des pentes positives et négatives. En intégrant le terme de Box-Tidwell $X ln(X)$, le test révèle une violation massive de la linéarité ($p < 0,001$). L’algorithme converge vers une puissance non unitaire qui capture adéquatement la courbure de la relation psychophysiologique sans dénaturer la métrique conceptuelle de l’épreuve.
Un second exemple emblématique concerne la régression logistique en psychologie clinique. Supposons qu’une équipe étudie la probabilité d’adhésion thérapeutique (variable binaire : adhésion vs abandon) en fonction du niveau d’épuisement professionnel mesuré sur une échelle continue. L’hypothèse de base de la régression logistique exige que la relation entre le score d’épuisement et le logit de la probabilité d’observance soit strictement linéaire. L’application du test de Box-Tidwell par adjonction du produit du score d’épuisement par son logarithme permet de vérifier si le risque de décrochage augmente de manière proportionnelle ou s’il franchit un palier critique soudain. Si le coefficient de Box-Tidwell est significatif, le maintien de la variable brute exposerait le clinicien à sous-estimer dramatiquement le risque de désengagement au-delà d’un seuil critique de détresse psychologique.
9. Mesure et évaluation
La mise en œuvre pratique de la procédure de Box-Tidwell s’effectue selon un protocole statistique standardisé, supporté nativement ou par scripts spécialisés dans les principaux progiciels d’analyse de données (tels que la fonction boxTidwell du paquetage car sous R, ou des macro-commandes dédiées sous SAS et SPSS).
Le diagnostic de linéarité requiert d’abord la vérification de la stricte positivité des données. Si une variable psychométrique contient des scores nuls ou négatifs (par exemple un score de changement d’humeur allant de -10 à +10), il est impératif d’appliquer une constante de translation scalaire $c$ telle que $X’ = X + c > 0$. Le choix de cette constante doit être documenté avec prudence, car la valeur de translation peut influer sur l’estimation de la puissance optimale.
Une fois le modèle estimé avec le terme $X ln(X)$, l’inférence repose sur le test de Wald ou sur le test du rapport de vraisemblance (likelihood ratio test). Lorsque plusieurs covariables continues sont examinées simultanément, l’inflation du risque d’erreur de première espèce ($lpha$) constitue une menace méthodologique majeure. Il est alors fortement recommandé d’appliquer une correction pour comparaisons multiples, telle que la correction de Bonferroni ou le contrôle du taux de fausse découverte (FDR de Benjamini-Hochberg), afin d’éviter de fausses conclusions de non-linéarité attribuables aux fluctuations d’échantillonnage.
10. Applications et portée pratique
La portée de la transformation de Box-Tidwell s’étend à travers de multiples sous-disciplines des sciences du comportement, où les données comportementales violent régulièrement les idéaux de distribution théorique :
En psychométrie et psychologie différentielle, l’analyse des temps de réaction lors d’épreuves de chronométrie mentale montre de façon récurrente des distributions asymétriques où la vitesse de traitement n’entretient pas un lien linéaire avec l’intelligence fluide ou le vieillissement cognitif. L’estimation d’une transformation de puissance de Box-Tidwell permet d’adapter l’analyse à l’asymétrie intrinsèque des processus neurophysiologiques sans imposer une transformation arbitraire.
En psychologie de la santé et épidémiologie psychiatrique, la régression logistique multivariée constitue l’outil de référence pour estimer les rapports de cotes (odds ratios) associés aux facteurs de risque suicidaire, aux troubles de l’usage de substances ou à la prévalence de la dépression majeure. L’évaluation de la linéarité du logit par le test de Box-Tidwell constitue une étape de validation interne indispensable avant de publier des modèles prédictifs susceptibles d’orienter les politiques de santé publique et le triage hospitalier.
En psychologie du travail et des organisations, la modélisation de la relation entre la rémunération, la charge de travail et la satisfaction professionnelle illustre le phénomène de rendement marginal décroissant. L’ajustement empirique par Box-Tidwell permet de déterminer précisément à quel exposant de puissance le gain de satisfaction s’atténue, fournissant aux gestionnaires des données quantitatives exploitables pour concevoir des systèmes incitatifs optimaux.
