Au cœur de la démarche expérimentale en psychologie et en sciences du comportement, l’analyse de variance inter-sujets constitue l’un des piliers méthodologiques les plus robustes pour évaluer l’impact de conditions expérimentales distinctes sur des groupes d’individus indépendants. En décomposant la variabilité globale observée au sein d’un échantillon entre les fluctuations attribuables aux manipulations expérimentales et celles relevant du hasard ou des différences individuelles, cette méthode statistique inférentielle permet d’éprouver la validité théorique d’hypothèses causales complexes.
Analyse de variance inter-sujets
1. Définition concise
L’analyse de variance inter-sujets (fréquemment désignée par l’acronyme ANOVA inter-sujets ou ANOVA à groupes indépendants) est une procédure statistique inférentielle paramétrique employée pour comparer les moyennes d’une variable dépendante continue mesurée à travers deux ou plusieurs groupes mutuellement exclusifs formés par les modalités d’une ou de plusieurs variables indépendantes catégorielles. Dans ce paradigme, chaque participant ou unité expérimentale n’est exposé qu’à un seul et unique niveau de chaque facteur étudié, garantissant ainsi l’indépendance statistique des observations entre les conditions.
Cette technique modélise mathématiquement la variance totale des données en isolant d’une part la variance inter-groupes (due à l’effet du traitement expérimental ou à l’appartenance catégorielle) et d’autre part la variance intra-groupe (reflétant l’erreur résiduelle non contrôlée et la variabilité interindividuelle). Lorsque le ratio de ces deux variances, formalisé par la statistique F de Fisher-Snedecor, excède significativement la valeur critique attendue sous l’hypothèse nulle d’égalité des moyennes, le chercheur conclut à l’existence d’une différence systématique attribuable aux facteurs examinés.
2. Étymologie et origine linguistique
Le terme « analyse de variance » est la traduction directe de l’anglais analysis of variance, forgé au début du XXe siècle par le statisticien et généticien britannique Sir Ronald Aylmer Fisher. Le mot « analyse » dérive du grec ancien analusis (ἀνάλυσις), signifiant étymologiquement « décomposition », « dissolution » ou « résolution d’un tout en ses parties constituantes », formé du préfixe ana- (« de bas en haut » ou « en arrière ») et de luein (« détacher » ou « délier »). Le terme « variance » trouve ses racines dans le verbe latin variare, qui signifie « diversifier », « changer » ou « rendre différent », et a été formalisé en mathématiques pour quantifier la dispersion quadratique des valeurs autour de leur espérance mathématique.
La locution qualificative « inter-sujets » provient de la préposition latine inter, traduisant l’idée de « entre », de « réciprocité » ou d’« intervalle », combinée au substantif « sujet » issu du latin subjectus (« soumis », « placé sous »), qui a longtemps désigné en psychologie expérimentale le participant humain soumis à un protocole d’observation. L’expression anglaise originelle between-subjects s’est ainsi implantée dans la littérature francophone sous les formes « inter-sujets », « inter-groupes » ou « à groupes indépendants », soulignant l’attribution stricte de chaque entité observée à une subdivision unique de l’échantillon.
3. Prononciation et forme grammaticale
Sur le plan phonétique, l’expression se prononce en français international : [a.na.liz də va.ʁjɑ̃s ɛ̃.tɛʁ.sy.ʒɛ], et l’acronyme se vocalise couramment [a.nɔ.va ɛ̃.tɛʁ.sy.ʒɛ]. L’expression est un syntagme nominal féminin composé. Dans l’usage orthographique standard, « analyse de variance inter-sujets » prend un trait d’union entre le préfixe « inter » et le substantif « sujets », ce dernier prenant la marque du pluriel (« inter-sujets ») puisqu’il réfère implicitement à une comparaison opérée entre plusieurs sujets distincts.
On rencontre fréquemment dans les manuels francophones de psychométrie et d’économétrie des variantes synonymes telles que « analyse de la variance à groupes indépendants » ou « ANOVA factorielle inter-sujets ». Au pluriel, la forme demeure « des analyses de variance inter-sujets », le terme « variance » demeurant généralement au singulier pour caractériser le concept mathématique unitaire de dispersion.
4. Explication conceptuelle détaillée
Pour appréhender l’analyse de variance inter-sujets dans sa plénitude conceptuelle, il convient de se situer dans le cadre épistémologique du modèle linéaire général. L’objectif fondamental de cette méthode est de départager deux explications concurrentes face à une divergence observée entre les moyennes empiriques de plusieurs groupes de participants : s’agit-il d’un effet systématique causé par la variable manipulée, ou simplement de la manifestation d’un échantillonnage fortuit prélevé dans une même population homogène ? Pour répondre à cette interrogation, l’ANOVA ne compare pas directement les moyennes par soustraction bilatérale (ce qui multiplierait de façon inadmissible l’erreur de type I en présence de plus de deux groupes), mais examine le rapport de deux estimations distinctes de la variance de la population.
La première composante, désignée sous le vocable de « carré moyen inter-groupes » (ou variance expliquée), mesure l’écartement des moyennes de chaque condition par rapport à la moyenne générale de l’ensemble de l’échantillon. Si l’hypothèse nulle est fausse et que le traitement expérimental exerce une influence tangible, la dispersion de ces moyennes de groupes sera substantielle. La seconde composante, nommée « carré moyen intra-groupe » ou « variance résiduelle » (souvent appelée variance d’erreur), quantifie les écarts constatés entre le score individuel de chaque participant et la moyenne spécifique du groupe auquel il appartient. Étant donné que tous les membres d’un même groupe reçoivent un traitement strictement identique, les différences constatées en leur sein ne peuvent provenir que de variations idiosyncrasiques inhérentes aux participants (telles que les aptitudes cognitives basales, l’état émotionnel momentané ou des traits de personnalité non contrôlés) et d’imprécisions de mesure.
La puissance du modèle réside dans la partition de la somme des carrés des écarts (notée SS pour Sum of Squares). En vertu du théorème fondamental de l’analyse de variance, la somme totale des carrés ($SS_{totale}$) est égale à la somme exacte de la variabilité inter-groupes ($SS_{inter}$) et de la variabilité intra-groupe ($SS_{intra}$). En divisant chacune de ces sommes de carrés par leurs degrés de liberté respectifs, le statisticien obtient les carrés moyens correspondants. Le ratio $F = MS_{inter} / MS_{intra}$ synthétise alors cette confrontation : si le traitement produit un effet net, la variance inter-groupes sera considérablement plus élevée que la variance intra-groupe, propulsant le ratio F bien au-delà de la valeur nominale de 1 attendue sous l’hypothèse nulle.
Dans un plan inter-sujets, la stricte assignation aléatoire des participants à chaque groupe représente la clé de voûte de la validité interne. Contrairement aux plans à mesures répétées (intra-sujets), le plan inter-sujets élimine par essence tout risque de contamination séquentielle, de fatigue cognitive, d’habituation ou d’effet d’apprentissage direct lié au passage successif dans différentes conditions. Cependant, cette imperméabilité méthodologique a un coût statistique : la variance d’erreur demeure nécessairement plus vaste que dans les plans intra-sujets, car elle incorpore l’intégralité des disparités interindividuelles, ce qui requiert un recrutement plus massif de participants pour maintenir un niveau adéquat de puissance statistique.
5. Évolution historique
La genèse de l’analyse de variance remonte aux travaux conduits par Ronald A. Fisher au sein de la station agronomique de Rothamsted en Angleterre durant les années 1920. Confronté au défi d’évaluer simultanément l’efficacité de multiples combinaisons de fertilisants et de variétés céréalières sans multiplier les tests d’inférence par paires, Fisher développa le concept de décomposition de la variance et publia ses fondements majeurs dans son ouvrage séminal de 1925, Statistical Methods for Research Workers. Il y exposait la distribution théorique du rapport z, transformé ultérieurement par George Snedecor en la distribution F en hommage direct à Fisher.
L’introduction formelle de l’analyse de variance dans le champ des sciences humaines et de la psychologie s’est opérée au cours des décennies 1930 et 1940. Des méthodologistes comme Quinn McNemar et E. F. Lindquist ont joué un rôle déterminant dans la vulgarisation et l’adaptation de ces calculs aux réalités de l’expérimentation comportementale. Avant cette adoption, la psychologie scientifique reposait massivement sur la comparaison de deux groupes isolés via le test t de Student, ce qui restreignait considérablement la complexité des devis d’investigation et empêchait l’exploration des interactions entre variables prédictives.