11. Recherche et preuves empiriques
La littérature méthodologique contemporaine fournit d’abondantes preuves quant aux performances et aux limites de la méthode de Box-Tidwell comparativement à d’autres techniques de modélisation non linéaire, comme les polynômes fractionnaires ou les splines de régression lissées.
Des simulations de Monte-Carlo menées par des statisticiens méthodologistes ont mis en évidence que le test de Box-Tidwell possède une puissance statistique satisfaisante pour détecter des déviations modérées à fortes de la linéarité dans des échantillons de taille intermédiaire à grande ($N > 300$). Ces travaux ont démontré que lorsque la véritable fonction sous-jacente appartient effectivement à la famille des fonctions de puissance monotones (telle qu’une fonction logarithmique pure ou racine carrée), la transformation de Box-Tidwell converge rapidement vers le paramètre exact, minimisant ainsi l’erreur quadratique moyenne de prédiction.
Cependant, les recherches empiriques signalent une instabilité notoire de l’algorithme en présence de multicolinéarité sévère entre les prédicteurs. Lorsque deux covariables psychologiques sont fortement corrélées (par exemple l’anxiété-trait et la dépression), leurs termes respectifs de Box-Tidwell ($X_1 \ln(X_1)$ et $X_2 \ln(X_2)$) exhibent un degré extrême d’interdépendance avec les variables de base, ce qui peut gonfler la variance d’échantillonnage des coefficients et conduire à des estimations aberrantes des puissances de transformation. Ces constats incitent la communauté scientifique à n’utiliser la méthode qu’après un examen scrupuleux des matrices d’intercorrélation et des facteurs d’inflation de la variance (VIF).
12. Considérations culturelles et contextuelles
Dans les enquêtes internationales et les études transculturelles en psychologie (telles que le World Values Survey ou les évaluations internationales PISA), les relations entre variables contextuelles socio-économiques et indices de bien-être subjectif présentent fréquemment des hétérogénéités géographiques profondes.
L’application d’un modèle linéaire unique à travers des pays aux structures économiques dissemblables masque souvent des dynamiques distinctes. Par exemple, la relation entre le revenu par habitant et le bonheur autodéclaré suit la célèbre hypothèse du paradoxe d’Easterlin, où le gain psychologique du revenu est puissant dans les pays émergents avant d’atteindre un plateau dans les sociétés post-industrielles. L’utilisation de la transformation de Box-Tidwell au sein d’analyses multi-groupes ou de modèles hiérarchiques linéaires permet de modéliser comment la puissance de transformation $lpha$ varie elle-même d’une culture à une autre, documentant formellement l’impact du contexte macro-social sur les lois comportementales individuelles.
Par ailleurs, sur le plan des pratiques de recherche, l’adoption du test de Box-Tidwell varie fortement selon les traditions méthodologiques régionales. Tandis que la littérature nord-américaine exige fréquemment ce test dans les guides éditoriaux pour la soumission d’articles de régression logistique, d’autres contextes de recherche européens ou francophones privilégient souvent l’inspection visuelle des résidus de Pearson lissés ou le recours d’emblée à des modèles additifs généralisés (GAM), témoignant d’une pluralité d’écoles épistémologiques dans l’évaluation des postulats statistiques.
13. Critiques, débats et limites
Malgré sa valeur historique et pédagogique indéniable, la transformation de Box-Tidwell fait l’objet de plusieurs réserves importantes au sein de la communauté des biostatisticiens et des méthodologistes du comportement :
La critique principale réside dans le postulat de monotonicité. La transformation de puissance $X^lpha$ ne peut modéliser que des relations strictement croissantes ou strictement décroissantes. Elle se montre incapable d’ajuster des relations non monotones, telles que les courbes paraboliques en U ou en U inversé, qui abondent pourtant dans les théories psychologiques (par exemple, le stress optimal ou les dynamiques de motivation intrinsèque). Pour de tels phénomènes, les extensions polynomiales quadratiques ou les modèles splines constituent des représentations mathématiques bien plus adaptées.