Dans les décennies 1950 et 1960, la généralisation de l’ANOVA factorielle a marqué l’âge d’or du béhaviorisme méthodologique et de la révolution cognitive naissante. Les travaux de Jerome Cornfield et John Tukey ont affiné les modèles à effets fixes et aléatoires. Avec l’avènement des calculateurs électroniques et des progiciels statistiques (tels que SPSS et SAS) à partir des années 1970, le fardeau des calculs matriciels s’est estompé, favorisant une expansion exponentielle de l’utilisation de l’ANOVA inter-sujets multifactorielle dans toutes les revues prestigieuses de psychologie empirique.
6. Fondements théoriques
L’analyse de variance inter-sujets s’inscrit rigoureusement dans la théorie probabiliste et le cadre paramétrique des modèles linéaires gaussiens. L’équation de base régissant un plan unifactoriel inter-sujets pour le score $Y_{ij}$ du $i$-ième participant assigné au $j$-ième groupe s’énonce comme suit :
$$Y_{ij} = \mu + lpha_j + \epsilon_{ij}$$
où $\mu$ représente la moyenne générale théorique de la population parente, $lpha_j$ matérialise l’effet fixe spécifique du $j$-ième niveau de la variable indépendante (avec la contrainte que la somme pondérée des $lpha_j$ égale zéro), et $\epsilon_{ij}$ constitue l’erreur résiduelle stochastique propre à chaque individu. Pour que l’inférence fondée sur la loi F de Fisher soit mathématiquement valide, ce modèle postule quatre hypothèses fondamentales que le chercheur doit scrupuleusement tester.
La première hypothèse est celle de l’indépendance des observations, qui postule que la valeur observée chez un sujet ne dépend en aucune manière des scores des autres sujets. Cette exigence est assurée en amont par l’attribution aléatoire et par un protocole de passation évitant toute interaction physique ou psychologique entre les participants. La seconde condition est la normalité de la distribution des résidus au sein de chaque population ou groupe ($ epsilon_{ij} sim mathcal{N}(0, sigma^2) $), condition dont la violation modérée est tolérée par l’ANOVA en vertu du théorème central limite dès lors que les tailles d’échantillons sont suffisamment grandes.
La troisième exigence cardinale est l’homogénéité des variances, couramment qualifiée d’homoscédasticité. Elle stipule que la variance résiduelle interne doit être théoriquement identique à travers toutes les populations échantillonnées ($\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = dots = \sigma_k^2$). Enfin, l’échelle de mesure de la variable dépendante doit posséder des propriétés quantitatives continues d’intervalle ou de rapport, afin que les calculs de moyennes et de sommes de carrés conservent une légitimité mathématique rigoureuse.
7. Composantes clés, types et dimensions
L’analyse de variance inter-sujets se décline sous de multiples configurations architecturales selon le nombre de variables indépendantes manipulées et l’organisation des strates d’échantillonnage :
- ANOVA unifactorielle inter-sujets (One-Way ANOVA) : Modèle élémentaire comprenant une seule variable indépendante catégorielle composée de trois modalités ou davantage (par exemple, tester trois dosages distincts d’un anxiolytique face à un placebo).
- ANOVA factorielle inter-sujets (Factorial ANOVA) : Modèle intégrant simultanément deux ou plusieurs variables indépendantes qualitatives (par exemple, un plan $2 imes 3$ combinant deux types de thérapies et trois niveaux de sévérité du trouble dépressif). Elle permet d’évaluer non seulement les effets principaux de chaque facteur, mais surtout leurs termes d’interaction.
- Effets principaux (Main Effects) : L’impact global et direct d’un facteur indépendant particulier sur la variable dépendante, calculé en moyennant par-dessus toutes les modalités des autres facteurs du devis.
- Effets d’interaction (Interaction Effects) : Phénomène statistique survenant lorsque l’effet d’une variable indépendante sur la réponse dépend directement de la modalité spécifique d’une autre variable indépendante, révélant une modération théorique.
- Degrés de liberté (ddl) : Nombre de dimensions libres dans l’estimation statistique, répartis entre le numérateur ($k – 1$ pour l’effet inter-groupes, où $k$ est le nombre de groupes) et le dénominateur ($N – k$ pour l’erreur intra-groupe, où $N$ est la taille totale de l’échantillon).
- Carrés moyens (Mean Squares, MS) : Rapports obtenus en divisant les sommes des carrés par leurs degrés de liberté respectifs, fournissant les estimations de variance non biaisées mobilisées dans le ratio F.
8. Exemples et cas illustratifs
Pour illustrer concrètement la mise en œuvre d’une ANOVA unifactorielle inter-sujets en psychologie cognitive, considérons une expérience évaluant l’influence de l’environnement sonore sur les capacités de mémorisation de travail. Un échantillon de 90 étudiants universitaires est recruté et assigné par randomisation pure à l’un des trois groupes expérimentaux suivants : silence complet ($n_1 = 30$), musique classique instrumentale en bruit de fond ($n_2 = 30$), et enregistrement d’une conversation animée ($n_3 = 30$). Chaque participant mémorise une liste de quarante items verbaux complexes avant d’effectuer un rappel libre.
Dans cette configuration, l’attribution est strictement inter-sujets : aucun participant n’est exposé à plus d’une ambiance sonore. Si les moyennes de rappel s’établissent à 28 items pour le silence, 26 items pour la musique classique et 18 items pour la conversation animée, l’ANOVA inter-sujets permettra de quantifier si l’écartement global de ces trois moyennes est statistiquement supérieur à la dispersion naturelle des performances individuelles mesurée au sein de chacun des trois groupes.
Un second exemple plus élaboré mobilise une ANOVA factorielle inter-sujets $2 imes 2$ en psychologie sociale de la santé. Les chercheurs souhaitent examiner l’impact conjoint du type de message persuasif (cadrage positif centré sur les gains versus cadrage négatif centré sur les pertes) et du niveau de résilience perçue des participants (faible versus élevé, stratifié en groupes indépendants) sur l’intention d’adhérer à un programme d’activité physique. Cette modélisation permet d’identifier si le cadrage négatif est plus efficace chez les sujets très résilients mais contre-productif chez les personnes vulnérables, illustrant ainsi un effet d’interaction croisé décisif pour la personnalisation des interventions de santé publique.
9. Mesure, calcul et évaluation
L’exécution pratique de l’ANOVA inter-sujets suit un protocole arithmétique rigoureux, amorcé par la compilation du tableau synthétique de variance. La somme totale des carrés est établie selon la formule :
$$SS_{totale} = \sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{n_j}(Y_{ij} – ar{Y}_{ulletullet})^2$$
où $ar{Y}_{ulletullet}$ est la moyenne générale (grand mean). La variabilité inter-groupes est déterminée par :
$$SS_{inter} = \sum_{j=1}^{k} n_j (ar{Y}_{ullet j} – ar{Y}_{ulletullet})^2$$
tandis que la variabilité intra-groupe découle de :
$$SS_{intra} = \sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{n_j}(Y_{ij} – ar{Y}_{ullet j})^2$$
Une fois le ratio $F = rac{SS_{inter}/(k-1)}{SS_{intra}/(N-k)}$ calculé, sa probabilité associée (la p-value) est comparée au seuil de significativité nominal $lpha$ (généralement 0,05). Cependant, l’inférence moderne exige impérativement d’adjoindre à cette valeur probabiliste des métriques standardisées de taille d’effet.
L’indicateur le plus usuel est l’êta-carré ($\eta^2 = SS_{inter} / SS_{totale}$), qui représente la proportion brute de variance expliquée par le facteur étudié. En raison du biais de surestimation de l’$\eta^2$ dans les petits échantillons, les méthodologistes préconisent fréquemment l’usage de l’oméga-carré ($\omega^2$) ou de l’êta-carré partiel ($\eta_p^2$ dans les modèles factoriels), qui procurent des estimations nettement moins biaisées de la magnitude réelle du phénomène au niveau populationnel.
Avant toute interprétation définitive, les postulats doivent être vérifiés par des instruments diagnostics dédiés : le test de Levene ou le test de Brown-Forsythe pour attester de l’homoscédasticité, ainsi que le test de Shapiro-Wilk et l’inspection visuelle des diagrammes quantile-quantile (Q-Q plots) pour contrôler la normalité des résidus.