Une seconde limite concerne la difficulté d’interprétation substantielle des coefficients résultants. Dans un modèle linéaire ordinaire, le coefficient $\eta_1$ s’interprète directement comme l’augmentation attendue de $Y$ pour chaque gain d’une unité de $X$. Si la variable subit une transformation de Box-Tidwell avec une puissance complexe comme $lpha = -0,73$, l’impact unitaire direct sur l’échelle psychométrique originale devient presque impossible à communiquer intuitivement aux cliniciens ou aux décideurs politiques, contraignant les analystes à produire des graphiques d’effets marginaux pour rétablir l’intelligibilité clinique des résultats.
Enfin, le problème de la dépendance à l’échelle de mesure constitue un écueil méthodologique subtil. Contrairement aux transformations affines, la transformation de Box-Tidwell n’est pas invariante par changement d’origine ou d’unité de mesure. L’addition arbitraire d’une constante pour éliminer les valeurs négatives ou le passage d’une échelle de secondes à des millisecondes altère la valeur mathématique de la puissance optimale estimée et la significativité du test de linéarité, exposant le chercheur à un risque accru de manipulation des données non intentionnelle (ou p-hacking).
14. Termes connexes et distinctions
Afin d’éviter les confusions taxonomiques courantes dans la littérature psychométrique, il convient de distinguer clairement la transformation de Box-Tidwell d’autres concepts statistiques apparentés :
- Transformation de Box-Cox : Contrairement à la technique de Box-Tidwell qui transforme les variables indépendantes pour rétablir la linéarité, la transformation de Box-Cox s’applique exclusivement à la variable dépendante afin de stabiliser la variance des résidus et d’en normaliser la distribution.
- Modèles Additifs Généralisés (GAM) : Cadre non paramétrique ou semi-paramétrique qui modélise la forme relationnelle à l’aide de fonctions de lissage spline flexibles, sans restreindre la déviation à une fonction de puissance paramétrique fermée.
- Polynômes fractionnaires : Approche concurrente proposée par Royston et Altman, permettant de tester un ensemble prédéfini d’exposants discrets (souvent choisis dans l’ensemble ${-2, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 2}$) pour plusieurs termes de la même variable, surpassant la limite de monotonicité de Box-Tidwell.
- Catégorisation ou découpage en quantiles : Pratique consistant à scinder une variable continue en groupes ordonnés (médiane, tertiles, quartiles). Cette approche, fréquemment déconseillée par les statisticiens, entraîne une perte dramatique de puissance statistique et engendre de faux effets catégoriels, rendant la transformation continue de Box-Tidwell largement préférable.
15. Synthèse et points clés à retenir
La transformation de Box-Tidwell demeure une technique de premier plan pour diagnostiquer et corriger les déviations par rapport au postulat de linéarité dans les modèles de régression multivariée appliqués aux sciences comportementales et à la psychologie.
Ses points méthodologiques cardinaux peuvent être résumés ainsi :
- Elle évalue empiriquement la nécessité d’une transformation de puissance sur les covariables continues positives sans modifier la variable réponse.
- Dans la régression logistique binaire, le test diagnostique fondé sur le terme d’interaction $X ln(X)$ constitue la procédure standard recommandée pour attester de la linéarité de la relation avec le logit.
- Elle fournit une alternative mathématiquement rigoureuse aux approximations ad hoc ou au découpage artificiel des variables quantitatives en catégories arbitraires.
- Elle requiert une vigilance rigoureuse quant à la stricte positivité des données, au risque de colinéarité accrue et aux limites inhérentes à la modélisation de relations exclusivement monotones.
Références
- Box, G. E. P., & Tidwell, P. W. (1962). Transformation of the independent variables. Technometrics, 4(4), 531–550. https://doi.org/10.1080/00401706.1962.10490038
- Box, G. E. P., & Cox, D. R. (1964). An analysis of transformations. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological), 26(2), 211–243. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1964.tb00553.x
- Hosmer, D. W., Lemeshow, S., & Sturdivant, R. X. (2013). Applied Logistic Regression (3rd ed.). John Wiley & Sons. https://doi.org/10.1002/9781118548387
- Royston, P., & Altman, D. G. (1994). Regression using fractional polynomials of continuous covariates: Parsimonious parametric modelling. Applied Statistics, 43(3), 429–467. https://doi.org/10.2307/2986270
- Tabachnick, B. G., & Fidell, L. S. (2019). Using Multivariate Statistics (7th ed.). Pearson.