10. Applications et pertinence pratique
L’ANOVA inter-sujets occupe une place prépondérante dans une multitude de domaines appliqués de la psychologie et des sciences connexes :
- Psychologie clinique et psychopathologie : Évaluation comparative de l’efficacité d’approches psychothérapeutiques distinctes (thérapie cognitivo-comportementale versus thérapie psychodynamique versus liste d’attente) sur la réduction de l’échelle d’inventaire de dépression de Beck.
- Neurosciences et neuropsychologie : Analyse des performances d’orientation spatiale chez des patients porteurs de lésions localisées dans différentes aires cérébrales comparés à des témoins sains.
- Psychologie du travail et des organisations : Comparaison de différents styles de leadership (transformationnel, transactionnel, laisser-faire) mis en place dans des filiales indépendantes sur l’engagement organisationnel et le sentiment d’épuisement professionnel (burnout).
- Psychologie scolaire et éducative : Mesure de l’impact de plusieurs méthodes d’apprentissage de la lecture (syllabique pure, globale, mixte) réparties sur des cohortes d’élèves distinctes à l’entrée au cours préparatoire.
- Ergonomie cognitive et facteurs humains : Comparaison de l’utilisabilité et de la charge mentale induite par plusieurs interfaces homme-machine auprès d’opérateurs industriels distincts.
11. Recherche empirique et données probantes
L’histoire de la psychologie scientifique regorge d’expériences emblématiques fondées sur des analyses de variance inter-sujets. L’une des plus célèbres démonstrations méthodologiques repose sur les protocoles de Stanley Schachter et Jerome Singer (1962) explorant la théorie bifactorielle des émotions, où les participants étaient aléatoirement distribués dans des groupes inter-sujets d’injection d’adrénaline combinés à différentes instructions cognitives et à des compères euphoriques ou colériques.
Dans le domaine du développement sociocognitif, l’expérience fondamentale de la poupée Bobo menée par Albert Bandura et ses collaborateurs en 1961 a utilisé une structure factorielle inter-sujets complexe pour confronter des groupes d’enfants exposés à des modèles agressifs versus non agressifs, stratifiés selon le genre du modèle et le genre de l’enfant, prouvant statistiquement l’apprentissage vicariant par imitation.
De même, les travaux classiques d’Elizabeth Loftus sur la malléabilité des souvenirs autobiographiques ont mobilisé des ANOVA inter-sujets pour mesurer comment la formulation précise d’une question d’interrogatoire (par exemple, varier l’intensité des verbes « percuter » versus « heurter » ou « entrer en collision ») module durablement l’estimation quantitative de la vitesse d’un véhicule chez des témoins indépendants.
12. Considérations culturelles et transcuturelles
Lorsque l’ANOVA inter-sujets est mobilisée dans des devis de psychologie interculturelle comparative, où le facteur principal est la nationalité ou l’appartenance ethnolinguistique des participants, une prudence méthodologique extrême s’impose. Dans ce contexte, l’appartenance culturelle ne peut faire l’objet d’une assignation aléatoire : il s’agit d’un plan quasi-expérimental à groupes préexistants (facteur invoqué), ce qui expose l’analyse à une multitude de variables parasites non contrôlées (telles que le statut socio-économique, la langue maternelle ou le niveau d’alphabétisation).
De surcroît, la validité des comparaisons de moyennes présuppose l’invariance de mesure des instruments psychométriques employés. Si un questionnaire d’estime de soi ou d’anxiété ne présente pas une invariance métrique et scalaire rigoureusement attestée entre les pays, les variations observées entre les groupes à l’issue de l’ANOVA ne reflètent pas de véritables différences psychologiques, mais des biais de réponse différentiels, tels que la propension culturelle à l’acquiescement ou l’évitement des catégories extrêmes.
13. Critiques, controverses et limites
Nonobstant son omniprésence, l’ANOVA inter-sujets fait l’objet de critiques conceptuelles et méthodologiques substantielles au sein de la communauté scientifique. La première limitation tient à son coût en termes d’échantillonnage. Dans la mesure où chaque individu n’est sollicité que pour une seule mesure, l’absorption de la variabilité interindividuelle dans le dénominateur de l’erreur ($MS_{intra}$) exige des effectifs considérables pour parvenir à une puissance statistique acceptable ($1 – eta ge 0,80$), en particulier pour déceler des effets de petite ou moyenne taille.
Une seconde controverse récurrente concerne la sensibilité aux violations des postulats, particulièrement en présence de plans non orthogonaux (effectifs inégaux par case). En cas d’hétéroscédasticité combinée à des tailles d’échantillons déséquilibrées, le taux d’erreur de type I réel peut diverger dramatiquement du seuil nominal de 5 %. Les chercheurs doivent alors impérativement recourir à des corrections robustes comme l’ANOVA de Welch ou celle de Brown-Forsythe.
Par ailleurs, la crise de la reproductibilité en psychologie a mis en lumière les abus liés aux comparaisons multiples post-hoc non ajustées. Lorsqu’une ANOVA révèle un effet global significatif, la pratique consistant à multiplier les tests de contraste sans contrôler le risque familial d’erreur (via des corrections comme celles de Tukey HSD, Bonferroni ou Scheffé) conduit à une prolifération d’artefacts statistiques et de faux positifs dans la littérature.
14. Termes connexes et distinctions conceptuelles
Il est indispensable de ne pas confondre l’ANOVA inter-sujets avec d’autres déclinaisons statistiques de la modélisation linéaire :
- ANOVA intra-sujets (à mesures répétées) : Contrairement au plan inter-sujets où chaque participant n’appartient qu’à une condition, le plan intra-sujets expose chaque individu à l’intégralité des modalités de la variable indépendante. La variabilité interindividuelle basale est alors extraite de la variance d’erreur, ce qui accroît substantiellement la puissance statistique, mais introduit des risques de transferts d’apprentissage.
- ANOVA mixte (split-plot) : Architecture expérimentale hybride comportant au moins un facteur inter-sujets et au moins un facteur intra-sujets (par exemple, comparer l’évolution temporelle avant/après traitement entre un groupe clinique et un groupe témoin).
- ANCOVA (Analyse de covariance) : Extension de l’ANOVA inter-sujets qui permet de soustraire statistiquement la variance expliquée par une ou plusieurs variables quantitatives continues concomitantes (covariables), purifiant ainsi le terme d’erreur résiduel et augmentant la sensibilité du test.
- MANOVA (Analyse de variance multivariée) : Modélisation inter-sujets évaluant simultanément deux ou plusieurs variables dépendantes quantitatives corrélées, contrôlant le taux d’erreur global et captant les corrélations inter-variables.
- Test t de Student pour échantillons indépendants : Cas particulier de l’ANOVA inter-sujets unifactorielle limitée strictement à deux groupes. Sur le plan arithmétique, le résultat de la statistique $F$ d’une ANOVA à deux groupes est rigoureusement équivalent au carré de la valeur $t$ ($F = t^2$).
15. Synthèse et points clés à retenir
L’analyse de variance inter-sujets demeure un outil d’inférence statistique central en psychologie expérimentale, garantissant l’indépendance stricte des conditions par l’attribution mutuellement exclusive de chaque participant à un groupe précis. Son mécanisme repose sur le découpage de la variance globale entre variabilité inter-groupes (captant l’effet du traitement) et variabilité intra-groupe (reflétant l’erreur aléatoire et les singularités individuelles), synthétisé par la distribution F de Fisher.
Sa validité repose impérativement sur le respect scrupuleux de l’assignation aléatoire, de la normalité distributionnelle et de l’homoscédasticité. Au-delà du traditionnel test de significativité de l’hypothèse nulle ($p < 0,05$), la rigueur scientifique moderne impose la restitution systématique de la taille d’effet ($\eta_p^2$ ou $\omega^2$), l’ajustement méthodique des contrastes post-hoc et la vérification de la robustesse face aux données atypiques, assurant ainsi des conclusions robustes et réplicables.
Références
- Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Oliver and Boyd. https://fr.wikipedia.org/wiki/Ronald_Aylmer_Fisher
- Howell, D. C. (2012). Statistical Methods for Psychology (8th ed.). Cengage Learning. https://www.cengage.com
- Keppel, G., & Wickens, T. D. (2004). Design and Analysis: A Researcher’s Handbook (4th ed.). Pearson Prentice Hall. https://www.pearson.com
- Tabachnick, B. G., & Fidell, L. S. (2019). Using Multivariate Statistics (7th ed.). Pearson. https://www.pearson.com